Graficos

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA
LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
EXTENSIÓN COL - SEDE CIUDAD OJEDA
GRÁFICOS DE CONTROL PARA DATOS VARIABLES Y POR
ATRIBUTOS
Autores:
Patricia Vargas
Henry Cortez
Ciudad Ojeda, Octubre 2018

2. INDICE GENERAL
A- Conceptos y fórmulas para gráficos por atributos
- Elaboración de gráficos por atributos
. · P = Fracción defectuoso
· NP = Número de defectuosa
· C = Número de defectos
· U = Defectos por unidades
- Cómo y Cuándo aplicar los diferentes gráficos por atributos.
- Elaboración de ejemplos de gráficos por atributos.
B- Conceptos y fórmulas para gráficos para variables.
- Elaboración gráficos para variables
· Tipos gráficos X, gráficos R
· Tipos gráficos X, gráficos S
- Cómo y Cuándo aplicar los diferentes gráficos por Variable.
- Elaboración de ejemplos de gráficos por Variable.

3. INTRODUCCION
Cuando no es fácil medir un producto o una parte, o cuando la calidad se
puede obtener como un atributo conforme o no con unas especificaciones de
calidad, se puede usar una gráfica de control de características. Estas técnicas
analizan tanto las características buenas como malas, sin hacer referencia al
grado. Entonces, se acepta o se rechaza contando cuántas unidades tienen o
no el defecto, o comprobando el número de tales eventos que ocurren en la
unidad, grupo o área, y comparando con el criterio de aceptación establecido.
Se acepta o rechaza la pieza o el lote sin asociar un valor concreto. El atributo
a controlar se suele elegir de forma que sea fácilmente observable y por tanto
económico de controlar.
Por ende, un gráfico de control es una herramienta utilizada para distinguir
las variaciones debidas a causas asignables o especiales a partir de las
variaciones aleatorias inherentes al proceso. las variaciones aleatorias se
repiten casualmente dentro de los límites predecibles. un gráfico de control es
una herramienta utilizada para distinguir las variaciones. las variaciones
aleatorias se repiten casualmente dentro de los límites predecibles.
Las variaciones debidas a causas asignables o especiales indican que es
necesario identificar, investigar y poner bajo control algunos factores que
afectan al proceso. La construcción de gráficos de control está basada en la
estadística matemática. Los gráficos de control emplean datos de operación
para establecer límites dentro de los cuales se espera hacer observaciones
futuras, si el proceso demuestra no haber sido afectado por causas asignables
o especiales.

4. DESARROLLO
Gráficos de Control Por Atributos
Constituyen la herramienta esencial utilizada para controlar características
de calidad con solo dos situaciones posibles, como, por ejemplo:
conforme/disconforme, funciona/ no funciona, defectuoso/no defectuoso,
presente/ausente, etc.; o bien para características que se puedan contar, como
numero de manchas, numero de golpes, numero de rayas, etc. También en
algunas ocasiones se tratan características por variables como atributos, en el
caso de que solo se considere si se cumplen o no las especificaciones de
calidad sin importar cuál es el valor concreto de dicha variable.
Las especificaciones de calidad son las medidas deseadas de las
características de la calidad en un producto. Las características de calidad se
evalúan con respecto a estas especificaciones. Por lo general, los gráficos por
atributos no ofrecen tanta información como los graficas por variables, ya que
una medición numérica es más informativa que la sola clasificación de una
unidad como conforme o disconforme. Aun así, los gráficos por atributos son
muy útiles en el sector servicios y en los esfuerzos de mejora de la calidad
fuera de la manufactura, ya que no es fácil medir en una escala numérica un
gran número de las características de calidad que se encuentran en estos
escenarios.
Al igual que en los gráficos de control por variables, el grafico de atributos
representa un estadístico T del proceso (como puede ser el número de
defectos) frente al número de la muestra o al tiempo. Una línea central
representa el valor medio o esperado del estadístico, mientras que la
especificación de los límites de control es una de las decisiones críticas que
deben tomarse al diseñar un gráfico de control. Un punto que se encuentra
fuera de los límites de control se interpreta como una evidencia de que el
proceso está fuera de control. Además, incluso si todos los puntos se hallan

5. comprendidos entre los límites de control, pero se comportan de manera
sistemática o no aleatoria, también se tendría un proceso fuera de control.
En el uso de este tipo de gráficos han de considerarse las siguientes
limitaciones:
- Es necesario tomar muestras de tamaño grande para obtener información
significativa.
- Son aplicables a procesos que presentan cantidades considerables de
disconformidades (defectos), o unidades no conformes (defectuosas).
- No avisan de cambios adversos en el parámetro que desea controlar en el
proceso hasta que se han registrado un mayor número de defectos o unidades
no conformes.
- Las verificaciones pueden estar influidas por subjetividades de las personas
que evalúan la muestra, por lo que se hace necesario el establecimiento de
unos criterios de conformidad escritos y con apoyo de medios visuales que
minimicen estas diferencias.
Por otra parte, el uso de estos graficas de control comporta las siguientes
ventajas:
- La recogida de información de atributos es rápida y poco costosa.
- Se pueden aplicar a cualquier tipo de característica.
- Permiten identificar las causas especiales de variación que afectan al
proceso cuando los valores representados en la gráfica se salen de los límites
de control especificados, es decir, cuando el proceso este estadísticamente
fuera de control.
Las aplicaciones más frecuentes de estos graficas son las siguientes:
- En el control de características de calidad del tipo conforme/defectuoso o
muy costosas de medir en una escala numérica.

6. - En una primera toma de información en el proceso para detectar las
operaciones que provocan más defectos.
- En el control de procesos que generan cantidades grandes de defectos.
Presentan gráficos de control por atributos en dos grupos:
· Se puede comparar un producto con un estándar y se clasifica como
defectuoso o no (gráficos p y np)
· En algunos productos, la existencia de un defecto no necesariamente
conlleva a que el producto sea defectuoso; en tales casos, puede resultar
conveniente clasificar un producto según el número de defectos que presenta
(gráficos c y u). Es importante notar que los graficas p y u permiten trabajar
con muestras de tamaños diferentes, mientras que los gráficos np y c están
diseñados para muestras de tamaño constante.
LOS GRÁFICOS np Y p
Los gráficos np y p se utilizan para controlar la proporción de piezas
defectuosas que genera el proceso; el primero exige que el tamaño de muestra
sea constante mientras que el segundo no
EL GRÁFICO p
El grafico p es un gráfico de control del porcentaje o fracción de unidades
defectuosas (cociente entre el número de artículos defectuosos en una
población y el número total de artículos de dicha población). Este tipo de
grafico se basa en la evaluación del número de unidades defectuosas en
muestras de tamaño variable tomadas a intervalos fijos de tiempo. Se utiliza
cuando en un muestreo no puede mantenerse constante el tamaño de

7. muestra. Generalmente se requiere un tamaño de muestra grande, tanto para
este gráfico de control como para el resto de gráficos de control por atributos.
Este tamaño de muestra ha de ser lo suficiente como para que en cada
muestra se registren varias unidades defectuosas, de forma que puedan
evidenciarse cambios significativamente favorables, como la aparición de
muestras con cero unidades defectuosas. Los principios estadísticos que
sirven de base al diagrama de control p se basan en la distribución Binomial:
supóngase que el proceso de producción funciona de manera estable, de tal
forma que la probabilidad de que cualquier artículo no este conforme con las
especificaciones es p, y que los artículos producidos sucesivamente son
independientes. Representando por Xi al número de artículos defectuosos en
la muestra i-esima, se tendrá: que Xi ≈ B(ni, p).
El gráfico P sirve para detectar artículos defectuosos cuando se están
analizando variables por atributos, proporcionará la fracción o porcentaje de
artículos defectuosos en la población
que se encuentra bajo estudio.
Los pasos para obtener el gráfico P
1. Definir la característica de calidad (atributo) que se desea analizar. Olor,
sabor, medida específica, etc. Lo tiene o no lo tiene.
2. Controlar las condiciones del proceso. Eliminar las variables asignables o
atribuibles del proceso.
3. Tomar un número K de muestras. El tamaño de la muestra debe de ser
variable, es decirlas muestras no son del mismo tamaño. El número de
muestras no debe ser menor a 20, y cada muestra debe tener por lo menos 50
elementos.
4. Tabular resultados de acuerdo a la siguiente tabla:

8. 5. Cálculo de. A continuación, se calcula la media (promedio) del tamaño de
las k muestras.
6. Se genera un rango alrededor de la media de +20%.
a) Si todas las muestras se encuentran dentro de este rango, continuamos con
el paso 7
b) Si solamente una de las muestras no se encuentra dentro de este rango,
dicha muestra se elimina y se vuelve al paso número 5
c) Si más de una muestra se encuentra fuera del rango establecido, entonces
a partir del paso. 7 todo se hará de manera independiente para cada muestra.
7. Cálculo de los valores promedio. Posteriormente se calcula la media
(promedio) de la fracción de defectuosos (p).

9. 8. Cálculo de los límites de control del proceso. El siguiente paso es el cálculo
de los límites de control de nuestro proceso. Dado que se está realizando el
análisis de los atributos (se tiene o no se tiene) se utiliza una distribución
binomial para calcular los límites de control. Los cuales están dados por: Límite
superior de Control (LSC), Límite Central de Control (LCC) y límite Inferior de
Control (LIC).
9. Graficar. A continuación, se realiza la gráfica, en la cual se marcan los
límites de control y en relación a ellos se grafica el número de defectuosos de
cada una de las muestras.
10. Comparar el proceso con los límites de especificaciones. Observar el
comportamiento del proceso de acuerdo con la gráfica y sacar conclusiones
EL GRÁFICO np
Los gráficos np se aplican al mismo tipo de procesos que en el caso
anterior. La diferencia está en que, en lugar de contabilizar la proporción de
unidades defectuosas en una muestra, se considera el número de unidades
defectuosas en la muestra, para ello se toman de forma sistemática muestras
de tamaño constante a intervalos fijos de tiempo. Este tipo de gráficos permite
analizar el número de artículos defectuosos para así poder detectar la posible

10. existencia de causas especiales en el proceso productivo. En cada muestra se
evalúa el número de unidades defectuosas, independientemente de que se
presenten varios defectos en alguna unidad.
Los principios estadísticos que sirven de base al grafico de control np se
basan en la distribución Binomial, al igual que en el grafico p explicado
anteriormente. El gráfico np sirve para detectar la fracción de artículos
defectuosos cuando se están analizando variables por atributos, proporcionará
la fracción o porcentaje de artículos defectuosos en la población que se
encuentra bajo estudio.
Los pasos para obtener el gráfico np
1. Definir la característica de calidad (atributo) que se desea analizar.
2. Controlar las condiciones del proceso. Eliminar todas las variables
asignables o atribuibles del proceso.
3. Tomar un número K de muestras. Las muestras deben de ser de tamaño
constante, es decir todas las muestras son del mismo tamaño. El número de
muestras no debe ser menor a
20, y cada muestra debe tener por lo menos 50 elementos.
4. Tabular resultados de acuerdo a la siguiente tabla

11. 5. Cálculo de
Posteriormente se calcula la media (promedio) del número de artículos
defectuosos de todas las muestras.
6. Cálculo de los Límites de Control del Proceso.
Dado que se está realizando el análisis de los atributos (se tiene o no se tiene)
se utiliza una distribución binomial para calcular los límites de control. Los
cuales están dados por: Límite superior de Control (LSC), Límite Central de
Control (LCC) y límite Inferior de Control (LIC)
9. Graficar. A continuación, se realiza la gráfica, en la cual se marcan los
límites de control y en relación a ellos se grafica el número de defectuosos de
cada una de las muestras.
10. Comparar el proceso con los límites de especificaciones. Observar el
comportamiento del proceso de acuerdo con la gráfica y sacar conclusiones.
LOS GRÁFICOS c Y u
Los gráficos c y u sirven para controlar el número de defectos; el primero
exige que el tamaño de muestra sea constante, mientras que este requisito no
es necesario en el grafico u.
EL GRÁFICO c

12. Este tipo de grafico controla la evolución de los defectos presentes en
muestras de tamaño constante tomadas a intervalos fijos de tiempo. El grafico
c está basado en el número total de defectos o de no conformidades en la
producción. Los principios estadísticos que sirven de base al grafico de control
c se basan en la distribución de Poisson.
EL GRÁFICO u
Este tipo de grafico representa los defectos por unidad presentes en
muestras tomadas a intervalos fijos de tiempo. Al trabajar en defectos por
unidad este grafico u permite trabajar tanto con muestras de tamaño fijo como
variable. Se utiliza cuando en un muestreo como el definido para el grafico c,
no puede mantenerse constante el tamaño de la muestra. Debido a ello se
trabaja con tasa de defectos por unidad
Los gráficos de control son una herramienta poderosa para las empresas.
Pero a la vez son también un arma de doble filo, puesto que, si no se conocen
sus propiedades y cualidades, pueden usarse de forma incorrecta, no
sirviendo para su propósito final – que no es otro más que mejorar los procesos
de producción y reducir los costes de todo tipo. La variable a monitorizar ha de
estar claramente definida, así como los resultados que se espera obtener. En
ese caso, hay una amplia variedad de gráficos de control. se han detallado los
gráficos de control por atributos, cuya utilidad está siendo estudiada cada vez
más por sus innegables ventajas. Además, existen muchas variantes de los
modelos.
El grafico de control para el numero de defectos por unidad de inspección
o grafico u también es utilizado para controlar el número de defectos que
genera el proceso. El grafico u se diferencia del grafico c en que el tamaño
muestral no es necesariamente constante y en que el estadístico a representar
es el número de defectos por unidad muestreada u en vez de la cantidad total

13. de defectos en la muestra. Utilizando la aproximación a la normal de la variable
de Poisson y que ui = Ci=ni.
Donde ci es el número medio de defectos en una muestra de tamaño ni
cuando el proceso está bajo control. Si llamamos p al número de defectos por
unidad inspeccionada que genera el proceso cuando ´este está bajo control,
se tiene que ci = ni p, con lo que la ecuación anterior puede expresarse:
As, si p es conocido, el grafico u tendrá los siguientes límites de control
Si p es desconocido, la estimación del número de defectos por unidad
inspeccionada es:
y los límites de control serán

14. Ejemplo. En una fábrica de tejidos, se inspeccionan telas teñidas para
detectar los defectos en 50 metros cuadrados. Los datos para diez rollos de
tela se presentan en la tabla:
La línea central del gráfico u debe ser el número de defectos por unidad de
inspección, es decir, el número de defectos por 50 metros cuadrados estimada
mediante:

15. Así, los límites de control quedarían, con k = 3,
Ejemplo de una carta de control p
Se ha encontrado que una carta de control de las proporciones de lámparas
defectuosas es más adecuada para este análisis. También se ha determinado
realizar el muestreo con subgrupos de tamaño variable, por lo que se ha
optado por llevar a cabo el análisis con una carta de control p. Después de 30
días se han obtenido los siguientes datos. También se ha encontrado que en
los días 4, 18 y 19 se dio. un número anormal de unidades defectuosas, lo cual
parece deberse a problemas con la cablearía.

16. Datos recopilados de los reportes del mes anterior
Primer cálculo para obtener los límites de control.
Primer gráfico para observar los puntos fuera de los límites de control.

17. Subgrupos descartados de acuerdo a la gráfica anterior.
La carta de control muestra tres puntos fuera de los límites de control.
Precisamente en esos días se reportaron varias lámparas con defectos en las
clavijas. Por lo tanto, esas causas deben ser descartadas y la línea central y
los límites de control deben ser calculados nuevamente.
Segundo gráfico para observar los puntos fuera de los límites de control.

18. Subgrupos descartados acumulados de acuerdo a las gráficas
anteriores.
La línea central y los límites de control deben ser calculados nuevamente,
ya que todavía se encontró un punto fuera de los límites de control.
Tercer gráfico para observar los puntos fuera de los límites de control.

19. Subgrupos descartados acumulados de acuerdo a las gráficas
anteriores.
La línea central y los límites de control deben ser calculados nuevamente,
ya que todavía se encontró un punto fuera de los límites de control.

20. Gráficos de Control Por Variables
Estos gráficos permiten mediante muestras de pequeño tamaño visualizar
en que límites un proceso está dentro de control. Para esto se usan técnicas
estadísticas aceptando los errores siguiendo la distribución normal. Los
gráficos de control por variables se deben utilizar cuando se precise controlar
una dimensión o característica concreta de un producto en el que se están
produciendo defectos o cuando no estamos seguros de que el proceso con el
que se fabrican estos productos sea el adecuado.
El control por variables tiene como ventajas a destacar que el operario
recibe información de la calidad de su trabajo y puede contrastarla con los
objetivos perseguidos, además se puede prever la aparición de piezas
defectuosas, así como detectar que un proceso es el adecuado para fabricar
una determinada pieza analizando también la evolución del propio proceso.
Para efectuar un control por variables hay que comenzar estimando la
media y la desviación típica del proceso, suponiendo que éste se halla en
estado de control. Para ello se irán tomando muestras de la producción en
condiciones estándar, tratando de eliminar las causas asignables de variación.
Los datos deberán tomarse durante un tiempo suficientemente dilatado para
incluir todas las posibles causas no asignables de variación, como pueden ser
la fatiga de los operarios, la existencia de turnos, el que haya distintos
proveedores de materia prima, etc.
Además, la totalidad de las muestras tomadas se agruparán en pequeñas
muestras igualmente espaciadas a lo largo de intervalo de producción (cada
hora, cada día, cada semana, etc), lo cual permite detectar posibles
situaciones fuera de control, motivadas, por ejemplo, por desajustes de las
máquinas. De este modo tendremos k muestras con n elementos cada una:

21. Donde cij representa la j-ésima observación de la i-ésima muestra (i =
1,…,k, j = 1,…,n). Si el proceso hubiera permanecido en estado de control
durante todo el período de recogida de información, estos N = kn datos
constituirían una muestra aleatoria simple, por lo que estimaríamos la media
poblacional por la media muestral (el estimador centrado usual):
Análogamente, un estimador centrado de la varianza del proceso sería la
cuasivarianza muestral:
Sin embargo, es posible que el proceso haya pasado a una situación de
falta de control, por cambios en la media o en la variabilidad, y en
consecuencia, la muestra tomada no es aleatoria simple, por lo que las
expresiones anteriores no son adecuadas. Para decidir este aspecto se utiliza
un gráfico de control para los promedios y otro para la variabilidad y, como la
variabilidad se mide bien en la práctica por la desviación típica s, o por la
cuasidesviación típica sc o por el recorrido R, se tienen tres tipos de gráficos
de control para las medias, gráficos, y tres para la variabilidad: gráfico de
control para la desviación típica, para la cuasidesviación típica y para el
recorrido.

22. Gráfico de Medias
En este caso los límites de control y la línea central son:
donde A1 es un coeficiente que depende del tamaño de muestra y que se
haya tabulado en el fichero de tablas y es la media de las desviaciones típicas.
Gráfico de medias
En este caso los límites de control y la línea central son:
donde A3 es un coeficiente que depende del tamaño de muestra y que se
haya tabulado en el fichero de tablas y es la media de las cuasidesviaciones
típicas.
Gráfico de medias
En este caso los límites de control y la línea central son:

23. donde A2 es un coeficiente que depende del tamaño de muestra y que se
haya tabulado en el fichero de tablas y es la media de los recorridos.
Gráfico de desviaciones típicas S
En este caso los límites de control y la línea central son:
Donde B3 y B4 son unos coeficientes que depende del tamaño de muestra
y que se haya tabulado en el fichero de tablas y es la media de las
desviaciones típicas.
Gráfico de cuasidesviaciones típicas Sc
En este caso los límites de control y la línea central son:
Donde B3 y B4 son unos coeficientes que depende del tamaño de muestra
y que se haya tabulado en el fichero de tablas y es la media de las
cuasidesviaciones típicas.
Gráfico de recorridos R
En este caso los límites de control y la línea central son:

24. Donde D3 y D4 son unos coeficientes que depende del tamaño de muestra
y que se haya tabulado en el fichero de tablas y es la media de los recorridos.
Ejemplo A:

25. CONCLUSIONES
En los gráficos de control por atributos, el control del proceso se realiza
mediante atributos de tipo dicotómico. Así, se puede analizar si el producto o
servicio posee o no una determinada característica (atributo): color, forma,
defecto, tipo, etc. Y en general se aborda dicho análisis mediante preguntas
del tipo: aceptable/no aceptable, si/no, funciona/no funciona, etc.
Un gráfico de control es un diagrama especialmente preparado donde se
van anotando los valores sucesivos de la característica de la calidad que se
está controlando. Los datos registran durante el funcionamiento del proceso
de fabricación y a medida que se obtienen
Las variables, también suelen ser llamados caracteres cuantitativos, son
aquellos que pueden ser expresados mediante números. Son caracteres
susceptibles de medición. Como, por ejemplo, la estatura, el peso, el salario,
la edad.
Los atributos también llamados caracteres cualitativos, son aquellos que no
son susceptibles de medición, es decir que no se pueden expresar mediante
un número.

26. REFERENCIAS
https://alfredogutierrez.weebly.com/unidad-2-graacuteficas-de-control-por-
variables.html
https://controlestadisticocarloscastillo.weebly.com/uploads/3/9/2/0/.../capitulo
_2.pdf
https://ingenioempresa.com › Mejoramiento de procesos
https://www.3ciencias.com/wp-content/uploads/2012/06/2.-Graf_Atributos.pdf
ocw.usal.es/ciencias-sociales-1/control-estadistico-de-
la.../contenido/.../Tema3.pdf
https://ingenioempresa.com/grafico-de-control/
https://es.slideshare.net/Marilaguna/ejercicios-cartas-de-control-p-y-np-c-y-
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