El documento describe los conceptos básicos de cinemática de una partícula en movimiento, incluyendo posición, velocidad y aceleración en coordenadas cartesianas. Explica cómo calcular estas cantidades a partir de ecuaciones paramétricas del movimiento, y cómo aplicar estos conceptos a casos de movimiento rectilíneo y curvilíneo.

1. CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA I
Prof.: Pedro A. Flores Alvarez, M.Sc.
Ingeniero Mecánico – Pontificia Universidad Católica del Perú
paflores@pucp.pe

2. Posición en coordenadas cartesianas
• Para la partícula que se muestra en la figura, se puede describir su radio
vector posición Ԧ
𝑟(𝑡) a través de sus componentes cartesianas.
• Si cada componente está descrita en función del tiempo, entonces, al
conjunto de ecuaciones se les llamará ecuaciones paramétricas del
movimiento.
𝑥 = 𝑥(𝑡)
𝑦 = 𝑦(𝑡)
𝑧 = 𝑧(𝑡)
Ԧ
𝑟 𝑡 = (𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧 𝑡 )

3. Posición en coordenadas cartesianas
• Por ejemplo, considere una partícula que se mueve en una trayectoria
helicoidal, con las siguientes ecuaciones paramétricas:
• Hallar la posición de la partícula
para 𝑡 = 2 𝑠
𝑥 𝑡 = 0,5 cos(1,5𝑡)
𝑦 𝑡 = 0,5 sen(1,5𝑡)
𝑧 𝑡 = 0,2 𝑡

4. Velocidad en coordenadas cartesianas
• La velocidad se puede definir como el cambio del vector posición por unidad
de tiempo.
𝑣 𝑡 = lim
Δ𝑡→0
ΔԦ
𝑟
Δ𝑡
𝑣 𝑡 = lim
Δ𝑡→0
Ԧ
𝑟 𝑡 + Δ𝑡 − Ԧ
𝑟(𝑡)
Δ𝑡
𝑣 𝑡 =
𝑑
𝑑𝑡
Ԧ
𝑟 𝑡 = ሶ
Ԧ
𝑟(𝑡)

5. Velocidad en coordenadas cartesianas
• Se puede deducir rápidamente,
que el vector velocidad es
siempre tangente a la
trayectoria.
• Así, también se podrá escribir la
velocidad como:
Ԧ
𝑣 𝑡 = 𝑣 𝑡 Ƹ
𝑒𝑡

6. Velocidad en coordenadas cartesianas
• Debido a que la posición la hemos definido como:
• Entonces, encontrar la derivada con respecto al tiempo de este vector
implicará sólo derivar cada una de sus componentes:
• Y además, el módulo de la velocidad se puede calcular como:
Ԧ
𝑟 𝑡 = 𝑥 𝑡 , 𝑦 𝑡 , 𝑧 𝑡
Ԧ
𝑣 𝑡 = ሶ
𝑥 𝑡 , ሶ
𝑦 𝑡 , ሶ
𝑧 𝑡
𝑣 = ሶ
𝑥(𝑡)2 + ሶ
𝑦(𝑡)2 + ሶ
𝑧(𝑡)2

7. Aceleración en coordenadas cartesianas
• Así como se estudió el cambio de posición, se puede analizar también el
cambio en la velocidad de una partícula:
𝑎 𝑡 =
𝑑
𝑑𝑡
Ԧ
𝑣 𝑡 = ሶ
Ԧ
𝑣 𝑡 = ሷ
Ԧ
𝑟(𝑡)

8. Aceleración en coordenadas cartesianas
• Así como para la velocidad, la aceleración también se puede calcular para
coordenadas cartesianas muy fácilmente, a partir del vector posición:
• Y de la misma manera, su módulo puede ser calculado como:
Ԧ
𝑎 = ሷ
𝑥 𝑡 , ሷ
𝑦 𝑡 , ሷ
𝑧 𝑡
𝑎 = ሷ
𝑥 𝑡 2 + ሷ
𝑦 𝑡 2 + ሷ
𝑧 𝑡 2

9. Ley Horaria
• Muchas veces, es útil conocer cómo la partícula recorre cierta trayectoria. A
esta ecuación se le conoce como la ley horaria.
𝑠 = 𝑠(𝑡)
𝑑𝑠 = 𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2 + 𝑑𝑧 2
𝑑𝑠 =
𝑑𝑥
𝑑𝑡
2
+
𝑑𝑦
𝑑𝑡
2
+
𝑑𝑧
𝑑𝑡
2
𝑑𝑡
𝑠 = 𝑠0 + න
0
𝑡
𝑑𝑥
𝑑𝑡
2
+
𝑑𝑦
𝑑𝑡
2
+
𝑑𝑧
𝑑𝑡
2
𝑑𝑡

10. Ejemplo 1
• La partícula mostrada viaja por la trayectoria definida por la parábola 𝑦 = 0,5𝑥2 . Si la
componente de la velocidad horizontal 𝑣𝑥 = 5𝑡 𝑚/𝑠 , con 𝑡 en segundos, determine la
posición, velocidad y aceleración de la partícula cuando 𝑡 = 1𝑠. Asumir que para 𝑡 = 0, la
partícula se encuentra en el origen.

11. Ejemplo 2
• Las espigas 𝐴 y 𝐵 están restringidas a moverse en las ranuras elípticas por el
movimiento del eslabón ranurado. Si éste se mueve a una rapidez constante
de 10 𝑚/𝑠, determine la magnitud de la velocidad y aceleración de la espiga 𝐴
cuando 𝑥 = 1𝑚.

12. Aplicación para el movimiento rectilíneo
• En el caso particular del movimiento rectilíneo, bastará con especificar una
coordenada para conocer completamente el movimiento de una partícula:
• Aquí, hallar la ecuación paramétrica del movimiento será equivalente a hallar
la ley horaria, puesto que la trayectoria es rectilínea.

13. Aplicación para el movimiento rectilíneo
• La velocidad instantánea se puede escribir entonces como:
• Asimismo, la aceleración puede ser tomada como:
• Combinando ambas expresiones, se puede obtener una tercera:
𝑣 =
𝑑𝑠
𝑑𝑡
𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑2𝑠
𝑑𝑡2
𝑎 𝑑𝑠 = 𝑣𝑑𝑣
ሷ
𝑠𝑑𝑠 = ሶ
𝑠𝑑 ሶ
𝑠

14. Ejemplo 3