Geometría elemental para trazos

GEOMETRÍA
ELEMENTAL PARA TRAZOS No hay duda de que las gráficas computarizadas pueden mejorar
la enseñanza y el entendimiento de la mayoría de los tópicos geométricos;
no se requiere introducir nuevos tópicos para hacer uso de estas nuevas herramientas.
En mi opinión, los viejos tópicos vistos desde un ángulo contemporáneo pueden ser tan
frescos y estimulantes para los alumnos, como los nuevos. ¡Y son muchos! En muchos
países hay una tendencia a tomar a la ligera este hecho, posiblemente porque la enseñanza
de la ciencia ha sido más bien descriptiva y no explicativa, es decir, no matemática.
Por el cual pongo en línea este folleto. Para los que gusten de geometría.

TRIÁNGULO
Es la figura geométrica (conjunto no convexo) formada al
unir tres puntos no colineales mediante segmentos.
Notación: ABC
Región
interior
Región
exterior
al AB
Región
exterior
al BC
Región
exterior
al AC
A
B
C
a
b
c
+ + = 180º
a + b + c = 360º
Teorema:
Observación: El triángulo como conjunto no convexo no
presenta región, sino determinan regiones. Es distinto decir
triánguloadecirregióntriangular.
Gráficamente:
Región Triangular
A
B
C
Esta cons
tituida
por
A
B
C
Triángulo
ABC
Región interior
determinada por
el triángulo
ABC
Teorema:
X
X = +
Teorema: Si a > c
Propiedad de
correspondencia
>
a c
Teorema:
Propiedad de existencia
a
b
c
A C
B
Si: a > b > c
b - c < a < b + c
Propiedad:
X
X = + +
Propiedad:
+ = +
Propiedad:
x
y
+ +y =
x
Propiedad:
Si:
x
y
x + +y =
Propiedad:
Si:
x
y
x y=
Propiedad:
x y
a b
x y+ > a + b
x
+
Propiedad:
= x + 180º
Propiedad:
x
y
x = y
Propiedad:
yx
+ = x + y
Si:
A
B
C
a by
x z
c
p
Si: P=
a + b + c
2
p < x + y + z < 2p
Si:
2
2
x
x = +
Si:
a
b
a
b
2
2
x
x = +
CLASIFICACIÓN DE TRIÁNGULOS
1.- Por la medida de sus ángulos:
A
B
C
a
c
b
+ = 90º
AB y BC : Catetos
AC : Hipotenusa
Teorema de
Pitágoras
a + c = b2 2 2
A. Triángulo rectángulo:
B. Triángulo oblicuángulo:
a. Triángulo acutángulo b. Triángulo obtusángulo
A
B
C
a
b
c
, y : agudos
b < a + c
2 2 2
A
B
C
a
b
c x
“x” es obtuso, b > a + c2 2 2
2.- Por la medida de sus lados:
Escaleno Isósceles Equilátero
Lateral
(AB)
Lateral
(BC)
A C
B
La medida de sus tres lados
son diferentes.
La medida de sus dos lados
son iguales.
Nota: El AC es base
La medida de sus tres lados
son iguales.
Nota:
60º
60º
60º
60º
A CM A C M
BISECTRIZ
Bisectriz Interior Bisectriz Exterior
A C
B
M
BM: Bisectriz
interior relativo
al AC
A C
B
M
BM: Bisectriz
exterior relativo
al AC
Observación: Altura:
A C
B
No hay Bisectriz en el ABC
A C
B
h
Altura: Mediana:
A
C
B
h
B
A
C
M
Mediatriz: Caso I Mediatriz: Caso II
A
B
C
L : Mediatriz de
AC.
L : Mediatriz de
AC. B
A C
L
Propiedad: Propiedad: Propiedad:
x
2
x = 90° +
2
x
x = 90° -
2 x
x =
BM: Mediana realtiva al AC
Propiedad: Propiedad:
Propiedad:
Si:
a b
2
x90°-
a = b x = 90°-
x
90°- 90°-
Propiedad:Propiedad:
=
a b
a = b
2
x x
x = 90° -
Si:
Si:Si:
Si:
Si:
Propiedad:
Si:
x = 2
B
A C
M
BM: Mediana, mediatriz,
bisectriz, altura.
Propiedad: Propiedad:
Si: Si:
Propiedad:
a b a b a b
x
Propiedad: Propiedad: Propiedad:
n m
n = m =
n m
x
n = m x = 90º
x
x = 90º=
Congruencia de Triángulos: Son dos triángulos cuyos ángulos son
respectivamente de igual medida y además sus lados correspondientes de
iguallongitud.(Ángulos y ladoshomólogos)
a
b
c
CA
B
a
b
c
C´A´
B´
Casos de Congruencia:
Caso: L-A-L (lado - ángulo - lado)
c
b CA
B
b
Caso: A-L-A (ángulo - lado - )ángulo
b CA
B
b
Caso: L-L-L ( - lado - )lado lado TEOREMA
TEOREMA
TEOREMA I
b CA
B
b
c
c
ac a
L
No es bisectrtiz
exterior
H
A´ C´
B´
A´ C´
B´
A´ C´
B´
a = b =
n m
a = b n = m a = b x = 90º
LÍNEAS NOTABLES
Ceviana Interior Ceviana Exterior
B
BM: Ceviana
interior relativo
al AC
B
BM: Ceviana
exterior relativo
al AC
Geometría
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)
II
III
65

Aplicación 2
hallar “x” en:
x
Solución B
A C
D
O 60º-
60º
x
Primero: El DAB DOC (caso L-L-L)
Por tanto la m ABD = m OCD = , en consecuencia la
medida del ACB = 60º -
Por último, en el ABC Por teorema
x + ( + 60º) + 60º - = 180º
x = 60º
APLICACIONES DE CONGRUENCIA
O n
b
a
m
B
M
A
Si: OM es bisectriz
Teorema de la bisectriz
a = b m = n
O
A B
b a
Teorema de la mediatriz
De un segmento
De un ángulo
a = b
Es decir el AOB es
isósceles de base AB
B
A C
O
El AOC es isósceles
donde: AO = OC
El AOB COB
Caso: L-L-L
A
B
CX
a
m n
m n
M N
y
Teorema de la base media
= y (por que MN AC)
x = 2a
En:
Si:
X
a
m
n
Corolario:
n = m
x = 2a
75º 15º
4a
6 2 a
a
Notables aproximados:
53º/2
5a 5
37º
53º
3a
4a
a
a
2a
10 a
37º/2
3a
a
25a 74º
16º
7a
24a
8º
81º
7a
2 a5
a
17a
14º
76º
a
4a
TRAZOS Y PROPIEDADES
Observación: Se realizará las demostraciones más complicadas a
las necesarias.
1) ¿Qué hacer en caso del siguiente ?
B
A C
2
1 Trazo interior:ro
Se trata BM, interior y M AC formando
m AMB = 2 . En consecuencia se tiene:
2 2
B
A C
C
M
2 Trazo exterior:do
Análogamente al exterior se traza BM
2
M
B
3 Trazo especial:
ro
Para ello es necesario hacer un cambio de
variable: = 2
Es decir:
4 2
Resulta:
3
Primer
trazo
Ceviana
exterior
Civiana
interior
Segundo
trazo
Se trazo
2) ¿Qué hacer en un de la siguiente forma?
2
Resulta:
2
x = 60º
Aplicación 1
hallar “x” en:
x
x
x
Solución:
x
x
x
a
b
x
a
A
B
E D
C
Primero se deduce que la m BCE = m BEC = x
(En el EBC isósceles)
Luego se deduce que m CED =
Ahora el ABE DEC (caso A-L-A); por tanto a=b, el
cual da como consecuencia un EBC equilátero.
CASOS ESPECIALES EN CONGRUENCIA
Congruencia en triángulos rectángulos
3
2 2
A
B
C
M
N
a
y
Observación:
2a
Notables:
Teorema de la mediana relativa
a la hipotenusa
m m
x
x = m
a
MN no es
paralelo a AC
45º
45º
60º
30º
a n
a
2n
n 3
a 2
6 2 a
7 8
Geometría

SOLUCIÓN 2:
C
20º
10º
x
10º
10º+
B
A
M
C
10º
x
10º
10º+
B
A
M
20º
Primero trazamos MN
Se nota la congruencia
( ABN CMN)
Caso L-A-L
En consecuencia:
C
10º
x
10º
10º+
B
A M
x
C
10º
x
10º
10º+
B
A M
x
x
2x = 20º x = 10º
SOLUCIÓN 3: Hacemos un cambio de variable. X = 2
5a
3
13a
3
2
B
A
D
C
N
n
n = 5a
Luego: En el ABD (lo extraemos didácticamente)
3
8a
B
A
D
N
5aM
5a
3
2
x
2
x
B
N
H
M
4a
4a
3a
5a
5a
x
x
Recuerda: x=2
en el
En el HBN (Notable
aproximado de 53º-37º)
X = 37º
SOLUCIÓN 4: Hacemos un trazo exterior
a
b
2 +
a
A
x N
M
B
b
C
Por observación notamos que m MBN = m MNB = +
Por tanto el MBN es isósceles.
a = b + x x = a - b
SOLUCIÓN 5: Lo primero que haremos es el cambio de variables y
asignamoslos ángulosdemedidasiguales. ( =2 )
24
3
3
ab
x
Luegoforzamosinteriory exteriormente
2
4
3
3
ab
x
2
b
4
B
A
C M b a N
El ABC MBN Caso(L-A-L) -3 -b
x = a + b
SOLUCIÓN 6:
Recuerda:
a
x
Por tantoprolongamosBO
B
A C
M
O
Por último:
a
x
B
A
C
M
O
L
x
Recuerda:
a
x x = 2a
ycomo,enel ABM,Ay O son puntos medios.
x = 2a
3. ¿Quétrazose debehaceren triángulos de lasiguienteforma?
B
A C
2 90º -
1 Forma:
era
Se deberecordarlasiguientepropiedad
2
B
90°-
N N
N N
90°- 2
90°-
Armando
Huaccachy
Entonces trazamos BM, para formar ángulo de 2 formar un
isósceles(AB =BM)
2
90°-
2
A C M
Comoconsecuenciafinaltenemos:
2
90°-
2
90°-
Ejemplos:
40º 70º 40º
70º
40º
70º
20º 80º 20º 20º80º
80º
x = 20º
PROBLEMA 3 - Hallar “x” en: PROBLEMA 4 - Hallar “x” en:
40º 20º 20º x
x
5a2x
13a
x
ab
2
x
2
a
b
a
x
SOLUCIÓN 1: Como nos recomienda el Primer tipo de trazo, lo
primero que haremos es un trazo exterior
20º 40º 20º
20º x
B
A
D
Luego observamos: (Para ser mas didácticos extraeremos los siguientes
triángulos)
O C
20º 20º
20º x
B
A DO C
El OBA BCD Caso L-A-L; entonces todas las propiedades
que se cumplen en el primer triángulo deben cumplirse en el segundo:
“PROBLEMAS”
x 10º
9 10
Geometría
ARCEDIO
GLORIA
CHAVEZ

Las formas más generales se especifica después de la solución:
26º 51º
18º
42º
x
120º 20º
60º
x
20º 80º x 18º
81º
x
SOLUCIÓN 7:
Recordamos con el ejemplo
26º 77º 26º
26º
77º 26º
Y también no hay que olvidar:
60º
60º
60º
60º
Ahora lo que hacemos es aplicar el Primer paso:
26º 51º
18º
42º
60º
77º
26º
77º
26º 51º
18º
42º
60º
77º
x
2x=26º
2x = 26º x = 13º
SOLUCIÓN 8:
Hacemos el siguiente trazo de tal manera que aparezca con los
siguientes triángulos isósceles: ANB, NBC
120º 20º
60º
x
60º
80º
80º
20º
BN
L C
A
Recordar:
60º
60º
60º
60º
Entonces trazamos
NL y formamos el
equilátero ANL
Sonia Chalco
120º 20º
60º
x
60º
80º
80º
20º
BN
L C
A
60º
Por último recordamos la propiedad:
2
L
B
A
N
2
2 2
Yuly Cuenca
120º
20º
60º
x
80º
80º
20º
A10º
x = 10º
SOLUCIÓN 9:
Primero observemos el siguiente caso de segmentos:
A B C D
Tenemos como consecuencia: AB = CD
A B C Db b
a
Luego recordamos:
2 90°- 2
2
90°-
90°-
Jorge Quispe
Entonces hacemos el trazo: NC
20º 80º x80º
20º60º
A
N
DCB
Y por segmentos tenemos que AB = CD
20º x
60º
A
N
DCB
80º 80º100º 100º
26º 77º 77º26º 26º
2 Forma:era
Se trazaBM, seformaisóscelesdebaseCM ylateralesBC yBM
B
2
90°-
A C M
90°-
Enconsecuenciasetieneelsiguientegráfico
2 90°- 90°-
2
Ejemplos:
26º 77º 26º
26º
20º 80º 20º
20º
80º 80º
60º
77º 77º
4. ¿Quéhacerconuna figura,delasiguienteforma?
x y
x = 2 y = 2
77º
Ejemplos:
10º
40º
10º
40º
20º
20º
Importante:
2
90°-
El trazo se
realiza así
2
90°-
2
90°-
51º51º
11 12
Geometría
Propiedad:
o
o

120º
x
60º A
Si:
120º 2
90º-3
x
x =
Demostración: Recuerde que los pasos son los mismos a los
problemas anteriores.
2
90º-3
90º-
2
x =
90º- x
b
Si:
x
A
B
D
C
E
2
a
a
x = 2
a = b
Demostración:
2
90º-
90º-90º+
90º+
a b
El ADB CEB (Caso L-A-L)
x = 2 a = b
x
B
A N
P
C
x
a
Si:
x = 2
a = b
b
a
2
90º-
Demostración: Los trazos son especificados en mismo volumen;
pues son trazos conocidos.
a
2
2
90º-
90º-
a
b
El ABN CNP (Caso L-A-L)
Propiedad: Resulta un rectángulo
x y
x=y=90º a = b
y
Demostración:
a
bA D
CB
El DAB BCD (Caso L-A-L)
( - - )
x = 90º ; a = b m DBC =
5. ¿Como trazar en el siguiente caso?
5k
23º
1
ero
nos damos cuenta de que la medida del ángulo termina en 3º y
un lado es como “5” el cual nos hace razonar con el siguiente
Notable aproximado:
5k
53º
37º
4k
3k
Entonces el trazo será de la siguiente manera:
5k
23º
30º
2n
n
P
Punto cualquiera
23º x
5k
8k
x44º
48k
25k
Por último: el ABN DCN (Caso L-A-L)
20º x
60º
A
N
DCB
100º 100º
x = 20º
SOLUCIÓN 10:
Recordemos el trazo general:
2
90°-
2
90°-
2
90°-
Sandra
Quispe
18º
81º
x
81º
18º
B
A E
D
C
18º x
B
A E
D
C
El ABE ECD:
x = 18º
EN FORMA GENERAL DEMUESTRA
60º-
2 90º-3
x
Si:
x =
x = 2 a = b
Demostración: Solo se realizara las consecuencias ya que los
pasos fueron realizadas en cada problema
60º-
2 90º-3
x
x =
60º
90º-
90º-
2
60º
x 21º
30º11º 17º 25º
29ºx
SOLUCIÓN 11:
x
5k
8k
23º
30º 53º
37º
5k
37º
53º
4k
3k
x
5k
8k
23º
30º
37º
8k
30º
60º
4k
4k
4k
4k
60º
13 14
Geometría
Milton Cucho
Angélica Tomayro

x
8k
23º
30º
4k
4k
60º
4k 4k 4k 4k
x + 60º = 90º
x = 30º
SOLUCIÓN 12:
x44º
48k
25k
30º
24k
25k
74º
24k
x44º
48k
25k
30º
24k
60º
24k
48k
30º
24k
60º
x44º
48k
25k
30º
24k
60º
24k
24k
x + 60º = 90º
x = 30º
24k 24k 24k
SOLUCIÓN 13:
x 21º
30=5(6)11
16º
53º
3(6)=18
74º
4(6)=24
37º
18
53º
24
30
x 21º
30
16º
53º
74º
24
74º
24
16º
7
11
11
74º
7
x = 74º
SOLUCIÓN 14:
x 29º
2517
45º
16º
45º
7
16º
7
74º
24
25
45º
x 29º
2517
45º
16º
77
45º
45º
45º
7
17
7
45º
x = 45º
TRAZOS
6. ¿Como trazar en el siguiente caso?
Se recomienda trazar una ceviana exterior para formar un triángulo
isósceles.
7. ¿Qué trazo se debe realizar en el siguiente caso?
Recordar:
n
n
Entonces es necesario un trazo interior tal que forme un isósceles.
1
ero
n
n
Finalmente se obtiene:
n
n
8. ¿Cuáles son las construcciones en este tipo de triángulo?
30º
; < 30º
1 tipo de trazo:
er
Se construye un triángulo equilátero en función
del lado mayor.
30º
30º
Recuerda:
Finalmente se obtiene:
30º
30º
Observación: En la solución de los problemas; se aplicará el caso
final, por que ya se demostró de donde viene el gráfico final.
15 16
Geometría
Yeny
Huyhua
Aurelia
Diaz
Wily
kiwy
Cesar Flores
Flor
Aronés
Maria Luz
Cusi
Jalacha
Tomayro
Lucia
Cabo
Flores
Walter
Janampa

2 tipo de trazo:do
Se construye un triángulo rectángulo, de tal
manera que el lado mayor se transforma en hipotenusa.
30º
2n
n
3 tipo de trazo:er
Se construye un triángulo equilátero en función
del lado menor.
30º
30º
A
C
B
N
Luego completamos el segmento AN para obtener un triángulo
isósceles ANC
30º
30º
A
C
B
9. ¿Qué hacer en este tipo de tri ?ángulo
60º+
30º
B
C
A
Se construye el ANB equilátero
60ºA
C
N
B
30º 30º
60ºA
C
N
B
30º 30º
Finalmente trazamos CN para tener como consecuencia el ANC
isósceles..
60º
10. ¿Qué hacer en este caso?
60º-2
A
B
C
D
Primero construimos el ABN equilátero, y por último trazamos
BC y ND del cual:
ABC AND (Caso L-A-L)
60º-2
A
N
B
C
D
20º
x
+10º
x +40º
3
50º
30º
x
x
30º
20º
60º-2
10º
x
x
80º
20º
30º 20º
x
20º+
x +20º
20º
10º
3
10º
20º
30ºx
20º
10º x
70º
30º 20º
10º
40º
70º x
10º
x
40º
60º-
2
x
60º-2
60º+
x
20º
SOLUCIÓN 15:
Recuerda:
+
n
n
+
+
Trazamos DE para formar el isósceles del BDE.
20º+
x 20º
20º+
B
A
D
C
E
Del gráfico tenemos como consecuencia:
x 20º
B
A
D
C
E
ABD DEC (Caso L-A-L)
x = 20º
Solución 16:
n nn+ n+ n
Hacemos el trazo exterior BE del cual se observa que m BDE
= m BED = 10 + , entonces BDE isósceles.
x
+10º +20º
10º
+10º
B
A
D
C E
x
+10º +20º
10º
+10º
B
A
D
C E
Del gráfico el ABD EBC (Caso L-A-L)
x = 10º
Geometría
Edeliza
Tomayro
Maria Soledad
Salcedo
1817

3
30º
x
10º
3
50º
30º
x
B
A C
N
M
50º
50º
50º
De la construcción se tiene:
ABC ACM (Caso A-L-A)
X = 3
3
50º
B
A C
50º
x
x
A
M
50º
50º
3
C
x = 40º
Solución 19:
Primero trazamos la altura relativa a la base.
x
10º 30º
Recuerde:
30º
30º
2n
x
10º 30º
n n
n n2n
n
x
10º
n nD
n
B
CA
E
40º
= 40º Por que el ABD LEA
Por lo que: 40º =
Por último: + x + 10º = 90º
40º + x + 10º = 90º
L
Solución 20:
20º
30ºx
20º
60º-x
30º
60º-x
x
B
A
D
C
M
Del gráfico se deduce que el ABC ADM (Caso L-A-L)
x = 40º
x = 60º - x = 20º
Solución 17:
Solución 18:
30º
30º
Solución 21: Realizamos el trazo conocido y mencionado.
Constituimos el ABN equilatero
+40º
C
Trazamos:
+40º
C
+20º
n n
m
n+m
M
+40º
C
+20º
M
30º
x
20º
A
B
x
20º
A
B
20º
x
20º
A
20º
B
El ABN MAC (Caso L-A-L)
X = 20º
30º
10º
60º
30º
10º
A
x
20º
50º
10º
N
B
10º
60º
30º
10º
A
x
20º
50º
10º
N
B
10º
60º
30º
10º
A
x
20º
50º
10º
N
B
X = 10º
Geometría
Noris
Chavez
Yovana
Palomino
Yessica
Flores
2019

Geometría
Se obtiene lo siguiente:
B
C
A
40º
10º
10º
10º
10º
X60º
60º
10º
D
E
Roxana
La Catalinita
Jhonny
Meza
2θ
Recordar:
Recordar:
2θ
30 - θº
120º - 2θ
30º
Aplicando la propiedad señalada:
Consecuencia:
X 30º=
Solución 22 Solución 23 Solución 24
C
B
A
40º
10º 10º
X70º
70º
60º + θ
30º
60º + θ
30º
30º
30º
30º
30º
Reordar:
Roció Álvaro
Se construye el ABE equilátero.
C
B
A
40º
10º
10º
10º
X60º
60º
10º
D
E
DA C AEC.
20º
20º
10º
10º 10º
x
x
40º
40º
40º
50º
50º 50º
50º
110º
EL ABC BCD
x = 40º
x = 30º
x =
A
D
B
C
60º-
60º+
60º-
60º+
60º+2
60º-2
1) 2)
60º-2
_
Rubén Tomayro
Anabela Alca
60º-2
_
60º
60º
60º-
2
2
x
x
x
x
x
60º-2
2
60º+2
60º-
2
x
60º-2
Haciendo la construcciòn se obtiene:
2221

Geometría
D B
c 60º-2θ
E
A C
Soluciòn: 25
Se construye el EBC equilátero
X X=
c
E
D B
A C
X = 30º
X
X
X
Solución 26 Solución 27
C
C
A
A
A
B
B
B
30º
30º-x
10º
10º
20º
20º
20º
20º
20º
60º
60º
30º
30º
40º
40º
60º
60º
D
D
D
N
N
E
E
Después de construir el ACE
equilátero. luego el ACB ECD (L-A-L)
ACD EAD (L- L- L)Como el
BCD ECA
x
x
x
A
A
D
D
C
C
B
B
E
E
C
20º
20º
20º
20º
20º
20º
20º
20º
20º
20º
20º
40º
40º
40º
20º
20º
20º
60º
60º
x
80º
A
B
D
Del cual 2X = 60º.
X = 30º
Solución 28
Como el ABC ACD (L-A-L)
En consecuencia se obtiene.
Se construye el ACD equilátero.
C
C
B
B
A
A
D
D
E
E
X
X
X = 20º
60º +
60º
60º
60º +
2 2
60º
60º
30º
20º 10º
60º 60º
*
*
Yosmil
Espilco
º
º º
20º
20º
30º
30º
30º
30º
23 24

Primero construimos el ABN equilátero por tanto:
Trazo Especial:
D
Luego prolongamos BC en K de tal manera que m
B
B
A
A
C
C
q
30º
B
C
c
N
30º
30º
A
Tener presente el siguiente
B
Recordar
30º
30º
K
B
A
C
c
N
30º
CONSECUENCIA
Ada Luz
Oré
30º30º 30º30º
30º+X30º+X
60º
30º-X
_ _
Nelson Méndez
De lo mensionado, trazamos KN del cual trae como
consecuencia el AKN isósceles y m KAM=30º-XD
-
Geometría
2625

B
N30º
30º
K
A
C
c
30º
30º-X
30º-X
Ahora construimos el AKM equilátero y como
consecuencia la m BAM=30º-X
D
B
N
30º
30º
K
A
C
c
30º
30º-X
30º-X
30º-X
M
Después de hacer el trazo MB se verifica que:
(caso L-A-L), por tanto todos los datos que se
cumple en el tienen que cumplirse en el
osea quiere decir que el E es también isósceles el cual
se especificará en el otro gráfico.
M ABK AN D@D
K AND M ABD
M ABD
B
N
30º
30º
K
A
C
c
30º
30º-X
30º-X
30º-X
M
30º-X
Como L es punto medio
además AC es mediatriz
del segmento MK.
B
N
30º
30º
K
A
C
c
30º
30º-X
30º-X
30º-X
M
30º-X
--
--
L
60º-X
Victor Pillaca Quispe
Recordando
M
K
30º
30º
L
A
30º
30º
L
=
=
Geometría
27 28

=
=
CA
M
K
=
=
C
Carlos Conteña
A
M
K
Finalmente, despues de trazar MC, se llega a la conclusión
de que el ACK es isósceles (MC=CK). Por último; m
MCB=120º-X
DD
B
N
30º
30º
K
A
C
c
30º
30º-X
30º-X
30º-X
M
30º-X
--
--
L
60º-X
120º-X
60º-X
PROBLEMAS
30º
X
54º
X
24º
30º
54º X30º
X 84º
42º
Problema 29
Problema 30
Problema 31
Problema 32
Geometría
3029

N
30º
30º
30º
30º
Sonia Navarro
30º
X
30º
30º-x
A C
B
K
30º
N
30º-x
Como la figura presenta las cualidades para x hacer el trazo
anterior, entonces construimos el BCN equilátero. Y si
observamos la prolongación del CK en A cumple el requisito
que la m KBA=30º y la medida del ABN es igual a 30º-x
(m ABN=30º-x.)
-
30º
X
30º
30º-x
A
C
B
K
30º
N
Ahora construimos el ABM equilátero y luego le
trazamos el MC del cual observamos que: el ABN MBC
(caso L-A-L). Quiere decir:
@-
--
--
30º
30º
30º
30º
B M
A
K
B
M
A
K
Consecuentes
Entonces ello
lo aplicamos.
30º
X
30º
30º-x
A C
B
K
30º
N
30º-x
M
30º-x
Como nos habíamos
anticipado en el caso
anterior entonces les
señalamos los nuevos
datos.
Construimos MK y
luego aplicamos el
teorema de la
bisectriz interior.
( AK )= MK
60º-x
60º-x=
Ana Artiaga
30º
X
30º
30º-x
A C
B
K 30º
N
30º-x
M
30º-x
30º-x
--
--
60º-X
Walter Palomino
Solución 29
Geometría
31 32

C
30º
X
30º
30º-x
A
B
K 30º
N
30º-x
M
30º-x
30º-x
--
--
60º-X
60º-X
120º-2X
M
K
C
120º-2X
120º-2X
60º-X
Para apreciar mejor la
solución nos
concentramos en el
MCK: isósceles.
Lito
Alca
(120º-2X)+(120º-X)+(60º-X)=180º
X=24º
24º
30º
A
B
C
Primero observamos el siguiente acontecimiento:
24º
30º
A
B
C
30º
N
Construimos el equilátero ABN.
6º
30º
A
B
C
30º
N
6º
30º
A
B
C
30º
N
6º
Karina
Cárdenas C.
Solución 30
Geometría
Consecuencia
final del trazo:
ver páginas
25-35.
3433

30º
30º
30º
30º
Carlos
Torres
24º
30º
A
B
C
30º
N
30º
6º
6º
K
!Prolongamos AC en K tal que m CAK=30º.
-
!
!
Se construye el
Luego se traza MB tal que:
AKM equilá tero
ABM NAK
(caso L-A-L).
=
A
B
N
6º
6º
K
6º
M
Carlos Rupire
24º
30º
A
B
C
30º
N
30º
6º
6º
K
6º
M
24º
30º
A
B
C
30º
N
30º
6º
6º
K
6º
M
36º
6º
!Primero nos damos cuenta que el
°.
KMB isó sceles,
que en consecuencia: m MKC=36
=
=
36º
=
=
36º
36º
M
C
K
M
C
K
Héctor Suyca
KMC isó sceles.
72º
Miguel Ángel Molina
36º
=72°
24º
30º
A
B
C
30º
N
30º
6º
6º
K
6º
M
36º
6º
72º
72º
Se concluye que:
BC=AK=KN.
Geometría
-
36º
35 36

24º
30º
54º 24º
X
P
B
A C
!Se traza BP (P en la prolongación de CA). De tal forma que
º observamos el
PBC es
isósceles PB=BC. Ademá s m APB=m ACB=24 ABP
del cual ya anunciamos sus trazos.
- -
Es decir llegamos a la siguiente conclusión:(ver pag. 34-36.)
6º
N
30º
6º
6º
6º
24º
30º
54º 24º
X
P
B
A C
36º
72º
72º
36º
24º+x
30º
M
Extraemos los ángulos PBN y ABM, para comparar que:
BAM. (caso L-A-L)NPB
54º
30º
P
B
N
54º 24º+X
MA
B
30º=24º+X
X=6º
Solución 30 Solución 31
Geometría
Recordar:(En el problema anterior se recalca los pasos)
24º
30º
54º X
R
B
M L
a
ab
24º
30º
6º
30º
6º
6º
6º
24º
30º
36º
72º
72º
36º
30º
N
6º
30º
6º
6º
6º
24º
30º
54º XP
B
M L
36º
72º
72º
36º
30
30º
N
54
b
b
a
a
96º
C
El PBN ABM (caso A-L-A)
Es decir: (96 )-(--)-(54 ).
Entonces a = b
Y si a = b el R
º º
BL es isósceles
(RB=BL=a=b).
X=24
A 96º
3837

Despuèsdeconstruccón:(verpag.34-36)
ElCB(casoL-A-L)
Esdecir:(--)-(126)-(--).
ADEB.
º
X=30º
Geometría
Solución 32
126º
54º
54º
54º
36º72º
84º
84º
54º
54º
54º54º
42º
6º
6º
6º
30º
24º
24º
30º
30º
30º
126º
126º
X
X
Además:
A
CED
B
39 40

X
60º
60º
60º
60º-
A
L
B
C
M
D
Propiedad 01
Demostración:
En consecuencia:
NCA (Caso: L-A-L)
del cuál LA=NA=
También: x + = + 60º
LBA
Primero construimos el
ABC equilátero y luego el
MNC también equilátero.
De la ecuación
Ahora trazamos MA para identificar el
(Caso: L-L-L) del cual se deduce que = --------------
ALM ANM
Geometría
X
60º
60º
60º
60º-
X
60º- X = 60º
I
I
A
L
B
C
M
D
II
II = =X + = + 60º
=X + + 60º
X = 60º
El fracaso es la madre del triunfo (Carlos Max) La contradicción es la médula principal del desarrollo (Lenin)4241

Propiedad: 03
2
X=120º-θ
Demostración
Demostración
2 2
90-θ
90-θ
Trazamos BD para obtener el ABD ISÓ SCELES
-
Realizamos el trazo en forma análoga a la demostración anterior, y
aplicamos la propiedad.
2
B
A
C
90-θ
90-θ
D
Geometría
Propiedad: 02
Propiedad:
120º-2θ
60º
X =2θ
Θx
120º-2θ
Θ
Θ
x
y X
X 2
y = 2
=
X 2=
Jhon Quispe
Edson Palomino
43 44

Ahora trazamos AM bisectriz, altura mediana y mediatriz.
Luego DH aBC--
-
-
--
Trazamos DH BC, para formar: DHC AMD- --
--
B
A
C
90-θ
90-θ
D
M
-
-
90-θ
B
A
C
90-θ
90-θ
D
M
-
-
-
H
=
=90-θ
30º
2a
Por último observamos que el DBH es notable de 30º-60º.
B
A
C
90-θ
90-θ
D
M
-
-
-
H
=
=90-θ
30º
Finalmente: X=(90º- )+30º
X=120º-
θ
θ
X = 60º
Geometría
Estefh Cusi
Propiedad adicional:
2θ
2θ
Θ
Θ
X
X30º 30º- θ
90º- θ
X = 30º- + 30º +θ θ
30º-
θ
90º- θ
X = 60º
Demostración
Consecuencia
120º-2θ
120º-2θ
2θ
2θ 30º
2θ
Θ90º -
90º -
Θ
30º -θ
Recordar:
Leonardo Tomayro
4645

2
2
90-θ
90-θ
Ruth Cuenca
Demostración
Propiedad: 04
X=θ
2
120º-θ
2
90º-θ
30º
90º-θ
A
B
C
D
Primero trazamos BD de tal modo
que m ABD = m ADB=90º-θ
-
Marco Alfaro
-
-
--
B
90º-θ
30º
90º-θ
A
C
D
M
-
-
90º-θ
30º
90º-θ
A
B
C
D
M
-
-
H
90º-θ
30º
90º-θ
A
B
C
D
M
-
-
H
Trazamos AM BD y
bisectriz, mediana y
mediatriz.
-
--
--
Trazamos DH a BC
donde se forma el
BHD notable de: 30º-
60º (DH=a)
-
--
--
30º
2a
÷2
Demétrio Janampa
Daniel Conde
-
-
-
-
Del gráfico el AMD= DHC
por tanto: X=θ
Geometría
47 48

Demostración:
120º-θ
A
B
C
D
Propiedad: 05
X=2θ
= + +
120º-θ
A
B
C
D
120º+X
Trazamos L // L que en consecuencia se obtiene m ADN=X1 2
120º-θ
A
B
C
D
120º
X
60º
L2
L1
N
A
B
A
B L4
L3
D
=
TRAZAMOS L //L3 4TRAZAMOS L //L3 4
Godelina Chavez
Recordar:
Consecuencia
Recordar:
Observando el caso anterior trazamos BM//AD y en
consecuencia: BM=MD=AB=AD= y m BMD=X
- -
Geometría
Justiniano Tomayro
5049

120º-θ
A
B
C
D
120º
X
60º
L2
L1
N
MX
60º
60º
60º
60º
Fénix García
Marleni
Oré
Recordar:
Recordar:
C
120º-θ
A
B
D
120º
X
60º
L2
L1
N
M
X
Trazamos MC tal que se
forme el MCD equilá tero.
-
Trazamos BD y aplicamos la
propiedad mensionadop
anteriormente
-
A
B
C
D
120º
X 60º
L2
L1
N
M
X
X=2θ
52
Geometría
51

Demostración:
90º-θ
Yolanda Flores
-
-
-
-
Recuerda:
A
B
C
D
90-θ
=
=
H
M
30º
30º-θ
X=90º- +30º-θ θ
θX=120º-2
A
B
C
D
X
90-θ
90-θ
=
=
H
M
Prolongamos CD en M tal que se forma el MBC HDA,
por lo tanto: HD=BM=a.
-
X
2a
Mirasol
Díaz
X=30º
Del MBD (notable
de 30º-60º) por lo
que m MDB=30º.
A
B
C
D
90-θ
=
=
H
M
30º
Geometría
90º-θ
Elmer C.CH.
2θ
A
B
C
D
X
90-θ
90-θ
=
=
H
=
=
Recordar:
Recordar:
Propiedad: 06
B
A
C
D
X=120º-2θ
2θ
X
5453

Propiedad: 07
120º-2θ
2θ
Si: X=
Figura:
Primer trazo
Segundo trazo
Javier Flores
120º-2θ 120º-2θ
60º
60º-θ
60º
120º-2θ
60º
Demostración:
Para ello es necesario conocer el trazo de la siguiente figura:
120º-2θ
60º
60º
B N
C
D
A
Trazamos AN y aplicamos
el trazo conocido (ABNC:
equilatero)
-
Recuerda también; el siguiente trazo:
Estefany T.F
-
-
-- --
=
=
120º-2θ
60º
60º
B N
C
D
A
=
=
Aplicamos lo mensionado en el gráfico puesto que se presenta las
condiciones:
Geometría
Recuerda:
55 56

A
Recordar:
2
X
Ana Oré
X=θ
120º-2θ
60º
60º
B N
C
D
=
=
X=θ
2θ
Problema 35
Problema 33 Problema 34
Problema 36
20º40º
X
3θ
2θ
3θ
4X 3X
5X
X
3θ 2θ
3X 2X
X
30º 40º X
100º
40º X
20º
20º
40º40º
10º X
Geometría
5857

Solución 33Problema 41 Problema 42
-
7
-
-
X
2θ
60º
X
2X
3X
X
20ºX
100º
5X
X
3X
24º
54º X
-
-
45º X
60º
l
l2
2XX
l2 l
X
l
l2
2X
Geometría
2
2
x
A
C
P
B
N
Recordar:
x
X =120º-θ
Thania Flores
Primero construimos el ABC ANC.
X
120º-θ
2
A
N
C
P
B
En el APC
3 120º-θ + θ =180º
θ = 15º
θ
θ +2
Pero X = 120º -
X = 120º - 15º
X = 105º
59 60

Solución 35
Del gráfico observamos:
BN = a +b.
Por lo tanto:
MC = a +b.
Que en consecuencia
tenemos MN = a.
Aplicamos la construcción
mencionado en NBC.
120º - 4x
8x +120º - 4X = 180º
X = 15º
3X X
2X
2X
X X
b
aa
b
8X
4X
4X
X
X
2X
2X
4X
A
C
B
L
NM
a
b
b
a
8X
4X
X
X
2X4X
A
C
B
L
NM
a
a
a
Geometría
Solución 34
Recordemos la consecuencia del trazo en la siguiente figura:
Trazamos AN para formar el N isósceles.AB
3X
8X
4X
4X
X
4X
A
C
B
L
NM
Pilar Linares
70º
70º
70º
X
X
40º
40º
2(10º)
40º
X = 10º
30º
30º
90º-θ90º-θ 2θ2θ 2θ
90º-θ
Recuerda:
Aplicamos el trazo y vemos que
Se construye el caudrilátero
Karina
Flores
100º = 120º - 20º
=
6261

2X3X 3X
X
A
B
CD
2X
2X
2X
X
A
B
CD
2X
120º-2X
Solución: 36
Construimos el AND
congruente al BCD. Y
observamos el ABDN
Luego nos fijamos en el ABD
3X+ +3X º
Como: 120º-2Xθ=
=180
=
θ =180
3X+120º-2X+3X º
X 15º
X
X
Solución: 37
X
A
B
C
D
2θ
2θ
2θ
3θ
-
-
N
2θ
X=120º-2θ
A
B
N
C
María Soledad
Chipana
Luis Beltran
X
A
B
C
D
2θ
2θ
2θ
3θ
-
-
N
120º-2θ
Ahora en el ABC
3 +X+2 =180º
120-2
θ
Θ
θ
θ =20º
Como: X=120º-2
X=120º-2(20º)
θ
X=80º
Construimos el ANC ADC
Geometría
63 64

Solución: 38
Primero anotamos
las primeras
consecuencias
2θ 2θ
Ivan Jessa
Como la figura presenta las condiciones para hacer el trazo de ceviana
exterior, lo aplicamos:
Recordar:
120-X X
40º 20º20º+X
A
B
CD
Construimos el AMD NAB
120-X X
20º 20º20º
A
B
CD
20º
N
M
20º X
=2X
Elizabeth Oré
120º-X
Recordar:
En la figura observamos el cuadrilátero ABDM cóncavo con las condiciones
para aplicar la propiedad:
120-X X
20º 20º20º
A
B
CD
20º
N
M
20º X
Luego: 20º=2X
X=10º
Geometría
120-X X
40º 20º20º+X
A
B
CD
20º
N
20º
20º
20º
6665

Solución: 39
2θ 90º-θ2θ 90º-θ 2θ
90º-θ
Ana Torres
40º 80º
X10º
40º 40º
70º
A
B
C
D
40º 80º
X10º
40º 40º
70º
A
B
C
D
40º
70º 80º
N
Finalmente; en elñ cudrilátero
cóncavo NACD.
(80º=120º-(20º)) cumple la
condición de los cóncavos:
X=40º/2
X=20º
Solución: 40
Primero hacemos la siguiente construcción y los datos
consecuentes de los mismos.
B
80º
100º
40º
80º
40-X
20º
20º
N
A C
D
X
=2X
Elezabeth Cusi
120º-X
B
80º
100º
40º
80º
40-X
20º
20º
N
A C
D
X
120º-X
Aplicamos la propiedad en el
cuadrilátero sombreado:
20º=2X
X=10º
Geometría
67 68

Solución: 41
5X
3X
X
3X
5X
X
3X
5X
A
B
C
D N
Primero colocamos los valores de los ángulos que parten como consecuencia
de los datos.
Luego trazamos la ceviana exterior CN que cumpla las siguientes
5X
3X
X
3X
5X
X
2X
4X
A
B
C
D N
M
X
X
Construimos el CMN ABC
5X
3X
X
3X
5X
X
2X
4X
A
B
C
D N
M
X
X
12º-2X
Solución: 42
2θ
Nelson
2θ 2θ
d Luego de hacer el trazo (DM) se traza
DB y se verifica que: ABD MDC
En consecuencia: el ABD es isósceles
(m ABD=X )Λ AD=BD
-
-
= + +
Crisanto
Rojas
X
X
2X X
3X
5X
A
B
CM
D
2X
X
Aplicamos la propiedad (m BDC=5X)
Geometría
En el caudrilátero DCMN cóncavo m CDN=120º-2X (Propiedad)
Ahora 3X+5X+120º-2X=180º
X=10º A M
d
d
Construimos DPC
ADB
Luego en el DBC:
5X+120º-2X+3X=180º
X
X
2X X
2X
4X
B
C
D
2X
X
X
X P
120º2X ( )Propiedad de cóncavo
7069

Solución: 43
7
60º
F
D
60º+θ
B
E
CA X
=60º
José Molina
60º+θ
60º
F
D
60º+θ
B
E
CA X
60º+θ
7
Construimos el AFC ADC
Recordar:
Por lo expuesto m EAF=60º
Segun la figura el AEC es
isósceles (m SEAC=m AEC)
X=7
Solución: 44
X
60º
20º
100º
80º
B
A
D
C
2θ 90º-θ2θ 90º-θ 2θ
90º-θ
Segundino
Meza
X
60º
20º
100º
80º
B
A
D
C
20º
N
80º
Construimos según lo
expuesto de la siguiente
120º-2θ X=2X
Jesús Linares
2θ
Construimos ahora el ABM ADC
Geometría
60º
Recordar:
Recuerde:
71 72

Solución: 46
45º X
60º
45º
45º
60º
l
l
A
B
C
D
E
l
l2
45º X
60º
45º
45º
60º
l
l
A
B
C
D
E
l
l2
60º
60º
60º
60º
60º
Erica T.F.
Primero construimos el BED (notable de 45º-45º)
Yuliza Linares
X
45º X
60º
45º
45º
60º
l
l
A
B
C
D
E
l
l2
60º
Aplicando la propiedad: X=90º/2
X=45º
Observación: formas de reconocer al notables
2n
2θ
2n
60º
30º
2θ
2n
3
60º
30º
3
45º
45º2θ
2
2
Geometría
7473

X
60º
20º100º
80º
B
A
D
C
20º
N
80º
20º
100º
X
M
Extrayendo la siguiente figura
notamos que es factible aplicar
la propiedad de los cuadriláteros
cóncavos.
X=10º
120º-2(10º)
20º
100º
2(10º)
N
B
M
Solución: 45
B
A D C
2XX
2X
E
=l
l2 l
=
Se prolonga el BD para trazarle AE//BC
de cual el ADE DBC
AE= BD=DEΛl
- - -
l
B
A D C
2XX
2X
E
=l
l2
l
=
l2
N
X
X
Luis Dueñas
Recuerda:
l2
l
l
l2
l
l
45º
45º
Extraemos el ABC que
resulta como consecuencia
de los trazos.
Despues de construir del AEN isósceles
X=45º
Geometría
75 76

Solución: 47
Trazamos AM//BC del cual el ADM BDC- -
2θ
2n
3
60º
30º
3
Jaime Rayme
l3
A
B
CD
M
l
l
2X
X 2X
l3
A
B
M
l
2X
X
l3
A
B
M
l
2X
X
30º
60º
l2
X=30º
Recuerda:
Aplicamos la propiedad ABM
Solución: 48
30º
24º
64º X
-
-
30º
24º
30º
24º
78º
30º
6º
36º
=
=
6º
6º
30º
6º
72º 36º
Yenito Chipana
30º
24º
78º
30º
6º
36º
=
=
6º
6º
30º
6º
72º 36º
X60º
84º54º
60º
A
B
CD
Despues de realizar la construcción se observa
que el triangulo BCD isósceles (BD=BC)
X=84º
Geometría
7877

a)
b)
y
X
8
5
23
c) y
X
48
25
44
d)
e)
y
X
75
35
21
f)
g)
h)
y
x16
15
20
i)
j)
y
x
5
8
23
y
X
25
29
27
y
x
2
15
2
y
X
4
45
6 22 +
X 44
753
48 - 7
X 23
3 - 3
4
35
k)
X15
6
3 - 1
l)
X8
212 3
a)
X
20º
q
q
b)
X
10º +
b
b
10º
c)
X
20º +
20º
q q
D)
X 21º +
21º
X
Ejercicios1.- Hallar “x” e “y”
2.- Hallar “x”
a) X
10º20º
b) X
21º42º
c)
X
12º
24º
4 Hallar “x” y “a”
a)
X69º42º
3 a
b)
X
61º58º
10 a
c)
X
66º
48º
7
a
d)
X
62º
56º
4 a
4
5 Hallar “x” en:
b)
X
63º
34º
18º
26º
a)
X
66º
28º
16º
32º
3 Hallar “x”
Geometría
79 80

f)
X
120º
7º
120º
2
3
º90
x
-
c)
2X 90º - 3 x
35º
10º25º
d)
2X 90º - 3 x
33º
5º27º
a)
X
120º
18º
63º
c)
2X
120º
10º
90º - 3x
120º
d)
2X
120º
5º
90º - 3x
120º
e)
X
120º
6º
120º
2
3
º90
x
-
e)
X 90º - 3x/2
28º
6º32º
f)
X 90º - 3x/2
37º
7º23º
6 Hallar “x”
b
X
120º
18º
63º
b)
X
120º
18º
63º
7 Hallar “X” en:
10º
10º
40º
70º
9º
42º
69º
20º
120º
20º
80º
5º
50º
65º
6º
6º
48º
66º
40º
20º
12º
24º
34º
20º
10º
6º
12º
17º
40º
50º
54º
48º
43º
20º
40º
48º
36º
26º
Xº
Xº
Xº
Xº
Xº
Geometría
8281

5º
8º
10º
20º
21º
5º
8º
10º
20º
21º
95º
98º
100º
110º
111º
Xº
Xº
Xº
Xº
Xº
10º
12º
18º
14º
21º
18º
12º
16º
9º
20º
18º
12º
50º
48º
46º
46º
39º
Xº
Xº
Xº
Xº
Xº
8 Hallar “x”
a)
b)
c)
d)
e)
9 Hallar “x”
a)
a)
c)
d)
e)
b b
b b
b + 10º b + 10º
b b+ 15º + 15º
b b
b b
+ 20º + 20º
+ 30º + 30º
a
a
a
a
7 7
7 7
15 15
xº xº
xº xº
+ 26º + 26º+ 13º + 13º
a
a
a
a
a
a
20 20
8 8
9 9
xº xº
xº xº
X X
2X 2X3X 3X
q q
3q 3q2q 2q
q q
q q
q q
10 Hallar “x”
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j
Geometría
83 84

27º
3º
X
10º
20º
X
21º
9º
X
18º
12º
X
25º
5º
X
Hallar “X” en:
20º
30º
X
30º
30º
X
40º
30º
X
28º
30º
X
51º
30º
X
20º
10º
50º
X
14º
7º
53º
X
18º
9º
51º
X
10º
50º
30º
X
12º
48º
30º
X
6º
54º
30º
X
18º
42º
30º
X
a) a)a)a)
b) b)b)
b)
c) c)c)
c)
d) d)d)
e) e)e)
11 12Hallar “x” Hallar “x” 13 14 Hallar “x”
25º
35º
30º
X
85 86
Geometría

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