Inecuaciones Libro: Luis Zegarra , álgebra I

1. Mett ®
Capítulo 7
Números Reales
Desigualdades e Inecuaciones
7.1 Números reales.
Suponemos la existencia de un conjunto ‘ a cuyos elementos se llaman números
reales
Axiomas de suma
En ‘, se define una operación que se llama suma que verifica a Bß C , D reales
arbitrarios los siguientes axiomas:
S"
ÐB  CÑ − ‘
S#
BC œCB
S$
S%
B  aC  D b œ aB  C b  D
El conjunto ‘ contiene un elemento que se acostumbra a denotar por 0 y
que verifica B  ! œ B
S&
El conjunto ‘ contiene un elemento que se acostumbra a denotar por  B
y que verifica B  a  Bb œ !
Axiomas de multiplicación
Análogamente, en ‘ definimos una segunda operación llamada multiplicación
que verifica a Bß C y D reales arbitrarios los siguientes axiomas:
M"
aB Cb − ‘

2. Mett ®
BC œ CB
M#
B aC D b œ aB Cb D
M$
El conjunto ‘ contiene un elemento que se acostumbra a denotar por " y
M%
que verifica B " œ B
El conjunto ‘ contiene un elemento que se acostumbra a denotar por B"
con B Á ! y que verifica B B" œ "
M&
Axioma de distribución
Para todo Bß C y D reales arbitrarios se tiene
B aC  D b œ B C  B D
Nota 1.
Asi ‘, con estas operaciones definidas y axiomas constituye un cuerpo. A partir
de estos axiomas se fundamentan los reglas del álgebra elemental de reales, que
expondremos a continuación como teoremas.
Teorema 1
1)
El elemento neutro 0 es único.
2)
El opuesto Ð  BÑ para cada real Bß es único.
4)
Si B  D œ C  D Ê B œ C
5)
Dados Bß C existe un único D tal que B  D œ Cß el cual se acostumbra a
3) El opuesto de Ð  BÑ es Bß es decir  a  Bb œ B
denotar D œ C  B
6)
B a  Cb œ  aB Cb œ a  Bb C
() B aC  D b œ B C  B D
)) ! B œ !
*) B C œ ! Ê B œ ! ” C œ !
"!Ñ El elemento neutro " es único
11) El inverso B" de B Á ! es único
12) El inverso de B" es Bß es decir ÐB" Ñ" œ B
"$Ñ Si B D œ C D Ê B œ C
14) Dados Bß C existe un único D tal que B D œ Cß el cual se acostumbra a denotar
por
C
B
o C B" con B Á !

3. Mett ®
15) a Bß C Á ! à aB C b" œ B" C "
16) a Bß C Á ! à Š B ‹
C
"
œ
C
B
17) a B Á ! à a  Bb" œ  ÐB" Ñ œ  B"
Nota 2.
Algunas de las demostraciones de este teorema se encuentran en ejercicios resueltos
y el resto se dejan como ejercicios propuestos.
7.2 Orden en los realesÞ
Sea un ‘ un subconjunto de ‘ llamado conjunto de los reales positivos, cuyos
elementos satisfacen los siguientes axiomas
Axiomas de orden
! Á ‘
O"
a Bß C − ‘ ß ÐB  CÑ − ‘ y aB C b − ‘
O#
a B − ‘ß con B Á ! à B − ‘ ”  B − ‘
O$
Teorema 2
1)
" − ‘ Ð ‘ Á gÑ
#Ñ ‘ Á g
$Ñ ! Â ‘
%Ñ ‘  ‘ œ g
&Ñ ‘  Ö!×  ‘ œ ‘
Observe que &Ñ garantiza que cada real es: negativo, nulo o es positivo es decir
a B − ‘ À B − ‘  ” B œ ! ” B − ‘
Nota 3.
Algunas de las demostraciones del teorema 2 se encuentran en ejercicios resueltos y
el resto se dejan como ejercicios propuestos

4. Mett ®
Definición 1.
a Bß C − ‘ se definen las relaciones; "  "(mayor que), "  "(menor que),
" "(mayor o igual que) y "  "(menor o igual que) por:
i)
B  C Í aB  Cb − ‘
ii) B  C Í C  B
iii) B C Í aB  Cb − ‘ ” aB œ C b
iv) B Ÿ C Í C B
Observación 1.
A partir de los axiomas de orden y de la definición 1 se derivan todas las reglas para
operar con desigualdades, las cuales se expondran en el teorema 3.
Teorema 3
"Ñ a Bß C − ‘ se tiene una y solo una de las siguientes relaciones:
BC ” BœC ” BC
2)
Si B  C • C  D Ê B  D
$Ñ
BC ÍBD CD
4)
Si B  C • D  ! Ê B D  C D
&Ñ
Si B  C • D  ! Ê B D  C D
'Ñ Si B Á !, a B − ‘ß Ê B#  !
(Ñ Si B C  ! Ê ÐB  ! • C  !Ñ ” ÐB  ! • C  !Ñ
)Ñ Si B  C • D  A Ê B  D  C  A
9)
Si B  ! Ê B"  !
10) Si B  C  ! Ê C"  B"
""Ñ Si B  C  ! • D  A  ! Ê B D  C A
12) a Bß C − ‘ se tiene À B#  C # # B C
13) Si B  Cß existe D − ‘ß tal que B  D  C
"%Ñ Si B C • C B Ê B œ C
Nota 4.

5. Mett ®
Algunas de las demostraciones del teorema 3 se encuentran en ejercicios resueltos y
el resto se dejan como ejercicios propuestos
Tambien hacemos notar que ahora el cuerpo de los reales, es ordenado.
Desigualdades notables
I.
QE QK QL
Ô
"
8
È B" B# † † † B 8
8 aB"  B#  † † †  B8 b
8
"
"
"
B"  B# ††† B8
II. De Cauchy-Schwarz
Si +" ß +# ß Þ Þ Þ ß +8 y ," ß ,# ß Þ Þ Þ ß ,8 son números reales arbitrarios, entonces
#
#
Œ ! +5 Œ ! ,5  Œ ! +5 ,5 
8
8
8
5œ"
5œ"
#
5œ"
Valor absoluto
El valor absoluto o módulo de un número real B se define por
Ú
B si B  !
! si B œ !
lBl œ Û
Ü  B si B  !
Teorema 4.
a Bß C − ‘ , se tiene:
1)
lBl !
2)
lBl=l  Bl
3)
lBl# œ lB# l œ B#
4)
lBCl œ lBllCl
5)
¸ B ¸ œ llBll ß a C Á !
C
C
6)
lBl Ÿ +ß +  ! Í  + Ÿ B Ÿ +
7)
lBl + Í B Ÿ  + ” B +

6. Mett ®
8)
lB  Cl Ÿ lBl  lCl
Nota 5.
Como es habitual algunas de las demostraciones del teorema 4 se encuentran en
ejercicios resueltos y el resto se dejan como ejercicios propuestos.
7.3. Ejercicios Resueltos.
1. Si +  , œ ! • +  - œ ! Ê , œ Demostración.
Por S$ y S# se tiene À ,  a+  - b œ a,  +b  - Ê ,  a+  - b œ a+  , b  de donde utilizando las hipótesis dadas ,  ! œ !  - Ê , œ -
2. Demuestre que si B  + œ , entonces B œ ,  +
Demostración.
B  + œ , Í B  +  a  +b œ ,  a  +b Í B  Ò +  a  +bÓ œ ,  + Í
B  ! œ ,  + luego B œ ,  +Þ
3. Demuestre que el elemento neutro ! es único
Demostración.
Supongamos que en ‘ß además del ! hay otro elemento ! w tal que:
B  ! w œ Bß a B − ‘ entonces
! w œ ! w  ! œ !  ! w œ ! por tanto el ! es único.
4.
Demuestre que:
a)  a  Bb œ B
b) a  Bb  a  Cb œ  aB  Cb
Demostración.
a) Se tiene que B  a  Bb œ !ß donde esta ecuación nos indica que B es el
opuesto de a  Bb esto es, B œ  a  Bb como se quería.

7. Mett ®
b) Para evitar acumulación de paréntesis sea B w œ  B y C w œ  Cà luego
aB  Cb  aB w  C w b œ ÒÐ B  CÑ  B w Ó  C w œ Ò B  aC  B w bÓ  C w œ
Ò B  aB w  C bÓ  C w œ ÒaB  B w b  C Ó  C w œ a!  C b  C w œ C  C w œ ! ahora
como B w  C w œ a  Bb  a  Cb es el inverso de la suma de B  Cß entonces
concluímos que
 aB  Cb œ a  Bb  a  CbÞ
5.
Demuestre que:
a) ! B œ !
b) B a  Cb œ  aB Cb œ Ba  Cb
c) aB Cb" œ B" C" ß a Bß C Á !
Demostración.
a) ! B œ ! B Í a!  !b B œ ! B Í ! B  ! B œ ! B Í ! B œ ! B  ! B œ !
b) Previamente haremos ver que a  "b B œ Ð  BÑß
B  a  "b B œ " B  a  "b B œ Ò "  a  "bÓ B œ ! B œ ! y como
B  a  Bb œ !, se concluye que a  "b B œ Ð  BÑ, entonces tenemos
B a  Cb œ B Òa  "bCÓ œ Ò B a  "bÓ C œ Òa  "b BÓ C œ a  "baB C b œ  aB C b
análogamente se prueba que Ba  Cb œ  aB Cb con lo que B a  Cb œ a  Bb C
c) Notemos que aB CbaB" C" b œ ÒaB Cb B" Ó C " œ Ò B" aB C bÓ C " œ ÒaB" Bb CÓ
C" œ C C" œ " con lo que el inverso de aB Cb resulta ser aB" C" b, y como
también el inverso de aB Cb es aB Cb" ß tenemos que por unicidad del inverso
aB Cb" œ B" C"
6. Demuestre que À
a)
BC • CD Ê BD
b)
B  C • D  ! Í BD  CD
c)
B  C  ! • D  A  ! Ê BD  CA
Demostración.
a) ÐB  C • C  DÑ Í ÖaB  C b − ‘ • aC  D b − ‘ ×ß por axioma 1 la suma
está en ‘ , por tanto aB  D b − ‘ Í B  DÞ
b) ÐB  C • D  !Ñ Í ÖaB  C b − ‘ • Ð  DÑ − ‘ ×, por axioma 2 el producto
está en ‘ , luego
aB  Cba  D b − ‘ Í aCD  BD b − ‘ Í BD  Cz
c) aB  C  ! • D  A  ! b Í

8. Mett ®
ÖaB  Cb − ‘ • Bß C − ‘ × • ÖaD  Ab − ‘ • Dß A − ‘ ×ß por axioma 2 se
tiene: aB  CbD − ‘ • aD  AbC − ‘ y ahora por axioma 1 se tiene B D  C A
7. Demuestre que:
a)
lBCl œ lBllCl
b)
lBl Ÿ +ß +  ! Í  + Ÿ B Ÿ +
Demostración.
a) Si Bß C ! Í lBCl œ BC œ lBllClß
si Bß C  ! Í lBCl œ BC œ a  Bba  C b œ lBllClß finalmente
si B  ! e C  ! Í lBCl œ  aBC b œ B Ð  CÑ œ lBllClÞ
b) Si B ! Ê lBl œ B Ÿ +ß +  ! a"b
si B  ! Ê lBl œ  B Ÿ + Í B  +ß a#b
 + Ÿ B Ÿ +Þ
luego por a"b y a#b se tiene
8. Demuestre que:
lB  Cl llBl  lCll
Demostración.
Sea B  C œ D Ê B œ D  C Ê
lBl œ lD  Cl Ÿ lDl  lCl Ê lBl Ÿ lB  Cl  lCl Ê lB  Cl lBl  lClß de aquí
 lB  Cl Ÿ lCl  lBl Ÿ lC  Bl œ lB  Clß como
lB  Cl 0
entonces
lB  Cl llBl  lCll
#
9. Si +  ,  ! demuestre que +  " a+  , b È+,  "  "  ,
#
+ ,
Demostración.
+  , Í #+  +  , Í +  " a+  , b
#
a"b, por otra parte
a+  ,b# ! Í +#  , # #+, Í a+  , b# %+, Í " a+  , b È+, a#bß
#
ahora como a+  ,b# %+, Í a+  , b# +, %+# , # Í a+  , b È+, #+,
#
Í È+,  "  " a3b, tambien como +  , Í +,  , # Í #+,  , #  +,
+
Í
#+,
+,
pedido.
,Í
,
#
" "
+,
 , a%bÞ
Finalmente por
a"bß a#bß a$b y a%b se tiene lo

9. Mett ®
10. Demuestre que para todo +ß , positivos se tiene
+$  ,$ +# ,  +, #
Demostración.
Analizando la tesisß induce a partir de a+  ,b# a+  ,b ! Ê
a+#  ,# ba+  ,b ! Ê +$  ,$ +# ,  +, #
11. Para todo +ß ,ß - reales positivos demuestre
a) +#  ,#  - # +,  ,-  -+
b) a+  ,  - b# $ Ð+,  ,-  -+Ñ
Demostración.
a) Como a+  ,b# ! Í +#  , # #+,ß analogamente
,#  - # #,- y
- #  +# #+-ß y sumando miembro a miembro estas
desigualdades y simplificando se obtiene +#  ,#  - # +,  ,-  -+
b) Sumando
pedido.
#+,  #,-  #-+ a la desigualdad demostrada en a) se tiene lo
12. Si +#  ,# œ B#  C # œ "ß demostrar que
+B  ,C Ÿ "
Demostración.
a+  Bb# ! Í +#  B# #+B
a,  Cb# ! Í , #  C # #,C
sumando miembro a miembro +#  B#  ,#  C # #+B  #,C ahora ocupando la
hipótesis y simplificando se llega a +B  ,C Ÿ ".
13. Si +ß ,ß - reales demuestre
,# - #  - # +#  +# , # +,- a+  ,  - b
Demostración.
Como a+  ,b# ! Í +#  , # #+,à análogamente
,#  - # #,- y - #  +# #+-
de donde:

10. Mett ®
a +#  ,# b- # #+,- # à
a, #  - # b+# #,- +# y a- #  +# b, # #+-, # ß
sumando miembro a miembro estas 3 expresiones, obtenemos:
#a,# - #  - # +#  +# , # b #+,- a+  ,  - b Í
,# - #  - # +#  +# , # +,- a+  ,  - b
14. Si +ß ,ß - reales positivos y distintos entre si, demuestre que
"
+,+,  ,-  -+ #
Œ
  a+,- b $
$
$
"
Demostración.
Como: +#  ,#  #+, ; , #  - #  #,- y - #  +#  #+Sumando miembro a miembro y simplificando se obtiene
+#  ,#  - #  +,  ,-  -+ Í
+#  ,#  - #  #+,  #,-  #-+  $Ð+,  ,-  -+Ñ Í
+,+,  ,-  -+ #
a+  ,  - b  $Ð+,  ,-  -+Ñ Í
Œ

$
$
"
#
a"b
Ahora, de la desigualdad notable Q ÞEÞ Q ÞKÞ se tiene
"
+,  ,-  -+ È # # #
+,  ,-  -+ #
$
 + , - ÍŒ
  a+,- b $
$
$
"
finalmente de a"b y a#b se obtiene
a#b
"
+,+,  ,-  -+ #
Œ
  a+,- b $
$
$
"
15. Si +ß ,ß - son cantidades positivas, demostrar
+#  , #
,#  - #
- #  +#


+,+,
,-+
Demostración.
Como: +#  ,# #+, Í #a+#  , # b a+  , b# Í
+#  , #
+,
a"b
+,
#

11. Mett ®
analogamente:
,#  - #
,
,#
a#bà
- #  +#
-+
-+
#
sumando miembro amiembro a"bß a#b y a$b se obtiene
a$b
+#  , #
,#  - #
- #  +#


+,+,
,-+
16. Si +ß ,ß - son reales positivos y distintos, demuestre
a) a+  ,  - ba+,  ,-  -+b  *+,-
b) +# a,  - b  , # a-  +b  - # a+  , b  '+,Demostración.
a) Aplicando la desigualdad notable Q E  Q K  Q Lß se tiene:
$
$
 ,  - b  È+,- y " a+,  ,-  -+b  È+, ,- -+ multiplicando miembro
$
a miembro se tiene lo pedido.
"
3 a+
b) Aplicando la misma desigualdad notable se tiene de inmediato lo pedido.
17. Demostrar para +ß ,ß Bß C reales positivos cualquiera, que
a+,  BCba+B  ,C b %+,BC
Demostración.
a) Aplicando la desigualdad notable Q E Q K Q Lß tenemos:
+,  BC È
+,BC
#
y
+B  ,C È
+B,C
#
multiplicando miembro a miembro se tiene a+,  BCba+B  ,C b %+,BC
18. Si B  C  D œ 'ß demostrar que:
B#  C #  D # "#
Demostración.
Como ya sabemos: B#  C# #BCà C#  D # #CDà D #  B# #DB
ahora sumando miembro a miembro
B#  C#  D # BC  CD  DB
a"b
Por otra parte de B  C  D œ ' Í B#  C #  D #  #BC  #CD  #DB œ $' Í
BC  CD  DB œ ")  " aB#  C #  D # b finalmente remplazando en a"b se obtiene
#

12. Mett ®
B#  C#  D # "#
19. Si +ß ,ß - son reales positivos y distintos, demuestre que
#a+$  ,$  - $ b  ,- a,  - b  -+a-  +b  +, a+  , b
Demostración.
De a+  ,b#  ! Í +#  , #  +,  +, Í +$  , $  +, a+  , b
de igual modo À ,$  - $  ,- a,  - b
a#b; - $  +$  +- a+  - b
a"bß
sumando miembro a miembro a"bß a#b y a$b se obtiene
a$b
#a+$  ,$  - $ b  ,- a,  - b  -+a-  +b  +, a+  , b
20. Si +ß ,ß -ß Bß Cß D − ‘ ß demostrar que
ŠBÈ+  CÈ,  D È- ‹ˆ+ÈB  , ÈC  - ÈD ‰ *È+,-BCD
Demostración.
Aplicando la desigualdad notable Q E Q K Q Lß obtenemos:
BÈ+CÈ,D È$
ÉBCD È+,- y
$
+ÈB,ÈC- ÈD
$
$
É+,- ÈBCD
Multiplicando miembro a miembro estas dos expresiones
$
ŠBÈ+  CÈ,  D È- ‹ˆ+ÈB  , ÈC  - ÈD ‰ * É+,-BCD È+,-BCD œ
$
* ÉÈÐ+,-BCDÑ$ œ * È+,-BCD
21. Si +ß ,ß - son reales positivos y distintos, demuestre que
*
#
#
#
" " "



  
+,+, ,-+
+ ,
Demostración.
Aplicando Q ÞEÞ  Q ÞLÞ se tiene:
a+  ,b  a,  - b  a-  +b

$
$
"
+,

"
,-

"
-+
Í

13. Mett ®
#Œ
"
"
"
*


Í

+, ,-+
+,a"b
*
#
#
#



+,+, ,-+
+,
Por otra parte:

#
"
,

#
"
-
"
+
#

"
,
#

,-
sumando a#bß a$b y a%b À
Í
"
+
a$bà

#
"
,
"
-


#
#
a#bß y también
+,
"
+

#
-+
a%b
#
#
#
" " "


  
+, ,-+
+ ,
-
Finalmente de a"b y a&b y por la propiedad transitiva, se concluye
a&b
*
#
#
#
" " "



  
+,+, ,-+
+ ,
-
22. Si +ß ,ß - son los lados de un triángulo, demostrar que
"
"
"
" " "


 
+,,-+ -+,
+ ,
Demostración.
Por hipótesis À
+  ,  - Ê +  ,  - œ B  !à ,  -  + œ C  !à -  +  , œ D  !
Por ejercicio anterior y considerando que los lados de un triángulo puede ser
iguales, se tiene:
"
B

"
C

luego:
"
D
#
BC

#
CD

#
DB
ß pero B  C œ #,à C  D œ #-à D  B œ #+
"
"
"
#
#
#
" " "




œ  
+,,-+ -+,
#, ##+
+ ,
-
23. Si + y , son reales positivos con +#  , # œ %ß demostrar:
a) +# ,# Ÿ %
b) +% 
"
"
"(
 ,%  %
%
+
,
#
Demostración.
a) Como +#  ,# #+, y +#  ,# œ % Ê 4 #+, Í
+# , # Ÿ %

14. Mett ®
"
"
"
"
#
#
b) Sea E œ +  ,  %  % œ ˆ+#  , # ‰  #+# , #  Œ #  #   # #
+
,
+
,
+ ,
#
%
%
Ahora por a) #+# ,# Ÿ )ß como al restar una cantidad positiva mayor
a8 en lugar de #+# ,# b la expresión E se hace mayor, luego
#
E ˆ+ #  , # ‰  )  Œ
"
"
#
 #  # #;
#
+
,
+ ,
#
#
además ˆ+#  ,# ‰ œ "' y Œ
"
"
 #  es positivo y al eliminarlo E se hace
+#
,
#
aún mayor, por tanto
"
E "'  )  , con lo que
#
+% 
"
"
"(
 ,%  %
+%
,
#
24. Si +ß ,ß -ß . son números reales positivos, demostrar
ŠÈ+  È,  È- ‹È.  È+,  È,-  È-+ Ÿ $ a+  ,  -  . b
#
Demostración.
Aplicando Q ÞEÞ Q ÞKÞ se tiene:
+, È
,-+ È
+. È
+, à
È,- à
-+ à
+. à
#
#
#
#
,. È
-. È
,. à
-.ß
#
#
sumando miembro a miembro estas 6 expresiones y factorizando convenientemente
obtenemos
ŠÈ+  È,  È- ‹È.  È+,  È,-  È-+ Ÿ $ a+  ,  -  . b
#
25. Demostrar para Bß Cß D reales positivos y distintos entre si, que:
a) aB  C  D b$ #(aB  C  D baC  D  BbaD  B  C b
b) BCD aB  C  D baC  D  BbaD  B  C b
Demostración.
a) Préviamente demostraremos a+  ,  - b$ #( +,lo que resulta de inmediato pués
+,$
a"b
$
È+,- Í a+  ,  - b$ #( +,-

15. Mett ®
Ahora haciendo + œ B  C  Dà , œ C  D  Bà - œ D  B  C en a"b resulta
aB  C  D b$ #(aB  C  D baC  D  BbaD  B  C b.
b) Préviamente demostraremos a+  ,ba,  - ba-  +b ) +,que también resulta de aplicar Q ÞEÞ Q ÞKÞß pués para +ß ,ß - positivos
+, È
,-+ È
+, à
È,- à
-+
#
#
#
multiplicando miembro a miembro, se tiene a+  ,ba,  - ba-  +b ) +,- a#b
Ahora de la parte a) +  , œ #Cà ,  - œ #D y -  + œ #Bß
finalmente en a#b y simplificando, se tiene
BCD aB  C  D baC  D  BbaD  B  C b.
26. Si B  C  D  !ß demuestre que la expresión
E œ B# aB  CbaB  D b  C # aC  D baC  Bb  D # aD  BbaD  C b es positiva.
Demostración.
E œ aB  CbÒ B# aB  D b  C # aC  D b Ó  D # aD  BbaD  Cb
œ aB  CbÒB$  C $  B# D  C # D Ó  D # aD  BbaD  C b
œ aB  Cb# Ò B#  BC  C #  BD  CD Ó  D # aB  D baC  D b
œ aB  Cb# Ò BaB  D b  CaC  D b  BC Ó  D # aB  D baC  D b
Expresión que resulta positiva pués por hipótesis se tiene B  C  D  !.
27. Si +ß ,ß - − ‘ ß demostrar que
#a+  ,  - ba+#  , #  - # b +$  , $  - $  "& +,-
Demostración.
Aplicando Q ÞEÞ Q ÞKÞ es fácil demostrar que:
+# a,  - b  , # a-  +b  - # a+  , b '+,- y +$  , $  - $ $+,-ß de donde
#+# a,  - b  #, # a-  +b  #- # a+  , b "#+,- y
#Ð+$  ,$  - $ Ñ +$  , $  - $  $+,-ß ahora sumando miembro a miembro

16. Mett ®
#a+$  ,$  - $  +# a,  - b  , # a-  +b  - # a+  , bb +$  ,$  - $  "& +,finalmente de aquí, #a+  ,  - ba+#  , #  - # b +$  , $  - $  "& +,28. Si +ß ,ß - − ‘ distintos entre si, demostrar que
a+  ,  - ba+$  , $  - $ b Ð+#  , #  - # Ñ#
Demostración.
Aplicando la desigualdad de Cauchy- Schwarz a los números:
B" œ È + ß B # œ È , ß B $ œ È - à
C " œ È + $ ß C # œ È , $ ß C $ œ È- $ ß
se tiene de inmediato
a+  ,  - ba+$  , $  - $ b Ð+#  , #  - # Ñ#
29. Si +" ß +# ß Þ Þ Þ Þ ß +8 son reales positivos tales que, +" † +# † † † † +8 œ "
demostrar que a"  +" ba"  +# b † † † † a"  +8 b #8
Demostración.
Como:
"+3
#
È+3 ß a 3 œ "ß #ß Þ Þ Þ Þ ß 8 de aquí a"  +3 b #È+3
multiplicando miembro a miembro estas 8 desigualdades, se tiene
a"  +" ba"  +# b † † † † a"  +8 b #8 È+" +# † † † † +8 œ #8
30. Si +$  +#  +" demostrar
l B  +" l  l B  + # l  l B  + $ l + $  + "
¿Para que valores de B se cumple la igualdad?
Demostración.
l B  +" l  l + #  B l l + #  + " l
l B  +# l  l + $  B l l + $  + # l
l B  +$ l  l +"  B l l +"  +$ lß sumando miembro amiembro:
#al B  +" l  l B  +# l  l B  + $ lb l +#  +" l  l +$  +# l  l +"  +$lß
aplicando las hipótesis se tiene:
#al B  +" l  l B  +# l  l B  + $ lb +#  +"  +$  +#  Ð+"  +$ Ñ œ #a+$  +" b
luego l B  +" l  l B  +# l  l B  + $ l +$  +"

17. Mett ®
La igualdad se cumple para B œ +# Þ
31. Si 8 − ß 8  "à demostrar que
a) a8  "b8  #8 8x
b) a8xb$  88 ˆ 8" ‰
#
#8
Demostración.
a) Aplicando la desigualdad notable Q ÞEÞ  Q ÞKÞ a los 8 primeros números
pares, se tiene
#  %  '  † † †  #8 È
 8 # † % † ' † † † #8 Í
8
8
8
#a"  #  † † †  8b  8 È#8 a" † # † † † † 8b Í a8  "b  È#8 † 8x
Í a8  "b8  #8 8x
b) Analogamente
"$  # $  † † †  8$
" "
8
8
 È"$ † #$ † † † 8$ Í Ò 8a8  "bÓ#  Éa8xb$
8
8 #
#8
"
8"
8
8Ò a8  "bÓ#  Éa8xb$ Í a8xb$  88 Œ
 Þ
#
#
32. Si 8 − ß 8  "à demostrar que
"
"
"
"
"
 #  † † †  #  #
#
#
$
8
8
Demostración.
Observando que:
se tiene:
"
"
"
"

œ
 ß8"
#
8
8a8  "b
8" 8
"
"
"
#
#
#
"
" "
 
#
$
# $
† † † † † † †
"
"
"


#
8
8" 8
sumando miembro a miembro y agregando " a ambos miembros, se recibe

18. Mett ®
"
"
"
"
"
 #  † † †  #  #
#
#
$
8
8
33. Si +ß , − ‘ ß + Á ,à demuestre que:
8
È
È+8  ,8  8" +8"  , 8"
Demostración.
a+8  ,8 b
8"
8
œ a+8  , 8 b 8 a+8  , 8 b œ a+8  , 8 b 8 +8  a+8  , 8 b 8 , 8
"
"
"
 a+8 b 8  a,8 b 8 œ +8"  , 8"
"
por tanto a+8  ,8 b
"
8"
8
 +8"  , 8" Í È+8  , 8  È+8"  , 8"
8"
8
34. Si 8 − ß 8  "à demostrar que
a8  "b8"  #8" 88
Demostración.
Tomando la sucesión: +" œ
"
"
"
"
ß +# œ ß Þ Þ Þ Þ Þ ß + 8 œ
y +8" œ
8
8
8
8
y aplicando Q ÞEÞ  Q ÞKÞ
"
ˆ8 
Í
"
8
 † † † 
8"
"
8
 "‰
 Ê
8"
"
8 † 8  " 8" "
" "
"
† † † †
Í
 Ê 8
8 8
8
8"
8
#
"
#8"
"
8"
 Ê 8 Í
 8 Í a8  "b8"  #8" 88
8"
8"
8
8
a8  "b
35. Si 8 − ß demostrar que
#8 "  8È#8"
Demostración.
Como es habitual aplicamos Q ÞEÞ Q ÞKÞ a la sucesión: "ß #ß ## ß Þ Þ Þ ß #8"
"  #  ##  † † †  #8"
8
È" † # † ## † † † #8" Í
8
"
"
"
" 8
a#  "b Ò#"# † † † Ð 8"Ñ Ó 8 Í #8  " 8Ò # # 8a8"b Ó 8 Í
#
#8  " 8 # # a8"b Í #8 "  8È#8"
"

19. Mett ®
36. Si 8 − ß demostrar que
"
8 " † $ † & † † † a#8  "b
ŸÊ
"
#
# † % † ' † † † #8
Demostración.
Para 8 " Í 8  " ! Í #8  " 8 Í
por otra parte "  ! Í #8  "  #8 Í #8  #8  " Í " 
De a"b y a#b se tiene:
a"b
#8  "
"
#8
#
#8  "
#8
a#b
"
#8  "
Ÿ
 "ß ahora dando valores a 8ß obtenemos:
#
#8
"
#
"
#
†
"
#
"
"
#
$
Ÿ "
#
† † † † † †
#8  "
Ÿ
"
#8
Ÿ
multiplicando miembro a miembro estas desigualdades, se obtiene
"
" † $ † & † † † a#8  "b
"
8 " † $ † & † † † a#8  "b
" Í ŸÊ
"
Œ  Ÿ
#
# † % † ' † † † #8
#
# † % † ' † † † #8
8
37. Si 8 #ß demostrar que
Ò " a8  "bÓ8  8x
#
Demostración.
"
"# † † † † 8
8"
8
 È" † # † † † † 8 Í
 a8xb 8
8
#
"
8
Í Ò # a8  "bÓ  8x
De inmediato
38. Si 8ß 5 −  y 8 5 "ß demostrar que a8xb# 88
Demostración.
8 5 • 5  " ! Ê 8a5  "b 5 a5  "b Í 85  8 5 #  5 Í
85  5 #  5 8 Í 5 a8  5  "b 8ß
de donde dando valores a 5 obtenemos:

20. Mett ®
"†8 8
# † a8  "b 8
$ † a8  #b 8
† † † † † † † † † †
8" 8
multiplicando miembro a miembro estas desigualdades, se obtiene
(" † # † † † † 8) 8a8  "ba8  #b † † † # † " 8 † 8 † † † † 8 Í 8x 8x 88 Í
a8xb# 88 Þ
39. Si 8ß < − ™ ß demostrar que
<
ˆ"  8 ‰ 8  ˆ" 
< ‰8"
8"
Demostración.
Sea la sucesión: +" œ "ß +# œ +$ œ ß Þ Þ Þ Þ Þ ß +8" œ " 
<
8
y aplicando Q ÞEÞ  Q ÞKÞ se tiene
<
<
<
"  ˆ"  8 ‰  ˆ"  8 ‰  † † †  ˆ"  8 ‰ 8"
<
<
<
 ÊŠ"  ‹Š"  ‹ † † † Š"  ‹
8"
8
8
8
<
"  8ˆ"  8 ‰ 8"
< 8
"  8  < 8"
< 8
Í
 ÊŠ"  ‹ Í
 ÊŠ"  ‹
8"
8
8"
8
<
< 8
< 8
<
8"
Í"
 ÊŠ"  ‹ Í Š"  ‹  Œ" 

8"
8
8
8"
8"
40. Sean +" ß +# ß Þ Þ Þ Þ Þ ß +#! reales positivos y W su suma. Demuestre que
"
#!
"*W
Ÿ  %!!
+ W
3œ" 3
Demostración.
Aplicando Q ÞEÞ Q ÞKÞ, como sigue a continuación
W+"
W

W+#
W
 † † † † 
#!
W+#!
W
W
W+"

W
W+#
#!
 † † † † 
W
W+8

21. Mett ®
#!W  Ð+"  +#  Þ Þ Þ Þ Þ  +#! Ñ
#!W
"*W
#!W
"
"
#!
#!
W
W  +3
3œ"
Í "
#!
W
%!!
"*W
Í "
Ÿ  %!!
W  +3
"*
+3  W
3œ"
3œ"
#!
#!
#!
W
W  +3
3œ"
7.4. Ejercicios Propuestos
1. Para + y , números reales, averiguar el valor de verdad de las siguientes
afirmaciones
a) Si + œ #, Ê
"
%
+#  , #  +,
c) Si +  ! • ,  ! Ê " a+  , b È+,
#
b) Si +  , Ê +  " a$+  , b  ,
%
d) +#  , # # +,
Respuesta.
a) Falsa; b), c) y d) Son verdaderas.
2. Si +ß ,ß -ß . so reales positivos tales que
+
+
+ . Demuestre que


,
.
,
,.
.
3. Si +ß , − ‘ , demuestre que È+  , Ÿ È+  È,
4. Si +ß , − ‘ y distintos, demuestre
+%  ,%  +$ ,  +, $
5. Sean +ß ,ß - reales positivos, demuestre que:
a)
+
,
 #
,
+
b) +$ 
"
"
+ #
$
+
+
c) a+  ,  - b# %a+,  ,-  -+b
d) a+  ,  - ba,  -  +b Ÿ - #
6. a +  !ß demuestre que +$ 
7. a + − ‘, demuestre que:
"
"
+#  #
$
+
+

22. Mett ®
a)
+#  #
#
È +#  "
b)
+#
"
Ÿ
%
"+
#
c)
+%
a+  "b
#
Ÿ
"
#
8. Si +ß ,ß - reales positivos, demuestre que:
a) a+  ,ba,  - ba-  +b )+,-
b) a+  ,  - b# $a+,  ,-  -+b
c) a+  ,  - b#  a,  -  +b#  a-  +  , b# +,  ,-  -+
d) +# a"  ,# b  ,# a"  - # b  - # a"  +# b '+,-
e) +,a+  ,b  ,- a,  - b  -+a-  +b Ÿ #a+$  , $  - $ b
f) a+  ,  - ba+,  ,-  -+b *+,g) +  ,  -
#+,
#,#-+


+, ,-+
9. Si +ß ,ß -ß . reales positivos, demuestre que:
a)
+ ,
.
   %
,
.
+
b) -. a+  ,b# Ÿ a+.  ,- ba+-  ,. b
c) +%  ,%  - %  . % %+,-.
d) a+  ,  -  . b$ Ÿ "'a+$  , $  - $  . $ b
e) a+#  ,#  - #  . # b )"+,-.
#
10. Si +ß ,ß -ß . son reales positivos tales que, W œ +  ,  -  . demuestre que
)" +,-. Ÿ aW  +baW  , baW  - baW  . b
11. Si +#  ,#  - # œ B#  C #  D # œ "ß demuestre que
+B  ,C  -D Ÿ "
12. Si + y , son reales positivos tales que +  , œ ", demuestre que
i)
%+, Ÿ "
i) +%  ,%
"
)
"
"
#&
iii) Œ+    Œ,  
+
,
#
#
#

23. Mett ®
13. Si +  !ß demostrar que
8
691 + Ÿ 8ˆÈ+  "‰
14. Si Si +ß , − ‘ , demuestre que
#a+*  ,* b a+%  , % ba+&  , & b
15. Si +ß ,ß - reales positivos tales que la suma de sus cuadrados sea 8, entonces
+$  ,$  - $ "'É #
$
16. Si +ß ,ß - reales positivos tales que la suma de dos de ellos es mayor que el tercero,
demuestre
a+  ,  - ba,  -  +ba-  +  , b +,-
17. Demostrar que para todo 8 − ß se tiene que:
a) " † # † † † † 8 Ÿ ( 8" )8
#
b) " † # † † † † 8 Ÿ # Ð 8 Ñ8"
#
18. Demostrar que para todo entero positivo se tiene:
a) È8  "  È8 
b) #È8  #  " 
"
#È 8
"
È#
 È8  È8  "
 † † † † 
"
È8
 #È 8  "
19. Si +ß ,ß - están en T ÞLÞß demostrar
[
+,
-,

Ó%
#+  , #-  ,
20. Pruebe las siguientes desigualdades, para todo Bß C reales:
a) B#  BC  C# !
b) B#8  B#8" C  † † † †  B C #8"  C #8 !ß 8 − 
c) aB  Cb( Ÿ '% aB(  C ( b
21. Si la suma de 8 números positivos es constante, demostrar que su producto es
máximo cuando dichos números son iguales.
22. Si +  ,  - œ " con +ß ,ß - reales positivos. Demuestre que
a) a"  +ba"  ,ba"  - b )+,-
b) el mínimo valor de
" " "
  es *Þ
+ ,
-
23. Sea 8 − ß 8  "à demuestre que

24. Mett ®
#
"
"
8a8"b
a8  "b  Ð"" † ## † † † † 88Ñ
 a#8  "b
#
$
Ayuda: Aplique Q ÞEÞ  Q ÞKÞ  Q ÞLÞ a los números
"ß #ß #ß $ß $ß $ß Þ Þ Þ Þ ß 8ß 8ß Þ Þ Þ Þ ß 8
24. Sea 8 − ß 8  "à demuestre que
##8  $8 † #8"  "
Ayuda: aplique Q ÞEÞ  Q ÞKÞ a los números
%ß %# ß %$ ß Þ Þ Þ Þ ß %8
25. Sea 8 − ß demuestre
a#8bx  ##8 a8xb#
Ayuda: ocupe el teorema del binomio
7.5. Inecuaciones
Definición "
Una inecuación es una relación de desigualdad para una o más variables reales, que
puede ser verdadera o falsa según sean los valores que puedan tomar dichas
variables.
Nota ".
En este texto solo abordaremos las inecuaciones con una variable real,
eventualmente lo haremos también con dos variables.
Notación.
Una inecuación de una variable real la denotaremos por:
0 aBb ! ” 0 aBb  ! ” 0 aBb Ÿ ! ” 0 aBb  !
De la solución.
Supongamos una inecuación de la forma
0 aBb !
a"b

25. Mett ®
Resolver esta inecuación es, determinar un conjunto de números reales para los
cuáles a"b sea verdadera.
Por tanto B œ +ß con + − ‘ es solución de a"b si y solo si 0 a+b !
Definición 2
Dos inecuaciones son equivalentes si y solo si toda solución de una de ellas es
solución de la otra.
Teorema 1
Las inecuaciones:
a) 0 aBb 1aBb • 0 aBb  2aBb 1aBb  2aBb
b) 0 aBb 1aBb • 0 aBb 2aBb 1aBb 2aBbß con 2aBb  !ß a B − ‘
c) 0 aBb 1aBb • 0 aBb 2aBb Ÿ 1aBb 2aBbß con 2aBb  !ß a B − ‘
d) l0 aBbl Ÿ 1aBb •  1aBb Ÿ 0 aBb Ÿ 1aBbß con 1aBb  !ß a B − ‘
e) l0 aBbl 1aBb •
Ö 0 aBb Ÿ  1aBb ” 0 aBb 1aBb ×
son equivalentes.
Demostración.
Se dejan propuestas.
Observación 1
En general, tal como para las ecuaciones no hay un método único para resolver una
inecuación, todo depende de la destreza algebraica y de la aplicación adecuada de
los teoremas y definiciones precedentes.
Nota 2.
Las inecuaciones conteniendo módulos se resuelven aplicando la definición de
módulo y en algunos casos aplicando el teorema precedente incisos d) o e).
Método de los puntos críticos.
Una gran parte de las inecuaciones que resolveremos lo haremos por el siguiente
método, el cuál hemos llamado método de los puntos críticos para el que,
daremos el siguiente algoritmo.
Resolver: 0 aBb ! ” 0 aBb  ! ” 0 aBb Ÿ ! ” 0 aBb  !
1) Se determinan los puntos críticos de 0 aBbÞ

26. Mett ®
Se dice que B! es un punto crítico de 0 aBb si y solo si 0 aB! b œ ! ” 0 aB! b no
existe.
2) Se ordenan todos los puntos críticos obtenidos en el eje real.
Si es el caso de un punto crítico de: 0 aBb ! ” 0 aBb Ÿ ! tal que 0 aB! b œ !
dicho punto debe considerarse en la solución.
Si es el caso de un crítico de: 0 aBb  ! ” 0 aBb  ! , estos aparecen en el eje real
como referencia, no deben estar en la solución.
Si es un punto crítico tal que 0 aB! b no existe, dicho punto en ningún caso debe
considerarse en la solución.
3) Se determinan los signos de 0 aBbß en los intervalos determinados entre puntos
críticos.
4) Si la inecuación en cuestión es: 0 aBb ! ” 0 aBb  ! la solución se
encuentra en los intervalos señalados con signo a  bÞ
Si la inecuación en cuestión es: 0 aBb Ÿ ! ” 0 aBb  ! la solución se encuentra
en los intervalos señalados con signo a  bÞ
Debe considerarse para la solución lo expuesto en el inciso 2).
Inecuaciones de 2° grado
Sea 0 aBb œ +B#  ,B  -ß + Á ! y su discriminante ? œ , #  %+-
y sean también B" y B# sus raíces reales. aB"  B# b
I) +  ! • ?  !à
i) 0 aBb  ! Í B  B" ” B  B#
II) +  ! • ? œ !à
i) 0 aBb  ! Í a B − ‘ß B Á B" œ B#
III) +  ! • ?  !à
i) 0 aBb  ! Í a B − ‘
IV) +  ! • ?  !à
i) 0 aBb  ! Í B"  B  B#
ii) 0 aBb  ! Í B"  B  B#
ii) 0 aBb  ! Í Ningún BÞ
ii) 0 aBb  ! Í Ningún BÞ
ii) 0 aBb  ! Í B  B" ” B  B#
V) +  ! • ? œ !à
i) 0 aBb  ! Í Ningún BÞ
VI) +  ! • ?  !à
i) 0 aBb  ! Í Ningún BÞ
ii) 0 aBb  ! Í a B − ‘ß B Á B" œ B#
ii) 0 aBb  ! Í a B − ‘.

27. Mett ®
7.6. Ejercicios Resueltos
1. Resolver en ™,
(B  #
#B  &
"
B
%
#
Solución.
(B  #  %  %B  "!  %B Í (B  #  )B  "! Í B   "#
luego la solución en ™, resulta: Ö  ""ß  "!ß  *ß Þ Þ Þ ×
2. Resolver en ‘, el sistema:
)B  & 
a"b
"&B  )
#
#a#B  $b  &B 
$
%
a#b
Solución.
Resolvemos a"b y a#b en forma independiente y sus soluciones se intersecan entre
si, en efecto:
a"b À
a#b À
"'B  "!  "&B  ) Í B  # Ê W" œ ÖB − ‘ Î B  # ×
"'B  #%  #!B  $ Í B  
#"
%
Ê W# œ ÖB − ‘ Î B  
luego Sol. œ W"  W# œ g
3. Resolver en ‘, el sistema de & inecuaciones:
"
$

B
B
B
B
"#
$
#
"
"  aB  "b  !
&
"
"
!  aB  "b  aB  "b
(
*
(
$
 BŸ B
$
(
a"b
a#b
a$b
a%b
a&b
#"
%
×

28. Mett ®
Solución.
a"b À
a#b À
"
$

Í B  $B Í B  !à note que se ha multiplicado por B#  !
B
B
B
B
")
 "  #  Í #B  '  "#  $B Í B 
$
#
&
"
a$b À "  aB  "b  ! Í &  B  "  ! Í B   %
&
a%b À ! 
a&b À 
"
"
aB  "b  aB  "b Í !  *B  *  (B  ( Í B  )
(
*
(
$
*
B Ÿ  B Í  %*B Ÿ *  #"B Í B 
$
(
(!
luego intersecando estas solucionesß resulta W œ ÖB − ‘ Î 
*
(!
Ÿ B  !×
4. Resolver cada una de las siguientes inecuaciones:
a) ÐB#  $B  %ÑaB#  "b !
b) lB#  "la#B  B# b Ÿ !
c)
d)
e)
B#
#B
#
 %
 $B B
#B  "
"
 $
Ÿ!
B" B "
B#
B#  $
$
"Ÿ
B#  %B  &
"B
Solución.
a) Como B#  "  ! esto obliga a que ÐB#  $B  %Ñ 0 sus puntos críticos son
 "y 4 Ê
  ì   ì  
"
Ê Sol. œ Ð  _ß  " Ó  Ò %ß _Ñ.
%
b) Tambien como lB  "l 0 Ê a#B  B# b Ÿ ! Ê   ì   ì  
0
2
Sol. œ Ð  _ß ! Ó  Ò #ß _Ñ  Ö"×
#
Notemos que en la solución hemos incluído al "ß pués el módulo tambien se
se anula para él y en la solución indicada no está indicado.
#
c) Efectuando operaciones algebraicas se obtiene %B B"#B&  ! sus puntos
# $B
críticos son À  $ß  5 ß  " y 0 Ê   ‰   ‰   ‰   ‰  
#
#

29. Mett ®
$

&
"
Ê Sol. œ Œ  $ß    Œ  ß !
#
#
d) Efectuando operaciones algebraicas se obtiene
críticos son: !ß
"
y " Ê
#

"
# ß "Ñ.
"
#
!
BÐ#B  "Ñ
Ÿ ! sus puntos
B$  "
  ì   ì   ‰  
0
Sol. œ Ð  _ß ! Ó  Ò
&
#
"
#
Ê
1
B#  $
$
e) Primero resolvemos #
 " y luego " Ÿ
, para luego
B  %B  &
"B
intersecar sus solucionesÞ
De la primera inecuación se tiene
#a#B  "b
"
 ! único crítico  ,
B#  %B  &
#
"
pues B#  %B  & es siempre positivo a?  !b por tantoß Sol.a"b œ Ð  ß _Ñ
#
Para la segunda inecuación
Sol.a#b œ Ò  #ß "Ñ
B#
! Ê   ì   ‰  
"B
#
Ê
"
"
Finalmente intersecando la solución a"b y a#b se obtiene, Sol. œ (  ß ")Þ
#
5. Resolver en ‘, el sistema:
B  "  ÈB  "
(
'
 #
Ÿ&
B" B "
a"b
a#b
Solución.
a"b À Las condiciones previas antes de elevar al cuadrado son:
ÐB  "  ! • B  "  !Ñ Í ÐB  " • B   "Ñ Í B  "
a‡b
Bajo esta condición y elevando al cuadrado resulta B#  #B  "  B  " Í
BaB  $b  ! Ê   ‰   ‰   Ê ÐB  ! ” B  $Ñ intersecando con
!
$
a‡b resulta W" œ ÖB − ‘ Î B  $ ×
a#b À Después de las simplificaciones correspondientes obtenemos

30. Mett ®
aB  #ba&B  $b
! Ê  ‰ ñ ‰ ñ  Ê
aB  "baB  "b
"  $
"
#
&
W# œ ÖB − ‘ Î B   " ” 
$
Ÿ B  " ” B #×
&
De donde Sol. œ W"  W# œ ÖB − ‘ Î B  $ ×Þ
6. Determine los signos de
Solución.
Note que 0 aBb œ
0 aBb œ
%
"

B# B"
$aB  #b
los signos de 0 se refiere a; para que valores de
aB  #baB  "b
B: 0 aBb  ! o bien 0 aBb  ! por tanto se tiene de
  ‰   ‰   ñ   Ê 0 aBb ! Í Ð  #  B  " ” B #Ñà
#
"
#
0 aBb  ! Í ÐB   # ” "  B  #Ñ
7. Resolver
#B  "
¸œ%
a) ¸
6B
#B  "
¸Ÿ%
b) ¸
6B
c) l B  " l  #B  l B  $ l
Solución.
a)
#B  "
#B  "
#&
#$
œ% ”
œ  % de donde se obtiene B œ
” Bœ
6B
6B
'
#
b) ¸
#B  "
#B  "
¸Ÿ% Í %Ÿ
Ÿ% Ê
6B
6B
#B  "
'B  #&
#&
Ÿ%Í
Ÿ ! Ê Sol.a"b œ Ð  _ß Ó  Ð'ß _Ñ
6B
'B
'
%Ÿ
#B  "
#$  #B
#$
Í
! Ê Sol.a#b œ Ð  _ß 'Ó  Ð ß _Ñß luego
6B
'B
#
Sol œ Sola"b  Sol.a#b œ Ð  _ß
#&
#$
Ó  Ð ß _Ñ.
'
#

31. Mett ®
c) Puntos críticos de los módulos  $ y 1, luego
a B Ÿ  $ Ê  aB  "b  #B   aB  $b Ê B  # , luego
aB Ÿ  $ • B  #b Ê Sol.a"b œ Ð  _ß  $Ó
"
a  $  B Ÿ " Ê  aB  "b  #B  B  $ Ê B   ß luego
#
"
"
Œ  $  B Ÿ " • B    Ê Sol.a#b œ Ð  $ß  Ó
#
#
a B  " Ê aB  "b  #B  aB  $b Ê B   #ß luego la intersección de éste
tramo es vacía.
Finalmente la solución es Sol.a"b  Sol.a#b œ Ð  _ß 
8. Hallar los reales Bß tales que
"¸
"
ÓÞ
#
B&
¸$
B#
Solución.
I.
¸
B&
B&
B&
B&
¸$ Í $
$ÍÐ
$ • $
Ñ
B#
B#
B#
B#
a"b À
B&
B#
 ! Ê   ‰   ñ   Ê ÐB  # ” B  "" Ñ aW" b
#
""
#
#
"
Í %B"  ! Ê   ‰   ‰   Ê ÐB  % ” B  # Ñ aW# b
B#
"
#
%
$ Í
a#b À  $ 
B&
B#
""#B
B#
"
""
luego: Sol.aIb œ W"  W# œ Ð  _ß Ñ  Ð ß _Ñ
%
#
II. ¸
a$b À
B&
B&
B&
¸" ÍÐ
 " ”
 "Ñ
B#
B#
B#
B&
#B  $
$
 "Í
 ! Ê   ‰   ‰   Ê Ð   B  #Ñ
B#
B#
#
$
#
#
B&
(
a%b À
" Í
 ! Ê ÐB  # Ñ aW% b
B#
B#
$
Por tanto: Sol.aIIb œ W$  W% œ Ð  ß #Ñ  Ð#ß _Ñß
#
aW$ b

32. Mett ®
$ "
""
Finalmente Sol. Final œ Sol.aIb  Sol.aIIb œ Ð  ß Ñ  Ð ß _ÑÞ
# %
#
9. Resolver el sistema:
¹
B#
B#
"

¹
#
B  $ $B  B
$
a#B  "bB  "
"

#  &B  '
B
B#
Solución.
a"b À ¹
I.
a"b
a#b
B#
B#
"
"
B#
B#
"



de donde
¹ Í  
#
#
B  $ $B  B
$
$
B  $ $B  B
$
B#
B#
"
#ÐB#  $B  $Ñ

 Í
 !ß puntos críticos:
B  $ $B  B#
$
$BaB  $b
 $ß  !Þ(*ß ! y $Þ(* luego;   ‰   ‰   ‰   ‰   Ê
 $  !Þ(*
!
$Þ(*
Sol.aIb œ Ð  $ß  !Þ(*Ñ  Ð!ß $Þ(*ÑÞ
II.

"
B#
B#
%B#  '
$


Í
 !ß puntos críticos:  $ß  Ê ß
#
$
B  $ $B  B
$BaB  $b
#
!ß É $ luego;   ‰   ‰   ‰   ‰   Ê
#
$
 É$
#
!
É$
#
Sol.aIIb œ Ð  _ß  $Ñ  Ð  É $ ß !Ñ  ÐÉ $ ß _Ñ
#
#
$
$
Así: Sol. a"b œ Sol.aIb  Sol.aIIb œ Ð  Ê ß  !Þ(*Ñ  ÐÊ ß $Þ(*ÑÞ
#
#
a#B  "bB  "
"
#aB#  "b

Í
 ! Ê aB  #baB  $b  !
B#  &B  '
B#
aB  #baB  $b
pués B#  "  ! por tanto   ‰   ‰   Ê Sol.a#b œ Ð  _ß #Ñ  Ð$ß _Ñ
#
$
a#b À
Luego: Sol.Final œ Sol.a"b  Sol.a#b œ Ð  É $ ß  !Þ(*Ñ  ÐÉ $ ß #Ñ  Ð$ß $Þ(9).
#
#
10. Probar que la inecuación
lB  &l  l"  Bl  %
no tiene solución.

33. Mett ®
Prueba.
Aplicando la definición de módulo, considerando los puntos críticos 1 y &ß se tiene:
Si B  " Ê  ÐB  &Ñ  Ð"  BÑ  % Í  #B  '  % Í B  " con lo que en
este caso no hay solución posible pués se contradice con la condición inicial.
Si " Ÿ B Ÿ & Ê  ÐB  &Ñ  Ð"  BÑ  % Í %  %ß que no es posible.
Si B  & Ê ÐB  &Ñ  Ð"  BÑ  % Í #B  "0 Í B  &ß también contradicción.
luego se h a probado que la inecuación no tiene solución.
11. Hallar los valores de 5ß que hacen reales las raíces de la ecuación
5B#  #a5  "bB  5  " œ !
Solución.
Para obtener raíces reales, debe cumplirse que ? œ ,#  %+- !ß de donde
4a5  "b#  %a5  "b5 ! Í $5  " ! Í 5 
"
$
12. Determine los valores de 7 de modo que: 0 aBb œ 7B#  7a7  "bB  #7ß
sea negativo a B − ‘Þ
Solución.
0 aBb  !ß a B − ‘ Í Ð +  ! • ?  !Ñß si 0 aBb œ +B#  ,B  - por tanto:
7  ! a"bß • 7# a7  "b#  )7#  ! Í 7# a7#  #7  (b  !ß como
7#  ! Ê 7#  #7  (  ! puntos críticos: "  #È# y "  #È# luego
  ‰   ‰   Ê Ð "  #È#  7  "  #È# Ñ a#bß
"  #È #
"  #È #
Intersecando a"b y a#b obtenemos { 7 − ‘ Î "  #È#  7  ! ×Þ
13. Hallar los valores de 7 para que la expresión
a7  "bB#  #a7  $bB  7  $
se cumpla a B − ‘Þ
Solución.
Se debe tener que a7  "bB#  #a7  $bB  7  $  !ß a B − ‘Þ
Si 0 aBb œ a7  "bB#  #a7  $bB  7  $ entonces (+  ! • ?  !Ñ luego

34. Mett ®
7  "  ! Í 7  " a"bß • %a7  $b#  %a7  "ba7  $b  ! Í
 #a7  $b  ! Í 7  $ a#bß
Intersecando a"b y a#b obtenemos { 7 − ‘ Î 7  $ ×Þ
"%Þ Resolver el sistema:
B#  "
Ÿ " a"b
B#  'B  "!
691"! ˆB#  #B  #‰  "
a#b
Solución.
a"b À
B#  "
'B  *
Ÿ" Í #
Ÿ! Ê
B#  'B  "!
B  'B  "!
$
puntos críticos:  ß $  È"*ß $  È"* Ê   ñ    ‰   ‰   Ê
#
$
Sol.a"b œ Ð  _ß  Ó  Ð$  È"*ß $  È"*Ñ
#

$
#
$  È"*
$  È"*
a#b À 691"! aB#  #B  #b  " Í B#  #B  #  "! solo si B#  #B  #  !
B#  #B  #  "! Í B#  #B  )  ! Ê puntos críticos:  #ß % luego
  ‰   ‰   Ê Ð  #ß %Ñ a!bà y B#  #B  #  !, a B − ‘ a" b pués
#
%
(+  ! • ?  !Ñ por tanto Sol.a#b œ a!b  a" b œ Ð  #ß %ÑÞ
$
finalmente Sol. œ Sol.a"b  Sol.a#b œ Ð  #ß  Ó  Ð$  È"*ß %ÑÞ
#
15. Para que valores de 5ß la ecuación
a5  #bB#  #a5  #bB  #5  " œ !
tendrá al número "ß en el intervalo determinado por sus raíces.
Solución.
Sea 0 aBb œ a5  #bB#  #a5  #bB  #5  " concretamente se pueden dar dos
casos:
I)
5  #  ! • 0 a"b  !
II) 5  #  ! • 0 a"b  !
I) 5  # • &5  (  ! Í 5  # • 5  ( ß caso que no da solución.
&

35. Mett ®
II) 5  # • &5  (  ! Í
(
&
 5  #ß que és la solución.
16. Resolver
a)
B#  &B  '
B%
#  (B  "#
B
B$
B$ ˆ B #  " ‰
(
Ba(B#  "b
b)

È#aB#  "b  B%  B#
aB#  "bŠB#  È#‹
Solución.
a)
B#  &B  '
B%
B  "!
Í
!ß puntos críticos:  "!ß  $ß %
#  (B  "#
B
B$
aB  %baB  $b
Ê  ñ ‰ ‰  Ê
 "!
b)
$
B$ ˆ B #  " ‰
(
%
È#aB#  "b  B%  B#

Sol. œ Ò  "!ß  $Ñ  Ð%ß _Ñ
BaB#  (bÐB#  " Ñ
Ba(B#  "b
(
Í
!
aB#  "bŠB#  È#‹
aB#  "bŠB#  È#‹
Puntos críticos: !ß  È(ß  É " ß É " ß È( por tanto resulta
(
(
 ‰ ‰ ‰ ‰ ‰  Ê
 È(
 É"
(
!
É"
(
È(
Sol. œ Ð  _ß  È(Ñ  Ð  É " ß !Ñ  ÐÉ " ß È( Ñ
(
(
17. Para que valores de 7 las raíces de la ecuación
B#  $B
7"
œ
tiene:
#B  "
7"
a) Raíces reales y distintas.
b) Raíces reales y ambas positivas.
c) Raíces reales de signo contrario, siendo negativa la mayor en valor absoluto.
Solución.
a) Notemos que la ecuación es igual a: a7  "bB#  a&7  "bB  a7  "b œ !
Para que la ecuación dada tenga raíces reales y distintas se debe tener Ð+ Á !
• ?  !Ñß por tanto:
+ œ 7  " Á ! Í 7 Á  "à ? œ a&7  "b#  %a7#  "b  ! Í

36. Mett ®
#"7#  "!7  & œ ! Ê ? œ  $#! Ê La ecuación siempre tiene raíces
reales, luego solo 7 Á  ".
b) Sean B" y B# las raíces de la ecuación, considerando a) se tiene 7 Á  "
7"
&7  "
 ! • B"  B # œ
 !Ñ de donde se obtienen:
7"
7"
y ÐB" B# œ
(7   " ” 7  "Ñ • Ð7   " ” 7  
"
Ñ Í (7   " ” 7  "Ñ
&
c) Además de 7 Á  ", siendo B" ß B# las raíces de la ecuación, entonces:
B" † B # œ
7"
!Ê "7"
7"
B"  B # œ
&7  "
"
"
 ! Ê  "  7   ß así resulta:  "  7  
7"
&
&
18. Resolver el sistema:
lB  "l  l#B  $l
!
$B  %
lB#  Bl  B  "
a#b
a"b
Solución.
a"b À Podemos considerar dos casos: i) lB  "l  l#B  $l 0 • $B  %  !
ii) lB  "l  l#B  $l Ÿ 0 • $B  %  !
i) Notemos que si $B  %  ! Í B 
%
Ê ÐB  "Ñ  Ð#B  $Ñ 0 Í B Ÿ  %
$
%
• B Ÿ  %Ñ Ê g por tanto Solaib œ gÞ
$
ii) lB  "l Ÿ l#B  $l elevando al cuadrado se recibe $B#  "%B  ) !,
ÐB 
puntos críticos  % y 
#
$
Ê   ñ   ñ   Ê ÐB Ÿ  % ” B  # Ñ
$
%
#
$
%
# %
resulta Solaiib œ Ð  _ß  %Ó  Ò  ß Ñ
$
$ $
# %
Luego Sol.a"b œ Solaib  Solaiib œ Ð  _ß  %Ó  Ò  ß ÑÞ
$ $
intersecando con B 
a#b À lB#  Bl  B  " Í lB#  Bl  "  B Í
ÐB#  B  B  " ” B#  B  "  BÑ Í Ò ÐB  "Ñ#  ! ” B#  "  ! Ó la

37. Mett ®
primera inecuación conduce a g, y la segunda a ÐB   " ” B  "Ñß
por tanto: Sol.a#b œ Ð  _ß  "Ñ  Ð"ß _Ñ.
%
Finalmente, Sol. Final œ Sol.a"b  Sol.a#b œ Ð  _ß  %Ó  Ð"ß ÑÞ
$
19. Para que valores de B los trinomios 0 aBb œ B#  B  ' y 1aBb œ B#  &B  %
tienen distinto signo.
Solución.
Se debe tener 0 aBb 1aBb  ! Ê ÐB#  B  'ÑÐB#  &B  %Ñ  ! Í
aB  #baB  $baB  "baB  %b  !ß puntos críticos:  #ß "ß $ y 4 Ê
  ‰   ‰   ‰   ‰   Ê Sol. œ Ð  #ß "Ñ  Ð$ß %ÑÞ
#
"
$
%
20. Sean 0 aBb œ ÈlBl  B y
Encuentre el dominio de 1 ‰ 0 Þ
1aBb œ ÈB  " dos funciones definidas en ‘.
Solución.
De inmediato
a1 ‰ 0 baBb œ 1a0 aBbb œ 1ˆÈlBl  B‰ lo
ÈlBl  B ! Ê lBl  B ! Í lBl B Ê a B − ‘ß luego
que
exige,
que
1ˆÈlBl  B‰ œ ÉÈlBl  B  " ß de aquí se debe tener ÈlBl  B  " 0 Í
ÈlBl  B "ß como ambos términos son positivos podemos elevar al cuadrado,
obteniendose lBl "  B Í (B Ÿ  a"  Bb ” B "  B), de la primera
inecuación se tiene B Ÿ 
"
#
y la segunda inecuación no aporta más soluciones,
por tanto el Dom.0 œ ÖB − ‘ Î B Ÿ  " ×Þ
#
#"ÞDetermine el recorrido de la función 0 ß definida por
0 aBb œ
#
ß aB Á „ "
lBl  "
Solución.
Como, C œ
#
#C
Í lBl œ
ß pero como lBl 0, a B − ‘; entonces
lBl  "
C
#C
0, puntos críticos:  #ß ! Ê   ñ   ‰   Ê
C

38. Mett ®
#
!
Rec.0 œ ÖC − ‘ Î C Ÿ  # ” C  ! ×Þ
22. Resolver
lB#  Bl  lBl  lB  "l !
Solución.
La inecuación se puede expresar como lBllB  "l  lBl  lB  "l !, puntos
críticos para aplicar la definición de módulo, son: 0 y 1.
Para B Ÿ ! Ê a  BbÒ  aB  "bÓ  B  aB  "b ! Í B#  B  " ! Ê
  ñ   ñ   Ê ÐB Ÿ
"È&
#
"È&
#
queda B Ÿ
"È&
#
"È&
#
” B
"È&
# Ñ
pero como B Ÿ ! entonces
a"bà
Para !  B Ÿ " Ê Ba"  Bb  B  B  " ! Í B#  $B  " Ÿ ! Ê
  ñ   ñ   Ê Ò " Ð$  È& Ñ  B  " Ð$  È&ÑÓ pero como !  B Ÿ "
#
#
$È&
#
$È&
#
entonces queda
"
# Ð$
 È& Ñ Ÿ B Ÿ 1 a#bà
Para B  " Ê BÐB  "Ñ  B  ÐB  "Ñ ! Í B#  B  " ! lo que es verdad
a B − ‘, pués + œ "  ! • ˜  !ß luego solo queda B  " a$bÞ
È
È
Finalmente uniendo a"bß a#b y a$b se tiene Sol. œ Ð  _ß "# & Ó  Ò $# & ß _ÑÞ
23. Determinar para que valores de 5ß se verifica
$
B#  5B  #
 #ß a B − ‘
B#  B  "
Solución.
a"b À  $ 
B#  5B  #
%B#  Ð5  $ÑB  "
Í
 !ß ahora como
B#  B  "
B#  B  "
B#  B  "  !ß a B − ‘ Ê %B#  Ð5  $ÑB  "  !, se debe tener Ð +  ! •
?  !Ñ esto es + œ %  ! • ? œ Ð5  $Ñ#  "'  ! Í a5  (ba5  "b  !ß
de donde se obtiene Sol.a"b œ Ö5 − ‘ Î  "  5  ( ×Þ

39. Mett ®
a#b À
B#  5B  #
 # Ê B#  a5  #bB  %  !ß se debe tener también
B#  B  "
Ð +  ! • ?  !Ñ por tanto + œ "  ! • ? œ a5  #b#  "'  ! Í
a5  #ba5  'b  ! de donde
#
œ Ö5 − ‘ Î  '  5  # ×Þ
Finalmente Sol. Final œ Sol.a"b  Sol.a"b œ Ö5 − ‘ Î  "  5  # ×Þ
24. Sean 0 aBb œ œ
B
B#  "
si
si
BŸ"
y
B"
Encuentre a0 ‰ 1baBb y a1 ‰ 0 baBbÞ
Solución.
Ú
Ý
Ý 0 ÐÈB  "Ñ
Ý
a0 ‰ 1baBb œ Û
Ý
Ý
Ý 0 ÐB  #Ñ
Ü
1aBb œ œ
ÈB  "
B#
si
si
!ŸBŸ"
B! ” B"
ÈB  " si ÈB  " Ÿ 1
 B
si ÈB  "  "
B#
si B  # Ÿ "
si B  ! ” B  " œ
#
aB  #b  " si B  #  "
si
0ŸBŸ"
Ahora: (0 Ÿ B Ÿ " • ÈB  " Ÿ 1) Ê B œ !
(0 Ÿ B Ÿ " • ÈB  "  1) Ê !  B Ÿ "
ÐB  ! ” B  " • B  # Ÿ "Ñ Ê B Ÿ  "
ÐB  ! ” B  " • B  #  "Ñ Ê  "  B  ! ” B  "
Luego queda;
Ú"
Ý
Ý
B
a0 ‰ 1baBb œ Û
ÝB  #
Ý #
Ü B  %B  $
si B œ !
si 0  B Ÿ "
si B Ÿ  "
si  "  B  ! ” B  "
Procediendo en forma análoga para a1 ‰ 0 bß se obtiene
ÚB  #
Ý
Ý
ÝÈ
B"
a1 ‰ 0 baBb œ Û
ÝB
Ý
Ý #
ÜB  "
si
si
si
si
B!
!ŸBŸ"
"  B Ÿ È#
B  È#
25. Hallar el dominio de definición de cada una de las funciones siguientes:

40. Mett ®
a) 0 aBb œ È%  l"  lB  "l  Bl
b) 0 aBb œ ÈE<-=/8a691# Bb
c) 0 aBb œ 691# 691$ 691% B
d) 0 aBb œ
"
"
 #E<-=/8 B 
ÈB  #
B
e) 0 aBb œ È-9=a=/8Bb  E<-=/8
"  B#
#B
Solución.
a) Se debe tener que %  l"  lB  "l  Bl 0 Í l"  lB  "l  Bl Ÿ 4 Í
 % Ÿ "  lB  "l  B Ÿ % Í Ð  % Ÿ "  lB  "l  B • "  lB  "l  B Ÿ %Ñ
a"b À  % Ÿ "  lB  "l  B Í lB  "l  aB  &b Í
ÒB  " Ÿ  aB  &b ” B  " Ÿ B  & Ó Í ÒB  # ”  " Ÿ & Ó Í
Sol.a"b œ ‘
a#b À "  lB  "l  B Ÿ % Í lB  "l Ÿ $  B Í  a$  Bb Ÿ B  " Ÿ $  B Í
Ð  $ Ÿ  " • B Ÿ # Ñ Ê Sol.a#b œ Ð  _ß #Ó
Luegoß Dom0 œ Sol.a"b  Sol.a#b œ Ð  _ß #Ó
b) Se debe tener que E<-=/8a691# Bb 0 Í 0 Ÿ 691# B Ÿ 1 Í " Ÿ B Ÿ #
c) La función 0 aBb está definida para 691$ 691% B  ! de donde 691% B  1 Í
B  %ß luego Dom0 œ Ð%ß _ÑÞ
d) Debe satisfacerse simultaneamente À B Á !ß  " Ÿ B Ÿ " y
que nos dá como resultado el conjunto vacío.
B  #  ! lo
e) Se debe tener en este caso; (-9=a=/8Bb 0 •  " Ÿ
condición se satisface
Dom0 œ Ö „ "×Þ
"  B#
Ÿ "Ñ la primera
#B
a B − ‘, y la segunda para
lBl œ "Þ Por tanto
26. Hallar los intervalos en que la función 0 aBb œ +B#  ,B  -ß + Á ! crece y en los
que decrece y sus valores máximo y mínimo.
Solución.
0 aBb œ +B#  ,B  - œ +ÐB 
, # %+-  ,#
Ñ 
ß
#+
%+

41. Mett ®
,
+  !ß 0 aBb aumentará para aquellos B tales que B 
 !ß es decir
#+
,
,
,
B 
ß y disminuirá para B 
 !ß es decir B  
ß de aquí que para
#+
#+
#+
Si
Bœ 
,
la función 0 aBb toma su valor mínimo. Note que para este caso 0 aBb
#+
no tiene un valor máximo.
,
Analogamente, si +  !ß 0 aBb aumenta para
B 
y disminuye para
#+
,
,
B 
y en B œ 
la función 0 aBb toma su valor máximo.
#+
#+
27. Hallar el rectángulo de área máxima, entre todos los rectángulos de perímetro dado.
Solución.
Sea #: la longitud del perímetro del rectángulo buscado, y B la longitud de uno
de sus lados iguales.
Por tanto el Área Eß viene dada por E œ Ba:  Bb œ :B  B# ß o sea el problema
se reduce a determinar el máximo de la función E œ :B  B# ß de inmediato por
:
:
el problema anterior +  ! Ê E, tiene un máximo para B œ 
œ ,y
#a  "b
#
:
como :  B œ :  ß luego el rectángulo de mayor área, para un perímetro dado
#
es un cuadrado.
7.7. Ejercicios Propuestos
1. Resolver en ‘,
"
"
a) $a#  Bb   a#B  #b  "
#
%
c) B#  &B  ' Ÿ !
e)
#B  $
$
B#
b) B#  $B  % BaB  &b
B  #a$  Bb
!
%B  $
B#  #B
f) #
!
B  2B  $
d)

42. Mett ®
g) " 
"&  (B
!
B'
h)
B#
Respuesta.
a) B  #
#B  $
Ÿ $
B#  "
d) Š  _ß $ ‹  a'ß  _b e) (#ß $Ó
%
b) [#ß  _Ñ c) [  'ß "Ó
f) B Ÿ ! ” B # g) B   $ ” B  # con B Á $
2. Resolver en ‘,
a) ÈB  #  ÈB  '  )
c) " 
b) BaB%  (B#  "#b  !
'
'

#  $B  #
B
B#
d)
e) aB#  $B  %baB#  )b !
g)
h)
h) [  # ß !Ñ
$
f) " 
BaB#  *b
Ÿ!
B"
$B  "
#
B$
B
B#
 #
Ÿ!
 $B  # B  $B  #
B#
#B  #&
#B  ""
#
 #

 #B  $
B "
B$
B#
Respuesta.
b)  #  B   È$ ” !  B  È$ ” B  #
a) B '
c) B   # ”  "  B  " ” B  #
e) B Ÿ  % ” B "
g)  "  B Ÿ 
3. Resolver en ‘,
"
#
f)  &  B   "
” "B#
h)  $ Ÿ B   " ” B  "
B#
¸  #
B%
d) # l B  " l  l #  B l "
a) l #B  $ l "
d) ! Ÿ B Ÿ $ ”  $ Ÿ B   "
b) ¸
c)  #  l B#  $B l Ÿ '
Respuesta.
a) B Ÿ " ” B #ß b) B   ' ” B  
d) (  _ß 
"
Ñ  Ò &ß  _Ñ
$
4. Resolver en ‘,
"!
ß c)  " Ÿ B Ÿ %,
$

43. Mett ®
a) l"  Bl  B !
b) ¸B 
c) ¸
d) laB  #b#  'l  $
e) ¸
B#  #B  $
"
¸
#  &B  '
B
&
B#
¸"
*B
g) "  ¸
i)
f) l#B  %l  $  B
B#
¸&
B"
h)
j) ¸
&  lB  #l
&
B#  "
k) lB#  %B  &l Ÿ lB#  $B  'l
Respuesta.
a) Ð  _ß " Ó
#
"
¸Ÿ'
B
lB  #l  l$B  'l
"
B"
B"
B
¸Ÿ
#  #B
B
B#
l) lB  $l  lB  #l lB  "l
b) Ð$  È)ß $  È)Ñ  Ð  $  È)ß  $  È)Ñ
c) ‘  Ö#ß $× d) Ð  "ß #  È$Ñ  Ð#  È$ß &Ñ
e) Ð  _ß " )
#
"
$
f) Ð  _ß _Ñ g) Ð  ß "Ñ h) Ð  _ß *Ó  Ò  ß "Ñ
#
&
"  È"'"
"  È"'"
"  È&
i) Ò
ß  "Ñ  Ð"ß
Ó
j) Ð  _ß
Ñ  Ð#ß _Ñ
"!
"!
#
 (  È%"
 (  È%"
k) Ð  _ß
ÓÒ
ß ""Ó
l) Ð  _ß _Ñ
%
%
5. Resolver los sistemas siguientes
a) aB  "baB  #b !
#B  "  B#  B
c) B#  $B  # !
B
Ÿ!
ÐB  #Ñ#
e) B$  " Ÿ B#  B
$B  %
"
Ÿ"
B(
g)
B#  "
Ÿ"
B#  'B  "!
691"! ÐB#  #B  #Ñ  "
Respuesta.
b) B#  #B  $& !
B#  #B  %) Ÿ !
d)
B#  #
Ÿ"
B#  'B  "!
ÐB#  B  "ÑÐB#  %ÑaB  "bB
aB  &b# aB$  " baB#  &B  'b
f) ÈB  '  ÈB  "  È#B  &
B  lBl  "
h) B$  #( !
B'  "$B#  "# Ÿ !
!

44. Mett ®
a) Ò "ß
$  È"$
Ó
#
d) Ò  #ß !Ó
b) Ò  'ß  &Ó  Ò(ß )]
e) Ò 
""
ß  "Ó
#
f) g
6. Resolver en ‘,
a) ÈB#  &B  '  B  &
a) g
'
b) Ð  _ß Ñ
&
c) Ð
g) Ð  #ß
""
Ó h) Ò  #ß #Ó
'
b) ÈB#  &B  '  B
c) #B  "  ÈB#  $B  #
Respuesta.
c) Ð  _ß "Ñ con B Á  #
d) )B  $ Ÿ ÈÐB  'ÑÐB  *Ñ
"  È"$
ß "Ó  Ò#ß _Ñ d) Ð  _ß "Þ"%'(Ñ
'
7. Sean en los reales las funciones: 0 aBb œ ÈB  #
Encuentre el dominio de: 0 ‰ 1 y 1 ‰ 0 Þ
1aBb œ ÈlBl  B  BÞ
y
Respuesta.
Dom.0 ‰ 1 œ Ò  Ð$  È&Ñß _Ñß Dom.1 ‰ 0 œ Ò  #ß _ÑÞ
8. Dadas en ‘, las funciones: 0 aBb œ ʹ
B"
¹# y
B#
1aBb œ
B"
Þ Determine
B"
el dominio de 0 ‰ 1.
Respuesta.
Dom.0 ‰ 1 œ ÖB − ‘ Î Ð  $ Ÿ B   "Ñ ” Ð  "  B  !Ñ ×
9. Sea 0 aBb œ B  % 
##B  #!
ß encontrar los B − ‘ß tales que: 0 aBb ! y
 %B  &
también aquellos Bß para los que 0 aBb  !Þ
B#
Respuesta.
0 aBb ! Í Ð  &  B Ÿ ! ” B  "Ñà 0 aBb  ! Í ÐB   & ” !  B  "Ñ
10. Sean 0 y 1 funciones definidas en ‘, por:
0 aBb œ œ
B"
B#  "
si
si
B "
B"
Determine una fórmula para 0 ‰ 1.
Respuesta.
(0 ‰ 1)aBb œ œ
#
B#
si
si
lBl Ÿ #
lBl  #
1aBb œ œ
"
B#  "
si  # Ÿ B Ÿ #
si B   # ” B  #

45. Mett ®
""Þ Hallar el dominio de definición de cada una de las funciones siguientes:
a) 0 aBb œ
b) 0 aBb œ 0 aBb œ
ÈB#  #B  $
#B  $
c) 0 aBb œ È$  B  E<--9=
B
691"! a"  Bb
B#
$
Respuesta.
a) ‘
b) Ð  "ß _Ñ • B Á !
c) Ò  "ß $Ó
12. Hallar el recorrido de las funciones siguientes:
a) 0 aBb œ
B
"  B#
b) 0 aBb œ œ
B$
B#  #B  $
si B !
si B  !
Respuesta.
" "
a) Ò  ß Ó
# #
b) Ò#ß _Ñ
13. Dados los números: +" ß +# ß Þ Þ Þ ß +8 determine el valor de B para el cuál la función
0 aBb œ aB  +" b#  aB  +# b#  † † † †  aB  +8 b#
toma su valor mínimo.
Respuesta.
" 8
B œ "+3
8 3œ"
14. Hallar el valor máximo de la función 0 aBb œ
È#B#  %B  $
#
Respuesta.
Máx. œ 0 a"b œ #
15. Una ventana de forma rectangular coronada por un semicírculo, de % m. de
perímetro. Determinar sus dimensiones para que proporcione la máxima
iluminación posible.
Respuesta.
Radio œ
%
1%
"6. Un espejo de forma rectangular de 90 ‚ 80 cm., se rompió en un esquina de modo
que, el trozo de menor tamaño es de la forma de un triángulo rectángulo de catetos

46. Mett ®
12 y 10 cm.. Determinar el espejo rectangular de área máxima que se puede
obtener del trozo mayor.
Respuesta.
87 ‚ 72.5 cm.
17. Resolver
"
"

"
691# B 691# B  "
Respuesta.
Ð!  B  " Ñ ” ÐB  #ÑÞ
18. Determine los valores de 7ß de modo que
una raíz menor y otra mayor que "Þ
#7B#  #B  a$7  #b œ ! tenga
Respuesta.
Ð7   % Ñ ” Ð7  !Ñ
19. Determine los valores de 7ß para los cuáles la ecuación
%B#  a7  #bB  7  & œ !
tiene raíces reales diferentes menores que #Þ
Respuesta.

(
$
 7  ' ” 7  "%
20. Determine los valores de 5ß para que las raíces de la ecuación
#B#  a5  $bB  $  5 œ !
estén comprendidas en el intervalo Ð  #ß $ÑÞ
Respuesta.
'Ÿ5 Ÿ & ” $Ÿ5 Ÿ
21. Determine los valores de
siempre negativo a B − ‘Þ
"(
$
5ß de modo que
0 aBb œ  $B#  #5B  "# sea
Respuesta.
'5 '
22. En la ecuación a7  #bB#  #a7  "bB  7  $ œ !ß determine 7 de modo que
sus raíces sean ambas positivas.

47. Mett ®
Respuesta.
"Þ)&  7  #Þ
23. Determinar para qué valores de 5ß la ecuación aB  5 baB  $b œ aB  #5 baB  #b
tiene como conjunto solución a W œ Ö B − ‘ Î B   # ×
Respuesta.
"5#
B#
" $
24. Si B − Ò ß Óß hallar el mayor 7 que satisface la desigualdad
7
% #
B%
Respuesta.
"
7œ
&
25. Determinar los valores de 7ß para los cuales 7 B#  a7  "b B  a7  "b posea
raíces reales y distintas.
Respuesta.
"7
"
$
26. Determinar los valores de B real que satisface
B#
B#
¸œ
a) ¸
B#
B#
b) l B#  %B  $ l œ  ˆ B#  %B  $ ‰
c) l a B#  %B  * b  a#B  $b l œ l B#  %B  * l  l #B  $ l
Respuesta.
a) B   # ” B #ß b) " Ÿ B Ÿ $ß c) B
$
#
27. La necesidad diaria de agua calculada para cierta ciudad está dada por l -  $(#& l
 "!! donde - es el número de galones de agua utilizados por día. Determinar la
mayor y menor necesidad diaria de agua.
Respuesta.
$'#&  -  $)#&
28. Los lados de un cuadrado se extienden para formar un rectángulo, un lado se alarga
2 cm. y el otro 6 cm. El área del rectángulo resultante debe ser menor que 130 cm#
y mayor que 80 cm# ¿ Cuáles son las posibles longitudes del lado del cuadrado
original?

48. Mett ®
Respuesta.
È)%  %  B  È"$%  % siendo B el lado del cuadrado.
29. ¿Qué número entero se puede añadir al numerador y denominador de la fracción
$
"
4
ß si se quiere que la nueva fracción esté comprendida entre:
y
(ambos
&
3
9
extremos incluídos)
Respuesta.
#
30. La altura de un triángulo es # cm. mayor que la base. Hallar la base , de modo que
el área del triángulo sea mayor que #! cm# .
Respuesta.
,  È%"  "
31. Graficar el poliedro de soluciones
o zona factible definida por las siguientes
"
desigualdades: %B  $C Ÿ "#ß B  C Ÿ #ß B ! y C !Þ y encuentre las
$
coordenadas de sus vértices.
Respuesta.
' "#
Vértices: Ea!ß !bß F a!ß %bß G Œ ß ß Ha#ß !b
& &
32. La suma de tres números reales positivos es "#, si la suma de dos de ellos se
encuentra en el intervalo Ò"ß &Ó determine la variación del tercero.
Respuesta.
( Ÿ D Ÿ "".
.

49. Mett ®