2. Suponga que se tienen dos poblaciones
distintas, la primera con media y desviación
estándar , y la segunda con media y desviación
estándar . Más aún, se elige una muestra
aleatoria de tamaño n1 de la primera población
y una muestra independiente aleatoria de
tamaño n2 de la segunda población; se calcula
la media muestral para cada muestra y la
diferencia entre dichas medias. La colección de
todas esas diferencias se llama distribución
muestral de las diferencias entre medias o la
distribución muestral del estadístico
3.
4. La distribución es aproximadamente normal
para n1 ≥ 30 y n2 ≥ 30. Si las poblaciones son
normales, entonces la distribución muestral
de medias es normal sin importar los
tamaños de las muestras.
5. Ejemplo
En un estudio para comparar los pesos promedio de
niños y niñas de sexto grado en una escuela primaria se
usará una muestra aleatoria de 20 niños y otra de 25
niñas. Se sabe que tanto para niños como para niñas los
pesos siguen una distribución normal. El promedio de
los pesos de todos los niños de sexto grado de esa
escuela es de 100 libras y su desviación estándar es de
14.142, mientras que el promedio de los pesos de todas
las niñas del sexto grado de esa escuela es de 85 libras y
su desviación estándar es de 12.247 libras.
6. Si x1 representa el promedio de los pesos de 20
niños y x2 es el promedio de los pesos de una
muestra de 25 niñas, encuentre la probabilidad
de que el promedio de los pesos de los 20 niños
sea al menos 20 libras más grande que el de las
25 niñas.
7.
8. Por lo tanto la probabilidad de que el promedio
de los pesos de la muestra de niños sea al
menos 20 libras más grande que el de la
muestra de las niñas es 0.1056
9. Distribución Muestral de Diferencia de
Proporciones.
Cuando en una población procedemos a
estudiar una característica con sólo dos posibles
valores (éxito/fracaso), entonces la población
sigue una distribución binomial.
Cada muestra de la población tiene un
porcentaje de individuos que tiene esta
característica. p es la proporción de éxito de esta
esta variable aleatoria de la población. La
proporción de fracaso es q = 1 – p
10. Sean todas las muestras de tamaño n de la
población. Cada muestra tiene una
proporción de individuos con esa
característica.
La distribución asociada a la variable
aleatoria que une cada muestra con su
proporción se llama distribución muestral
de proporciones
11. Como, para poblaciones grandes, la binomial se
aproxima a la normal, la distribución muestral
de proporciones también sigue una distribución
normal:
12. Ejemplo. Una máquina fabrica piezas de
precisión. En su producción habitual fabrica un
3% de piezas defectuosas. Un cliente recibe una
caja de 500 piezas procedentes de la fábrica.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que encuentre
más del 5% de piezas defectuosas en la caja?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que encuentre
menos de un 1% de piezas defectuosas?
13.
14. Supongamos una población de la que
conocemos la proporción “p” de individuos que
cumple cierta característica. Si de esta población
extraemos muestras de tamaño “n”, y en cada
muestra a su vez estudiamos la proporción de
individuos que cumple la característica
estudiada, obtendremos diferentes
proporciones muéstrales:
15.
16. De manera que si llamamos;
a la variable aleatoria formada por los distintos
valores que toman las proporciones muéstrales.
Esta variable aleatoria como tal tiene las
siguientes características:
17. -La media o esperanza matemática de la
variable "proporciones muéstrales" es la
proporción poblacional “p”
-La desviación típica de la variable de la variable
"proporciones muéstrales" es:
Desviación típica de las proporciones
muéstrales.
18. Además a medida que crece el tamaño n , la
distribución de las proporciones muéstrales se
aproxima cada vez más a la DISTRIBUCIÓN
NORMAL (siempre que "p" no esté muy próxima
a 0 ni a 1)
19. EJEMPLO:
En una población se conoce que un 2% de la
misma es favorable a la construcción de un
centro de rehabilitación para toxicómanos. Si
suponemos que en un barrio de la misma viven
500 personas. Calcula la probabilidad de
encontrar en dicho barrio más de 9 personas
favorables a la construcción de dicho centro.
