Mate 2

1. MATEMATICA II
Alumno:NovilloPablo.
UNIDAD 4.
Actividad N° 5 -Primera parte.
Extraído de la página:
http://problemasdematematicasresueltos.blogspot.com.ar/p/eventos-mat.html
APLICACIONES DE LA DERIVADA.
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN.
EJEMPLO 1.
Se quiere construiruna caja abierta con base cuadrada, empleando108 pulgadas cuadradas
de material.¿Qué dimensionesproduciránunacaja de volumenmáximo?
SOLUCION
Como la caja tiene base cuadrada, su volumenes:
V = X2
h ecuaciónprimaria
Además,como está abierta por su parte superior,su área es:
S = (área de la base) + (área de los cuatro laterales)
S = X2
+ 4Xh = 108 ecuaciónsegunda
Ya que deseamosmaximizarV, la expresaremoscomofunción de una solavariable. Para
ello,despejamoshen 108 = X2
+ 4Xh en términosde x, esdecir

2. Evaluando V en los puntoscríticos del dominioy en los puntos terminales
del dominio,vemosque
V (0) = 0, V (6) = 108, V ( 10,39) = 0

3. Concluimosque V es máximocuando x=6, es decirpara una caja de dimensiones6x6x3.
APLICACIONESDE DESIGUALDADES 2
DECISIONES DE FABRICACIÓN
El administrador de una fábrica debe decidirsi deberánproducir sus propiosempaques,que
la empresaha estadoadquiriendode proveedoresexternosaU.S. $1,10 cada uno.La
fabricación de los empaquesincrementaríalos costos generalesde la empresaenU.S. $800
al mes y el costo de material y de mano de obra será de U.S. $0,60 por cada empaque.
¿Cuántos empaquesdeberáusar la empresa al mespara justificar la decisiónde fabricar sus
propios empaques?
SOLUCIÓN
Sea x el número de empaquesutilizadospor la empresa al mes. Entonces el costo de adquirir
x empaquesa U.S. $ 1,10 cada uno es de 1,10x dólares. El costo de fabricar x empaquesesde
U.S. $0,60 por empaque más costos generalesde U.S. $800 al mes,de modo que el costo
total es
0,60x + 800
Para justificarla fabricación de losempaquespor la empresamisma,debe ser cierta la
desigualdadsiguiente.
Costo de adquisición > costo de fabricación
1,10X > 0,60x + 800
1,10x – 0,60x > 800

4. 0,50x > 800
X > 1600
En consecuencia,la empresadebe usar al menos1601 empaquesal mespara justificar el
fabricarlos.
Un peluqueroatiende unpromediode 100 clientesa la semana y lescobra $5 por corte.Por
cada incrementode 75¢ enla tarifa, el peluqueropierde 10 clientes.¿Qué preciodeberáfijar
de modoque los ingresossemanalesnosean menoresde los que el obtiene por la tarifa de
$5?
SOLUCIÓN
Sea X el númerode incrementosde 75¢ en la tarifa por encimade $5. Entoncesel preciopor
corte es de (5 + 0.75X) dólares y el número de clientesque acuden con esta tarifa será de
(100 – 10X) a la semana.
Ingresos totalesa la semana = Número de clientesX preciosdel corte
= (100 – 10X) (5 + 0.75X) dólares
DECISIONES SOBRE FIJACIONDE PRECIOS
Los ingresoscorrespondientesa 100 clientessonde 100 x $5 = $500. Por tanto los nuevos
ingresossemanalesdeberíanseral menos $500 dólares.En consecuencia,
(100 – 10X) (5 + 0.75X) ≥ 500
Simplificamosyfactorizamos.
500 + 25x –7.5x2
≥ 500

5. 25x – 7.5x2
≥ 0
2.5x (10 – 3x) ≥ 0
Dado que x es positiva,podemosdividirambos lados entre 2.5x con lo que obtenemos
10 – 3x ≥ 0
X ≤ 10/3.
Así deberíahabera lo más 10/3 incrementosde 75¢ o $2.50. el peluquerodeberíacobrar
una tarifa máxima de $5 + $2.50 = $7.50 por corte con el objetode obteneral menoslos
mismosingresosque loscorrespondientesa 100 clientescobrándoles$5 por corte.