Actividad N° 4

1. Actividad N° 4
Alumnos: Novillo, Pablo – Bonet, Javier.
Parte A.
Enunciado N° 7:
La actividad consiste enseleccionarun enunciadoy dar una respuestafundamentada.
Un SEL homogéneocondeterminante de la matriz de coeficientesnuloadmite infinitas
soluciones.
Un SEL homogéneosiempre tiene solución:
La soluciónnula.
Infinitassoluciones.
Veamos:
Tenemosun SEL enlas variables a, b, y c.
{
𝒙𝒂 + 𝒚𝒃 + 𝟏𝒄 = 𝟎
𝟐𝒂 + 𝟏𝒚+ 𝟏𝒄 = 𝟎
𝟑𝒂 + 𝟕𝒚 + 𝟏𝒄 = 𝟎
Matricialmente se expresa:
[
𝑥 𝑦 1
2 1 1
3 7 1
][
𝑎
𝑏
𝑐
] = [
0
0
0
]
Al tratarse de un SEL Homogéneo,esdecircon sus términosindependientesnulos,tenemosdos
opcionesposible de solución:
El determinante de la matriz de coeficientes nose anula.
(a, b, c,) = (0, 0, 0)
En este caso tenemoscomo única soluciónque a, b, y c, son igualesa 0.
a = 0
b = 0
c = 0

2. El determinante de la matriz de coeficientes se anula.
0 = det A = [
𝑥 𝑦 1
2 1 1
3 7 1
] = x [
1 1
7 1
] – y [
2 1
3 1
] + 1 [
2 1
3 7
] = x (-6) – y (-1) + 11
En este caso tenemos infinitassoluciones,esdecir,va a dependerdel valor que adquiera x e y.
Por ejemplo:
x = 3
y = 1
x (-6) – y (-1) + 11 =
3(-6) – 1 (-1) + 11 =
-18 – (-1) + 11 =
-18 + 12 = - 6
Parte B.

3. Un artesano fabrica piezasmezclando componentes. Un cliente le solicitó una
pieza que debe contener 34 gr. de oro, 46 gr. de plata y 67 gr. de cobre. La
materia prima del artesano son trestiposdiferentesde barras con la siguiente
composición: 1º: 20 gr. de oro, 30 gr. deplata, 40 gr. de cobre;2º: 30 gr. de oro,
40 gr. de plata, 50 gr. de cobre; 3º: 40 gr. deoro, 50 gr. de plata, 90 gr. decobre.
Ahora, el artesano, debe determinar cuántas unidades (o partes de una unidad)
debe usarde cada barra para cumplir con el pedido.
Datos conocidos:
La piezaque solicitóel cliente consta de la mezcla de los siguientes componentes(engramos):
oro, plata y cobre.
Oro = 34 gr
Plata = 46 gr
Cobre = 67 gr
Observamosque el artesano saca la materia prima de tres tipos de barras:
BA = Barra A
BB = Barra B
BC = Barra C
Cada una de estas barras tiene diferente composición.
BA = 20 gr de oro, 30 gr de plata, 40 gr de cobre
BB = 30 gr de oro, 40 gr de plata, 50 gr de cobre
BC = 40 gr de oro, 50 gr de plata, 90 gr de cobre
Datos Desconocidos:
Cuántas unidades(o partes de unidad) debe utilizarde cada barra para cumplir con el pedido.
De este modo las incógnitascorresponderán cada una a:
x1 = Cantidad (o partes) de la BA engramos
x2 = Cantidad (o partes) de la BB engramos
x3 = Cantidad (o partes) de la BC en gramos

4. ModeloMatemático y relaciónentre datos conocidosy desconocidos:
i. Construcción del Modelo:
Aplicando lo estudiado podemos disponer la información en una Matriz. Esta
matriz tendrá una columna por cada barra de la materia prima y una fila por cada
compuesto de metal de esa barra (en gramos de ORO, PLATA y COBRE
respectivamente):
Compuesto Barra BA BB BC
ORO 20[gr] 30[gr] 40 [gr]
PLATA 30[gr] 40[gr] 50 [gr]
COBRE 40[gr] 50[gr] 90 [gr]
ii. Relación entre los datos conocidos y los desconocidos: ampliamos colocando en
el vectorcolumna de lasincógnitas,losdatos de los gramosque se quiere obtener
de cada metal
Compuesto Barra BA BB BC Pedido
ORO 20[gr] 30[gr] 40[gr] 34 [gr]
PLATA 30[gr] 40[gr] 50[gr] 46 [gr]
COBRE 40[gr] 50[gr] 90[gr] 67 [gr]
iii. Finalmente se conforma el siguiente SEL
[
𝟐𝟎 𝟑𝟎 𝟒𝟎
𝟑𝟎 𝟒𝟎 𝟓𝟎
𝟒𝟎 𝟓𝟎 𝟗𝟎
].[
𝒙𝟏
𝒙𝟐
𝒙𝟑
]=[
𝟑𝟒
𝟒𝟔
𝟔𝟒
]
Regla de Cramer.
Obtenemos como resultado que de cada barra el artesano
deberá utilizar:
x1 = 1/2 es decir exactamente 0.5 (mitad) de la BA.
x2 = 2/5 es decir 0.4 de la BB.
x3 = 3/10 es decir 0.3 de la BC.

5. Matriz inversa.

6. Conclusión: se obtiene el mismo resultado que en el método anterior.
50 % de BA, 40 % de BB y 30 % BC.

7. Parte B. Continuacióny cambio de consigna.
26.
2
0
2
0
k k
A k k
k k
 
   
  
Determinante de A.
DET A = ( (k.2.k) + (k . k . 0) + (k2
. k . 0)) – ( (0 . 2 . 0) + (k2
. k . k) + (k . k . k) )
DET A = ( ( 2k2
) + ( 0 ) + ( 0 ) ) – ( ( 0) + ( k4
) + (k3
) )
DET A = 2k2
-k3
-k4
Dado que para utilizarambos métodos DET A ≠ 0, entoncesse deduce que segúnel enunciado
debemosencontrar el valor de k cuando DET A = 0
Entonces para cumplir con la condición del problema se deberán encontrar los valores de k que
hagan a la expresión 2k2
- k3
- k4
= 0

8. 𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒍 𝒎𝒆𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒔𝒆 𝒐𝒃𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒅𝒐𝒔 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒌 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒍𝒐𝒔 𝒄𝒖𝒂𝒍𝒆𝒔
𝒏𝒐 𝒔𝒆 𝒑𝒖𝒆𝒅𝒆 𝒂𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒓 𝒆𝒍 𝒎𝒆𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒄𝒓𝒂𝒎𝒆𝒓 𝒏𝒊 𝒆𝒍 𝒅𝒆 𝑴𝒂𝒕𝒓𝒊𝒛 𝑰𝒏𝒗𝒆𝒓𝒔𝒂 𝒔𝒐𝒏:
K = 1, K = -2, K = 0