d

1. Problema 108 (Tomo II)
Sea f(x, y) una funci´on de R2, definida as´ı:
f(x, y) =



2x3
+3xy2
x2+y2 si (x, y) = (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
a) Demostrar que f es continua en todo R2.
b) Calcular las derivadas direccionales en el punto (0, 0) seg´un el vector #»v .
c) Estudiar la diferenciabilidad en el (0, 0).
27 de septiembre de 2017 1 / 4

2. Gu´ıa
⋆ Una funci´on f(x, y) es continua en un punto, si el l´ımite existe en el punto, y coincide
con su imagen.
⋆ Tomar como #»v un vector unitario, por ejemplo #»v = (cos α, sen α).
27 de septiembre de 2017 2 / 4

3. Soluci´on
a) f es continua en R2 − {0, 0} como composici´on de funciones continuas.
Usamos coordenadas polares para estudiar la continuidad en el origen.
l´ım
x→0
y→0
f(x, y) = l´ım
ρ→0
ρ 2 cos3
θ + 3 cos θ sen2
θ = 0
Se trata de una funci´on que tiende a cero por una funci´on acotada; f es continua en
todo R2.
b)
D#»v f(0, 0) = l´ım
t→0
f(t cos θ, t sen θ) − f(0, 0)
t
= 2 cos3
θ + 3 cos θ sen2
θ
27 de septiembre de 2017 3 / 4

4. Soluci´on
c)
∂f
∂x
(0, 0) = l´ım
h→0
f(h, 0) − f(0, 0)
h
= l´ım
h→0
2h3
+0
h2+0
− 0
h
= 2
∂f
∂y
(0, 0) = l´ım
k→0
f(0, k) − f(0, 0)
k
= l´ım
k→0
0
k2 − 0
k
= 0
de aqu´ı se sigue
#»
∇ f(0, 0) = (2, 0).
Si f(x, y) fuese diferenciable en (0, 0)
D#»v f(0, 0) =
#»
∇ f(0, 0) · #»v = (2, 0)
cos θ
sen θ
= 2 cos θ
Y antes hemos dicho que era 2 cos3 θ + 3 cos θ sen2 θ por tanto:
2 cos3
θ + 3 cos θ sen2
θ = 2 cos θ
cuando es θ arbitrario, por consiguiente f(x, y) no es diferenciable en (0, 0).
27 de septiembre de 2017 4 / 4