Guia 2. TEOREMA DE PITAGORAS

TRABAJO VIRTUAL 2 PERIODO GRADO: 10
Ing. CLAUDIA PATRICIA RODRÍGUEZ PABÓN Y LIC. FREDY RODRÍGUEZ AÑO: 2020
INSTITUCIÓN EDUCATIVA JOSÉ ANTONIO GALAN
DERECHO BÁSICO DE APRENDIZAJE: Comprende y utiliza las razones
trigonométricas para modelar simulaciones reales y justifica las soluciones.
TEOREMA DE PITÁGORAS
El Teorema de Pitágoras lleva este nombre porque su descubrimiento
recae sobre la escuela pitagórica.
Anteriormente, en Mesopotamia y el Antiguo Egipto se conocían ternas de
valores que se correspondían con los lados de un triángulo rectángulo, y
se utilizaban para resolver problemas referentes a los citados triángulos,
tal como se indica en algunas tablillas y papiros, pero no ha perdurado
ningún documento que exponga teóricamente su relación.
Este solo aplica para triángulos rectángulos (Tiene un ángulo de 90°),
establece que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los
cuadrados de los catetos:
La hipotenusa siempre es el lado más largo del triángulo (Opuesto al ángulo
recto), los catetos siempre son los lados que forman el ángulo recto.

NOTA: Tener en cuenta que cuando se debe hallar la hipotenusa, dado los
catetos, se debe SUMAR. Y cuando se debe hallar un cateto, dados la
hipotenusa y otro cateto de sebe RESTAR.
PROBLEMAS DE APLICACIÓN:
1. Al atardecer, un árbol proyecta una sombra de 2,5 metros de
longitud. Si la distancia desde la parte más alta del árbol al extremo
más alejado de la sombra es de 4 metros, ¿cuál es la altura del
árbol?

El problema da un cateto y la hipotenusa, por lo tanto vamos a Restar,
usando está formula:
𝒂 𝟐
= 𝒉 𝟐
− 𝒃 𝟐
𝒂 = √ 𝒉 𝟐 − 𝒃 𝟐
𝒂 = √(𝟒𝒎) 𝟐 − (𝟐, 𝟓𝒎) 𝟐
𝒂 = √ 𝟏𝟔𝒎 𝟐 − 𝟔, 𝟐𝟓𝒎 𝟐
𝒂 = √ 𝟗, 𝟕𝟓𝒎 𝟐
𝒂 = 𝟑, 𝟏𝟐𝒎
2. Utiliza el teorema de Pitágoras para hallar la altura de un triángulo
isósceles cuya base mide 10 centímetros y sus lados iguales 13
centímetros.
Como es un triángulo isósceles tiene dos lados iguales, la base (10 cm) se
divide en dos partes iguales:

Ahora por teorema de Pitágoras:
𝒂 = √ 𝒉 𝟐 − 𝒃 𝟐
𝒂 = √(𝟏𝟑𝒎) 𝟐 − (𝟓𝒎) 𝟐
𝒂 = √ 𝟏𝟔𝟗𝒎 𝟐 − 𝟐𝟓𝒎 𝟐
𝒂 = √ 𝟏𝟒𝟒 𝒎 𝟐
𝒂 = 𝟏𝟐𝒎
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas
entre los tres lados de un triángulo rectángulo. Es decir, la comparación
por su cociente de sus tres lados a, b y c, estas son seis, 3 fundamentales
(𝑠𝑒𝑛 𝛼, cos 𝛼, tan 𝛼) y sus 3 inversas (𝑐𝑠𝑐 𝛼, sec 𝛼, cot 𝛼).
5 cm
13 cm

1. Halle los valores de las razones trigonométricas para el ángulo 𝜃
Lo primero que se hace, es hallar el cateto adyacente de 𝜃, haciendo uso
del teorema de Pitágoras:
𝑎 = √ℎ2 − 𝑏2
𝑎 = √(8𝑚)2 − (6𝑚)2
𝑎 = √64𝑚2 − 36𝑚2
𝑎 = √28𝑚
Ahora si hallamos las razones trigonométricas:
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑐𝑜
ℎ
=
6
8
𝑐𝑠𝑐 𝜃 =
ℎ
𝑐𝑜
=
8
6
cos 𝜃 =
𝑐𝑎
ℎ
=
√28
8
sec 𝜃 =
ℎ
𝑐𝑎
=
8
√28
𝑡𝑎𝑛 𝜃 =
𝑐𝑜
𝑐𝑎
=
6
√28
𝑐𝑜𝑡𝜃 =
𝑐𝑎
𝑐𝑜
=
√28
6

2. Hallar el valor de las cinco razones trigonométricas restantes, sabiendo que:
𝑡𝑎𝑛 𝛼 =
2
√5
Dibujamos el triángulo, teniendo en cuenta que tangente 𝜶 nos relaciona
el cateto opuesto de α con el cateto adyacente de 𝛼:
Por teorema de Pitágoras, hallamos la hipotenusa:
ℎ = √ 𝑎2 + 𝑏2
ℎ = √(2)2 + (√5)2
ℎ = √4 + 5
ℎ = √9
ℎ = 3
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
𝑐𝑜
ℎ
=
2
3
𝑐𝑠𝑐 𝜃 =
ℎ
𝑐𝑜
=
3
2
cos 𝜃 =
𝑐𝑎
ℎ
=
√5
3
sec 𝜃 =
ℎ
𝑐𝑎
=
3
√5
𝑐𝑜𝑡𝜃 =
𝑐𝑎
𝑐𝑜
=
√5
2
2
√5
𝛼

Los ángulos internos de un triángulo siempre suman 180°.
Los ángulos suelen denotarse con letras del alfabeto griego como son: Alfa
(𝛼), Beta (𝛽), teta (𝜃), entre otros
Para Recordar
3. Encontrar los ángulos del siguiente triángulo:
Debemos analizar qué datos nos están dando. No suministran el cateto
adyacente al ángulo 𝛽 y la hipotenusa. La relación trigonométrica que
relaciona estos dos lados del triángulo es cos 𝛽, por lo tanto hacemos uso
de ella:
cos 𝛽 =
𝑐𝑎
ℎ
=
9
12
Para poder despejar 𝛽 que es el ángulo se usa:
𝛽 = 𝑐𝑜𝑠−1
(
9
12
)
𝛽 = 41,41°
Este cálculo se hace usando una calculadora científica: oprimiendo las teclas
indicadas, para este ejemplo SHIFT + Cos
𝛼

Ahora como los ángulos del triangulo suman 180°, y este es un triángulo recto (Un
ángulo mido 90°), los otros dos ángulos son complementarios, es decir suman 90°
𝛼 + 𝛽 = 90°
𝛼 + 41,41° = 90°
𝛼 = 90° − 41,41°
𝛼 = 48,59°
RTA: 𝜶 = 𝟒𝟖. 𝟓𝟗° y 𝜷 = 𝟒𝟏, 𝟒𝟏°

4. Resolver el siguiente triángulo:
Resolver un triángulo, significa encontrar todos sus lados y todos sus
ángulos, primero que debemos hacer es encontrar la razón trigonométrica
que me relaciona los datos dados: me dan un ángulo y su cateto adyacente,
entonces podríamos usar:
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑐𝑎
ℎ
o 𝑡𝑎𝑛𝛼 =
𝑐𝑜
𝑐𝑎
Voy a usar 𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑐𝑎
ℎ
:
𝑐𝑜𝑠37°20´ =
20
ℎ
, de acá se despeja la h:
𝒉 =
𝟐𝟎
𝒄𝒐𝒔𝟑𝟕°𝟐𝟎´
=
𝟐𝟎
𝟎,𝟕𝟗𝟓𝟏𝟐𝟏
= 𝟐𝟓, 𝟏𝟓𝒄𝒎
El cos37°20´ se calcula en la calculadora cientifica: haciendo uso de las dos teclas que
indicadas a continuación:
𝜃

Vamos a hallar ahora, el cateto opuesto de 𝛼, para lo cual usaremos sen 𝛼 ya que nos
relaciona el cateto opuesto con la hipotenusa:
𝑠𝑒𝑛 𝛼 =
𝑐𝑜
ℎ
𝑠𝑒𝑛 37°20´ =
𝑐𝑜
25,15
, de ca despejamos co:
𝑐𝑜 = 25,15 ∗ 𝑠𝑒𝑛 37°20´
𝒄𝒐 = 𝟏𝟓, 𝟐𝟓 cm
Para terminar hallamos el otro ángulo (𝜃):
𝛼 + 𝜃 = 90°
Tecla para grados, minutos y segundos.

37°20´ + 𝜃 = 90°
Despejamos:
𝜃 = 90° − 37°20´
𝜽 = 𝟓𝟐°𝟒𝟎´
VALOR DE LAS FUNCIONES TRIGÓNOMETRICAS PARA ANGULOS
30°, 45°, 60° Y 90°
5. Hallar el valor númerico de la siguiente expresion:
cos 60° sen 30° − cos 45° tan 60°
=
1
2
∗
1
2
−
√2
2
∗ √3
=
1
4
−
√2 ∗ 3
2
=
1
4
−
√6
2
=
1 − 2√6
4

A continuación encontraras una URL, que puedes usar como fuente de
consulta para ampliar tus conocimientos:
• https://www.youtube.com/watch?v=FUMlQtJfrHo&list=PLeySRPnY35dEAIFYvOhtD2cztVu
q15qw1
• https://www.youtube.com/watch?v=W4DpA-
puWgw&list=PLeySRPnY35dEAIFYvOhtD2cztVuq15qw1&index=2
• https://www.youtube.com/watch?v=CRg5jQRj1Hg
• https://www.youtube.com/watch?v=ZRLaVT8E3Zs&t=59s
• https://www.youtube.com/watch?v=yZwSdpRbzik
• https://www.youtube.com/watch?v=Eh2SXkZR9BY
• https://www.youtube.com/watch?v=yVTQ0oJBGag
• https://www.youtube.com/watch?v=4mpKZMrFauw&list=PLeySRPnY35dEAIFYvOhtD2cztV
uq15qw1&index=5 (Uso de la calculadora científica)

TALLER 2
TEMA: TEOREMA DE PITAGORAS Y RAZONES TRIGONOMETRICAS
1. Los lados de un triángulo miden 8 cm, 9cm y 12 cm. Determina si es un
triángulo rectángulo.
2. Usar el teorema de Pitágoras para encontrar el valor de x en cada caso:
a. b. c.
d. e. f.
3. Encontrar el valor de x en la siguiente ilustración:
4. La distancia entre los edificios de la figura es 2,5 m. Si se quiere conseguir
una escalera para que apoyada en el pie de uno de los edificios, alcance una
altura de 8,3 m del otro, ¿cuál debe ser la longitud de la escalera?
2,5 m
8,3 m
x
5 cm
6 cm
4 cm
1 m 2 m
x
5 u
4 u
x
3√5 cm
9 cmx
3√3 u
x
x 2√3 u
x
2x 𝑥√5 u
4 u
8 u

5. Halle los valores exactos de las razones trigonométricas para el ángulo θ en
cada uno de los siguientes triángulos rectángulos.
a. b.
6. Hallar el valor de las cinco razones trigonométricas restantes, sabiendo que:
a.
5
15
=sen b. 6=sec c.
4
5
=tan
7. Resolver los siguientes triángulos:
A
B
C
15
4
θ
A
B C
6 8
θ

8. Hallar el valor exacto de las siguientes expresiones:
a. ( ) =+ ºtanº.secº.senºtanº.sen 4560303060
b. =− ºcscº.tanºsec 60303452
c. =+−
464
3

sentancos
d. =
+
−
−
66
6
66
6




tansec
cot
tansec
cot

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