Didactica de la matematica - Modulo II

PERÚ Ministerio
de EducaciónPERÚ Ministerio
de Educación
PROGRAMA DE ACTUALIZACIÓN EN
DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
EDUCACIÓN SECUNDARIA
MÓDULO DE ACTUALIZACIÓN EN
DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
IGUALDAD Y ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO

Módulo de actualización en didáctica de la Matemática
Igualdad y ecuaciones lineales de primer grado
Educación Secundaria - Matemática
MINISTERIO DE EDUCACIÓN
Avenida de la Arqueología, cuadra 2- San Borja
Lima 41, Perú
Teléfono: 615-5800
www.minedu.gob.pe
Ministro de Educación:
Jaime Saavedra Chanduví
Viceministro de Gestión Pedagógica:
Flavio Figallo Rivadeneyra
Directora de Educación Superior Pedagógica:
Paula Maguiña Ugarte
Coordinadora pedagógica:
Elliana Ramírez Arce de Sánchez Moreno
Equipo pedagógico de elaboración del módulo :
Tim DeWinter
Verónica Ugarte Galdos
Nora Ysela Espinoza Chirinos
Coordinación editorial
Nilo Gabriel Espinoza Suárez
Editor:
Nilo Gabriel Espinoza Suárez
Corrección de estilo:
Gerson Rivera Cisneros
Diseño e ilustración:
Iván Casapía Eguren
Diagramación:
Christian Bendezú Rodríguez
Fotografía:
Sergio Nawuel Bravo

AGRADECIMIENTOS
A nuestros colaboradores del Archivo Fotográfico de IPEBA. A la comunidad educativa,
profesoras y profesores, personal administrativo, padres de familia y estudiantes de
las I. E. P. La Casa de Cartón, en especial al profesor Gregorio Fernández Gonzales y
al director Carlos Palacios Berrios. Al colegio Trener, en especial al profesor Fernando
Daneri Vargas y a su directora, Maria Mercedes García de Valenzuela.

4
Lectura previa:Las matemáticas ocultas en la vida cotidiana ................................. 13
Primera situación para la reflexión pedagógica:
Igualdad y ecuaciones ....................................................................................... 16
Primer taller presencial ............................................................................ 24
Segunda situación para la reflexión pedagógica:
Representación de una ecuación......................................................................... 26
Círculo de interaprendizaje colaborativo 1 ................................................... 37
Tercera situación para la reflexión pedagógica:
Resolución de ecuaciones simples ....................................................................... 39
Segundo taller presencial ......................................................................... 48
Cuarta situación para la reflexión pedagógica:
Ecuaciones simultáneas ..................................................................................... 50
Círculo de interaprendizaje colaborativo 2.................................................... 60
Profundización teórica y pedagógica 1:
Resolución de ecuaciones simples y de ecuaciones lineales simultáneas................. 61
Tercer taller presencial ............................................................................ 72
Profundización teórica y pedagógica 2:
Ecuaciones en contexto...................................................................................... 74
Cuarto taller presencial............................................................................ 79
II. IGUALDADY ECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO
I. INFORMACIÓN GENERAL
Programa de actualización en didáctica de la Matemática ..................................... 6
Presentación del módulo de actualización “Igualdad y ecuaciones lineales de primer
grado”............................................................................................................... 8
Secuencia formativa del módulo ......................................................................... 10
Productos previstos para este módulo.................................................................. 12
CONTENIDO

5
Ejecución de la práctica pedagógica en el aula y elaboración de la narración
documentada .................................................................................................... 80
Presentación de las narraciones documentadas y el trabajo final............................ 83
Autoevaluación del participante sobre el módulo................................................... 85
Glosario ........................................................................................................... 86
Bibliografía ....................................................................................................... 87
Anexo 1 ........................................................................................................... 89
Anexo 2 ........................................................................................................... 92

6
PROGRAMA DE ACTUALIZACIÓN EN DIDÁCTICA DE LA
MATEMÁTICA - EDUCACIÓN SECUNDARIA
ROL DOCENTEY
CONSTRUCCIÓN DEL
CONOCIMIENTO
IGUALDAD Y ECUACIONES
LINEALES DE PRIMER
GRADO
MATEMática II
MATEMáticA III

7
LOS DOCENTES PARTICIPANTES
TEMARIO
Interactúanconsusparesdemanerareflexivaycríticaparapresentarformasdeintervención
en el aula donde se evidencia el manejo de los conceptos matemáticos y el uso de diversas
estrategias, constituyendo una comunidad de aprendizaje.
Plantean situaciones problemáticas y actividades relativas a las nociones de ecuaciones
simples y simultáneas considerando su contexto, el rol de facilitadores que cumplen como
docentes, la implementación de diversas estrategias y la participación activa y reflexiva de
los estudiantes durante la construcción de las nociones matemáticas.
Aplican sus conocimientos conceptuales y procedimentales durante el desarrollo
de actividades propuestas justificando de forma reflexiva y crítica las nociones y
procedimientos empleados contrastados con su práctica pedagógica.
Igualdad y ecuaciones.
Representación de una ecuación.
Resolución de ecuaciones simples.
Ecuaciones simultáneas.

8
Asimismo, busca fortalecer las competencias de los docentes para desarrollar y conducir
situaciones de aprendizaje para la resolución de ecuaciones aplicadas a problemas reales,
en un clima que propicie la reflexión y la construcción del aprendizaje de manera individual
y colectiva, tomando en cuenta las características de los estudiantes y del contexto.
Reflexionaremos sobre las diversas estrategias que podemos usar en la resolución de
ecuaciones simples y de ecuaciones lineales simultáneas; así como en los principios que
subyacen en las fórmulas o en las operaciones que normalmente se usan para resolverlas.
Utilizaremos el enfoque problémico de la matemática que busca contextualizar el
aprendizaje. Proponemos que los docentes generen situaciones significativas de aprendizaje
donde las matemáticas ayuden a los alumnos a resolver situaciones cotidianas.
Se desarrollarán trabajos que permitan la aplicación práctica de lo aprendido, así como la
elaboración de material que pueda ser usado en el aula. Además, tendremos la oportunidad
de reflexionar sobre la práctica docente y las herramientas y recursos matemáticos de
forma crítica y reflexiva, individual y grupalmente.
PRESENTACIÓN DEL MÓDULO DE ACTUALIZACIÓN
en didáctica de la Matemática “Igualdad
y ecuaciones lineales de primer grado”
1
MINISTERIO DE EDUCACIÓN DEL PERÚ (2014). Marco Curricular Nacional. Propuesta para el diálogo (segunda versión). Lima: Minedu.
Consulta: 12 de julio de 2014.
<http://www.minedu.gob.pe/minedu/archivos/MarcoCurricular.pdf>
Este módulo tiene por finalidad contribuir con la práctica pedagógica que diariamente
realizas en el aula para orientar a los estudiantes en el logro de los aprendizajes
fundamentales relacionados con Matemática1
.

9
En este módulo, el participante de la modalidad semipresencial intervendrá en
talleres presenciales y círculos de interaprendizaje colaborativo. Además, interactuará
en un foro, elaborará propuestas pedagógicas para aplicarlas en el aula y presentará
tareas y narraciones documentadas de la práctica realizada.
El participante que siga la modalidad virtual (e-learning 1 o 2) recibirá una guía
orientadora para desarrollar el equivalente de actividades que se plantean para los
talleres presenciales y círculos de interaprendizaje colaborativo.
ACTIVIDADESYTAREAS
A continuación te presentamos la secuencia formativa del módulo
en la modalidad semipresencial.

10
FORODE D
Foroparaplantearconsultas, du*CIAC: Círculo de interaprendizaje colaborativo
SITUACIÓN
3
SITUACIÓN
2
SITUACIÓN
PARA
REFLEXIONAR 1
SITUACIÓN
4
TAREA
CIAC
LECTURA
PREVIA
EJECUCIÓN DE LA
PRÁCTICA ,
EL ABORACIÓN
DE LA NARRACIÓN
DOCUMENTADA
Y DESARROLLO
DETRABAJO FINAL
PRESENTACIÓNDELASNA
DOCUMENTADA
YDELTRABAJOFI
TALLER
PRESENCIAL
REFLEXIÓN
3
REFLEXIÓN
2
REFLEXIÓN
SOBRE
LASITUACIÓN
PRESENTADA1
REFLEXIÓN
4
TAREA
TAREA
TAREA
TAREA
SECUENCIA FORMATIVA DEL MÓDULO
10

11
E DUDAS
as, dudas,sugerenciasydiﬁcultades.
REFLEXIÓN
TAREA
TALLER
PRESENCIAL
TALLER
PRESENCIAL
TALLER
PRESENCIAL
CIAC
CIAC*
CIAC AUTOEVALUACIÓN
DELASNARRACIONES
UMENTADAS
RABAJOFINAL
PROFUNDIZACIÓN
TEÓRICAYPEDAGÓGICA2
PROFUNDIZACIÓN
TEÓRICAY
PEDAGÓGICA1
REFLEXIÓN
(MODALIDAD SEMIPRESENCIAL)
11

12
Los productos previstos para este módulo consisten en:
1. SESIÓNTALLER MATEMÁTICO
El primer producto consiste en la elaboración, implementación y registro de una
sesión de aprendizaje en la que se desarrolle la construcción de una noción
correspondiente a lo desarrrolllado en este módulo, ecuaciones de primer grado.
Como parte de este producto, es necesario consignar trabajos de los estudiantes,
fotos, registros de diálogo, entre otros.
Deberás desarrollar la sesión de aprendizaje en aula durante la séptima semana y
narrar su implementación. La narración documentada debe incluir reflexión sobre
las siguientes preguntas:
a. ¿Qué situación motivó el desarrollo de las actividades propuestas durante la
sesión?
b. ¿Cómo propuso las actividades a sus estudiantes, y cómo respondieron ellos?,
¿sucedió algo que no había previsto y, de ser así, cómo enfrentó la situación?
c. ¿Cómo fue la participación de los estudiantes durante la sesión?, ¿cómo los
apoyó en el desarrollo de sus aprendizajes?
d. ¿Qué materiales utilizó?, ¿qué interrogantes formuló para problematizar a sus
estudiantes?, ¿qué aprendieron ellos?, ¿qué aprendió usted?
2. TRABAJO FINAL
En la última semana de este módulo deberás presentar el trabajo final. Este
consiste en redactar siete problemas matemáticos que se resuelvan a través
de ecuaciones simples o ecuaciones lineales simultáneas. Los problemas deben
estar contextualizados a tu realidad y organizados de menor a mayor nivel de
dificultad, indicando por qué se han clasificado de esta manera. Los problemas
deben presentarse desarrollados y deben incluir explicación detallada de los pasos
seguidos para su solución.
PRODUCTOS PREVISTOS PARA ESTE MÓDULO

13
Dos caminos paralelos. En uno está el mundo
físico, la naturaleza, la vida cotidiana del hombre.
En el de al lado, ese lenguaje de pensamiento
abstracto llamado matemáticas. Pero en el
trayecto ambos caminos se conectan, mejorando
de tal manera y tan a menudo la vida del hombre
que los ejemplos se convierten en infinitos, tan
cotidianos, que no hace falta más que ir al
baño, encender la calefacción o el ordenador
para encontrar matemáticas.
El ejemplo de los caminos paralelos lo ponía
Gutam Mukharjee (45 años), del Instituto Indio
de Estadística, durante un descanso de las
sesiones del Congreso Internacional de Matemáticos que se acaba de
celebrar en Madrid. Allí, unos 3500 expertos discutieron sobre el presente y el futuro de
esta ciencia y, además, mostraron cómo las matemáticas envuelven la vida cotidiana.
Del termostato al buscador de Internet
Cuando alguien pone el termostato de la calefacción a una temperatura de 20 grados,
la máquina encenderá los radiadores hasta que la casa esté un poco por encima de
esos 20 grados. Después los apagará hasta que el ambiente esté un poquito por
debajo de lo deseado. Luego volverá a encenderlos...
"La estrategia —cuándo se enciende, cuándo se apaga— no es trivial. Para calcularlo
se utilizan ecuaciones matemáticas", explica Enrique Zuazua, profesor de la
Universidad Autónoma de Madrid. Esas mismas ecuaciones se usan para mantener
una velocidad constante en los lectores de CD, o para saber hasta dónde hay que
llenar de agua la cisterna, añade.
"La gente está acostumbrada a que las cosas funcionen solas, pero detrás hay algo
que las hace funcionar", explica Zuazua. Al introducir una palabra en el buscador
de internet, por ejemplo, en Google, los resultados tampoco son casuales. "Los
matemáticos imaginamos la Red como un montón de canicas colocadas sobre una
superficie. Hay que identificar quiénes son los que miran y quiénes los que son
mirados, buscar la palabra que se pide y jerarquizar los resultados. Si buscas la
palabra "Kleinberg", quieres encontrar a Jon Kleinberg, el científico que acaba de
obtener el premio Nevanlinna, no al señor Kleinberg que vive no sé dónde". Todo eso
se hace a través de algoritmos que contemplan todas esas variables.
LECTURA
PREVIA
LAS MATEMÁTICAS OCULTAS
EN LAVIDA COTIDIANA [[
J. A. Aunión (2006)

14
El casco de los ciclistas y el carro que menos consume
En los últimos años, la forma
de los cascos de los ciclistas
ha cambiado: redondeados
por delante, acabados en pico
por detrás..., y no se trata de
una cuestión estética, sino
de aerodinámica, que intenta
mejorar el rendimiento de
los deportistas. Mediante
ecuaciones, se simula el
comportamiento de un objeto
sólido (el casco, la bicicleta...)
en interacción con un fluido (el
aire) hasta dar con el diseño
más eficiente (en este caso, el
que ponga menos resistencia
al aire). En los aviones, los carros o los barcos se utiliza
el mismo procedimiento, y el diseño variará en función del objetivo: que sea más
rápido, más estable o que gaste menos combustible.
Decisiones y jerarquías reales
En las empresas, más allá de las jerarquías de jefes, subjefes y tropa, las matemáticas
permiten conocer la jerarquía real: qué empleado tiene mejores contactos o a quién
hay que dirigirse para canalizar mejor una información. Lo hacen los matemáticos
sometiendo los registros de sus correos electrónicos a la teoría de Grafos. Las
aplicaciones de las matemáticas en sociología son muy amplias y van más allá de la
estadística. Sirven incluso para evitar la propagación de una epidemia o para disminuir
su impacto. Cuando no se dispone de medios para inmunizar o controlar a toda la
población, las matemáticas permiten determinar a qué personas hay que vacunar
para reducir el riesgo, explica Ángel Sánchez, de la Universidad Carlos III de Madrid.
De la célula al espacio
Predecir el comportamiento de una célula (por ejemplo, una bacteria) y después
programarla para que realice una función distinta, la que se necesite en cada
momento. La segunda parte sería imposible sin la primera, predicción que se hace
con matemáticas. Eso es lo que están haciendo en la Universidad de Valencia y la
Universidad Politécnica de Valencia.
Y de lo más pequeño y cercano, a lo más lejano, el espacio. De nuevo con simulaciones
matemáticas se calcula en qué momento exacto una sonda espacial ha de apagar los
motores al entrar en contacto con la gravedad, y en qué momento, ya cerca del suelo,
debe abrir los paracaídas y volver a encender los motores para aterrizar en su destino
sin hacerse papilla.

15
Una escultura como una ecuación
Música, pintura, escultura..., las artes se han apoyado siempre, de una u otra manera,
en las matemáticas. Un ejemplo es la obra del escultor japonés Keizo Ushio, que
trabaja con formas geométricas y topológicas como la Banda de Moëbius (una cinta de
una sola cara y no orientable), o el toro (una superficie cerrada producto de la unión
de dos circunferencias). Una muestra de esta última, realizada en granito durante
el Congreso de Matemáticos, se puede encontrar en el futuro Centro de Física del
campus de Cantoblanco (Madrid) del CSIC. A partir de cálculos matemáticos, Ushio
fragmenta las formas para convertirlas en sus esculturas. "Las matemáticas son un
lenguaje universal, y no hace falta papel para plasmarlas", explica. De hecho, asegura
que hace sus cálculos "mentalmente".
Oushi Zokei (2008), escultura cerca al mar, obra del artista japones Keizo Ushio, ubicada en Bondi
Beach (Australia) . Fotografía de Bentley Smith, bajo licencia Creative Commons. Extraido de
<https://www.flickr.com/photos/superciliousness/2951506666/>

16
PRIMERA SITUACIÓN PARA
LA REFLEXIÓN PEDAGÓGICA [[ IGUALDADY
ECUACIONES
A continuación te presentamos una situación de aprendizaje donde el docente tiene como
propósito que sus estudiantes de primer grado de secundaria construyan la noción de
ecuaciones a partir de la idea de igualdad, representen las ecuaciones identificando los
elementos que las componen, valoren su uso y aplicación y modelen situaciones reales en
términos matemáticos durante las diversas actividades que realicen, todo ello con el fin de
desarrollar y fortalecer su pensamiento matemático.
El docente ingresa al aula y dialoga con los
estudiantes sobre el propósito de la situación
a desarrollar.
Docente: Seguramente más de uno de ustedes
ya ha escuchado sobre las ecuaciones o las ha
desarrollado, ¿quién ha usado alguna ecuación?
(Eldocenteescuchasusideasylasanotaenlapi-
zarra. Les comenta que posteriormente las reto-
marán para contrastar con lo realizado). Ahora
vamos a conocer más sobre las ecuaciones y
cómo se las representa simbólicamente.
El docente recoge los saberes previos de los estudiantes
con respecto a la igualdad relacionada con la matemática
para tomarla como punto de partida para la construcción
del concepto de ecuación.
Docente: ¿Sabían que en nuestra vida tenemos diversas
experiencias de igualdades relacionadas con
la matemática? Pensemos, ¿cómo podemos
poner dos cosas en situación de igualdad?…
Mencionen algunos ejemplos…
Karina: ¿Tiene que ver con cantidades?
Rafael: Es como cuando compramos en la tienda
¿no?
Docente: A ver, Rafael, explícanos, por favor…
Rafael: Por ejemplo, con 2 soles puedo comprar
diez panes, eso quiere decir que diez panes
cuestan 2 soles ¿no?
a. Propósito
b. Recojo de saberes previos
DESARROLLO DE LA SECUENCIA DIDÁCTICA

17
El docente presenta la siguiente imagen e inicia el diálogo de la siguiente manera:
Docente: Hemos visto que las igualdades relacionadas con las matemáticas tienen
que ver con equivalencias de cantidades, entonces observemos esta ima-
gen y pensemos, ¿qué colocaríamos en el segundo platillo para mantener
la balanza en equilibrio?
Diego: En el otro lado colocaría 6 cu-
bos.
Lucía: Eso es muy fácil, ¡así no vale!
Docente: ¿Lucía, crees que Diego tiene
razón?
Lucía: Bueno, sí, es cierto que si pon-
go 6 cubos la balanza se equili-
bra.
c. Construcción de la idea de igualdad matemática
Y recibe las siguientes respuestas:
Docente: ¡Así es! Las igualdades matemáticas es-
tán relacionadas con cantidades, como el
ejemplo que mencionó Rafael o cuando
decimos: “Tengo 13 años la misma edad
que Gina”… Pensemos otros ejemplos…
Julián: También puede ser… Medio kilo de co-
mida para gatos vale S/. 4.00.
Docente: ¡Así es!, también podemos decir que me-
dio kilo de comida de gatos equivale a
S/. 4.00.

18
Docente: Claro, 6 cubos en un lado y 6 en
el otro mantienen la balanza en
equilibrio, pero observen que en la
primera imagen no se han coloca-
do cubos para equilibrar la balanza,
sino una pelota…, entonces relacio-
nemos. ¿Podemos utilizar la pelota
para equilibrar la segunda balanza?,
¿cómo sería?
Karina: Profe, tendría que haber más pelo-
tas, porque hay más cubos…
Gabriel: Verdad ¿no?…, ya sé, colocaría 2 pe-
lotas.
Docente: ¿Por qué?
Gabriel: Porque 1 pelota pesa igual que 3 cubos negros, y si
en el otro lado hay 6 cubos entonces se necesitarían 2
pelotas.
Karina: Es el doble ¿no?
Docente: Explícalo, por favor.
Karina: Fíjense, en una balanza hay 3 cubos y del otro lado hay 6 cubos, en una
hay una pelota, entonces en la otra tendría que haber 2 pelotas.
Docente: Bien. Tenemos dos ideas, Gabriel nos ha mencionado la relación del peso
entre los cubos y las pelotas para equilibrar la balanza, y Karina lo ha relacionado
con el doble... Ambas formas de razonamiento son válidas. En esta opor-
tunidad estamos relacionando el peso de dos objetos diferentes. En este
caso el peso de las pelotas con el peso de los cubos.
Lucía: Entonces podemos decir que el peso de 3 cubos equivale al peso de una
pelota y el de 6 cubos equivale a 2 pelotas.
Docente: Así es, entonces, ¿de qué otra forma lo podemos representar?
El docente invita a Gabriel a la pizarra. Gabriel se incorpora de su asiento, se dirige a la
pizarra y escribe:
Observa que…
El docente promueve la
explicación del proceso
realizado por el estudiante
El docente aprovechas las
ideas de los estudiantes
para ayudarlos a pasar
de la representación
gráfica a la representación
simbólica de la igualdad.

19
Docente: ¿Qué piensan los demás? ¿Están de acuerdo?
Gabriel: No sé…, puede ser…
Docente: Fíjense, nosotros ya teníamos la representación gráfica, pero en la matemá-
tica esto no es suficiente, se necesita pasar a un lenguaje simbólico; es decir,
a una representación simbólica, tal como hizo Lucía, pues empleó letras y
números.
Gabriel: Entonces lo gráfico se representa simbólicamente con números y letras.
Docente: Así es, ahora veamos. ¿Qué significa que la balanza de platillos esté en
equilibrio?
Karina: Significa que lo que hay en un platillo pesa igual a lo que hay en el otro pla-
tillo.
Docente: Muy bien, Karina. Entonces estamos representando igualdades matemáticas.
Ahora les planteo otro ejemplo.
Dibuja y escribe en la pizarra lo siguiente:
Docente: Vamos a ver, Gabriel realizó otra forma de representación, es una represen-
tación gráfica. ¿Qué opinan? Recuerden que la idea es ayudarnos.
Karina: Lo que puso nos ayuda a ver que son iguales cubos y pelotas, pero en el grá-
fico con las balanzas sabíamos que se refería al peso, no solo a los objetos.
José: Profe, tiene razón… porque si no están las balanzas, cómo sabemos si están
en equilibrio.
Docente: Entonces, ¿de qué otra forma podríamos representar el gráfico de los pesos
de los objetos en las balanzas?
Lucía: También puede ser así… El
peso de una pelota sería una
“p” que viene a ser igual al
peso de 3 cubos “c”, y el otro
sería el peso de 6 cubos es
igual al peso de 2 pelotas…
Entonces queda así (va es-
cribiendo y leyendo en voz
alta):
1p = 3c 6c = 2p

20
Gina: ¡Va un cuaderno!
Gina: Porque si dos cuadernos pe-
san igual que 4 papas, y 3 na-
ranjas pesan igual a 2 papas,
entonces es la mitad; la mitad
de 2 cuadernos es 1 cuader-
no.
José: Pero si se trata de un cuader-
no grueso, como uno de 200
hojas tamaño A4, pesaría más
que 3 naranjas.
Lucía: Bueno, sí, pero podría ser un cuaderno un poco grueso y tamaño chico.
Karina: También dependerá del tamaño de las naranjas.
Docente: Interesante… Veamos, ¿todos estamos de acuerdo con que se trata de un
cuaderno?
Estudiantes: (En coro) ¡Sí!
Docente: Aunque vemos que el cuaderno a colocar tendrá que cumplir algunas
condiciones como la que dice Lucía: “que sea un poco grueso”, e incluso
la naranja no puede ser muy grande. Por ahora, nos vamos a detener a
relacionar las cantidades… Gina, por favor, representa la relación entre el
peso de las naranjas y el cuaderno.
Gina sale a la pizarra y escribe:
Gina: Tres naranjas pesan igual que un cuaderno. He co-
locado “n” para representar a las naranjas y “c” para
los cuadernos.
Docente: ¡Bien! Entonces, ¿qué podemos decir sobre la igual-
dad?, ¿cómo se representa?
Gabriel: Es cuando dos cantidades valen lo mismo y la repre-
sentamos con el signo igual.
Docente: Muy bien, Gabriel nos dice que una igualdad es cuando dos cantidades
valen lo mismo, ¿están de acuerdo?
Los estudiantes responden afirmativamente.
Docente: Entonces podemos decir que…
3n = 1c
Observa que…
Los estudiantes con apoyo
del docente arriban a la
conclusión sobre lo que es
una igualdad y la forma
de representarla.
Docente: Observemos y respondamos. ¿Qué colocarían en el platillo vacío de la balan-
za número tres para lograr que esté en equilibrio y, por lo tanto, haya una
igualdad?

21
Docente: Por ejemplo, también son igualdades matemáticas:
El profesor escribe la idea en la pizarra.
Una igualdad en matemática expresa la
equivalencia de dos cantidades.
3·4 = 2·612 + 5= 17

22
TAREA [[ REFLEXIONANDO SOBRE LA
PRIMERA SITUACIÓN PROPUESTA
Luego de leer el texto, responde a lo solicitado por escrito para enviarlo como tarea.
Observa el rol que desarrolla la docente durante la situación planteada y responde:
¿Consideras que el diálogo establecido entre docente y estudiantes permite la construc-
ción de la noción de igualdad? Justifica tu respuesta.
¿Por qué crees que el docente solicita explicaciones de lo planteado o propuesto por sus
estudiantes en forma permanente?
1. ANÁLISIS DELTEXTO
Contesta la siguiente pregunta:
¿Cuáles de las estrategias planteadas por el docente del ejemplo podrías usar en tu
aula? Menciona tres.
Escribe dos problemas matemáticos distintos, pertinentes a tu realidad, que se
puedan modelar con la ecuación anterior.
Explica en qué medida son pertinentes a tu grupo de alumnos.
Observa la siguiente ecuación:
2. PLANTEAMIENTOS POSIBLES
3. PRACTICANDO NUESTRAS HABILIDADES MATEMÁTICAS
x
3
2 17+ =

23
Indicaciones
Extensión máxima del documento:
2 páginas
Tipo y tamaño de letra:
Arial 12 puntos
Interlineado:
sencillo
Nombre del archivo:
MatematicaSecundaria.Módulo1.TareaSituación1_Apellido y nombre
Participante en la modalidad semipresencial:
LLEVA UNA COPIA IMPRESA DE SU TAREA AL PRIMER
TALLER PRESENCIAL.
Participante en la modalidad virtual:
COLOCA SU TAREA EN EL FORO DE INTERCAMBIO.
Escribe las respuestas de la sección “Reflexionando sobre la primera situación
propuesta” de acuerdo con las indicaciones y colócalas en el aula virtual.
Esta tarea la realizarán tanto los participantes de la modalidadad semipresencial
como los de la modalidad virtual.

24
Lectura previa “Las matemáticas ocultas en la vida
cotidiana”.
Situación para la reflexión pedagógica 1: Igualdad y
ecuaciones.
Concretar en el aula alguna de las ideas básicas
desarrolladas.
Buscar herramientas digitales que permitan desarrollar ecuaciones.
Iniciar el planteamiento de la sesión de taller matemático y del trabajo final.
ACUERDOSY COMPROMISOS
TEMAS ATRATAR
PRIMERTALLER PRESENCIAL
Los talleres presenciales tienen
como finalidad acompañar a los do-
centes en su proceso de formación
profesional y desarrollo personal.
Promueven la reflexión sobre la
didáctica de la matemática, desde
el enfoque problémico. Ofrecen
información actualizada y difunden
prácticas pedagógicas, secuencias
didácticas, actividades, videos y
publicaciones específicas. Generan
climas de confianza y camaradería
entre los docentes.
PROPÓSITOS
El participante:
Comparte sus opiniones sobre la primera situación de aprendizaje.
Aclara sus conocimientos básicos sobre ecuaciones.
Dialoga con otros docentes y propone otras estrategias para introducir el concepto de
ecuaciones en el aula.
Comprende los productos finales del módulo.
Los participantes que cursan lamodalidad e-learning intervienenen un foro de intercambio paraconcretar los propósitos del taller,desarrollar los temas y llegar aacuerdos y compromisos.
Nota

25
Piensa en la sesión de aprendizaje que aplicarás y en el trabajo final.
La séptima semana de este módulo la dedicarás a desarrollar una sesión de taller
matemático para resolver un problema de la realidad de tus alumnos a través de ecuaciones
de primer grado Luego, debes presentar una redacción de lo aplicado en el aula.
1. Cuida que tu propuesta considere las condiciones pedagógicas para realizar la actividad,
la organización de los estudiantes para trabajar en equipo y la creación de un clima de
confianza.
2. Considera en tu propuesta los siguientes aspectos:
Nombre de la propuesta. Propósito con el que desarrrollas la actividad.
Condiciones de aprendizaje que vas a asegurar.
Secuencia de las actividades que realizarán tus estudiantes.
Registro del avance de tus alumnos.
3. Presenta esta propuesta en cuanto se te solicite.
En la última semana de este módulo deberás presentar el trabajo final. Este consiste en
redactar siete problemas matemáticos que se resuelvan a través de ecuaciones simples o
ecuaciones lineales simultáneas. Los problemas deben estar contextualizados a tu realidad
y organizados de menor a mayor nivel de dificultad, indicando por qué los has clasificado
de esta manera. Los problemas deben presentarse desarrollados y deben incluir explicación
detallada de los pasos seguidos para su solución.
ORIENTACIONES PARA LA ELABORACIÓN DE LA PROPUESTA
DE PRÁCTICA PEDAGÓGICA EN EL AULA A DESARROLLARSE
EN LA SÉPTIMA SEMANA
ORIENTACIONES GENERALES PARA LA ELABORACIÓN DEL
TRABAJO FINAL A ENTREGARSE EN LA ÚLTIMA SEMANA DEL
MÓDULO

26
[[REPRESENTACIÓN DE
UNA ECUACIÓN
SEGUNDA SITUACIÓN PARA
LA REFLEXIÓN PEDAGÓGICA
A partir de la noción de igualdad matemática, los estudiantes pasan a construir la noción
de ecuación. Para ello el docente les propone lo siguiente:
En este momento, los estudiantes trabajarán
en parejas. El docente atiende a los grupos,
asegurando que los integrantes se expliquen
mutuamente el proceso que están siguiendo
para resolver la igualdad propuesta; además,
les pregunta por las razones que hicieron
que colocarán un determinado número, por
la relación que hay entre las cantidades de
la igualdad; propicia la confrontación de las
ideas que guiaron el proceso seguido para
dar con la respuesta. Veamos lo que sucedió
en un grupo de trabajo.
Docente: Ahora vamos a trabajar en parejas. Escribiremos lo que hicimos para encontrar
la respuesta, luego lo compartiremos en grupo. ¿Qué número colocaríamos en
el casillero en blanco?
25 + + 11 = 43
Docente: ¿Cómo les fue a ustedes?
Karina: Tenemos dudas ¿esto es como
las igualdades?
Docente: ¿Por qué lo dices?
Karina: (Se queda pensativa)…
Miguel: Yo pienso que en ambos lados
tendría que salir 43 porque se
trata de una igualdad…
Docente: ¿Cómo deduces eso?
Miguel: Porque 25 más una cantidad,
más 11 es igual a 43… ¿no?
Docente: Así es…, ahora busquen la
cantidad que falta y resuelvan
esta igualdad, voy a atender a
los otros grupos.

27
Docente: Ahora, vamos a compartir el
proceso que seguimos por
parejas… ¿Tendrá alguna relación con las igualdades?
Karina: ¡Sí!, lo que resolvimos fue una igualdad.
Docente: A ver, Karina, explícanos a todos ¿por qué dices eso?
Karina: Podemos decir que esta parte (señalando 25 + + 11) equivale a 43.
Gabriel: Es cierto, nosotros también hicimos esa relación,
eso es una igualdad, aunque en esta oportunidad
(señalando 25 + + 11) está faltando un núme-
ro…
Karina: Sí, la cantidad que falta es 7.
Lucía: A mí me salió 7, también.
Docente: Vamos a compartir cómo llegamos a esa respues-
ta.
EN PLENARIO
El docente abre espacio para el intercambio
de ideas con los estudiantes, para compartir
y reflexionar sobre el proceso seguido para
llegar a la respuesta, y, además, hacerles
notar que lo presentado es una igualdad.
Observa que…
El docente toma como
punto de partida las
ideas que los estudiantes
manifiestan, para
preguntar y repreguntar
de forma pertinente. De
esta manera los ayuda
en la construcción
de sus aprendizajes
matemáticos.

30
Docente: Correcto, se trata de ecuaciones. Entonces, qué podemos decir de las ecuacio-
nes.
Gabriel: Que se trata de igualdades.
Lucía: Que tienen una x …
Docente: A esa x se le conoce como variable … En una ecuación, casi siempre, queremos
calcular el valor de la variable.
Docente: Les propongo resolver lo siguiente (Les entrega una hoja igual a la que aparece
en la siguiente página).
Docente: ¿Qué piensan de los procedimientos realizados? ¿Alguno de ustedes realizó
algo similar?
Gina: Sí, nosotros lo hicimos como el grupo de Karina, pasando a restar las dos
cantidades.
Héctor: Entonces, llegaron a hallar el valor de .
Docente: Así es, y qué les parece si en lugar de  colocamos una letra:
Escribe en la pizarra:
Docente: ¿Qué les parece? ¿Cómo calcularíamos ahora el valor de x?
Héctor: Igual que antes, solo ha cambiado el casillero por la letra x.
Docente: Bien, y saben cómo se denomina.
Gina: Creo que son ecuaciones.
Miguel: Sí, las ecuaciones siempre tienen letras y números.
25 + x + 11 = 43

31
1. ¿Qué valores tienen “x” e “y” en las siguientes balanzas que están en equilibrio?
Represéntenlo como una igualdad.
2. En nuestras expresiones, “x” e “y” son las variables, ¿cuál sería el valor numérico
de “x” y de “y”en este caso?
3. ¿Cuál es el nombre de las expresiones en las que hay una igualdad y variables?,
¿por qué crees que tienen ese nombre?
7+4+3=x+8+4 Y+6+3=2+7+1
14 =
x=
14

32
Luego de un tiempo pertinente, pide a los estudiantes que presenten sus resultados y
los expliquen.
DEL LENGUAJEVERBAL AL LENGUAJE ALGEBRAICO
A continuación, el docente trabaja con los estudiantes el fortalecimiento de la
traducción del lenguaje verbal al lenguaje algebraico y viceversa.
Docente: Hemos observado que en la
igualdad se ha hecho pre-
sente una letra, la cual re-
presenta un valor numérico.
Entonces, si digo “La edad
de Ana es 11”, ¿cómo creen
que podríamos simbolizarlo?
Karina: Podríamos poner A = 11.
Karina: Porque la edad de Ana sería
A, y es igual a 11
Docente: ¿Puedo reemplazar “A” por una “x” ?
Héctor: Puede ser x= 11.
Docente: Muy bien y a esa letra se le llama variable. Cualquiera sea la letra que
utilicemos, está representando un valor, es una variable, entonces ¿qué
es una variable?
Héctor: Una letra.
Docente: ¿Solamente una letra? ¿Po-
demos decir, entonces, que
cualquier letra puede ser
una variable?
Gina: No cualquier letra. Debe te-
ner un valor
Docente: Correcto, Gina.
Observa que…
El docente problematiza , retando a sus
estudiantes con interrogantes y actividades
que desafían y ponen a prueba sus
competencias.

33
El docente escribe en la pizarra lo siguiente:
Docente: Entonces, si x representa la edad de Ana,
¿cómo representaríamos el doble de la
edad de Ana?
Héctor: Podría ser x+2.
Docente: Héctor, si Ana tiene 11 años, ¿cuál sería
el doble de su edad?
Héctor: El doble de 11 es 22.
Docente: Si x representa la edad de Ana, ¿x+2
es 22?, ¿qué opinas?
Héctor: No… ah… Ya sé, el doble es 2 por 11,
entonces será 2 por x, o sea, 2x, profe.
Docente: ¡Felicitaciones, Héctor! El doble quiere decir multiplicar por 2 tal cantidad.
Entonces el triple de la edad de Ana, ¿cómo se representará?
Karina: Con 3x, profesor.
Docente: Bien, Karina. Ahora les desafío a explicar qué representan las siguientes expre-
siones:
El docente escribe en la pizarra lo siguiente:
Gina: La primera es una fracción, creo que es x entre 2.
Docente: Si sabemos que x representa la edad de Ana, ¿cómo enunciamos la expresión
x
2
?
Miguel: ¡Ya sé!, es la mitad de x, o sea, la mitad de la edad de Ana.
Docente: ¡Muy bien! ¿Y la segunda expresión?
Miguel: Humm… Es una resta.
Docente: Efectivamente, hay una resta, una diferencia, ¿qué se resta?
Gina: Se resta la edad de Ana.
Docente: Dime Gina, ¿cuánto y a qué cantidad se le resta?, observa, analiza y responde.
Gina: Se resta 3.
Una variable es una letra o símbolo
que toma un valor numérico.
1) 2)x
2
x − 3

34
Héctor: Sí, se resta 3 a la edad de Ana,
si su edad es 11, entonces es
(11 – 3).
Docente: Bien, ahora cómo lo expresa-
mos en lenguaje oral.
Karina: Puede ser, “la edad de Ana me-
nos tres”.
Miguel: O “la edad de Ana disminuida
en tres”.
Gina: Como se resta su edad con 3,
sería (11-3), entonces también
puede ser “la edad de Ana hace
3 años”.
Docente: ¡Correcto! Los tres han enunciado correctamente la expresión (x – 3).
Como ven, podemos traducir el lenguaje verbal a un lenguaje algebraico y
viceversa.

35
TAREA [[ REFLEXIONANDO SOBRE
LA SEGUNDA SITUACIÓN PROPUESTA
Observa el rol que desarrolla la docente durante la situación planteada y responde:
¿Cómo describirías el rol que la docente desempeña?
¿Consideras que el diálogo establecido entre docente y estudiantes permite
comprender la representación de una ecuación? Justifica tu respuesta.
¿Qué preguntas de las que ha hecho el docente a los alumnos les ha permitido
“matematizar”? Señala un ejemplo y explica por qué.
Formula una situación de aprendizaje en la cual se evidencie la participación activa de
los estudiantes; considera la construcción de nociones del dominio Cambio y Relaciones.
3. PRACTICANDO NUESTRAS HABILIDADES MATEMÁTICAS:
La fórmula v= a.b.h puede usarse para hallar el volumen de
una caja rectangular:
Haz que b sea el sujeto de la fórmula.
Escribe un problema matemático, contextualizado a la reali-
dad de tus alumnos, que se resuelva con la ecuación donde b
es el sujeto de la fórmula. Dale valores reales a las variables.
Indica dos preguntas que puedes hacer a tus alumnos para
construir con ellos el aprendizaje.

36
Escribelasrespuestasdelasección“Reflexionandosobrelasegundasituaciónpropuesta”
de acuerdo con las indicaciones y colócalas en el aula virtual.
Esta tarea la realizarán tanto los participantes de la modalidad semipresencial como los
de la modalidad virtual.
Indicaciones
2 páginas
Arial 12 puntos
Interlineado:
sencillo
Nombre del archivo:
LLEVA UNA COPIA IMPRESA DE TU TAREA AL CÍRCULO DE
INTERAPRENDIZAJE COLABORATIVO 1.

37
El círculo de interaprendizaje colaborativo
(CIAC), por ser una práctica pedagógica
orientada a la profesionalización docente,
tiene por finalidad que el docente amplíe
y enriquezca su propio desempeño de
forma colectiva, mediante el análisis de su
práctica pedagógica en el aula.
2. PREPARACIÓN PARA EL CÍRCULO DE INTERAPRENDIZAJE
3. ACUERDOSY COMPROMISOS
El participante:
Desarrolla las tareas planteadas.
Lleva ideas sobre la sesión que aplicarás en el aula y el trabajo final.
Concretar en el aula alguna de las buenas estrategias conversadas.
Iniciar el planteamiento de la sesión de taller matemático y del trabajo final.
1. PROPÓSITOS
Comparte sus opiniones sobre la segunda situación de aprendizaje.
Aclara sus conocimientos básicos sobre la representación de ecuaciones.
Dialoga con otros docentes sobre el desempeño del docente en el ejemplo y
propone otras estrategias para presentar la representación de ecuaciones a los
alumnos.
Comenta sus ideas sobre la sesión que aplicará en el aula y el trabajo final.
CÍRCULO DE INTERAPRENDIZAJE
COLABORATIVO 1
Piensa en la sesión que aplicarás en clase; así como en tu
trabajo final.

38
A continuación te presentamos orientaciones para que puedas elaborar la propuesta de
práctica pedagógica que realizarás en el aula.
La séptima semana de este módulo la dedicarás a desarrollar una sesión de taller matemá-
tico para resolver un problema de la realidad de tus alumnos. Luego, debes presentar una
redacción de lo aplicado en el aula. Adapta la secuencia didáctica propuesta para aplicarla
en tu aula de acuerdo con tu realidad y las características de tus estudiantes.
confianza.
Nombre de la propuesta.
Registro del avance de los alumnos.
ORIENTACIONES PARA LA ELABORACIÓN DE LA
PROPUESTA DE PRÁCTICA PEDAGÓGICA EN EL AULA A
DESARROLLARSE EN LA SÉPTIMA SEMANA
MÓDULO

39
En esta tercera situación abordaremos la resolución de
ecuaciones simples, haciendo énfasis en los procesos
que subyacen para ello, como el aislamiento de la va-
riable y la transposición de términos (basado en la ley
de la igualdad). De igual manera, veremos cómo las
ecuaciones simples pueden representar situaciones
de la vida real.
A continuación, presentamos una situación problemá-
tica generada en el aula de tercer grado de secunda-
ria, sección D, durante la clase de Matemática.
Antes de la realización del concurso anual de ma-
temática, el profesor del área ofreció en las cuatro
aulas de tercer grado de secundaria a su cargo, un premio especial
para aquella aula que obtenga el mayor promedio en el concurso. Ello generó una com-
petencia entre los estudiantes de las cuatro secciones. Una vez realizada la competencia
y habiendo hecho la corrección de las pruebas del concurso, el docente ingresó al aula y
comunicó a los estudiantes que ya tenía los resultados.
[[ RESOLUCIÓN DE
ECUACIONES SIMPLES
TERCERA SITUACIÓN PARA
PLANTEAMIENTO DE LA SITUACIÓN PROBLEMÁTICA
Al ingresar al aula, les expresó lo siguiente:
Docente: Vamos a considerar que el promedio de esta aula, el tercero D, es x.
Donde:
x es la nota promedio de la sección D.
a es la nota promedio de la sección A.
b es la nota promedio de la sección B.
c es la nota promedio de la sección C.
3
2
a
x b c
=
+ +
A continuación, les propuso como reto, aislar el valor de x, y luego indicó que posterior-
mente daría los valores numéricos de a, b y c para que puedan encontrar el promedio
de su aula y reconocer el aula ganadora.
Los estudiantes, entusiasmados, pidieron más datos, indicando que esos no eran
suficientes. El profesor les preguntó qué datos querían tener. Ellos manifestaron que
necesitaban los promedios de cada sección, él les recordó que los daría luego, pero que
primero se encarguen de despejar la variable.

40
TRABAJO EN EQUIPOS
Para realizar la actividad indicada, el
docente conformó grupos de cinco
estudiantes.
El docente ejerce su rol de facilita-
dor del aprendizaje y monitorea el
trabajo de los grupos, realizando
preguntas que ayuden a la reali-
zación de la actividad y absuelve
interrogantes.
Una vez en grupos, los estudiantes tuvieron 15 minutos para desarrollar la actividad. Luego
de cumplido el tiempo, tres de los grupos presentaron sus procedimientos en la pizarra:
DURANTE ELTRABAJO EN EQUIPO, ES IMPORTANTE QUE...
El docente: El docente no:
• Plantee preguntas que problematicen
al estudiante, lo hagan reflexionar y
orienten a la solución de la actividad.
• Brinde los procedimientos o las estrate-
gias que conlleven a toda o parte de la
solución de la actividad.
PRIMER GRUPO SEGUNDO GRUPO TERCER GRUPO
3
2
a
x b c
=
+ +
3
2
a
x b c
=
+ + 3
2
a
x b c
=
+ +
3
2 2 2
a
x b c
= + +
3
2 2 2
a
b c x
− +



 =
2 3 2
2 2
⋅ − ⋅ +



 =a
b c
x
6a b c x− − =6a b c x− − =
2 3⋅ − + =( )a b c x − =
+
x
b c
a2 3.
6a b c x− + =
x
b c
a
=
− +( )
6

41
PROMOVIENDO LA REFLEXIÓN
Con el fin de promover la reflexión so-
bre lo trabajado por sus estudiantes,
el docente pide que los valores: a=1,
b=2 y c=3 sean reemplazados en la
expresión inicial y en las expresiones
compartidas por los tres grupos en
la pizarra, para así verificar sus pro-
cesos. Si todas estaban correctas,
deberían dar los mismos resultados.
Pasados algunos minutos, invita a
otros alumnos (de preferencia que
no hayan participado antes) para
que compartan su comprobación
en la pizarra.
ECUACIÓN INICIAL PLANTEADA POR EL DOCENTE
Reemplazamos cada variable por el
valor asignado: a = 1, b = 2, c = 3
 3 1
2 3
2
( ) =
+ +x


Una vez hallada esta ecuación debo
tratar de despejar x, es decir, aislarla;
para ello, lo primero que debo hacer es
deshacerme del 2 que divide a (x + 5)
Para eliminar el 2 que divide lo
multiplico por 2, para obtener así
1; pero, basándonos en la ley de la
igualdad debo realizar esta operación
en ambos lados de la igualdad:
 3 2
5
2
2 ⋅ =
+
⋅
x

2 entre 2 es igual a 1, y ya que 1 es el
elemento neutro de la multiplicación,
ya no afecta la ecuación.
 6 = x + 5
Luego, para despejar el valor de x,
debo eliminar el 5 que suma, para ello
resto 5 en ambas partes.
 6 5 5 5
1

− = + −
=
x
x 
3
2
a
x b c
=
+ +
3
5
2
=
+x

42
ECUACIÓN PLANTEADA POR EL SEGUNDO GRUPO

x
b c
a
=
− +( )
6
Reemplazamos cada variable por el valor asignado.
a = 1, b = 2 y c = 3

 x
x
=
− +
⋅
=
−
(( ) ( ))
( )
2 3
6 1
5
6

ECUACIÓN PLANTEADA POR EL PRIMER GRUPO
6a- b + c= x
a = 1, b = 2 y c = 3
 6(1) – (2) + (3) = x
 6 – 2 +3 = x
 7 = x
ECUACIÓN PLANTEADA POR ELTERCER GRUPO

6a- b - c= x
a =1, b = 2 y c = 3
 6 · (1) – (2) – (3) = x
 6 - 5 = x 1 = x

43
TRABAJO EN PLENARIA PARA LA REFLEXIÓN GRUPALY
JUSTIFICACIÓN DE PROCESOSY RESULTADOS
Una vez reemplazados los valores asignados en plenaria, el docente dialoga sobre los
resultados obtenidos para x que, en algunos casos, difieren:
 Para la ecuación planteada por el profesor, el valor de x fue 1.
 Para la ecuación planteada por el primer grupo, el valor de x fue 7.
 Para la ecuación planteada por el segundo grupo, el valor de x fue - 5
6
 Para la ecuación planteada por el tercer grupo, el valor de x fue 1.
Plantea las interrogantes: Si todas representan el valor de x, ¿cómo deberían ser las
cantidades?, ¿por qué? Promueve la participación de los estudiantes, en forma ordena-
da, para que expliquen sus respuestas y escoge a dos o tres estudiantes para que argu-
menten el por qué (según su análisis) de la diferencia en los resultados, particularmente,
el valor de x= -
5
6
. Plantea interrogantes conducentes a analizar si es o no es posible
obtener valores negativos como -
5
6
= – 0,83333 en los promedios de evaluaciones de
un aula. Invita a justificar sus opiniones.
El docente va anotando las respuestas en la pizarra mientras realiza interrogantes de
verificación (por ejemplo: ¿cuál de las respuestas consideras que es la correcta?),
interrogantes de causa efecto (por ejemplo: ¿estuvieron correctas las operaciones
realizadas?), interrogantes de generalización (por ejemplo: ¿cuán importante es
aplicar correctamente una operación?), etc.

44
VERIFICACIÓNY FORMALIZACIÓN
DEL APRENDIZAJE
Luego del análisis en plenaria, el docente pide
que regresen a sus grupos para que comprueben
e identifiquen el valor correcto de la variable x.
Transcurrido el tiempo asignado, invita a dos grupos
voluntarios a socializar sus procedimientos. Conjun-
tamente con los estudiantes llega a establecer qué
pasos seguimos para resolver ecuaciones:
LEY DE UNIFORMIDAD O IGUALDAD
Una ecuación no cambia si a los dos miembros se les suma o se les resta la misma
cantidad.
Una ecuación no cambia si a sus dos miembros se les multiplica o se les divide por la
misma cantidad.
Para formalizar el procedimiento realiza la resolución conjunta con los estudiantes.
Durante el proceso de transposición, fortalece permanentemente la aplicación de la ley
de uniformidad a partir de las interrogantes: ¿lo pasamos?, ¿qué significa en realidad
“pasarlo”? (tanto para la adición, sustracción, multiplicación y división). Ejemplo:
3 2
2
2 6a
x b c
a x b c ⋅ =
+ +
⋅ → = + +
El docente rememora lo aplicado por los grupos en sus procedimientos (sobre la ley de
uniformidad o igualdad), propone algunos ejemplos más y les recuerda:
 Debemos tener siempre presente qué queremos lograr, qué variable
queremos aislar a un lado de la igualdad.
 Debemos observar qué números o variables afectan a la variable para
poder cancelarlos ¦eliminarlos, adecuadamente.
 Debemos cambiar de signo a la variable si la transponemos de un
lado a otro de la igualdad.

45
Después de haber aislado la variable x, el docente brinda los valores de a, b y c que
correspondían al promedio de notas que obtuvieron las secciones A, B y C respectiva-
mente.
a= 8 b = 15 c= 16
Invita a los grupos a calcular el promedio del aula y descubrir qué aula fue la que ob-
tuvo mayor promedio.
Elige tres estudiantes de diversos grupos para socializar en la pizarra sus resultados.
Con la participación de los estudiantes, concluye con la siguiente frase:
Por último, indica que hallen las ecuaciones para los valores de a, b y c.
¿Qué sección tuvo el mejor promedio?
Luego, obtuvo: 6
6
a b x b c b
a b x c
− = + + −
− = +

6
6
a b c x c c
a b c x
− − = + −
− − =

Resolver una ecuación es calcular el valor
de una o más variables.

46
TAREA [[ REFLEXIONANDO SOBRE LA
TERCERA SITUACIÓN PROPUESTA
¿Por qué crees que el docente solicita explicaciones de lo planteado o propuesto a
sus estudiantes de forma permanente?
¿En qué medida consideras que el problema planteado por el profesor motivó a los
alumnos a resolver ecuaciones?
En la situación planteada, los alumnos llegaron a establecer los siguientes pasos para
resolver ecuaciones:
Revisa los fascículos de las Rutas del Aprendizaje
correspondientes a Matemática ciclos VI y VII, identifica
qué estrategias se plantean para resolver problemas.
3. RELACIÓN CON EL SISTEMA CURRICULAR NACIONAL
Incluye la respuesta en la tarea.
<http://www.todospodemosaprender.pe/noticias-
detalle/0-211-325/nuevas-rutas-del-aprendizaje-2014>
¿Qué opinión te merecen estos tres pasos?, ¿cómo los mejorarías para trabajar con tus
alumnos?
 Debemos tener siempre presente qué queremos lograr, qué variable
queremos aislar a un lado de la igualdad.
 Debemos observar qué números o variables afectan a la variable para
poder cancelarlos ¦eliminarlos, adecuadamente.
 Debemos cambiar de signo a la variable si la transponemos de un lado
a otro de la igualdad.

47
Escribe un problema matemático sobre la cantidad de frutas vendidas en el kiosco
escolar. Luego, resuélvelo indicando paso a paso qué preguntas harías a tus alum-
nos para aclarar posibles errores al resolverlo.
Escribe las respuestas de la sección “Reflexionando sobre la tercera situación
propuesta” de acuerdo con las indicaciones y colócalas en el aula virtual.
Esta tarea la realizarán tanto los participantes de la modalidad semipresencial
como los de la modalidad virtual.
Indicaciones
2 páginas
Arial 12 puntos
Interlineado:
sencillo
Nombre del archivo:
LLEVA UNA COPIA IMPRESA DE TU TAREA AL SEGUNDO
TALLER PRESENCIAL.
COLOCA TU TAREA EN EL FORO DE INTERCAMBIO.

48
SEGUNDOTALLER PRESENCIAL
El participante:
PROPÓSITOS
TEMAS ATRATAR
Resolución de ecuaciones.
Incorporar en el aula las estrategias de trabajo analizadas.
Continuar desarrollando los trabajos finales.
Los talleres presenciales tienen como finalidad
acompañar a los docentes en su proceso de
formación profesional y desarrollo personal.
Promueven la reflexión sobre la didáctica de
la matemática, desde el enfoque problémico.
Ofrecen información actualizada y difunden
prácticas pedagógicas, secuencias didácticas,
actividades, videos y publicaciones específicas.
Generan climas de confianza y camaradería
entre los docentes.
Aclara sus conocimientos sobre resolución de ecuaciones, a través del compartir sus
respuestas con los colegas.
Piensa en la sesión que aplicarás en clase; así como en
el trabajo final.

49
ORIENTACIONES PARA LA ELABORACIÓN DE LA PROPUESTA
DE PRÁCTICA PEDAGÓGICA EN EL AULA A DESARROLLARSE EN
LA SÉPTIMA SEMANA
MÓDULO
La séptima semana de este módulo la dedicarás a desarrollar una sesión de taller
matemático para resolver un problema de la realidad de tus alumnos. Luego, debes
presentar una redacción de lo aplicado en el aula. Adapta la secuencia didáctica propuesta
para aplicarla en tu aula, de acuerdo con tu realidad y las características de tus estudiantes.
confianza.
Registro del avance de los alumnos.

50
ECUACIONES
SIMULTÁNEAS
CUARTA SITUACIÓN PARA
En esta cuarta situación para la reflexión abordaremos la resolución de ecuaciones lineales
simultáneas y qué tipo de situaciones de la vida real se pueden resolver con ellas.
El profesor de Matemática a cargo del aula de tercero de secundaria de la institución educativa
Héroes del Cenepa es abordado por cuatro alumnos en el recreo, ellos le piden ayuda.
Los estudiantes hicieron una presentación de teatro pro fondos su fiesta de fin de año y
vendieron en total 300 entradas. Han cobrado a los asistentes a la función a 5 nuevos soles
a cada adulto y 4 nuevos soles a cada niño. En total han recibido S/. 1 440 nuevos soles.
Los tesoreros del grado tienen toda esta información, aunque no saben cuántas entradas
de niño y de adulto vendieron, pero necesitan tenerla para hacer el informe económico que
presentarán mañana en la hora de tutoría.
El profesor pide permiso a los tesoreros para comunicar el problema al aula y lo comparte
a los alumnos y alumnas pidiendo sugerencias para resolverlo.

51
Los alumnos comienzan a adivinar posibles
cifras como solución.
Alumno 1: Seguro han vendido 200 de 5
soles y 110 de 4. Mire, profe,
200 por 5 es 1000 y 110 por 4 es
440. ¡Ya está!
Alumno 2: Pero también podrían haber
vendido 280 de 5, eso es 1400
y 10 de 4, eso es 40. ¡También
puede ser!
Docente: Ambos tiene razón en que esas
son posibles respuestas, pero
hay un dato adicional en el pro-
blema ―afirmó para luego diri-
girse a una de las tesoreras―.
¿Cuántas entradas se vendieron en total?
Tesorera: En total se vendieron 300 entradas porque estaban todas las sillas llenas y solo
teníamos 300 sillas.
Alumno 1: Entonces, mi idea no puede ser, porque yo dije 200 adultos y 110 niños, ha-
brían faltado 10 sillas.
Alumna 2: Tampoco la mía, porque habrían quedado 10 sillas vacías.
Docente: Entonces, podemos ver que hay va-
rias posibles respuestas que cumplen
con una de las condiciones del pro-
blema, es decir con haber recaudado
1440 soles. ¿Verdad? Pero, ¿qué otra
condición debe cumplir la respuesta?
Alumna 3: Además deben sumar 300 entradas.
Docente: Muy bien, este problema nos plantea
dos condiciones. Si pensamos resol-
ver este problema usando ecuacio-
nes, ¿cuántas incógnitas hay que en-
contrar?; recordemos que incógnitas
son datos que no conocemos.
Alumno 1: Tenemos que encontrar dos datos, la cantidad de entradas de adulto y la can-
tidad de niños.
Docente: Muy bien, para resolver problemas usando ecuaciones debemos prestar mu-
cha atención a lo que queremos encontrar. En este caso, necesitamos la can-
tidad de entradas de adultos y de niños, podemos darles las letras "a" y "n"
respectivamente. ¿Quién me puede ayudar a escribir una ecuación, es decir
una igualdad usando las incógnitas?
Alumno 4: Profe, yo creo que la igualdad sería:
5a + 4n = 1440

52
Docente: ¿Están de acuerdo con lo que ha planteado su compañero?
Alumna 2: Sí, profesor, porque eso quiere decir que 5 soles por a, es decir la cantidad de
entradas de adultos, más 4 soles por n, es decir la cantidad de entradas de
niños, debe sumar en total lo que recaudamos.
Docente: Muy bien, esa ecuación es correcta, pero solo cumple con una condición del
problema. En este caso tenemos una segunda condición. ¿Quién puede escri-
bir, en forma de ecuación, la segunda condición del problema?
Alumna 3: Profesor, yo creo que la segunda ecuación debe ser:
Docente: ¿Qué opinan los demás? ¿Es esa
una segunda ecuación válida para
este problema?
Alumno 4: Sí, profesor. Pero, ¿eso significa que
tenemos que encontrar dos valores
en dos ecuaciones diferentes?
a + n = 300
5a + 4n = 1440
a + n = 300
Docente: Muy bien, eso significa que hay dos variables que deben cumplir con dos con-
diciones. Estas son:
Alumno 1: Yo tengo una idea, profe, podemos ver qué combinaciones de cantidad de
entradas de adultos y de niños que sumen 1440 soles podemos encontrar. Y
luego elegimos las que sumen 300 entradas.
Docente: Es una excelente idea. Por favor, trabajen en parejas y dennos sus resultados.
Luego llenaron juntos la siguiente tabla:
¿Alguien sabe cómo podemos resolverlo?
Cantidad
de
entradas
de adulto
a
Valor
de las
entradas
de adultos
5∙a
Cantidad
de
entradas
de niños
n
Valor
en soles
de las
entradas
4∙n
Valor
total de lo
vendido
5∙a + 4.n
Suma de
entradas
a + n
200 1 000 110 440 1440 310
280 1400 10 40 1 440 290
256 1280 40 160 1440 296
240 1200 60 240 1 440 300

53
Terminada la actividad, evaluaron la tabla y hallaron la respuesta correcta (la última de la
tabla), la que cumplía con ambas condiciones. Entonces, el profesor preguntó a los alumnos
si había otra forma de resolverlo. Los alumnos propusieron ideas:
Alumno 1: Podemos resolver solo una ecuación.
Docente: Por favor, pasa a la pizarra y hazlo para todos:
Alumno 1: Pero, no puedo saber en realidad cuánto vale a.
Docente: Has hallado el valor de a, pero en función de n. Haz hecho un buen trabajo
despejando una variable, pero tienes dos variables. Ahora que ya hallamos el
valor de a, podemos reemplazar dicho valor en la segunda ecuación. Es decir,
escribimos la segunda ecuación; pero, en lugar de escribir la variable a escri-
bimos el nuevo valor que tenemos para a, así tendremos una ecuación que
contiene solo la variable n.
Les pongo un ejemplo sencillo. Si yo sé que a es el doble de b, ¿esta podría
ser la ecuación que represente lo que dije? (escribe en la pizarra):
Alumnos: (En coro) Sí, es cierto.
Docente: Bien, ahora imaginemos que yo tengo otra ecuación que relaciona a y b (escribe
en la pizarra):
¿Sería correcto que yo reemplace a
por 2b? ¿Es correcto este razona-
miento?(Escribe en la pizarra)
a = 2 b
3a + b= 7
5 4 1440
5 4 4 1440 4
5
a n
a n n n
+ =
+ − = −
aa n
a n
= −
÷ = − ÷
1440 4
5 5 1440 4 5( )
a
n
=
−1440 4
5
3 2 7
6 7
7 7
7
7
7
7
1
( )⋅ + =
+ =
=
=
=
b b
b b
b
b
b

54
Alumnos: (En coro) Sí, es correcto.
Docente: Bueno, en nuestro caso no es tan fácil, pero igual podemos reemplazar el valor
de a en función a n. ¿Alguien quiere hacerlo en la pizarra?
Alumno 2: Yo, profe, yo lo hago.
El profesor refuerza la idea de des-
pejar la variable n buscando des-
hacerse de otros valores. También
refuerza la idea de igualdad y, por
tanto, lo que se hace en un lado
de la ecuación debemos hacerlo
en el otro lado para mantener la
igualdad.
a n
n
n
+ =
−
+ =
( )
300
1440 4
5
300
( )
( )
1440 4
5
300
1440 4
5
5 300 5
5
−
+ =
−
+



 ⋅ = ⋅
⋅
n
n
n
n
(( )
( )
1440 4
5
5 1500
5 1440 4
5
5 1500
−
+ ⋅ =
⋅ −
+ =
n
n
n
n
1440 4 5 1500
1440 15
− + =
+ =
n n
n 000
1440 1440 1500 1440+ − = −n
n = 60

55
El docente refuerza la idea de qué sig-
nifica n.
n= La cantidad de entradas de niños
vendidas.
Pide a los alumnos que hallen el valor
de a, es decir la cantidad de entradas
de adultos vendidas. Primero lo hacen
a través de cálculo mental y luego
aplicando ambas ecuaciones lineales
simultáneas. Comprueban que todos
los resultados sean iguales
1. Cálculo mental:
2. Usando la ecuación (1) 3. Usando la ecuación (2)
Si n vale 60 y esa es la cantidad de entradas de niños vendidas y, además, sabemos que
en total se vendieron 300 entradas. ¿Cuántas entradas de adultos se vendieron?
Finalmente, el docente presenta a los alumnos otra manera de resolver ecuaciones lineales
simultáneas, a través del método de cancelación.
Se vendieron 240 entradas de adulto.
300 – 60 = 240
a n
a
a
a
+ =
+ =
+ − = −
=
300
60 300
60 60 300 60
240
5 4 1440
5 4 60 1440
5 240 1440
5 240 240
a n
a
a
a
+ =
+ ⋅ =
+ =
+ −
( )
== −
=
=
=
1440 240
5 1200
5
5
1200
5
240
a
a
a

56
Existen diversas maneras de resolver este siste-
ma de ecuaciones.
Un método es el de cancelación; este método
parte del principio de que si yo tengo dos igual-
dades, por ejemplo: a = b y c = d, si sumo
o resto el lado derecho de ambas igualdades y
sumo o resto el lado izquierdo de ambas igual-
dades, debe seguir manteniéndose la igualdad.
Usando esta misma idea, vamos a resolver este sistema de ecuaciones. Para ello,
primero vamos a numerar ambas ecuaciones otorgándole los números (1) y (2),
para poder operar ordenadamente:
Debemos buscar que sumando ambas ecuaciones una de las variables se elimine,
es decir se vuelva 0.
Por ejemplo, podemos elegir multiplicar toda la ecuación (1) por -5 para tener en
la ecuación (1) el valor -5a y en la ecuación (2) el valor + 5a y que se cancelen
al sumarse.
Resolución
de ecuaciones
lineales
simultáneas
a n
a n
+ =
+ =
300
5 4 1440
a b c d
a c b d
= =
+ = +

y
( )
( )
a n
a n
+ =
+ =
300 1
5 4 1440 2
Por ejemplo:
Sucede lo mismo si los resto.
3 + 5 = 8
7 = 10 – 3
Entonces:



8 2 10
6 11 5
8 2 6 10 11 5
+ =
= −
+ − = − −( )
     4 4=

57
A esta nueva ecuación le pondremos el nú-
mero (3)
Ahora tenemos tres ecuaciones en simul-
táneo:
Luego, sumamos (3) + (2)
Como tenemos un valor de n negativo multiplicamos por – 1 ambos lados de
la igualdad, para volverlo positivo.
Inmediatamente, reemplazamos la variable n en la ecuación (1) para hallar el
valor de a:
Cuando queremos eliminar una
variable y esta está sumando o
restando la ecuación debemos
convertirla en 0.
Si la variable está multiplicando
o dividiendo debemos convertirla
en 1.
Observa y compara…
a + 0 = a
a + 1 = a + 1
a · 1= a
a · 0 = 0
(a + n)·(-5) = 300·(-5)
a ·(-5) + n·(-5) = 300·(-5)
-5a -5n = -1500
a + n = 300 (1)
5a + 4n = 1440 (2)
-5a -5n = -1500 (3)
( )
( )
5 4 1440 3
5 5 1500 2
0 60
a n
a n
n
+ = +
− − = −
− = −
− = −n 60
-n ∙( -1 ) = - 60 ∙ (-1)
n = 60
a + 60 = 300
a +60 – 60 = 300 – 60
a = 240
a + n = 300

58
TAREA [[ REFLEXIONAMOS SOBRE LA
CUARTA SITUACIÓN PROPUESTA
¿Qué opinión te merece el hecho de que el docente del ejemplo improvisó una
sesión de aprendizaje a raíz del problema planteado por las alumnas tesoreras en el
recreo?
¿Qué criterios deberían tenerse presentes para poder improvisar una clase como en
el ejemplo?
¿Qué opinas de la forma como el docente del ejemplo condujo las preguntas a los
alumnos? Menciona tres aspectos que creas que puedes usar en tu aula.
2. RELACIÓN CONTU PRÁCTICA PEDAGÓGICA
Observa las siguientes ecuaciones lineales simultáneas y la resolución que se ha
planteado.
Responde:
¿Se ha resuelto adecuadamente el problema o existen errores en la resolución?
¿Cómo explicarías a tus alumnos qué significa este resultado y cómo se representa
este resultado en una gráfica?
Si sustituimos el valor de (2) en (1)
3. PRACTICANDO NUESTRAS HABILIDADES MATEMÁTICAS
2 6 1
1
1
2
2
x y
x
y
+ =
= −
( )
( )
2 1
1
2
6
2 6
2 6
⋅ −



 + =
− + =
=
y y
y y

59
Escribelasrespuestasdelasección“Reflexionandosobrelacuartasituaciónpropuesta”
Esta tarea la realizarán tanto los participantes de la modalidad semipresencial como
los de la modalidad virtual.
Indicaciones
2 páginas
Arial 12 puntos
Interlineado:
sencillo
Nombre del archivo:
LLEVAUNACOPIAIMPRESADESUTAREAALSEGUNDO
CIRCULO DE INTERAPRENDIZAJE COLABORATIVO.

60
El participante:
tiene por finalidad que el docente amplíe y
enriquezca, de forma colectiva, su propio
desempeño mediante el análisis de su
Lleva la tarea resuelta.
Prepara tu sesión de taller matemático para recibir retroalimentación de tus colegas
antes de su aplicación en el aula.
Lleva el avance de tu trabajo final.
1. PROPÓSITOS
Comparte sus opiniones sobre el desempeño docente en la cuarta situación de
aprendizaje.
Comparte sus dudas sobre diversas formas de resolver ecuaciones lineales
simultáneas y cómo desarrollarlas con los alumnos.
Comparte sus resultados sobre el punto tres de la tarea: “Practicando nuestras
habilidades matemáticas” y los compara con los resultados de sus colegas.
Incorporar en su trabajo diario algunas de las
estrategias rescatadas de esta situación de
aprendizaje, así como las compartidas por sus
colegas.
Incorporar en el diseño de la sesión las
sugerencias recibidas por sus colegas, así como
en el trabajo final.
COLABORATIVO 2
Los participantes que se encuentrenen la modalidad e-learningintervienen en un foro deintercambio para concretarlos propósitos del círculo deinteraprendizaje y los acuerdos ycompromisos.
Nota

61
[[ RESOLUCIÓN DE ECUACIONES
SIMPLESY DE ECUACIONES LINEALES
SIMULTÁNEASTEÓRICAY PEDAGÓGICA 1
PROFUNDIZACIÓN
Para resolver ecuaciones debemos despejar la incógnita, es decir aislarla a un lado de la
igualdad para hallar su valor. Para aislar una variable debemos ir eliminando los otros tér-
minos, para ello debemos considerar dos aspectos:
Primero: debemos considerar el orden en el que deben realizarse las operaciones.
1. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMPLES
ORDEN DE RESOLUCIÓN EN OPERACIONES
(PEMDAS)
Paréntesis (P)
Exponentes y
Radicales (E)
Multiplicación y
División (MD)
Adición y
Sustracción (AS)
<http://www.disfrutalasmatematicas.com/operaciones-orden-pemdas.html>
Segundo: debemos considerar qué elementos afectan a la variable. Por ejemplo:
En este caso, lo que tiene lógica es que primero eliminemos o nos deshagamos del 7 que
divide, es decir que no esté en el mismo lado de la igualdad en el que está la variable; eso
lo haremos multiplicando por 7 a ambos lados de la igualdad.
x +
=
3
7
2
x +
⋅ = ⋅
3
7
7 2 7

62
Luego, para despejar x, debemos tratar de que el +3 se vuelva 0, eso lo haremos restando
3 a ambos lados de la igualdad.
En el caso del siguiente ejemplo:
Lo primero que debemos hacer es eliminar los paréntesis para poder simplificar expresiones
y luego aislar las variables a un lado de la igualdad.
En seguida, debemos deshacernos del – 2, eso lo haremos sumando 2 a cada lado de la
igualdad.
Finalmente, debemos poner las variables en un mismo lado de la igualdad, para ello restare-
mos 3y de ambos lados.
x
x
+ − = −
=
3 3 14 3
11
( )4 6 8 3
4 2 3
y y
y y
+ − =
− =
4 3 3 2 3
2
y y y y
y
− = + −
=
4 2 2 3 2
4 3 2
y y
y y
− + = +
= +
( )4 6 8 3y y+ − =
Para resolver una ecuación debemos considerar dos leyes.
Una ecuación no cambia si a los dos miembros se les suma o se les resta la misma cantidad.
Una ecuación no cambia si a sus dos miembros se les multiplica o se les divide por la misma
cantidad.
Si tenemos una igualdad y sumamos lo mismo a ambas partes, la igualdad se mantiene. Lo
mismo sucede si restamos, multiplicamos o dividimos por el mismo valor a ambos lados de
la igualdad.
Normalmente sabemos que cuando una expresión pasa al otro lado de la igualdad debe
cambiar de signo. Es importante entender que dicha expresión se basa en La Ley de la
Uniformidad.
El valor o variable no pasa al otro lado con el signo cambiado, sino que para eliminar
dicha expresión se debe realizar la operación inversa en ambos lados de la igualdad, de esa
2. LEYESY PROPIEDADES QUE PERMITEN RESOLVER ECUACIONES
Ley de uniformidad o igualdad

63
a a÷ =
⋅ =
1
1 9 9
5 8 2x − =
5 8 8 2 8
5 10
x
x
− + = +
=
El elemento neutro de una operación es un número que operado con cualquier otro número
no lo altera.
• Elemento neutro de la suma y resta
El 0 es el elemento neutro de la suma y resta porque todo número sumado y restado con
él da el mismo número.
• Elemento neutro de la multiplicación y división
El 1 es el elemento neutro de la multiplicación y división, porque todo número multiplicado
o dividido por 1 da como resultado el mismo número.
Basados en esa propiedad, cuando queremos eliminar una variable o expresión y esta está
sumando o restando en la ecuación, debemos buscar convertirla en 0. Si la variable está
multiplicando o dividiendo, debemos convertirla en 1.
Ejemplo 1:
Nos conviene deshacernos del 8 que está al lado izquierdo de la ecuación. Observamos
que ese valor está restando al 5x y debemos tratar de convertirlo en 0, ya que el elemento
neutro de la adición y de la sustracción es el 0.
Propiedad de los elementos neutros
forma se elimina la expresión que no se quería y al otro lado se queda la operación inversa.
Ejemplo:



7 8 6
7 8 8 6 8
7 8 8 6 8
x
x
x
+ =
+ − = −
+ − = −



7 2
7
7
2
7
x
x
x
= −
= −
= −
22
7
a + 0 = a
3 + 0 = 3

64
Inmediatamente, para no tener el 5 en ese lado de la igualdad, debemos dividir ambos
lados entre 5.
Si queremos eliminar el 3 y observamos que ese valor está dividiendo al numerador (12 – y),
debemos tratar de convertirlo en 1, ya que el elemento neutro de la multiplicación y de la
división es el 1.
En el ejemplo, para despejar y, debemos multiplicar por 3 a ambos lados de la igualdad.
Luego, debo eliminar el 12, para ello resto 12 de cada lado de la igualdad.
Finalmente para hallar el valor positivo de la variable multiplico ambos lados de la igualdad
por -1.
Ejemplo 2:
5
5
10
5
2
x
x
=
=
12
3
2
−
=
y
12
3
3 2 3
12 6
−
⋅ = ⋅
− =
y
y
( ) ( )− ⋅ − = − ⋅ −
=
y
y
1 6 1
6
Existen diversas maneras de resolver este sistema de ecuaciones.
Un método es el de cancelación, el cual parte del principio de que si yo tengo una igualdad,
puedo sumar lo mismo a ambos lados y esta igualdad se va a mantener:
Si a = b, entonces a + c = b + c
De esta misma manera, si m = n y p = q y sumo el lado derecho de ambas igualdades y
si sumo el lado izquierdo de ambas igualdades, debe seguir manteniéndose la igualdad. Lo
mismo sucede si resto.
m = n y p = q
m – p = n – q
3. ECUACIONES LINEALES SIMULTÁNEAS
Resolución de ecuaciones lineales simultáneas


12 12 6 12
6
− − = −
− = −
y
y

65
Usando esta misma idea, vamos a buscar resolver este sistema de ecuaciones. Para ello,
primero vamos a numerar ambas ecuaciones, otorgándole los números (1) y (2), para po-
der operar ordenadamente.
Primero numeramos las ecuaciones:
Vamos a multiplicar la ecuación (1) por 2, para que tengan
el mismo coeficiente de x en ambas ecuaciones: 2x. Va-
mos a numerar como (3) esta nueva ecuación.
x + 2y = 8 (1)
2x + y= 7 (2)
Por ejemplo:
Sucede lo mismo si los sumo.
8 + 2 = 10
6 = 11 – 5
Entonces:



8 2 10
6 11 5
8 2 6 10 11 5
+ =
= −
+ − = − −( )
     4 4=
2x + 4y = 16 (3) La ecuación (1) multiplicada por 2.
Ahora a la ecuación (3) le restamos la ecuación (2).
2x + 4y = 16 (3)
– 2x + y = 7 (2)
3y = 9 (3) – (2)
Resolviendo 3y = 9, es decir y = 3
Este valor se sustituye en la ecuación (1)
x + 2 · (3) = 8
x + 6 = 8
x= 2
Este par de ecuaciones nos da una relación entre las variables cuando x vale 2 e y vale 3.
Otro método es el de sustitución. En el ejemplo:
x + 2y = 5
3 x + y = 5
Primero, hallamos el valor de x en relación a y usando una de las ecuaciones.
x + 2y = 5
Para hallar el valor de x debemos dejarla sola a un lado de la igualdad. Por lo cual, utilizando
las leyes y propiedades anteriores, reconocemos que debemos eliminar 2y y volverla 0. Para
ello debemos restar 2y de ambos lados de la igualdad.
x + 2y – 2y = 5 – 2y
x = 5 – 2y

66
Luego de haber hallado el valor de x en función de y, reemplazamos dicho valor en la
segunda ecuación:
3x + y = 5
3 · (5 – 2y) + y = 5
15 – 6y + y = 5
15 – 5y = 5
Después, usando las leyes y propiedades anteriores, aislamos la expresión que tiene la
variable y.
15 – 5y = 5
15– 5y – 15 = 5 – 15
-5y = -10
Enseguida debemos dejar sola a la variable y lo haremos dividiendo entre -5 a ambos
lados de la igualdad:
− = −
−
−
=
−
−
=
5 10
5
5
10
5
2
y
y
y
Llegados a este punto, reemplazamos el valor de y en cualquiera de las ecuaciones y la
resolvemos como una ecuación simple para hallar el valor de x:
Si reemplazamos y en la primera ecuación, sería:
( )
x y
x
x
x
+ =
+ ⋅ =
+ =
+ − = −
2 5
2 2 5
4 5
4 4 5 4
x = 1

67
Si reemplazamos y en la segunda ecuación, sería: 3 5
3 2 5
3 2 2 5 2
3 3
3
3
3
3
x y
x
x
x
x
+ =
+ =
+ − = −
=
=


          x = 1
Una ecuación lineal simultánea representa dos valores relacionados entre sí. Si conocemos
la relación entre las dos variables, podemos construir una gráfica. Para dibujar la gráfica
será necesario construir una tabla de valores, la cual nos da pares ordenados para cada
ecuación. Tomamos por lo menos dos pares ordenados y unimos dichos puntos con una
recta; hacemos esto mismo con los pares ordenados de la segunda ecuación. Ubicamos
ambas rectas en un plano cartesiano. La solución a ambas ecuaciones se da en la
intersección de ambas rectas.
Queremos graficar el siguiente sistema de ecuaciones:
2x + y = 27
3x - 3y = 9
Para la ecuación: 2x + y = 27
Cuando x es 5:
2x + y = 27
2 · 5 + y = 27
10 + y = 27
10 + y – 10 = 27 – 10
y = 17
Por tanto, nuestra tabla de valores para esta ecuación sería la siguiente:
Graficando ecuaciones lineales simultáneas
Para la ecuación: 3x – 3y = 9
Cuando x es 5:
Con lo cual comprobamos nuestro resultado.
3 3 9
3 5 3 9
15 3 9
15
x y
y
y
− =
⋅ − =
− =
− 33 15 9 15
3 9 15
3
y
y
− = −
− = −
− yy
y
y
= −
− ⋅ − = − ⋅ −
=
6
3 1 6 1
3 6
( ) ( )
3
3
6
3
3
3
6
3
y
y
=
=
y = 2
3 3 9
3 5 3 9
15 3 9
15
x y
y
y
− =
⋅ − =
− =
− 33 15 9 15
3 9 15
3
y
y
− = −
− = −
− yy
y
y
= −
− ⋅ − = − ⋅ −
=
6
3 1 6 1
3 6
( ) ( )
3
3
6
3
3
3
6
3
y
y
=
=
y = 2
Cuando x es… y es…
5 17
10 7

68
Si resolvemos nuevamente la ecuación 3x - 3y = 9, asumiendo que x es 10, entonces el valor
de y será 7.
Por tanto, nuestra tabla de valores para la segunda ecuación sería la siguiente:
Cuando x es… y es…
5 2
10 7
GRÁFICO DE LA ECUACIÓN
(10,7)
(5,2)
0
3x -3 y = 9
2x + y =27
x
y
(5,17)

69
INFORMACIÓN COMPLEMENTARIA
La "Ley del Producto" que presentamos a continuación nos permitirá exponer conceptos
más complejos de álgebra.
LEY DEL PRODUCTO
El arte de resolver ecuaciones está enraizado en una propiedad fundamental de
los números reales.
Propiedad del Producto
La única manera de que un producto p. q. r... z pueda ser igual a 0 es si uno de
los factores p, q, r…, z es igual a 0.
Ejemplos:
(a) Si el número desconocido x satisface la ecuación
entonces
De manera similar,
(b) Si el número desconocido x satisface la ecuación
(x – 1) ∙ (x+ 2) = 0,
(x – 1) = 0, ’ x = 1,
(x + 2) = 0, ’ x = -2.
(3x + 2) · (7 – 4x) · (x – 2) = 0,
Entonces uno de los factores debe ser igual a cero; por lo tanto
3x + 2 = 0, o 7 – 4x = 0, o x – 2 = 0.
Por supuesto, si en la ecuación original la incógnita x representaba el
número de hijos en una familia, o el ancho (en cm) de un rectángulo,
entonces las soluciones negativas serían descartadas.
x =
−2
3
x =
7
4
x = 2

70
TAREA [[REFLEXIONANDO SOBRE LA
PROFUNDIZACIÓNTEÓRICA
¿Qué errores comunes cometen tus alumnos al resolver ecuaciones? Menciona cuatro.
Diseña dos afiches que puedas colocar en tu aula para facilitar la comprensión de
tus alumnos y evitar que cometan errores comunes.
1. RELACIÓN CONTU PRÁCTICA PEDAGÓGICA:
Revisa los Mapas de Progreso e identifica cuáles de los conceptos presentados en esta
profundización teórica deben desarrollarse y señala a qué años/ciclos de secundaria
deben aplicarse.
Incluye la respuesta en la tarea.
2. RELACIÓN CON EL SISTEMA CURRICULAR NACIONAL
Diseña un problema matemático contextualizado a tu realidad, que se resuelva
con ecuaciones simples, y diseña un problema matemático contextualizado a tu
realidad, que se resuelva con ecuaciones lineales simultáneas.
Indica qué preguntas harías a tus alumnos para acompañarlos en la resolución
adecuada de los problemas planteados anteriormente. Indica cuatro preguntas
distintas en cada uno de los dos ejemplos.
1

71
Indicaciones
2 páginas, adicional a los dos afiches
Arial 12 puntos
Interlineado:
sencillo
Nombre del archivo:
MatematicaSecundaria.Módulo1.TareaProfundización1_Apellido y nombre
LLEVAUNACOPIAIMPRESADESUTAREAALSEGUNDO
CIRCULO DE INTERAPRENDIZAJE COLABORATIVO.
Escribe las respuestas de la sección “Reflexionando sobre la Profundización teórica 1”

72
Aclarar sus conocimientos sobre resolución de ecuaciones simples y de ecuaciones
lineales simultáneas, a través de compartir sus respuestas con los colegas.
PROPÓSITO
TEMAS ATRATAR
Profundización teórica sobre resolución de ecuaciones.
Incorporar en el aula las estrategias de trabajo analizadas. Colocar en las aulas los
afiches desarrollados.
TERCERTALLER PRESENCIAL
Los talleres presenciales tienen como
finalidad acompañar a los docentes
en su proceso de formación profesio-
nal y desarrollo personal. Promueven
la reflexión sobre la didáctica de la
matemática, desde el enfoque problé-
mico. Ofrecen información actualizada
y difunden prácticas pedagógicas, se-
cuencias didácticas, actividades, videos
y publicaciones específicas. Generan
climas de confianza y camaradería entre
los docentes
el trabajo final.

73
A continuación te ofrecemos las pautas detalladas para la elaboración de la propuesta de
práctica pedagógica que realizarás en el aula.
ORIENTACIONES DETALLADAS PARA LA ELABORACIÓN DE
LA PRÁCTICA PEDAGÓGICA
ORIENTACIONESGENERALES PARA LA ELABORACIÓN DELTRABAJO
FINALA ENTREGARSE EN LAÚLTIMASEMANA DEL MÓDULO
La séptima semana de este módulo la dedicarás a desarrollar una sesión de taller matemático
para resolver un problema de la realidad de tus alumnos, a través de ecuaciones lineales de
primer grado. Luego, debes presentar una narración de lo aplicado en el aula.
1. Revisa las cuatro situaciones para la reflexión pedagógica que hasta ahora hemos desarrollado.
2. Elige qué desarrollarás con tus alumnos. Basándote en el análisis que has hecho a través
de los Talleres y Círculos sobre las mejores estrategias y prácticas docentes, elabora una
sesión de taller matemático para resolver un problema, tomando en cuenta la realidad de
tus alumnos.
Recuerda que una sesión de taller matemático es:
Escenario donde el estudiante usa aquellos aprendizajes que ha ido desarrollando en un
periodo de sesiones de aprendizaje. “El estudiante despliega diversos recursos (técnicos,
procedimentales y cognitivos) con la intención de resolver situaciones problemáticas usando
diversas estrategias de solución” (Minedu 2013b: 21).
Debe apreciarse la intervención del docente y las acciones que realizarán los estudiantes.
Trata de que la propuesta promueva un clima de trabajo en equipo, de cooperación y confianza.
Propósito con el que desarrollarán la actividad.
Registro del avance de tus estudiantes.
y organizados en grupos de menor a mayor nivel de dificultad, indicando por qué se han
clasificado de esta manera. Los problemas deben presentarse desarrollados y deben incluir
una explicación detallada de los pasos que se siguieron para su solución.

74
[[ECUACIONESY PROBLEMAS
MATEMÁTICOSTEÓRICA y PEDAGÓGICA 2
PROFUNDIZACIÓN
El Ministerio de Educación, en las Rutas del Aprendizaje, indica que asume la resolución
de problemas como práctica pedagógica de la escuela. Este documento plantea que la re-
solución de situaciones problemáticas es la actividad central de las matemáticas y que es
el medio principal para establecer relaciones de funcionalidad matemática con la realidad
cotidiana (Minedu 2013b:10).
En este documento se plantea que:
1. La resolución de problemas debe impregnar íntegramente el currículo de la matemática.
2. La matemática se enseña y se aprende resolviendo problemas.
3. Las situaciones problemáticas deben plantearse en contextos de la vida real o en con-
textos científicos.
4. Los problemas deben responder a los intereses y necesidades de los estudiantes.
5. La resolución de problemas sirve de contexto para desarrollar capacidades matemáticas
(Minedu 2013b: 11).
A continuación, encontrarás dos textos que explican la importancia del contexto en la en-
señanza de las matemáticas.
EL CONTEXTO DEL APRENDIZAJE
Seentiendequeunaprendizajeesfuncionalcuandolapersonaqueloharealizadopuedeutilizarlo
de una manera efectiva en una situación concreta para resolver un problema determinado; esta
utilizaciónsehaceextensivaalaposibilidaddeutilizaraquelloquesehaaprendidoparaabordar
nuevas situaciones, para efectuar nuevos aprendizajes. Un aprendizaje es funcional cuando la
persona que lo ha realizado puede utilizarlo, pero para ello tiene que poder actualizarlo, o sea
recuperarlo de donde está almacenado. Este tipo de memoria, la memoria comprensiva, tiene
poco que ver con la memoria mecánica, que permite la reproducción exacta del contenido
memorizado. Si el aprendizaje ha sido signiﬁcativo, el nuevo contenido se ha integrado en la
estructura previa produciendo modiﬁcaciones en esta estructura, esto hace que sea difícil que
estecontenidopuedaserreproducidotalcual,pero,porlamismarazón,laposibilidaddeutilizar
este conocimiento –su funcionalidad– es muy elevada, cosa que no sucede en el caso de la
memoria mecánica. (Font 2007: 430)
El punto de vista que considera la comprensión en términos de competencia resalta que hablar de
“competencia” es hablar de uso competente en situaciones reales, con lo cual pone al “contexto” en
primerplanodelareflexión.
(…)
La importancia que tiene contextualizar el conocimiento matemático es hoy en día ampliamente
asumida, ya que considera que el “contexto” puede ser la clave para relacionar lo que los psicólogos
han aprendido sobre el modo en que los humanos razonan, sienten, recuerdan, imaginan y deciden
con lo que, por su parte, han aprendido los antropólogos sobre la manera en que el significado es
construido,aprendido,activadoytransformado.(Font2007:431)

75
[
Una parte de la prueba PISA evalúa las habilidades matemáticas de los alumnos, buscando
saber si pueden resolver problemas reales. Una de las preguntas planteadas en el 2012 fue
sobre el Monte Fuji, en Japón.
Presentamos información relacionada al tipo de preguntas de las pruebas PISA, así como
algunas de las preguntas de la prueba del 2012.
ECUACIONES EN CONTEXTO
En ellos queda en evidencia la importancia de contextualizar las matemáticas para que se
pueda dar un aprendizaje significativo.
[El problema llamado] SUBIDA AL MONTE FUJI se utilizó en el estudio principal de
PISA 2012 (…). Las preguntas 1 y 3 pertenecen a la categoría de contenido cantidad,
pues en ellas se pide a los alumnos que realicen cálculos utilizando fechas y medidas
y que hagan conversiones. El concepto clave de la pregunta 2 es la velocidad y, por
tanto, se encuentra en la categoría de contenido cambio y relaciones.
Todas ellas pertenecen a la categoría de contexto social, pues los datos hacen
referencia al acceso del público al Monte Fuji y a sus recorridos. Las dos primeras
preguntas son ejemplos de la categoría de proceso formulación matemática de las
situaciones, ya que la principal exigencia de estas preguntas implica la elaboración
de un modelo matemático que pueda dar respuesta a las preguntas planteadas.
La pregunta 3 se ubica en la categoría empleo de datos, conceptos, procedimientos
y razonamientos matemáticos, pues en este caso la principal exigencia es calcular
un promedio, asegurándose de que la conversión de las unidades se realiza
correctamente, de ahí que se trabaje fundamentalmente en los detalles del problema
más que en la asociación de los mismos con los elementos contextuales. En el
estudio principal de PISA 2012, las tres preguntas diferían en dificultad. La pregunta
1 era de dificultad media y las preguntas 2 y 3 eran muy difíciles. (Ministerio de
Educación, Cultura y Deporte de España 2013: 39)
En un extremo tendríamos problemas contextualizados que se han diseñado para
activar procesos complejos de modelización, mientras que en el otro extremo
tendríamos problemas relativamente sencillos cuyo objetivo es la aplicación de los
conceptos matemáticos previamente estudiados. (…)Este criterio de clasiﬁcación es
el que se utiliza en el estudio PISA cuando consideran tres niveles de complejidad a
la hora de considerar los ítems con los que evaluar las competencias – Primer nivel:
Reproducción y procedimientos rutinarios. Segundo nivel: Conexiones e integración
para resolver problemas estándar. Tercer nivel: Razonamiento, argumentación,
intuición y generalización para resolver problemas originales. (Font 2007: 438)

76
SUBIDA AL MONTE FUJI
El Monte Fuji es un famoso volcán inactivo del Japón.
PREGUNTA 1
La subida al Monte Fuji solo está abierta al público desde el 1 de julio hasta el 27 de
agosto de cada año.
Alrededor de unas 200 000 personas suben al Monte Fuji durante este periodo de tiempo.
Como media, ¿alrededor de cuántas personas suben al Monte Fuji cada día?
A. 340 B. 710 C. 3400 D. 7 100 E. 7 400
PREGUNTA 2
La ruta del Gotemba, que lleva a la cima del Monte Fuji, tiene unos 9 kilómetros (km) de
longitud.
Los senderistas tienen que estar de vuelta de la caminata de 18 km a las 20:00 h.
Toshi calcula que puede ascender la montaña caminado a 1,5 kilómetros por hora, como
media, y descenderla al doble de velocidad. Estas velocidades tienen en cuenta las
paradas para comer y descansar.
Según las velocidades estimadas por Toshi, ¿a qué hora puede, como muy tarde, iniciar
su caminata de modo que pueda estar de vuelta a las 20:00 h?
........................................................................
PREGUNTA 3
Toshi llevó un podómetro para contar los pasos durante su recorrido por la ruta del
Gotemba. Según el podómetro, dio 22 500 pasos en la ascensión.
Calcula la longitud media del paso de Toshi en su ascensión de 9 km por la ruta del
Gotemba. Expresa tu respuesta en centímetros (cm).
Respuesta ……………………. cm

77
TAREA [[
REFLEXIONANDO SOBRE LA
SEGUNDA PROFUNDIZACIÓN
TEÓRICA
Luego de leer los textos, responde a lo solicitado por escrito para enviarlo como tarea.
Basado en las lecturas, define en tus propias palabras el término “contextualizar el
conocimiento matemático”
Matematizar: “Implica tener las habilidades para poder interpretar y transformar la
realidad o parte de ella con la ayuda de la matemática; asimismo, tener la disposición
de razonar matemáticamente para enfrentar una situación problemática y resolverla”.
¿En qué sentido los problemas matemáticos nos permiten matematizar? ¿Qué condi-
ciones deberían tener estos problemas para que nos permitan desarrollar esta capa-
cidad?
1. ANÁLISIS DE LOSTEXTOS
Menciona cinco características de tu grupo de alumnos que debas tener presente al
contextualizar los aprendizajes matemáticos en tu aula.
2. RELACIÓN CONTU PRÁCTICA PEDAGÓGICA
Adapta el problema “Subida al Monte Fuji” a la realidad de tus alumnos.

78
Indicaciones
2 páginas
Arial 12 puntos
Interlineado:
sencillo
Nombre del archivo:
MatematicaSecundaria.Módulo1.TareaProfundización2_Apellido y nombre
LLEVA UNA COPIA IMPRESA DE TU TAREA AL CÍRCULO
DE APRENDIZAJE COLABORATIVO 3.
COLOCA TU TAREA EN EL FORO DE INTERCAMBIO.
Escribe las respuestas de la sección “Reflexionando sobre la Profundización teórica 2”

79
Aclarar sus conocimientos sobre ecuaciones y problemas matemáticos, a través de
compartir sus respuestas con los colegas.
PROPÓSITO
TEMAS ATRATAR
Profundización teórica sobre ecuaciones y problemas matemáticos.
Incorporar en el aula las estrategias de trabajo analizadas.
CUARTO TALLER PRESENCIAL
Los talleres presenciales tienen como
finalidad acompañar a los docentes
en su proceso de formación profesio-
nal y desarrollo personal. Promueven
la reflexión sobre la didáctica de la
matemática, desde el enfoque problé-
mico. Ofrecen información actualizada
y difunden prácticas pedagógicas, se-
cuencias didácticas, actividades, videos
y publicaciones específicas. Generan
climas de confianza y camaradería entre
los docentes
el trabajo final.

80
Implementa en el aula la propuesta pedagógica (taller matemático) teniendo en cuenta las
sugerencias de mejora brindadas por tus colegas y tu formador.
Esta práctica la realizan los participantes de la modalidad semipresencial y virtual.
EJECUCIÓN DE LA PRÁCTICA PEDAGÓGICA
EN ELAULAY ELABORACIÓN DE LA NARRACIÓN DOCUMENTADA
ORIENTACIONES PARA LA ELABORACIÓN DE LA NARRACIÓN
DOCUMENTADA DE LA PRÁCTICA PEDAGÓGICA
Piensa y narra la práctica que realizaste. Toma en cuenta el asunto que quieres presentar,
los cuestionamientos y las interpretaciones que presentarás. También puedes apoyarte
en las siguientes preguntas (no se trata de responderlas, sino de narrar lo sucedido):
 ¿Cómo propusiste la actividad a los estudiantes y cómo respondieron?
 ¿Sucedió algo que no habías previsto? De haber sido así, ¿cómo enfrentaste la
situación?
 ¿Cómo fue la participación de los estudiantes en la actividad?
 ¿Cómo los apoyaste en el desarrollo de sus aprendizajes?
 ¿Qué aprendieron los estudiantes?
 ¿Qué aprendiste tú?
 ¿Cómo registraste el aprendizaje de los estudiantes?
Recogeevidenciasdelaexperiencia(fotos,trabajosdelosestudiantes,registrodelasinteraccionesdocente-estudianteyestudiante-estudiante,entreotras).
Importante

81
ORIENTACIONES PARA LA ELABORACIÓN DELTRABAJO
FINAL A ENTREGARSE EN LA ÚLTIMA SEMANA DEL MÓDULO
1. Revisa todas las situaciones para la reflexión pedagógica, que hasta ahora hemos
desarrollado, para elaborar tu trabajo final.
2. Revisa los dos documentos de profundización teórico pedagógica.
3. Redacta siete problemas matemáticos que se resuelvan a través de ecuaciones simples
o lineales simultáneas. Los problemas deben estar contextualizados a la realidad de tus
alumnos y deben estar organizados de menor a mayor nivel de dificultad. Debes indicar
por qué los problemas se encuentran clasificados de esta manera.
4. Los problemas deben presentarse desarrollados y deben incluir explicación detallada de
los pasos seguidos para resolverse.

82
El participante:
Lleva las tareas desarrolladas.
Lleva el avance de los productos finales del módulo.
1. PROPÓSITOS
Analiza su responsabilidad como docente de Matemática en la mejora de los
resultados peruanos en las pruebas internacionales.
Aclara sus dudas con relación a la resolución de problemas y a la creación de
problemas contextualizados.
Utilizar las estrategias compartidas en el
círculo de interaprendizaje para enriquecer el
trabajo final.
Aplicar las estrategias compartidas en el
círculo de interaprendizaje para mejorar el
trabajo en aula.
Los participantes que se encuentrenen la modalidad e-learningintervienen en un foro deintercambio para concretarlos propósitos del círculo deinteraprendizaje y los acuerdos ycompromisos.
Nota
COLABORATIVO 3
tiene por finalidad que el docente amplíe
y enriquezca su propio desempeño de
forma colectiva, mediante el análisis de su

83
NARRACIÓN DOCUMENTADA:
Luego de desarrollar una sesión de taller matemático para resolver un problema de la
realidad de tus alumnos a través de ecuaciones lineales de primer grado, debes presentar
la narración de lo aplicado en el aula, siguiendo las pautas dadas en las págnas anteriores.
PRESENTACIÓN DE LA NARRACIÓN
DOCUMENTADAY ELTRABAJO FINAL
TRABAJO FINAL:
El trabajo final consiste en:
1. Redactar siete problemas matemáticos que se resuelvan a través de ecuaciones simples
o lineales simultáneas. Los problemas deben estar contextualizados a la realidad de tus
alumnos.
2. Organizar los problemas de menor a mayor nivel de dificultad, indicando el por qué los
problemas se encuentran clasificados de esta manera.
3. Presentar la resolución de los siete problemas, incluyendo la explicación detallada de los
pasos seguidos para resolverlos.
Indicaciones para la entrega de la
narración documentada
Tipo y tamaño de letra: Arial 12 puntos
Extensión máxima: 3 páginas
Interlineado: sencillo
LLEVAUNACOPIAIMPRESAALCUARTOCÍRCULODEINTERAPRENDIZAJE.
Participante de la modalidad virtual y semipresencial:
COLOCA EL TRABAJO FINAL EN EL AULA VIRTUAL.
Indicaciones para la entrega
del trabajo final
Tipo y tamaño de letra: Arial 12 puntos
Interlineado: sencillo
Nombre del archivo: Módulo1.TrabajoFinal_Apellido y nombre
LLEVAUNACOPIAIMPRESAALCUARTOCÍRCULODEINTERAPRENDIZAJE.
Participante de la modalidad virtual y semipresencial:
COLOCA EL TRABAJO FINAL EN EL AULA VIRTUAL.

84
El participante:
Concluye el trabajo final.
Aplicar en aula todas las actividades presentadas y las sugerencias tomadas de
los colegas.
1. PROPÓSITOS
Intercambia problemas matemáticos contextualizados a su realidad.
Intercambia estrategias de resolución de problemas matemáticos.
Realiza una autoevaluación del módulo.
COLABORATIVO 4
Los participantes que cursan lamodalidad e-learning intervienenen un foro de intercambio paramejorar la narración documentadade su práctica. .
Nota

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