El documento explica el método de Gauss-Jordán para calcular la inversa de una matriz cuadrada. Presenta tres ejemplos numéricos donde se muestra cada paso del método para encontrar la inversa de la matriz dada. El método involucra realizar operaciones de división, sustracción y multiplicación de renglones para convertir la matriz original en la matriz identidad, dejando la matriz resultante como su inversa.

1. Método de Gauss – Jordán
Matriz inversa

2. Matriz inversa
• Reglas:
• Se escribe como- matriz inversa de AA-1
• El método aplica a matrices cuadradas (nxn)
• Si A-1A=I entonces la inversa existe.

3. Método:
• Ejemplo 1: para la siguiente matriz encuentre la inversa
𝐴 =
2 5 7 9
9 2 3 7
1 2 0 4
• Primero verificamos su dimensión: 3 renglones y 4 columnas
• Entonces es [3X4], A no es cuadrada, por lo tanto: no tiene
inversa.

4. Método:
• Ejemplo 2: para la siguiente matriz encuentre la inversa
𝐴 =
2 4
3 5
• Primero verificamos su dimensión: 2 renglones y 2 columnas
• Entonces es [2X2], A es cuadrada, por lo tanto: se puede
encontrar la inversa.
• Para calcular la inversa debemos realizar los siguientes pasos:
Anexar una matriz I (identidad) del lado derecho, con las
mismas dimensiones:

5. •
2 4
3 5
1 0
0 1
• Se busca que la primera matriz se convierta en la identidad, y
en el proceso la matriz identidad se transformara en la matriz
inversa.
•
2 4
3 5
1 0
0 1
R1
• Cada uno de los Renglones deberá de enumerarse.
• El primer elemento del R1 debe de convertirse en 1
•
2 4
3 5
1 0
0 1
• Para ello bastara que se divida entre si mismo, para este caso:
2, pero la operación afecta a todo el renglón, de manera que
R1/2

6. •
2
2
4
2
3 5
1
2
0
2
0 1
R1/2
•
1 2
3 5
1
2
0
0 1
• Entonces, cada elemento en la columna del 1 debe volverse 0
•
1 2
3 5
1
2
0
0 1
• Para conseguir el punto anterior al renglón en turno (en este
caso R2) se le deberá restar la cantidad (en este caso 3) por el
R1
•
1 2
3 5
1
2
0
0 1
R2-3*R1

7. • Al igual que la división, la operación afecta todo el renglón.
•
1 2
3 5
1
2
0
0 1
R2-3*R1
• La resta debe de realizarse termino a termino
•
1 2
3 − 3 ∗ (1) 5 − 3 ∗ (2)
1
2
0
0 − 3 ∗ (
1
2
) 1 − 3 ∗ (0)
•
1 2
3 − 3 5 − 6
1
2
0
0 − (
3
2
) 1 − 0
•
1 2
0 −1
1
2
0
−
3
2
1

8. •
1 2
0 −1
1
2
0
−
3
2
1
• Siguiendo la diagonal, el -1 R2 deberá convertirse en 1, para
esto se dividirá el R2 /-1
•
1 2
0 −1
1
2
0
−
3
2
1
R2/-1
•
1 2
0
−1
−1
−1
1
2
0
−
3
2
−1
1
−1
•
1 2
0 1
1
2
0
3
2
−1

9. •
1 2
0 1
1
2
0
3
2
−1
• Entonces todos los demás números en la columna deben
volverse 0.
• El paso a seguir es R1 -2R2
•
1 2
0 1
1
2
0
3
2
−1
R1 -2R2
•
1 − 2 ∗ (0) 2 − 2 ∗ (1)
0 1
1
2
− 2 ∗ (
3
2
) 0 − 2 ∗ (−1)
3
2
−1

10. •
1 − 0 2 − 2
0 1
1
2
−
6
2
0 + 2
3
2
−1
•
1 0
0 1
−
5
2
2
3
2
−1
• Una vez que la matriz inicial se convierte en la Identidad,
finaliza el proceso.
• La matriz resultante es la inversa
•
1 0
0 1
−
5
2
2
3
2
−1

11. • A-1=
−5
2
2
3
2
−1
• Para comprobar que este bien, deberá de multiplicar A-1A
•
−
5
2
2
3
2
−1
2 4
3 5
=
−
5
2
∗ 2 + 2 ∗ 3 −
5
2
∗ 4 + 2 ∗ 5
3
2
∗ 2 + −1 ∗ 3
3
2
∗ 4 + −1 ∗ 5
• =
−
10
2
+ 6 −
20
2
+ 10
6
2
− 3
12
2
− 5
• =
−5 + 6 −10 + 10
3 − 3 6 − 5

12. • Para comprobar que este bien, deberá de multiplicar A-1A
• A-1A =
1 0
0 1
• Como A-1A =I se puede afirmar que:
A-1=
−5
2
2
3
2
−1
Es la matriz inversa

13. Método:
• Ejemplo 3: para la siguiente matriz encuentre la inversa
𝐴 =
4 8 16
1 −2 6
3 0 9
• Dimensión: [3x3]
• Se aplica Gauss – Jordan

14. 4 8 16
1 −2 6
3 0 9
1 0 0
0 1 0
0 0 1
R1/4
1 2 4
1 −2 6
3 0 9
1/4 0 0
0 1 0
0 0 1
R2-R1
1 2 4
0 −4 2
3 0 9
1/4 0 0
−1/4 1 0
0 0 1
R3-3*R1
1 2 4
0 −4 2
0 −6 −3
1/4 0 0
−1/4 1 0
−3/4 0 1

15. 1 2 4
0 −4 2
0 −6 −3
1/4 0 0
−1/4 1 0
−3/4 0 1
R2/-4
1 2 4
0 1 −1/2
0 −6 −3
1/4 0 0
1/16 −1/4 0
−3/4 0 1
R1 -2R2
1 0 5
0 1 −1/2
0 −6 −3
1/8 1/2 0
1/16 −1/4 0
−3/4 0 1
R3 –(-6)R2

16. 1 0 5
0 1 −1/2
0 0 −6
1/8 1/2 0
1/16 −1/4 0
−3/8 −3/2 1
1 0 5
0 1 −1/2
0 0 −6
1/8 1/2 0
1/16 −1/4 0
−3/8 −3/2 1
R3 /(-6)
1 0 5
0 1 −1/2
0 0 1
1/8 1/2 0
1/16 −1/4 0
1/16 1/4 −1/6
R1 -(5) R3

17. 1 0 0
0 1 −1/2
0 0 1
−3/16 −3/4 5/6
1/16 −1/4 0
1/16 1/4 −1/6
R2 -(-1/2) R3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
−3/16 −3/4 5/6
3/32 −1/8 −1/12
1/16 1/4 −1/6

18. • Para comprobar que este bien, deberá de multiplicar A-1A
• Si A-1A =I se puede afirmar que:
A-1=
−3/16 −3/4 5/6
3/32 −1/8 −1/12
1/16 1/4 −1/6
Es la matriz inversa