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BÁSICA FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA CORRECCIÓN DE LAPRUEBAN°1 2016 A GR11 2016-06-30 1. Sea 𝑓( 𝑥) = √| 𝑥 + 3| − 5 . El dominio de la función es: a) [2,8] b) ]−∞,−8] ∪ [2, +∞[ c) ]−∞,−8] ∪ [−2, +∞[ d) ]−∞,−2] ∪ [−8, +∞[ 𝐽𝑢𝑠𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛.- | 𝑥 + 3| − 5 ≥ 0 | 𝑥 + 3| ≥ 5 𝑥 + 3 ≥ 5 ∪ 𝑥 + 3 ≤ −5 𝑥 ≥ 2 ∪ 𝑥 ≤ −8 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝑏) ]−∞,−8] ∪ [2,+∞[ 2. Sea 𝑓( 𝑥) = √𝑥2 − 4𝑥 − 5. El dominio de la función es: a) ]−∞,−1] ∪ [5, +∞[ b) ]−∞,1] ∪ ]5, +∞] c) [−1,5] d) ]−1,5] 𝐽𝑢𝑠𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝑥2 − 4𝑥 − 5 ≥ 0 ( 𝑥 − 2)2 − 9 ≥ 0 √ ( 𝑥 − 2)2 ≥ √9 | 𝑥 − 2| ≥ 3 𝑥 − 2 ≥ 3 ∪ 𝑥 − 2 ≤ −3 𝑥 ≥ 5 ∪ 𝑥 ≤ −1 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝑎) ]−∞,−1] ∪ [5, +∞[
2.
3. Sea 𝑓(
𝑥) = 𝑥+5 𝑥−3 , 𝑥 < −5. El recorrido de la función es: a) ]−∞,1] b) ]−∞,0[ c) ]0,1[ d) [0,1[ 𝐽𝑢𝑠𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝐷𝑓: 𝑥 < −5 x + 5 x –3 𝑥 − 3 < −8 < 0 -x +3 1 −8 8 < 8 𝑥−3 < 0 + 8 −1 < 8 𝑥−3 < 0 0 < 1 + 8 𝑥+3 < 1 𝑦 = 1 + 8 𝑥−3 0 < 𝑦 < 1 𝑅𝑓: 𝑦 ∈ ]0,1[ 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝑐) ]0,1[ 4. Sea la 𝑓( 𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 10, 𝑥 < 2. El recorrido de la función es: a) [2,+∞[ b) ]−∞,2] c) ]−∞,2[ d) ]2,+∞ [ 𝐽𝑢𝑠𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝐷𝑓: 𝑥 < 2 𝑦 = 𝑥2 − 6𝑥 + 10 𝑥 − 3 < −1 𝑦 = ( 𝑥 − 3)2 + 1 ( 𝑥 − 3)2 > 1 ( 𝑥 − 3)2 + 1 > 2 𝑦 > 2 𝑅𝑓: 𝑦 ∈ ]2, +∞[ 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝑑) ]2,+∞[
3.
5. Sea 𝑓:
]−5,2] → 𝐵 𝑥 → 𝑓( 𝑥) = 4 − 7𝑥 Determinar el conjunto B para que la función sea sobreyectiva. a) [10,39[ b) [−10, 39] c) [−10, 39[ d) [14,39[ 𝐽𝑢𝑠𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛: 𝐷𝑓: − 5 < 𝑥 ≤ 2 −35 < 7𝑥 ≤ 14 35 > −7𝑥 ≥ −14 39 < 4 − 7𝑥 ≥ −10 −10 ≤ 𝑦 < 39 𝑅𝑓: 𝑦 ∈ [−10,39[ 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑠𝑒𝑎 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝐵 = 𝑅𝑓 𝑓: ]−5,2] → [−10, 39[ 𝑥 → 𝑓( 𝑥) = 4 − 7𝑥 𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎: 𝑐) [−10,39[ Ejercicios.- 1. Determinar los conjuntos A y B para que la función f sea biyectiva. 𝑓: 𝐴 → 𝐵 𝑥 → 𝑓( 𝑥) = √ 2−𝑥 𝑥+3 𝑦 = √ 5 𝑥+3 − 1 2 − 𝑥 𝑥 + 3 ≥ 0 ∧ 𝑥 + 3 ≠ 0 𝑥 ≠ −3 [ −3, 2] 𝐷𝑓: 𝑥 ∈ ]−3,2] 𝑦 = √ 5 𝑥+3 − 1 𝐴 = 𝐷𝑓 𝑓( 𝑥1) = 𝑓( 𝑥2) 𝐴 = ]−3,2] √ 5 𝑥1+3 − 1 = √ 5 𝑥2+3 − 1 5 𝑥1+3 − 1 = 5 𝑥2+3 − 1 𝑥1 + 3 = 𝑥2 + 3 𝑥1 = 𝑥2 ∴ 𝑓( 𝑥) 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 (2 − 𝑥) + ( 𝑥 + 3 ) + 2 − 𝑥 𝑥 + 3 - + + + - - + -∞ - 3 2 + ∞
4.
𝐷𝑓: − 3
< 𝑥 ≤ 2 0 < 𝑥 + 3 ≤ 5 1 5 ≤ 1 𝑥 + 3 1 ≤ 5 𝑥 + 3 0 ≤ 5 𝑥 + 3 − 1 𝑦 ≥ 0 𝑅𝑓 ∶ [0,+ ∞ [ 𝑅𝑓 = 𝐵 𝐵 = [0,+ ∞ [ ∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 ∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑏𝑖𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 2. Sea 𝑓: ℝ → ℝ 𝑥 → 𝑓( 𝑥) = { 4 − 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 2𝑥 + 6 𝑠𝑖 𝑥 > 0 a) Determinar si f es inyectiva 𝑓( 𝑥)1 = 4 − 𝑥2 𝑓(𝑥)2 = 2𝑥 + 6 𝑥 ≤ 0 𝑥 > 0 𝑓( 𝑥1) = 𝑓( 𝑥2) 𝑓( 𝑥1) = 𝑓( 𝑥2) 4 − 𝑥1 2 = 4 − 𝑥2 2 2𝑥1 + 6 = 2𝑥2 + 6 √ 𝑥1 = √ 𝑥2 2𝑥1 = 2𝑥2 | 𝑥1| = | 𝑥2| 𝑥1 = 𝑥2 ( − ) ( − ) −𝑥1 = − 𝑥2 ∴ 𝑓(𝑥)2 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑥1 = 𝑥2 ∴ 𝑓(𝑥)1 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎
5.
𝐷𝑓( 𝑥)1: 𝑥
≤ 0 𝐷𝑓( 𝑥)2: 𝑥 > 0 𝑥2 ≥ 0 2𝑥 > 0 −𝑥2 ≤ 0 2𝑥 + 6 > 6 4 − 𝑥2 ≤ 4 𝑦 > 6 𝑦 ≤ 4 𝑅𝑓: 𝑦 ∈ ]6,+∞[ 𝑅𝑓: 𝑦 ∈ ]−∞,4] 𝑅 𝑇𝑂𝑇𝐴𝐿: ]−∞,4] ∪ ]6,+∞[ 𝑅𝐼𝑁𝑌𝐸𝐶𝑇𝐼𝑉𝑂 : ]−∞,4] ∩ ]6,+∞[ 𝑅𝐼𝑁𝑌𝐸𝐶𝑇𝐼𝑉𝑂 = ∅ ∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 b) Redefinir la función para que f sea sobreyectiva 𝑓: ℝ → ]−∞,4] ∪ ]6,+∞[ 𝑥 → 𝑓( 𝑥) = { 4 − 𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 2𝑥 + 6 𝑠𝑖 𝑥 > 0 ∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 ∴ 𝑓 𝑒𝑠 𝑏𝑖𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎.
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