La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones además de darnos la pendiente de la tangente a una curva en un punto

1. Aplicaciones de la Derivada
La derivada tiene una gran variedad de aplicaciones
además de darnos la pendiente de la tangente a una curva
en un punto. Se puede usar la derivada para estudiar tasas
de variación, valores máximos y mínimos de una función,
concavidad y convexidad, etc
Ejemplo:
Encuentre los máximos y mínimos de la ecuación:
Por el criterio de la primera derivada. Obtenemos la
primera derivada de la función:
Encontrando las raíces para la primera derivada tenemos:
Por lo tanto tenemos algún máximo o mínimo en el punto
x=0, para determinar si es un máximo o un mínimo
tendremos que valuar la pendiente antes y después de
cero, es decir, en sus vecindades de este punto.
Evaluando en y´(-0.01) tenemos:
y´(-0.01)= -0.004
Evaluando para x después de cero tenemos:

2. y´(0.01)= 0.004
como la derivada alrededor de cero cambia de positivo
negativo a positivo por tanto tenemos un mínimo local en
(0,0).
Teorema del Valor Medio:
Si f es continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en
el intervalo abierto (a,b) existe al menos un número c tal
que:
“.
Ejemplo:
(a+h)=hf'[a+t(b-a)]+f(a)
En nuestro caso sea f(x)=ln(x) x para con a=1 y h=x2
.
Como x2
es siempre positivo, el logaritmo se puede calcular
para todo x y la función es continua para todo x. También
es derivable en todo valor real siendo la derivada:

3. Aplicando el teorema:
Pues f(1)=ln 1=0
Y como para x distinto de cero:
Dado que la penúltima fracción es igual a ln(1+x2
), queda
finalmente:
Como queríamos probar.
Teorema de Rolle:

4. Suponiendo que f es continua en el intervalo cerrado [a,b]
y derivable en el intervalo abierto (a,b). Si f(a) = f(b), existe al
menos un número c entre a y b tal que:
F’(c)= 0
Ejemplo:
f(x)=x3
+ 4x2
-7x-10
en el intervalo [-1, 2]
f'(x)=3x2
+ 8x-7
f(-1)=(-1)3
+4(-1)2
-7(-1)-10=-1+4+7-10=0
f(2)=23
+4.22
-7.2-10=8+16-14-10=0
Se cumplen por tanto las hipótesis del teorema y ha de
existir un c tal que:

5. Donde hay que despreciar la segunda solución por no
pertenecer al intervalo considerado.
Teorema de Cauchy
Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en [a, b] y
derivables en ]a, b[, tales que sus derivadas no se anulan
simultáneamente en ningún punto de ]a, b[ y g(b) es
distinto de g(a). Entonces existe, al menos, un punto c del
intervalo ]a, b[ tal que:
“
Ejemplo del Teorema de Cauchy
f(x)= sen x
g(x)= 1+ cos x
en
f'(x)= cos x

6. g'(x)= 1- sen x
Las derivadas de f(x) y g(x) se anulan simultáneamente en
x= pero dicho punto no pertenece al intervalo
abierto y como además:
Se cumplen todas las hipótesis del teorema y podemos
aplicar la relación que en el enunciado del mismo se da
para encontrar el valor de c, es decir:
Perteneciendo ambos valores al intervalo es estudio y
siendo, por tanto, válidos ambos.
Integrales

7. Integrales Indefinidas:
Se llama integral indefinida de una función f(x), al
conjunto de todas las primitivas de la función f(x), y se
simboliza
Esta expresión se lee «integral de efe de equis
diferencial de equis».
Por las propiedades de la función primitiva, si F(x) es
una primitiva de f(x),
Donde C representa una constante llamada constante
de integración.
Ejemplo:
Integrales definidas:
Se llama integral definida de la función f(x) 0 entre a y
b (a estos dos valores se les denomina límites de
integración), al área de la porción de plano limitada
por la gráfica de la función, el eje X y las rectas
paralelas x = a y x = b