ejercicios propuestos de matematicas avanzandas

1. PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ
FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES
MATEMÁTICA PARA CIENCIA DE DATOS
Lista de ejercicios N°4
Profesor: Jorge R. Chávez (jrchavez@pucp.edu.pe)
Jefe de prácticas: Mauricio E. Vallejos (mauricio.vallejos@pucp.edu.pe)
1. Hallar los rangos de las siguientes matrices:
A =


−1 0 2 1
−2 0 4 2
−3 0 6 3

 , B =


1 0 2 1
0 2 4 2
0 2 2 1

 , C =


−1 0 2 1
−2 2 4 2
−3 1 6 3


D =
3 6
24 48
, E =
2 6 8
4 0 2
, F =


2 4
8 10
14 16


G =
1 0 2 1
0 2 4 2
, H =


−1 0 2 1
−2 2 4 2
−3 0 6 3

 , I =




1 −2 −1
2 1 1
−1 1 −1
−2 −5 −2




2. Utilizando el rango de la matriz de coeficientes y el rango de la matriz ampliada, determine si los
siguientes sistemas de ecuaciones lineales tienen solución:
(a)
−2x1 − 3x2 + x3 = 3
4x1 + 6x2 − 2x3 = 1
(b)
x1 + x2 − x3 + x4 = 2
2x1 − x2 + x3 − 3x4 = 1
(c)
x1 − x2 + 2x3 + x4 = 1
2x1 + x2 − x3 + 3x4 = 3
x1 + 5x2 − 8x3 + x4 = 1
4x1 + 5x2 − 7x3 + 7x4 = 7
(d)
x1 + x2 + 2x3 + x4 = 5
2x1 + 3x2 − x3 − 2x4 = 2
4x1 + 5x2 + 3x3 = 7
1

2. (e)
x1 − x2 + x3 = 0
x1 + 2x2 − x3 = 0
2x1 + x2 + 3x3 = 0
(f)
x1 + x2 + x3 + x4 = 0
x1 + 3x2 + 2x3 + 4x4 = 0
2x1 + x2 − x4 = 0
4. Halle los valores y vectores propios de las matrices siguientes:
A =
1 2
3 0
, B =
0 1
−1 0
, C =
2 −7
3 −8
D =
2 4
−2 6
, E =
1 4
6 −1
, F =


1 −1 0
−1 2 −1
0 −1 1


G =


0 0 6
1/2 0 0
0 1/3 0

 , H =


5 −6 −6
−1 4 2
3 −6 −4

 , I =


2 0 0
0 3 0
0 0 4


5. Comprobar si las siguientes matrices son diagonalizables:
A =
1 2
3 0
, B =


5 −6 −6
−1 4 2
3 −6 −4

 , C =


2 1 −1
0 1 1
2 0 −2


D =


1 −1 0
−1 2 −1
0 −1 1

 , E =
2 1
0 −1
, F =


6 −14 0
0 −3 −6
0 −3 0


G =


1 3 0
3 −2 −1
0 −1 1


6. Hallar las pendientes de las rectas que pasan por los puntos siguientes:
(a)
(2, 3) y (5, 8)
(b)
(−1, −3) y (2, −5)
(c)
(1/2, 3/2) y (1/3, −1/5)
2

3. 7. Hallar las ecuaciones y representar gráficamente las siguientes rectas:
(a) L1 que pasa por (1, 3) y tiene pendiente 2.
(b) L2 que pasa por ( -2, 2) y (3, 3).
(c) L3 que pasa por el origen y tiene pendiente - 1/2.
8. Dibujar las gráficas de las ecuaciones siguientes:
(a)
3x + 4y = 12
(b)
x
10
−
y
5
= 1
(c)
x = 3
9. Hallar las pendientes de las cuatro rectas L1 a L4 de la figura, y dar sus ecuaciones. (L3 es horizontal).
10. Una recta L pasa por (1, 1) y tiene pendiente 3. Otra recta M pasa por (-1, 2) y (3, -1). Hallar las
ecuaciones de L y M, ası́ como su punto de intersección P. Hallar la ecuación de la recta N que pasa por
(-1, -1) y es paralela a M. Representar gráficamente.
11. El coste total y de producir x unidades de un cierto bien es una función lineal. En una ocasión, se
hicieron 100 unidades con un coste total de S/.200, y en otra se hicieron 150 unidades por S/. 275. Hallar
la ecuación lineal para el coste total en términos del número x de unidades producidas.
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