Mat II

1. INSTITUTO UNIVERSITARIO AERONAUTICO
ING DE SISTEMAS
MATEMATICA II
ALUMNO:Peralta Matías
UNIDAD 4. Actividad5 primera parte.
Extraído de la página:
http://problemasdematematicasresueltos.blogspot.com.ar/p/eventos-mat.html
APLICACIONESDE LA DERIVADA
PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
EJEMPLO 1
Se quiere construiruna caja abierta con base cuadrada, empleando108 pulgadas cuadradas
de material.¿Qué dimensionesproduciránunacaja de volumenmáximo?
SOLUCION
Como la caja tiene base cuadrada, su volumenes:
V = X2
h ecuaciónprimaria
Además,como está abierta por su parte superior,su área es:

2. S = (área de la base) + (área de los cuatro laterales)
S = X2
+ 4Xh = 108 ecuaciónsegunda
Ya que deseamosmaximizarV, la expresaremoscomofunción de una solavariable. Para
ello,despejamoshen 108 = X2
+ 4Xh en términosde x, esdecir

3. Evaluando V en los puntoscríticos del dominioy enlos puntos terminales
del dominio,vemosque
V (0) = 0, V (6) = 108, V ( 10,39) = 0
Concluimosque V es máximocuando x=6, es decirpara una caja de dimensiones6x6x3.
APLICACIONESDE DESIGUALDADES 2

4. DECISIONES DE FABRICACIÓN
El administrador de una fábrica debe decidirsi deberánproducir sus propiosempaques,que
la empresaha estadoadquiriendode proveedoresexternosaU.S. $1,10 cada uno.La
fabricación de los empaquesincrementaríalos costos generalesde la empresaenU.S. $800
al mes y el costo de material y de mano de obra será de U.S. $0,60 por cada empaque.
¿Cuántos empaquesdeberáusar la empresa al mespara justificar la decisiónde fabricar sus
propios empaques?
SOLUCIÓN
Sea x el número de empaquesutilizadospor la empresa al mes.Entonces el costo de adquirir
x empaquesa U.S. $ 1,10 cada uno es de 1,10x dólares. El costo de fabricar x empaquesesde
U.S. $0,60 por empaque más costos generalesde U.S. $800 al mes,de modo que el costo
total es
0,60x + 800
Para justificarla fabricación de losempaquespor la empresamisma,debe ser cierta la
desigualdadsiguiente.
Costo de adquisición > costo de fabricación
1,10X > 0,60x + 800
1,10x – 0,60x > 800
0,50x > 800
X > 1600

5. En consecuencia,la empresadebe usar al menos1601 empaquesal mespara justificar el
fabricarlos.
Un peluqueroatiende unpromediode 100 clientesa la semana y lescobra $5 por corte.Por
cada incrementode 75¢ enla tarifa, el peluqueropierde 10 clientes.¿Qué preciodeberáfijar
de modoque los ingresossemanalesnosean menoresde los que el obtiene por la tarifa de
$5?
SOLUCIÓN
Sea X el númerode incrementosde 75¢ en la tarifa por encimade $5. Entoncesel preciopor
corte es de (5 + 0.75X) dólares y el número de clientesque acuden con esta tarifa será de
(100 – 10X) a la semana.
Ingresos totalesa la semana = Número de clientesX preciosdel corte
= (100 – 10X) (5 + 0.75X) dólares
DECISIONES SOBRE FIJACIONDE PRECIOS
Los ingresoscorrespondientesa 100 clientessonde 100 x $5 = $500. Por tanto los nuevos
ingresossemanalesdeberíanseral menos $500 dólares.En consecuencia,
(100 – 10X) (5 + 0.75X) ≥ 500
Simplificamosyfactorizamos.
500 + 25x –7.5x2
≥ 500
25x – 7.5x2
≥ 0

6. 2.5x (10 – 3x) ≥ 0
Dado que x es positiva,podemosdividirambos lados entre 2.5x con lo que obtenemos
10 – 3x ≥ 0
X ≤ 10/3.
Así deberíahabera lo más 10/3 incrementosde 75¢ o $2.50. el peluquerodeberíacobrar
una tarifa máxima de $5 + $2.50 = $7.50 por corte con el objetode obteneral menoslos
mismosingresosque loscorrespondientesa 100 clientescobrándoles$5 por corte.