Este reporte muestra un ejemplo de compensación en adelanto utilizando el lugar geométrico de las raíces para un circuito RLC

1. Febrero- Julio 2017
Autores:
Bautista Cruz Cuauhtémoc Rolando
Vásquez Sanjuan Oswaldo
Facilitator: Hernández Sánchez Cesar
Compensador
en adelanto

2. - Compensador en adelanto
2
Índice
Introducción:........................................................................................................................................3
Objetivo ................................................................................................................................................3
Análisis en escalón ..............................................................................................................................4
Obtención de la función de transferencia .....................................................................................5
Inicio de la compensación..............................................................................................................11
Simulación ..........................................................................................................................................17
Conclusión:.........................................................................................................................................25

3. - Compensador en adelanto
3
Introducción:
Al diseñar un sistema de control lineal, encontramos que el método del lugar de las raíces
resulta muy útil, debido a que indica la forma en la que deben modificarse los polos y ceros
en lazo abierto para que la respuesta cumpla las especificaciones de comportamiento del
sistema.
Este método es particularmente conveniente para obtener resultados aproximados con
mucha rapidez.
Al trabajar con sistema de control no siempre se obtiene la respuesta deseada, es por eso
que es necesario crear un compensador para mejorar esa respuesta, así que en este reporte
se realizara un compensador en adelanto utilizando el método “lugar geométrico de las
raíces”.
Objetivo
Específico:
 Obtener la función de transferencia de un circuito RLC.
 Llevar a la práctica física el sistema compensado y observar los resultados.
General:
 Realizar la compensación de un sistema para mejorar su respuesta en frecuencia.

4. - Compensador en adelanto
4
Análisis en escalón
El diseño por el método del lugar de las raíces se basa en redibujar el lugar de las raíces del
sistema añadiendo polos y ceros a la función de transferencia en lazo abierto del sistema y
hacer que el lugar de las raíces pase por los polos en lazo cerrado deseados en el plano s.
La característica del diseño del lugar de las raíces es que se basa en la hipótesis de que el
sistema en lazo cerrado tiene un par de polos dominantes. Esto significa que los efectos de
los ceros y polos adicionales no afectan mucho a las características de la respuesta.
En esencia, en el diseño realizado mediante el método del lugar de las raíces, los lugares
de las raíces del sistema se vuelven a construir mediante la utilización de un compensador,
con el fin de poder colocar un par de polos dominantes en lazo cerrado en la posición
deseada.
Procedimiento para diseñar un compensador de adelanto para el sistema de la fig.1
basadas en el método del lugar de las raíces.
Fig. N°1. Sistema de control
1. A partir de las especificaciones de comportamiento, determine la localización deseada
para los polos dominantes en lazo cerrado.
2. Por medio de una gráfica del lugar de las raíces del sistema sin compensar (sistema
original), compruebe si el ajuste de la ganancia puede o no por sí solo proporcionar
los polos en lazo cerrado adecuados. Si no, calcule la deficiencia de ángulo θ. Este
ángulo debe ser una contribución del compensador de adelanto si el nuevo lugar de
las raíces va a pasar por las localizaciones deseadas para los polos dominantes en
lazo cerrado.
3. Suponga que el compensador de adelanto Gc(s) es

5. - Compensador en adelanto
5
Donde α y T se determinan a partir de la deficiencia de ángulo. Kc se determina a partir del
requisito de la ganancia en lazo abierto.
4. Si no se especifican las constantes de error estático, determine la localización del polo y
del cero del compensador de adelanto, para que el compensador de adelanto contribuya al
ángulo θ necesario. Si no se imponen otros requisitos sobre el sistema, intente aumentar el
valor de α lo más que pueda. Un valor más grande de α generalmente, proporciona un valor
más grande de Kv, lo que es deseable. Obsérvese que
5.-Determine el valor de la Kc del compensador de adelanto a partir de la condición de
magnitud.
Una vez diseñado un compensador, debe verificarse que se han cumplido todas las
especificaciones de comportamiento. Si el sistema no cumple las especificaciones de
comportamiento, debe repetirse el procedimiento de diseño ajustando el polo y el cero del
compensador hasta cumplir con todas las especificaciones.
Obtención de la función de transferencia
Paso 1: Obtener la función de transferencia de la Fig. N° 2.
Fig. N°2. Circuito RLC
Para facilitar el análisis del circuito debemos colocarlo en el dominio de “S”, como sabemos
la impedancia de un capacitor es
1
𝑆𝐶
y de un inductor es 𝑠𝐿 y de la resistencia es 𝑅 (ver Fig
N° 3).
V i
V
o

6. - Compensador en adelanto
6
Del circuito se puede notar que:
𝑍1 =
𝑅1
𝑅1 𝐶1 𝑠+1
+ 𝐿 𝑠=
𝑅1 + 𝐿 𝑠2 𝑅1 𝐶1+ 𝐿 𝑠
𝑅1 𝐶1 𝑠+1
𝑍2 =
𝑅2∗
1
𝐶2 𝑠
𝑅2+
1
𝐶2 𝑠
=
𝑅2
𝐶2 𝑠
𝐶2 𝑠𝑅2+1
𝐶2 𝑠
=
𝑅2 𝐶2 𝑠
(𝐶2 𝑠𝑅2+1)𝐶2 𝑠
=
𝑅2
𝐶2 𝑠𝑅2+1
Por lo tanto utilizando el divisor de voltaje se obtiene:
𝑉0
𝑉 𝑖
=
𝑍2
𝑍2+ 𝑍1
=
𝑅2
𝐶2 𝑠𝑅2+1
(
𝑅2
𝐶2 𝑠𝑅2+1
)+(
𝑅1 + 𝐿
𝑠2 𝑅1 𝐶1+ 𝐿 𝑠
𝑅1 𝐶1 𝑠+1
)
=
𝑅2
𝐶2 𝑠𝑅2+1
[(𝑅1 + 𝐿
𝑠2 𝑅1 𝐶1+ 𝐿 𝑠)(𝐶2 𝑠𝑅2+1)]+[𝑅2 (𝑅1 𝐶1 𝑠+1)]
(𝑅1 𝐶1 𝑠+1)(𝐶2 𝑠𝑅2+1)
=
𝑅2 (𝑅1 𝐶1 𝑠+1)
(𝑅1 𝐶2 𝑠𝑅2+𝑅1 + 𝐿 𝑠3 𝑅1 𝐶1 𝐶2 𝑅2+ 𝐿 𝑠2 𝑅1 𝐶1+𝐿 𝑠2 𝐶2 𝑅2+𝐿 𝑠)+(𝑅2 𝑅1 𝐶1 𝑠+𝑅2 )
Función de transferencia de la fig. N° 3
Fig. N° 3

7. - Compensador en adelanto
7
Paso 2: Asignarle valores reales a cada variable. Esto nos ayudara a realizar el análisis a
través del método del lugar geométrico de las raíces para observar el comportamiento del
sistema para así realizar un compensador.
Los valores que se le darán a cada variable son:
R1= 1 Ω
R2= 1 Ω
L= 1 H
C1= 1 F
C2= 1 F
Estos valores los sustituimos en la función de transferencia.
(1𝑠 + 1)
𝑠3(1) + 𝑠2(1 + 1) + 𝑠(1 + 1 + 1) + 1 + 1
=
𝑠 + 1
𝑠3 + 2𝑠2 + 3𝑠 + 2
Función de transferencia en lazo cerrado
Dado que para nuestro análisis la función de transferencia debe estar es lazo abierto es
necesario realizar esta conversión. Por lo tanto, restamos lo que tenemos en el numerador
al denominador pasando así la función de lazo cerrado a lazo abierto.
𝑠 + 1
𝑠3 + 2𝑠2 + 3𝑠 + 2 − (𝑠 + 1)
=
𝑠 + 1
𝑠3 + 2𝑠2 + 2𝑠 + 1
Función de transferencia en lazo abierto
Paso 3: Ahora obtendremos las raíces de la función de transferencia en lazo abierto,
esto con la finalidad de observar los datos a compensar.
Con ayuda de matlab en obtendremos las raíces del denominador en lazo abierto, usando
la función “roots” que devuelve las raíces del polinomio representado como un vector
columna (ver fig. N°4).

8. - Compensador en adelanto
8
Fig. N° 4 Raíces del denominador en lazo abierto
Para observar los polos y ceros se utilizara la función rlocus.
En la siguiente imagen se observa una ξ (xi=damping) de 0.5, si le aplicamos una función
escalón a este circuito la respuesta será más oscilante por lo tanto probaremos con una ξ
mayor para estabilizar esta respuesta.
Fig. N° 5 Polos y ceros de la función en lazo abierto

9. - Compensador en adelanto
9
También se calcula 𝜔 𝑛 del polo -0.5 +0.86j
Fig. N° 6 𝜔 𝑛 en lazo abierto
Paso 4: Revisión de parámetros a compensar
Con ayuda de MATLAB encontraremos las raíces del denominador de la función de
transferencia en lazo cerrado, ayudándonos con la función roots como aparece en la fig. N°
7, esto se realiza con la finalidad de observar en donde se encuentra trabajando el sistema
antes de la compensación.
Fig. N° 7 raíces de la función en lazo cerrado
Para 𝜔 𝑛
Cosθ=
𝑐𝑎
𝜔 𝑛
Cos 60°=
0.5
𝜔 𝑛
𝜔 𝑛=
0.5
𝑐𝑜𝑠60°
= 1
ξ= -0.5

10. - Compensador en adelanto
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Fig. N° 8 Polos y ceros de la función en lazo cerrado
Nota: El cero que aparece en la fig. N°8 se elimina junto con el polo, ya que se encuentran
en el mismo punto, lo cual nos facilita el análisis posterior.
Paso 5: Se toma un polo cualquiera para la compensación.
Para llegar al resultado deseado realizaremos un compensador en adelanto ya que nuestra
ξ (xi=damping) de 0.5 nos ofrece mayor oscilación al aplicarle un escalón, en este caso
nuestra ξ será de 0.7071.

11. - Compensador en adelanto
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Si deseamos una ξ de 0.7, debemos encontrar el nuevo valor de 𝜔 𝑛 con ayuda del polo
elegido en lazo cerrado -0.5 +1.32j, suponiendo que θ= 45°
Fig. N° 9 Obtención de 𝜔 𝑛 y ca
Inicio de la compensación
Ya hemos obtenido los puntos donde se encontrara nuestro polo deseado, e iniciamos con
la compensación en adelanto.
1. Trazamos una línea recta horizontal del polo deseado a la izquierda
Fig. N° 10
Para 𝜔 𝑛 deseada
Sen45°=
1.32
𝜔 𝑛
𝜔 𝑛=
1.32
𝑠𝑒𝑛45°
= 𝟏. 𝟖𝟔
Compensar
𝜔 𝑛=1.86
Cos 45°=
𝑐𝑎
𝜔 𝑛
Ca=1.86 cos 45°
Ca=1.32

12. - Compensador en adelanto
12
2. Trazamos una línea de p (polo deseado) al origen
Fig. N° 11
3. Diseccionamos el ángulo formado entre las dos líneas trazadas anteriormente,
dándonos 67.5° en cada lado.
Fig. N° 12
4. Obtención del (cateto opuesto) del triángulo formado entre la línea de
bisección y la línea vertical del polo deseado.
Fig. N° 13
Tanθ=
𝑐𝑜
𝑐𝑎
Co=1.32 tan
22.5
Co=0.54
0.54+1.32=1.86
Angulo de bi
sección
180° − 45°
2
= 67.5°

13. - Compensador en adelanto
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5. Evaluar el polo deseado en la función de transferencia en lazo abierto.
De la figura anterior se puede notar que la coordenada de nuestro polo deseado es: -
1.32 + 1.32j
F.T. =
𝑠+1
𝑠3+2𝑠2+2𝑠+1
Al realizar la evaluación en la calculadora nos da como resultado:
F.T. =
[(−1.32+1.32𝑗)+1]
[[(−1.32+1.32𝑗)3]+[2(−1.32+1.32𝑗)2]+[2(−1.32+1.32𝑗)]+1]
= 0.06 +0.45j
Este valor en coordenada polar nos da como resultado:
0.45< 98.4°
6. Establecer la condición de fase.
Recordar que para cumplir la condición de fase es necesario que el ángulo obtenido
anteriormente llegue a los 180°. Por lo tanto nos podemos dar cuanta que nos falta 82°
Fig. N° 14 Angulo obtenido en la evaluación
del polo deseado en la función en lazo abierto.
-1.32 + 1.32j

14. - Compensador en adelanto
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7. Determinación del número de grados superior e inferior de la bisección de
acuerdo a la condición de fase
82°
2
= 41°
Fig. N° 15
8. Obtención de los catetos opuestos de los triángulos formados entre los dos
ángulos superior e inferior con respecto a la línea vertical del polo deseado
Para el triángulo 2 = T2
Fig. N° 16
Para el triángulo 1 = T1
Fig. N° 17
Tangθ=
𝑐𝑜
𝑐𝑎
Tangθ=
𝑐𝑜
1.32
Co=1.32 tang
18.5
Co= 0.44
Tangθ=
𝑐𝑜
𝑐𝑎
Tangθ=
𝑐𝑜
1.32
Co=1.32 tang
63.5
Co= 2.65

15. - Compensador en adelanto
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9. Determinación del polo y cero de la función ya compensada
Para el cero
Al valor obtenido en el triángulo 2 se le resta el valor del polo deseado y este será la
posición de cero.
1.32 − 0.44 = 0.88
Para el polo
Al valor obtenido en el triángulo 1 se le suma lo que falta para que llegue al origen y este
valor será el polo.
2.65 + 1.32 = 4
Fig. N° 18
10.Obtención de la ganancia kc a través de la condición de magnitud
𝑘 |
𝑠 + 1
𝑠3 + 2𝑠2 + 2𝑠 + 1
∗
𝑠 + 0.88
𝑠 + 4
| = 1
A esta ecuación, evaluamos la s con el polo deseado (-1.32 + 1.32j)
𝑘 |
(−1.32 + 1.32𝑗) + 1
[[(−1.32 + 1.32𝑗)3] + [2(−1.32 + 1.32𝑗)2] + [2(−1.32 + 1.32𝑗)] + 1
∗
(−1.32 + 1.32𝑗) + 0.88
(−1.32 + 1.32𝑗) + 4
| = 1

16. - Compensador en adelanto
16
𝑘|(0.06 + 0.45𝑗)(0.45 + 0.14𝑗)| = 1
𝑘|−0.2128 − 2.3 ∗ 10−3| = 1
Ahora despejamos la ganancia k
𝑘(0.21) = 1
𝑘 =
1
0.21
= 4.76
11.Función ya compensada en lazo abierto
𝐺(𝑠) ∗ 𝐺𝑐(𝑠) = 4.76 ∗
𝑠 + 0.88
𝑠 + 4
∗
𝑠 + 1
𝑠3 + 2𝑠2 + 2𝑠 + 1
𝐺(𝑠) ∗ 𝐺𝑐(𝑠) =
𝑠 + 0.88
𝑠 + 4
∗
(4.76𝑠 + 4.76)
𝑠3 + 2𝑠2 + 2𝑠 + 1
𝐺(𝑠) ∗ 𝐺𝑐(𝑠) =
(𝑠 + 0.88)(4.76𝑠 + 4.76)
(𝑠 + 4)(𝑠3 + 2𝑠2 + 2𝑠 + 1)
𝐺(𝑠) ∗ 𝐺𝑐(𝑠) =
(4.76𝑠2
+ 8.94𝑠 + 4.18)
(𝑠4 + 6𝑠3 + 10𝑠2 + 9𝑠 + 4)
12.Función ya compensada en lazo cerrado
𝐺(𝑠) ∗ 𝐺𝑐(𝑠) =
(4.76𝑠2
+ 8.94𝑠 + 4.18)
(𝑠4 + 6𝑠3 + 14.76𝑠2 + 17.95𝑠 + 8.18)

17. - Compensador en adelanto
17
Simulación
Antes de diseñar el circuito en multisim debemos de encontrar los valores de la función del
compensador.
Fig. N° 19 Circuito electrónico que consiste en una red de adelanto
1
𝑇
=
1
𝑅1 𝐶1
= 0.88(𝑐𝑒𝑟𝑜)
1
∝ 𝑇
=
1
𝑅2 𝐶2
= 4 (𝑝𝑜𝑙𝑜)
Para obtener los valores desconocidos es necesario realizar la siguiente igualación
4.76 ∗
𝑠 + 0.88
𝑠 + 4
= (
𝑅4 𝐶1
𝑅3 𝐶2
) (
(𝑠 +
1
𝑅1 𝐶1
)
𝑆 +
1
𝑅2 𝐶2
)
NOTA: De la igualación anterior se puede notar que:
1
𝑅1 𝐶1
= 0.88(𝑐𝑒𝑟𝑜)
1
𝑅2 𝐶2
= 4 (𝑝𝑜𝑙𝑜)
𝑘 = (
𝑅4 𝐶1
𝑅3 𝐶2
) = 4.7

18. - Compensador en adelanto
18
Ahora se le dará valor al azar a cada variable para que el resultado coincida con el valor de
nuestro cero (0.88) como se muestra a continuación:
1
𝑅1 𝐶1
= 0.88(𝑐𝑒𝑟𝑜)
𝑅1 = 11 𝑘Ω = 11 ∗ 103
𝐶1 = 100µ𝑓
1
(11 ∗ 103)100µ𝑓
= 0.88
Realizamos el mismo procedimiento anterior para que el resultado coincida con el valor del
polo (4), como el siguiente caso:
1
𝑅2 𝐶2
= 4 (𝑝𝑜𝑙𝑜)
𝑅2 = 11 𝑘Ω = 11 ∗ 103
𝐶2 = 22µ𝑓
1
(11 ∗ 103)22µ𝑓
= 4
Realizamos el mismo procedimiento anterior para que el resultado coincida con el valor de
nuestra ganancia k, como el siguiente caso:
𝑘 = (
𝑅4 𝐶1
𝑅3 𝐶2
) = 4.7
𝑅4 = 10 𝑘Ω = 10 ∗ 103
𝐶1 = 100µ𝑓
𝑅3 = 9.6 𝑘Ω = 9.6 ∗ 103
𝐶2 = 22 µ𝑓

19. - Compensador en adelanto
19
𝑘 = (
(10 ∗ 103
)100µ𝑓
(9.6 ∗ 103)22 µ𝑓
) = 4.7
En la fig. n° 20 se observa el compensador en adelanto con los valores que encontramos.
Fig. N° 20 Compensador
Una vez que hayamos obtenidos los valores, se procede a diseñar el circuito.
Paso 1: Construir el circuito RLC de la función original no compensada
Fig. N° 21 Circuito original
Paso 2: Procedimiento para realizar el análisis transitorio.
Usando la herramienta de análisis transitorio como se muestra en la fig. N° 22. La
ubicación de esta herramienta puede variar dependiendo de la versión de Multisim.

20. - Compensador en adelanto
20
Fig. N° 22
Paso 3: Selección de las variables que se observaran.
Al dar un clic en el análisis transitorio aparecerá un cuadro como se observa en la fig. N°
23, en la posición de salida agregamos la entrada de nuestro sistema.
Fig. N° 23
Después damos clic en simular y nos aparecerá el siguiente diagrama

21. - Compensador en adelanto
21
Fig. N° 24 Respuesta transitoria de la función original en multisim
Paso 4: Graficar en matlab la función original en lazo cerrado
Revisar que nuestra respuesta del análisis transitorio de multisim coincida con la respuesta
en matlab, para ello colocamos el siguiente código en la ventana de comando de matlab.
Fig. N° 25
Fig. N° 26 Respuesta transitoria de la función original en matlab

22. - Compensador en adelanto
22
Con la idea de comprobar que el resultado obtenido en Multisim sea el mismo que el obtenido
en Matlab, es por ello que nos vimos a la necesidad de realizar el análisis transitorio en
ambos programas, y como podemos notar tanto la gráfica de la figura 24 así como también
la gráfica de la figura 26 son bastante similares. En el segundo 2.4 aproximadamente ambas
graficas tienen su amplitud máxima.
Paso 6: Graficar la función ya compensada
Usando la herramienta de análisis transitorio como se muestra en la fig. N° 22.
Selecciónanos la variable de salida ya compensada que se observara del circuito de la fig.
N° 27.
Fig. N° 27 Circuito ya compensado
Al dar un clic en el análisis transitorio aparecerá un cuadro como se observa en la fig. N°
28, en la posición de salida agregamos la salida de nuestro sistema.
Fig. N° 28

23. - Compensador en adelanto
23
Después damos clic en simular y nos aparecerá el siguiente diagrama
Fig. N° 29 Respuesta transitoria de la función compensada en multisim
Paso 7: Graficar en matlab la función compensada en lazo cerrado
Revisar que nuestra respuesta del análisis transitorio de multisim coincida con la respuesta
en matlab, para ello colocamos el siguiente código en la ventana de comando de matlab.
Fig. N° 30

24. - Compensador en adelanto
24
Fig. N° 31 Respuesta transitoria de la función compensada en matlab
Con la idea de comprobar que el resultado obtenido en Multisim sea el mismo que el obtenido
en Matlab, es por ello que nos vimos a la necesidad de realizar el análisis transitorio en
ambos programas, y como podemos notar tanto la gráfica de la figura 29 así como también
la gráfica de la figura 31 son bastante similares. En el segundo 1.5 aproximadamente ambas
graficas tienen su amplitud máxima.
Fig. N° 32 Respuesta transitoria de la función original y compensada
Función compensada
Función original

25. - Compensador en adelanto
25
Conclusión:
En el diseño un sistema de control lineal, el método del lugar de las raíces resulto muy útil,
debido a que indica la forma en la que deben modificarse los polos y ceros en lazo abierto
para que la respuesta cumpla las especificaciones de comportamiento del sistema.
Nuestro sistema original tiene una respuesta a un tiempo de 2.4 segundos y el tiempo de
estabilización es hasta los 12 segundos, sin embargo es claro que con la adición del
compensador se mejoró de una manera considerable, tanto que el tiempo de respuesta se
redujo a 1.5 segundos y el tiempo de estabilización hasta los 6 segundos, por tal motivo el
compensador obtenido es muy satisfactorio, y se cumplió con las especificaciones de
comportamiento.