Observador Espectral de Alta Ganancia

Observador Espectral de Alta Ganancia
Lizeth Torres1 (questions@lizeth-torres.info)
Universidad Nacional Autónoma de México
Deﬁnición Section 1 Section 2 Section 3 Conclusion

¿Qué es un observador espectral?
Es un observador de estados que estima los componentes
frecuenciales de una señal.
Es una herramienta de análisis tempo-frecuencial de señales
como la transformada de Fourier de tiempo corto o las
ondículas.

Posibles usos
Para analizar señales cuyo contenido frecuencial varía en el tiempo.
Dash, P. K., Panda, D. K. (1988). Digital impedance protection of power
transmission lines using a spectral observer. IEEE transactions on power delivery,
3(1), 102-110.
Radcliﬀe, C. J., Mote, C. D. (1983). Identiﬁcation and control of rotating disk
vibration. Journal of dynamic systems, measurement, and control, 105(1), 39-45.

Estado del arte
Hostetter, G. H. (1980). Fourier analysis using spectral observers. Proceedings of the
IEEE, 68(2), 284-285.

Estado del arte
Bitmead, R., Tsoi, A. H., Parker, P. (1986). A Kalman ﬁltering approach to
short-time Fourier analysis. IEEE transactions on acoustics, speech, and signal
processing, 34(6), 1493-1501.
Orosz, G., Sujbert, L., Peceli, G. (2008, May). Spectral observer with reduced
information demand. In Instrumentation and Measurement Technology
Conference Proceedings, 2008. IMTC 2008. IEEE (pp. 2155-2160). IEEE.

Diseño del observador
Una serie de Fourier es una serie inﬁnita que converge puntualmente
a una función periódica y continua a trozos (o por partes).
y(t) =
∞
k=−∞
Ckekjωt
,
donde Ck: los coeﬁcientes de Fourier y ω: la frecuencia fundamental
o el paso frecuencial discreto.

Para diseñar el observador espectral
Se supuso que la señal a estimar no tiene un componente
constante (offset). Así pues, k = 0.
Se supuso que ω es conocida.
Se formuló un sistema dinámico en espacio de estados.
1. Se definió a una serie de Fourier de orden finito n como el
primer estado.
y(t) =
n
k=−n
Ckekjωt
2. Se definió al resto de cada uno de los estados como la derivada
del estado previo.

Ilustración sencilla de la formulación
Si n = 1, se necesita formular un sistema dinámico con N = 2
estados: ν1(t) y ν2(t).
Cada estado es necesario para recuperar los coeﬁcientes C−1 y
C1 a través de un cambio de coordenadas.
ν1(t) = y(t) = C−1e−jωt
+ C1ejωt
,
ν2(t) = ˙y(t) = −jωC−1e−jωt
+ jωC1ejωt
.

ν1(t) = y(t) = C−1e−jωt
+ C1ejωt
,
+ jωC1ejωt
.
˙ν1(t) = ν2(t)
˙ν2(t) = ¨y(t) = j2
ω2
C−1e−jωt
+ j2
ω2
C1ejωt
= −ω2
(C−1e−jωt
+ C1ejωt
) = −ω2
ν1(t) = −ω2
y(t),
Sistema dinámico resultante:
˙ν1(t) = ν2(t),
˙ν2(t) = −ω2
ν1(t).

Si n = 2, entonces N = 4: ν1(t), ν2(t), ν3(t) y ν4(t).
ν1(t) = y(t) = C−1e−jωt
+ C1ejωt
+ C−2e−2jωt
+ C2e2jωt
,
+ jωC1ejωt
− 2jωC−2e−2jωt
+ 2jωC2e2jωt
,
ν3(t) = ¨y(t) = j2
ω2
C−1e−jωt
+ j2
ω2
C1ejωt
+ 4j2
ω2
C−2e−2jωt
+ 4j2
ω2
C2e2jωt
,
ν4(t) = y(3)
(t) = −j3
ω3
C−1e−jωt
+ j3
ω3
C1ejωt
− 8j3
ω3
C−2e−2jωt
+ 8j3
ω3
C2e2jωt
.
Calculando la derivada de ν4(t)
˙ν4(t) = y(4)
(t) = j4
ω4
C−1e−jωt
+ j4
ω4
C1ejωt
+ 16j4
ω4
C−2e−2jωt
+ 16j4
ω4
C2e2jωt
.

Sistema dinámico resultante:
˙ν1(t) = ν2(t);
˙ν2(t) = ν3(t),
˙ν3(t) = ν4(t),
˙ν4(t) = −4ω4
ν1(t) − 5ω2
ν3(t).

Generalizando para un orden n, se obtiene el siguiente sistema:
˙ν1(t) = ν2(t),
˙ν2(t) = ν3(t),
... =
..., (1)
˙νN(t) = (−1)n(mod 2)
ω2n
1 22n · · · n2n A−1
k A−1
ω ν(t),

Aω
.
=














1 0 0 0 · · · 0 · · · 0
0 ω 0 0 · · · 0 · · · 0
0 0 −ω2 0 · · · 0 · · · 0
0 0 0 −ω3 · · · 0 · · · 0
...
...
...
...
...
...
...
...
0 0 0 0 · · · Ψ(ωm) · · · 0
...
...
...
...
...
...
...
...
0 0 0 0 · · · 0 · · · Ψ(ω2n−1)














,
donde
Ψ(ωm
) = (−1)(m(mod 4)−m(mod 2))/2
ωm
,
Ψ(ω2n−1
) = (−1)(2n(mod 4)−2)/2
ω2n−1
.

Ak
.
=











1 0 1 0 · · · 1 0
0 1 0 2 · · · 0 n
1 0 4 0 · · · n2 0
0 1 0 8 · · · 0 n3
...
...
...
...
...
...
...
1 0 22n−2 0 · · · n2n−2 0
0 1 0 22n−1 · · · 0 n2n−1











.

Dado que el sistema dinámico de la serie de Fourier es observable,
un observador espectral de gran ganancia se puede diseñar.
˙ˆν(t) = Aˆν(t) + K(s(t) − C ˆν(t)),
ˆy(t) = C ˆν(t) = ˆν1(t),
donde ˆy(t) es la señal estimada,
A =








0 1 . . . 0 0
0 0 1 . . . 0
...
...
... 1
γ1(ω) . . . γn(ω)








, C = [1, 0, ..., 0]

1. La ganancia del observador K involucrada en en el término de
corrección, se calcula así: K = S−1CT .
− λS − AT
S − SA + CT
C = 0
λ: parámetro que puede usarse para calibrar la convergencia de
la estimación.
2. Los coeﬁcientes de Fourier se pueden recuperar a partir de
ˆCk = Ω−1
(t)ˆν(t),
donde ˆCk = [ ˆC−1, ˆC1, ..., ˆC−n, ˆCn]T y la matriz Ω ...

Ω(t) =









e(−jωt)
e(jωt)
e(−2jωt)
e(2jωt)
. . . e(−njωt)
e(njωt)
−ωe(−jωt)
ωe(jωt)
−2ωe(−2jωt)
2ωe(2jωt)
. . . −nωe(−njωt)
nωe(njωt)
−ω2
e(−jωt)
−ω2
e(jωt)
−4ω2
e(−2jωt)
−4ω2
e(2jωt)
. . . −n2
ωe(−njωt)
−n2
ωe(njωt)
.
.
.
.
.
.
ωΓ
e(−jωt)
−ωΓ
e(jωt)
2Γ
ωΓ
e(−2jωt)
−2Γ
ωΓ
e(2jωt)
. . . nΓ
ωΓ
e(−njωt)
−nΓ
ωΓ
e(njωt)









Γ = n − 1.

En caso de que se desee recuperar los coeficientes de la serie
trigonométrica de Fourier,
y(t) =
n
i=1
[ai cos (iωt) + bi sin (iωt)] ,
a partir de los estados estimados ˆν(t), se puede utilizar la siguiente
ecuación:
ABi = −1
(t)ˆν(t),
donde i = 1, 2, ..., n, ABi = [â1
ˆb1 ... ân
ˆbn]T y la matriz (t)
....

(t) =








(ωt) (ωt) (2ωt) (2ωt) . . . (nωt) (nωt)
−ω (ωt) ω (ωt) −2ω (2ωt) 2ω (2ωt) . . . −nω (nωt) nω (nωt)
−ω2
(ωt) −ω2
(ωt) −4ω2
(2ωt) −4ω2
(2ωt) . . . −n2
ω (nωt) −n2
ω (nωt)
.
.
.
.
.
.
ωΓ
(ωt) −ωΓ
(ωt) 2Γ
ωΓ
(2ωt) −2Γ
ωΓ
(2ωt) . . . nΓ
ωΓ
(nωt) −nΓ
ωΓ
(nωt)








cos y sin.

Ejemplo: Construir el espectrograma de una señal periodica
s(t) =



8 sin (10πt), 0 ≤ t < 100[s];
4 sin (6πt), 100 ≤ t < 300[s];
3 sin (10πt), 300 ≤ t < 400[s];
4 sin (4πt), 400 ≤ t < 600[s];
7 sin (2πt), 600 ≤ t < 700[s].
0 100 200 300 400 500 600 700
tiempo [s]
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
amplitud
s(t)
La señal s(t) fue muestreada a 100 [Hz]. Sintonización del
observador: n = 10, λ = 1, ω = π [rad/s] y ˆν(0) = 0. La solución
numérica: Runge-Kutta (ODE4) con ∆t = 0.01 [s].

|C| = [| ˆC1| + | ˆC−1|, | ˆC2| + | ˆC−2|, ..., | ˆC10| + | ˆC−10|].
Dado que ω = π [rad/s]: f = [0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 4.5, 5] [Hz].

Conclusiones
Se presentó un algoritmo para estimar una señal al mismo tiempo
que se estiman sus componentes frecuenciales.
Ventajas:
La estructura del observador que es como una cadena de
integradores. Lo que resulta ser adecuado para aplicaciones de
control e identiﬁcación de parámetros.
La incorporación de la señal a estimar en cada paso de integración.
Lo que resulta ser útil para el análisis tempo-frecuencial de señales.
Desventajas:
El tiempo de computo es mayor que el cálculo de la transformada de
Fourier de tiempo corto utilizando métodos recursivos.

¡GRACIAS!

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