Guía de aprendizaje sobre expresiones algebraicas

1. INSTITUCIÓN EDUCATIVA JOSÉ ANTONIO GALÁN
MATEMATICAS GRADO: OCTAVO
TEMA: INTROCCION AL ALGEBRA.
DOCENTES J.M.: JEISSON HERNANDEZ, SANDRA LUCIA PABON
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
una expresión algebraica es una forma simbólica que emplea constantes, variables,
operaciones matemáticas y signos de agrupación: paréntesis, corchetes o llaves.
Cuando se habla de la parte “literal” de una expresión algebraica se hace referencia a las
variables.
Ejemplo
Recordemos algunas expresiones geométricas sobre áreas y volúmenes:
En las expresiones de áreas y volúmenes dadas anteriormente, el símbolo 𝜋 es constante y
representa solo un número que se encuentra entre los números enteros 3 y 4, mientras que
las demás letras indican variables, o sea valores que dependen de las dimensiones de cada
figura.
Ejemplo
En la expresión 8x + 6y, ¿cuáles son las variables y cuales las constantes?
Solución
8, 6, son las constantes. X, y, son las variables
Ejemplos
4y, 3ª, b3
, √2𝑥2
𝑦 ,
1
2
x2
y + z, 8+6, 3x – 5y , 8(x – 3y), 3{𝑥 − 3𝑦[𝑥 + 4(𝑥 + 3)]}
Del lenguaje diario al algebraico
Muchas expresiones del lenguaje cotidiano pueden presentarse mediante constantes y
variables

2. Ejemplos
el triple de la suma de a y c: 3(a+c)
el producto de a por el cuadrado de b: ab2
la suma de los cuadrados de a, b y c: a2
+ b2
+ c2
el cuadrado de la suma de a, b y c: (a + b + c)2
la raíz cuadrada de la diferencia entre a y b: √ 𝑎 + 𝑏 o √𝑏 − 𝑎
evaluación de una expresión algebraica
evaluar una expresión algebraica significa asignarle un valor a sus variables y realizar las
operaciones indicadas
ejemplo
evaluemos la expresión 5t + 6n si t = 3 y n = 8
solución
primero remplazamos a t por 3 y a n por 8, e insertamos el símbolo de la multiplicación. Luego
simplificamos el resultado:
5 x 3 + 6 x 8 15 + 48 =63
1. Identifica en las siguientes expresiones las variables y las constantes. Encierra las
primeras y subraya las segundas.
 9m2
n + 18mn
 n = 8000 – 40p
 5𝑥4
+
1
3
𝑧4
+
𝑦
3

𝑟2
2
(2√3 − 𝑝)
2. Escribe 5 expresiones con los siguientes datos:
Variables: x, y, z. _________, __________, __________, ___________, ___________
Constantes: -3, 8, π. _________, __________, ___________, _________, __________
3. Si x y 𝛾 representas números reales, simboliza las siguientes expresiones verbales:
 La suma de los números.
 El producto delos números.
 La diferencia de los números.

3.  El cubo de la diferencia
 La diferencia de los cubos
 La suma de los cuadros de los números.
 El cociente de los números.
 El cuadro de la suma de los números.
 La raíz cuadrada de la suma de los cuadros.
 El doble producto de los números.
4. Si n representa cualquier numero entero, simboliza algebraicamente las siguientes
expresiones verbales:
 El numero anterior a n.
 El triple de n.
 El siguiente de n.
 El numero al cual excede n en 3.
 Los
3
5
de n.
 El número que excede a n en 18.
 El cuadrado del numero n, disminuido en 2.
 2l número de n disminuido en 2.
 La mitad del triple del número.
 El cubo del número n disminuido en 2.
5. Si n representa cualquier numero entero, expresa verbalmente el significado de las
siguientes simbolizaciones algebraicas:
 n + 3
 3(n – 1)
 n – 3
 n2
 (n – 1)2
 n2
– 1
6. evalúa cada una de las siguientes expresiones algebraicas considerando que x = 1, y
𝛾 = 2, 𝛼 = −1, b= 0 𝑦 𝑐 = −2.
 (x – y)2
:__________
 (a + b + c) (a – b + c): ____________
 a2
+ b2
+ c2
– xy : _____________
7. escribe 10 valores posibles de a y b, para los cuales el valor numérico de la expresión
algebraica a2
+ b2
sea 10. (ten en cuenta que las raíces también pueden ser soluciones).

4. 8. Escribe una expresión algebraica tal que cuando las partes literales sean remplazados
por -1 , 2 y 3 respectivamente, tenga como valor numérico 10.
9. X y y son números reales y x > 𝑦. Representa la relación que se establece en cada caso:
 El doble del mayor es igual al triple del menor
 El mayor excede al menor en 5:
 El menor es igual al mayor disminuido en 12:
 La suma de los números es 24:
 El mayor es igual al cuadrado del menor disminuido en 1:
10. Cada expresión algebraica está formada por términos. Observa y luego completa las
tablas:
5x4
+ 2x3
+
5
6
( 𝑥2
+ 𝑦2) − 3𝑥2
Primer + segundo + tercer término - cuarto termino
Termino termino
Los primeros encerrados son los coeficientes de cada termino. Cada termino está
separado del otro por un + un -.
Expresiones
algebricas
Numero de
terminos
Variable(s) constantes operaciones Signos de
agrupacion
5x4
+ 6x + 1 3 x -1, 6, 5. Suma y multiplicación ninguno
3(a2
b+1) 1
16x2
+(18x-9)
a - 1
9m2
n +18mn2
X3
+ (y + z )3
19a3
– 3 + b
a2
+2( ab + b)2
(a + b)+(x + y)

5. Constandeunsolotermino Expresiones algebraicas Numero de factores Coeficientes numéricos
(-3)x2
y
a2
b2
(4 + y) 4y
1
3
(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏)
1
2
(𝑥 − 𝑎)(𝑥 + 𝑎)
1
8
(𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏)(𝑥 + 𝑐)
3ab(2ab + 7)
Polinomios
Un polinomio es una expresión algebraica que consta de más de un término.
Además, los polinomios en la variable x son expresiones algebraicas de la forma:
P(x) = an xn + an-1 xn-1 + an-2 xn-2 + … + a1 x + a0
en el cual “n’’ es un entero no negativo y an , an-1 , an-2 , an-3, …, a1, a0 son números
reales.
Consideraciones importantes
 el mayor grado de los términos del polinomio se denomina grado absoluto del
polinomio.
 El grado del polinomio 5x4
+ 3x2
– 2x + 6 es 4 porque el termino de grado
mayor es 5x4
.
 El grado del polinomio a5
b3
-2 a5
b2
+ 5ab es 8 por que el termino de grado
mayor es a5
b3
cuyo grado es 8.
 el grado de un polinomio en relación con una letra es el mayor exponente en
relación con esa letra en el polinomio y se denomina grado relativo de un
polinomio.
 el polinomio a5
b3
– 2a2
b2
+ 5a es de quinto grado relativo con respecto a la
variable a y de tercer grado con respecto a b.
 un polinomio esta ordenado con relación a una letra cuando la escritura de los
términos esta ordenada por sus potencias en forma ascendente o descendente.
 El polinomio 3 + 2x + 5x2
+ 7x3
esta ordenado en forma ascendente por la
potencia x.
 El polinomio 7x3
+ 5x2
+2x + 3 esta ordenado en forma descendente.

6.  un polinomio de dos o más variables puede ordenarse con respecto a una de ellas.
 el polinomio 2 – 3xy – 5x2
y3
+ 8x4
y2
esta ordenado ascendentemente con
respecto a x
 el polinomio anterior se ordena ascendentemente con respecto a y asi:
2 – 3xy -8x4
y2
+ 5x2
y3
.
1. Indica el grado absoluto de los siguientes polinomios:
 -5x2
+ 3x4
 3ª2
– 5a3
+ 8a
 2y2
– 3y + 1
 16x4
y2
+ 5x2
y3
 2x4
y2
– 3x2
y4
 5x3
y – x5
+ xy6
2. Indica el grado de los polinomios siguientes, respecto a cada uno de los factores
literales:
 6x4
+ 4x – 3x2
+ 1
 5x2
+ 3x + y
 3x6
y4
– 5 x2
y3
 -2a3
x – 3ax2
– 5x + a
3. Completa los exponentes del polinomio
1
5
𝑥?
𝑦?
− 𝑥 + 𝑥?
𝑦?
, de tal forma que sea un
polinomio de octavo grado.
4. Escribe un polinomio de variables x, y, de tal manera que el grado de x con respecto al
grado de y sean:
 Iguales.
 Grado de x > al grado de y
 Grado de y > al grado de x
5. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla:
Polinomios desordenados Ordenados ascendentemente
Respecto a una variable
Ordenados descendentemente
Respecto a la variable
14x – 5 + 3x2
-6x4
A2
+ a3
+ 1 -5a6
+ 7a4
-1 + 2y4
- y3
+ y + y2
2x6
- x + 5x5
- 3x2
+ 3x4
+ x3
6m3
+ 4m - 3m2
+ 1
Y6
+5x3
y5
-3x4
y2
+2x5
y-x2
y3
-xy4
+1

7. Adición de polinomios
Para sumar dos o más polinomios una buena técnica consiste en colocar los polinomios uno
debajo del otro, de tal forma que los términos semejantes, los que tienen exactamente la misma
parte literal, queden en la misma columna. Luego, se reducen los términos semejantes
separándolos con sus correspondientes signos. Para agilizar los cálculos, se ordenan
previamente los polinomios. Cuando hay varios signos literales, es un buen criterio el orden
alfabético, para escribir las expresiones y cuando existe un mismo símbolo literal con diferentes
exponentes, este puede ser ordenado ya sea ascendente o descendentemente.
Ejemplo
Sumar los polinomios: -6x3
– 8x – 9x2
– 6; 3 + 9x + 16x2
– 3x3
; 6x2
- 7x + 1; x3
– 2.
Solución
Se ordenan los polinomios respecto a x en orden descendente y se escriben verticalmente. Los
términos semejantes deben quedar en la misma columna. Luego se reducen:
-6x3
+ 9x3
– 8x – 6
-3x3
+ 16x2
+ 9x + 3
6x2
– 7x + 1
. - 2
----------------------------------------
-8x3
+ 31x2
– 6x - 4
Ejemplo
Escribamos la suma de las áreas y los perímetros de los rectángulos como un polinimio en la
forma más simple.
5x x
y
4x
Con base en la gráfica podemos determinar la expresión algebraica para los lados de cada
rectángulo:
5x 5x x x
y y 4x 4x y y 4x 4x
5x 5x x
X

8. Áreas: 5xy (4x)(5x) : 20x2
xy (4x)(x):4x2
Área total: 5xy + 20x2
+ xy + 4x2
: 6xy + 24x2
Perímetros:
5x + 5x + y + y 5x + 5x + 4x + 4x x + x + y + y x + x + 4x + 4x
10x + 2y 18x 2x + 2y 10x
Perímetro total: (10x + 2y) + 18x + (2x + 2y) + 10x : 40x + 4y
1. Escribe la suma de las áreas y los perímetros de los rectángulos como un polinomio de la
forma más simple.
 5x 3
5
2
 m n
n
3x
 8u 5
h

9. 2. Resuelve los siguientes ejercicios:
 Sumar -2x + 4y con 6x + 9y.
 Sumar x – 1 con 3x – 3.
 -3x2 + 8x2 – 6x + 1 con 19x2 4x3 – 9x + 16
 4m2n + 6mn2 + m3 con n3 + 15m2n – 20mn2
 Sumar a2 – 2ab + 6b2 con –a2 + 2ab – 6b2
3. Efectúa la suma de los siguientes polinomios:
 a3 – 6a2 + 8a – 9; 7a2 + 9a3 + 16a -24 ; 3 – a3 ; 16 + a2 - a
 10x4 – 3x3 - 2x2; 4x4 – 10x3 – 9x; 64x4 - 11x + 25 ; -20x4 +24x + 133
 49m2n + 16mn2; n3 + 14m2n – 5mn2 + 24x – 32; 11x2 + 5x + 3
 0,1a – 2b + 0,8 c; -3a + 1,5b - 1,3c; a – b + 0,2c; -c + a + b.

1
2
𝑎 − 𝑏; 3𝑎 −
1
2
;
1
3
𝑏 − 𝑎
4. Completa los términos que faltan en la suma de los polinomios.
 -4a3 + 7a2b – 12ab2 + 13b3
+ ? + ? + ? + ?
-5ª3 + 23a2b – 21ab2 + 23b3
 ? + ? + ? + ?
3a3 + 2ª2b – 6ab2 + 5b3
-2a3 + 25ª2b – 27ab2 + 28b3
 ? – 2b + ?
? – 18b + ?
? + 23b + ?
9ª + ? + 21c

10. Recursos:
 https://www.youtube.com/watch?v=bTfqiCA5K90
 https://www.youtube.com/watch?v=_NS3U2nwk0g
 https://www.youtube.com/watch?v=F7gefSEtK2U
 https://www.youtube.com/watch?v=992YbPARsMM
 https://www.youtube.com/watch?v=0S75cyRa3EY&list=PL9SnRnlzoyX1sF5fX83CleyK_SATfbhia&index=97
 https://www.youtube.com/watch?v=q0S0wOgsaDY&list=PL9SnRnlzoyX1sF5fX83CleyK_SATfbhia&index=98
 https://www.youtube.com/watch?v=iv-g46mJfxk&list=PL9SnRnlzoyX1sF5fX83CleyK_SATfbhia&index=99
 https://www.youtube.com/watch?v=Gy_Jfvd3kqk&list=PL9SnRnlzoyX1sF5fX83CleyK_SATfbhia&index=100
 https://www.youtube.com/watch?v=ncrT59WH50Q&list=PL9SnRnlzoyX1sF5fX83CleyK_SATfbhia&index=101
 https://www.youtube.com/watch?v=5kBrlUSisAg&list=PL9SnRnlzoyX1sF5fX83CleyK_SATfbhia&index=104
 https://www.youtube.com/watch?v=V7wERi1bygo