Sistema de primer orden sometidos a una entrada tipo escalón

1. Tema 4. Análisis de la Respuesta Temporal
J. AZUAJE, FEBRERO 2023 (LUZ – EIM) 12/02/2023
Controles Automáticos
4. Respuesta temporal
1. Sistema de primer orden
2. Sistema de segundo orden
3. Sistema de orden superior

2. y(t)
u(t)
Sistema
FT=G(s)
Y(s)
U(s)
Tema 4. Análisis de la Respuesta Temporal
4.1 Régimen transitorio y régimen permanente
La respuesta temporal de un sistema 𝒚(𝒕) consta de dos partes: la respuesta
transitoria 𝒚𝒓𝒕(𝒕) y la respuesta en régimen permanente 𝒚𝒓𝒑(𝒕).
𝒚 𝒕 = 𝒚𝒓𝒕 𝒕 + 𝒚𝒓𝒑(𝒕)
Debido a la inercia y los
rozamientos, generalmente, la
señal de salida no puede seguir
instantáneamente los cambios de
la señal de entrada, apareciendo
un tiempo de tránsito conocido
como régimen transitorio.
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3. Tema 4. Análisis de la Respuesta Temporal
4.1 Régimen transitorio y régimen permanente
𝒚 𝒕 = 𝒚𝒓𝒕 𝒕 + 𝒚𝒓𝒑(𝒕)
La respuesta transitoria es la respuesta que
desaparece con el tiempo; mientras que, la
respuesta en régimen permanente es la que existe
indefinidamente una vez desaparecida la transitoria.
El régimen permanente, en los sistemas de control,
se considera cuando el tiempo tiende a infinito. Al
comparar la respuesta en régimen permanente con
la entrada se obtiene la precisión del sistema.
La diferencia entre la entrada 𝒖(𝒕) y la respuesta en régimen permanente
𝒚𝒓𝒑(𝒕)se denomina error en régimen permanente 𝒆𝒓𝒑 = 𝒆𝒔𝒔. Este error mide
la precisión del sistema cuando se aplica un tipo específico de entrada.
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4. Tema 4. Análisis de la Respuesta Temporal
4.1.1 Error en régimen permanente
La diferencia entre la entrada 𝒖(𝒕) y la respuesta en régimen permanente 𝒚𝒓𝒑(𝒕)se
denomina error en régimen permanente 𝒆𝒓𝒑 = 𝒆𝒔𝒔. Este error mide la precisión del
sistema cuando se aplica un tipo específico de entrada.
y(t)
u(t)
Sistema
FT=G(s)
Y(s)
U(s)
𝒚 𝒕 = 𝒚𝒓𝒕 𝒕 + 𝒚𝒓𝒑(𝒕)
𝒆 𝒕 = 𝒖 𝒕 − 𝒚 𝒕
Error en régimen permanente:
𝒆𝒓𝒑 = 𝒆𝒔𝒔 = lim
𝒕→∞
𝒆(𝒕) = lim
𝒕→∞
𝒖 𝒕 − 𝒚 𝒕
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5. Tema 4. Análisis de la Respuesta Temporal
4.2 Respuesta Temporal de Sistemas de Primer Orden
En el análisis de la respuesta temporal, se determinará la respuesta en el tiempo
(respuesta dinámica) de los sistemas cuando se aplica las señales de prueba.
La respuesta dinámica de muchos sistemas se puede representar mediante una
ecuación diferencial lineal de primer orden, con una variable de entrada 𝒖(𝒕) y una
variable de salida 𝒚(𝒕), que se modela matemáticamente con una ecuación de la
siguiente forma:
y(t)
u(t)
𝒀(𝒔)
𝑼(𝒔)
=
𝑲
𝝉 ∙ 𝒔 + 𝟏
𝝉 ∙
𝒅𝒚 𝒕
𝒅𝒕
+ 𝒚 𝒕 = 𝑲 ∙ 𝒖 𝒕
𝝉 ∙ ሶ
𝒚 𝒕 + 𝒚 𝒕 = 𝑲 ∙ 𝒖 𝒕
𝝉 ∙ 𝒔𝒀 𝒔 + 𝒀(𝒔) = 𝑲 ∙ 𝑼(𝒔)
𝑳𝒂𝒑𝒍𝒂𝒄𝒆
𝒀(𝒔)
𝑼(𝒔)
=
𝑲
𝝉 ∙ 𝒔 + 𝟏
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6. Tema 4. Análisis de la Respuesta Temporal
4.2 Respuesta Temporal de Sistemas de Primer Orden
y(t)
u(t)
𝒀(𝒔)
𝑼(𝒔)
=
𝑲
𝝉 ∙ 𝒔 + 𝟏
Siendo,
𝝉: Constante de tiempo del sistema, y
𝑲: la ganancia en estado estacionario del sistema.
Estos dos parámetros se calculan con ecuaciones en función de características físicas
del sistema.
La constante de tiempo, 𝝉, expresa un atraso dinámico, definido por la capacidad que
tiene el sistema para reaccionar ante los cambios; y la ganancia es la variación total
de salida con respecto a la de entrada una vez alcanzado el estado estacionario.
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7. Tema 4. Análisis de la Respuesta Temporal
4.2.1 Respuesta al escalón unitario en sistema de primer orden
Y(s)
𝐔(𝐬) = Τ
𝟏 𝒔
𝑲
𝝉 ∙ 𝒔 + 𝟏
?
El escalón de amplitud unidad viene definido por
la función: 𝐔(𝐬) = Τ
𝟏 𝒔 ; por tanto, a la salida del
sistema se obtendrá:
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8. Tema 4. Análisis de la Respuesta Temporal
4.2.1 Respuesta al escalón unitario en sistema de primer orden
Y(s)
𝐔(𝐬) = Τ
𝟏 𝒔
𝑲
𝝉 ∙ 𝒔 + 𝟏
?
El escalón de amplitud unidad viene definido por la función: 𝐔(𝐬) = Τ
𝟏 𝒔 ; por tanto, a la
salida del sistema se obtendrá:
𝒀 𝒔 = 𝑼 𝒔 ∙
𝑲
𝝉 ∙ 𝒔 + 𝟏
=
𝟏
𝒔
∙
𝑲
𝝉 ∙ 𝒔 + 𝟏
=
𝑲
𝒔 ∙ 𝝉 ∙ 𝒔 + 𝟏
Descomponiendo 𝒀 𝒔 en fracciones simples:
𝒀 𝒔 =
𝒂𝟏
𝒔
+
𝒂𝟐
𝝉 ∙ 𝒔 + 𝟏
Calculando los valores de las constantes 𝒂𝟏 y 𝒂𝟐, como sigue:
𝒂𝟏 = 𝒔 ∙
𝑲
𝒔 ∙ 𝝉 ∙ 𝒔 + 𝟏 𝒔=𝟎
=
𝑲
𝝉 ∙ 𝒔 + 𝟏 𝒔=𝟎
= 𝑲
𝒂𝟐 = 𝝉 ∙ 𝒔 + 𝟏 ∙
𝑲
𝒔 ∙ 𝝉 ∙ 𝒔 + 𝟏 𝒔= Τ
−𝟏 𝝉
=
𝑲
𝒔 𝒔= Τ
−𝟏 𝝉
= −𝑲 ∙ 𝝉
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9. Tema 4. Análisis de la Respuesta Temporal
4.2.1 Respuesta al escalón unitario en sistema de primer orden
Por tanto:
𝒀 𝒔 =
𝒂𝟏
𝒔
+
𝒂𝟐
𝝉 ∙ 𝒔 + 𝟏
=
𝑲
𝒔
−
𝑲 ∙ 𝝉
𝝉 ∙ 𝒔 + 𝟏
=
𝑲
𝒔
−
𝑲
𝒔 + Τ
𝟏 𝝉
(4.1)
Para obtener la respuesta temporal, se aplica la Transformada Inversa de Laplace a la
ecuación (4.1), siendo:
𝒚 𝒕 = ℒ−𝟏 𝒀(𝒔) = 𝑲 ∙ ℒ−𝟏
𝟏
𝒔
− 𝑲 ∙ ℒ−𝟏
𝟏
𝒔 + Τ
𝟏 𝝉
A partir de la Tabla 1.1, en la fila 2 y 6, se considera la Transformada Inversa de
Laplace según el término que corresponda, lo que resulta en:
𝒚 𝒕 = 𝑲 ∙ (𝟏 − 𝒆− Τ
𝒕 𝝉) (4.2)
• Aplicando el teorema del valor inicial se calcula la salida del sistema en el instante
inicial 𝒕 = 𝟎 .
• Y con el teorema del valor final se obtiene la salida alcanzada en régimen
permanente 𝒕 = ∞ .
𝐕𝐚𝐥𝐨𝐫 𝐢𝐧𝐢𝐜𝐢𝐚𝐥: 𝒕 = 𝟎 → 𝒚 𝒕 = 𝟎
𝐕𝐚𝐥𝐨𝐫 𝐟𝐢𝐧𝐚𝐥: 𝒕 = ∞ → 𝒚 𝒕 = 𝑲
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11. Tema 4. Análisis de la Respuesta Temporal
4.2.1 Respuesta al escalón unitario en sistema de primer orden
La constante de tiempo 𝝉 es un parámetro importante y es interesante calcular a qué
valor de salida corresponde.
Para obtenerlo se iguala 𝒕 = 𝝉 (transcurrido una constante de tiempo) y se sustituye en
la ecuación 4.2:
𝒚 𝒕 = 𝑲 ∙ 𝟏 − 𝒆− Τ
𝝉 𝝉
= 𝑲 ∙ 𝟏 − 𝒆−𝟏
= 𝑲 ∙ 𝟏 −
𝟏
𝒆
= 𝑲 ∙ 𝟎, 𝟔𝟑𝟐
La respuesta temporal de 𝒚 𝒕 (ecuación 4.2) es una exponencial hasta alcanzar el
valor final 𝑲. Transcurrido una constante de tiempo la respuesta ha alcanzado el
𝟔𝟑, 𝟐% de su variación total, como muestra la Figura 3.2.
𝒚 𝒕 = 𝝉 = 𝑲 ∙ 𝟎, 𝟔𝟑𝟐
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12. Tema 4. Análisis de la Respuesta Temporal
4.2.1 Respuesta al escalón unitario en sistema de primer orden
¿Cuál es la pendiente de respuesta en el origen?
La pendiente de respuesta en el origen se obtiene derivando la ecuación (4.2) y
evaluando para 𝒕 = 𝟎, como sigue:
𝒚 𝒕 = 𝑲 ∙ (𝟏 − 𝒆− Τ
𝒕 𝝉
) (4.2)
ቤ
𝒅𝒚(𝒕)
𝒅𝒕 𝒕=𝟎
= ቤ
𝑲
𝝉
∙ 𝒆− Τ
𝒕 𝝉
𝒕=𝟎
=
𝑲
𝝉
La ganancia 𝑲 del sistema es una constante por la que multiplica el sistema a la
entrada 𝒖(𝒕) alcanzado el valor máximo.
• Por ejemplo, un sistema con ganancia 𝑲 = 𝟏, ante una entrada escalón unitario
(amplitud es uno), la salida 𝒚(𝒕) alcanzaría el valor 1, es decir 𝟏 × 𝟏 .
• Por ejemplo, un sistema con ganancia 𝑲 = 𝟐, ante una entrada escalón unitario
(amplitud es uno), la salida 𝒚(𝒕) alcanzaría el valor 2, es decir 𝟐 × 𝟏 , el doble que
el valor de entrada; de ahí el nombre de ganancia 2.
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13. Tema 4. Análisis de la Respuesta Temporal
4.2.1.1 Error en régimen permanente en sistema de primer orden
El error en régimen permanente del sistema se define como la diferencia de la señal de
entrada menos la señal de salida cuando 𝒕 → ∞.
𝒚 𝒕 = 𝑲 ∙ 𝟏 − 𝒆− Τ
𝒕 𝝉
Donde K=1
(4.2)
𝒆 𝒕 = 𝒖 𝒕 − 𝒚 𝒕 = 𝟏 − 𝟏 − 𝒆− Τ
𝒕 𝝉
𝒆 𝒕 = 𝒖 𝒕 − 𝒚 𝒕
Error en régimen permanente:
𝒆𝒓𝒑 = 𝒆𝒔𝒔 = lim
𝒕→∞
𝒆(𝒕) = lim
𝒕→∞
𝒖 𝒕 − 𝒚 𝒕
y(t)
u(t)=1(t)
𝒀(𝒔)
𝑼(𝒔)
=
𝑲
𝝉 ∙ 𝒔 + 𝟏
→ 𝒆 𝒕 = 𝟏 − 𝟏 + 𝒆− Τ
𝒕 𝝉 = 𝒆− Τ
𝒕 𝝉
→ 𝒆𝒓𝒑= 𝒆𝒔𝒔 = lim
𝒕→∞
𝒆(𝒕) = lim
𝒕→∞
𝒆− Τ
𝒕 𝝉 → 𝒆 ∞ = 𝒆− Τ
∞ 𝝉
≈ 𝒆−∞
=
𝟏
𝒆∞ ≈ 𝟎
Para una entrada escalón
unitario el valor de 𝑲 será la
amplitud de escalón 1, es decir,
𝑲 = 𝟏
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