Funciones exponenciales y logarítmicas

1. Prof. Rosa E. Padilla

2. • Una función 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥, donde 𝑥𝜖ℝ,
𝑎 > 0, 𝑎 ≠ 1, es llamada una función exponencial, base a.
𝑓 𝑥 = 2 𝑥
𝑓 𝑥 =
1
2
𝑥
𝑓 𝑥 = (3.57) 𝑥

3. • Interés compuesto
• La cantidad de dinero A que el principal P crecerá después de t años a una tasa de
interés compuesto r (en forma decimal) por n veces por año, está dada por la
fórmula:
• 𝐴 = 𝑃 1 +
𝑟
𝑛
𝑛𝑡
• Suponga que $100,000 son invertidos al 6.5% de interés compuesto semianual.
a. Halla la función para la cantidad de dinero después de t años.
b. Grafica la función.
c. Halla la cantidad de dinero en la cuenta para t = 0, 4, 8, 10 años.
d. ¿Cuándo la cantidad de dinero en la cuenta llegará a $400,000?

4. • Como P = $100,000, r = 6.5% = 0.065, n = 2
se sustituyen los valores en la función:
• 𝐴 𝑡 = 100,000 1 +
0.065
2
2∙𝑡
• 𝐴 𝑡 = $100,000(1.0325)2𝑡

6. • Calculamos valores utilizando la función A(t) para los valores
dados:
• 𝐴 0 = 100,000(1.0325) 2∙0= $100,000
• 𝐴 4 = 100,000(1.0325) 2∙4
= $129,157.75
• 𝐴 8 = 100,000(1.0325) 2∙8= $166,817.25
• 𝐴 10 = 100,000(1.0325) 2∙10
= $189,583.79

7. • Para hallar el tiempo que toma para hacer crecer su dinero a
$400,000:
• 100,000(1.0325) 2𝑡= $400,000
• Se resuelve para hallar el valor de t.
• 𝑦 = 100,000(1.0325) 2𝑥−400,000
• 𝑥 = 21.67 años.
• Aproximadamente 21 años, 8 meses y dos días.

9. • Nombrado así en 1741 por Leonhard Euler.
• Surge de la función de interés compuesto.
• Suponga que $1 es invertido al 100% de interés por un año.
• La fórmula de la función A definida en términos de un número n
de periodos compuestos.

10. • P = 1, r = 100% = 1, t = 1
𝐴 = 𝑃 1 +
𝑟
𝑛
𝑛𝑡
= 1 +
1
𝑛
𝑛
= 1 1 +
1
𝑛
𝑛∙1
Si visualizamos la gráfica de la función A(n) cuando 𝑛 → ∞ nos encontramos con:

12. • Utiliza tu calculadora para hallar el valor de 𝑒 𝑥
en
cada caso. Redondea a 4 lugares decimales.
𝑒 = 2.7182818284 …
1. 𝑒3
2. 𝑒−0.23
3. 𝑒0
4. 𝑒1
= 20.0855 = 0.7945
= 1 = 2.7183

13. • Se define 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 como el número y tal que 𝑥 = 𝑎 𝑦, donde x
> 0, y a es una constante positiva diferente de 1

14. • 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 → se lee “logaritmo base 2 de x”
• Significa la potencia a la cual es elevada a la 2 para obtener x.
• Ejemplo:
𝑙𝑜𝑔28 = 3

15. • Para cualquier función 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 su inversa es llamada función
logarítmica base a.
• La gráfica de su inversa se obtiene reflejando la gráfica de la
función original en la recta y = x.
• 𝑥 = 𝑎 𝑦 ⟹ 𝑦 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥
• La inversa de 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 está dada por 𝑓−1 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥.

16. Halla los siguientes logaritmos:
1. 𝑙𝑜𝑔1010,000 2. 𝑙𝑜𝑔100.01 3. 𝑙𝑜𝑔28
4. 𝑙𝑜𝑔93 5. 𝑙𝑜𝑔61 6. 𝑙𝑜𝑔88
4 −2 3
1
2
0 1

17. • 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑎 𝑦
• Ejemplo: Convierte las siguientes exponenciales a logaritmos.
1) 16 = 2 𝑥 2) 10−3 = 0.001 3) 𝑒 𝑡 = 70
𝑙𝑜𝑔216 = 𝑥 𝑙𝑜𝑔100.001 = −3 𝑙𝑜𝑔 𝑒70 = 𝑡

18. • 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑥 = 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑎 𝑦
• Ejemplo: Convierte los siguientes logaritmos a exponenciales.
1) 𝑙𝑜𝑔232 = 5 2) 𝑙𝑜𝑔 𝑎 𝑄 = 8 3) 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔𝑡 𝑀
25 = 32 𝑎8
= 𝑄 𝑡 𝑥
= 𝑀

19. log 𝑥 = 𝑙𝑜𝑔10 𝑥
1) log 645,778
2) log 0.000239
3) log(−3)
5.8101
−3.6216
∄

20. • El logaritmo base e es llamado el logaritmo natural.
ln 𝑥 = log 𝑒 𝑥

21. 1) ln 645,778
2) ln 0.0000239
3) ln(−5)
4) ln 𝑒
13.3782
−12.6416
∄
1

22. • Para cualquier logaritmos con bases a y b, y cualquier número
M:
log 𝑏 𝑀 =
log 𝑎M
log 𝑎 𝑏

23. • Utiliza logaritmos comunes para hallar el valor de log58:

24. • Utiliza logaritmos naturales para hallar el valor de log58:

25. • La magnitud R de la escala Richter para medir la intensidad I
de un terremoto, está definida como 𝑅 = log
𝐼
𝐼0
, donde 𝐼0 es la
intensidad mínima utilizada para comparación, o la intensidad
del menor sismo registrado en un sismógrafo. Si un sismo es
10 veces más intenso uno anterior, se registra un incremento
de 1 en la intensidad del anterior. Si es 100 veces más intenso,
entonces el aumento en intensidad es 2.

26. • Un sismo en Ahmedabad, India el 26 de enero de 2001 tuvo
una intensidad de 107.9
∙ 𝐼0. ¿Cuál era la magnitud en la escala
Richter?
• La magnitud en la escala Richter fue de 7.9.

27. • ∀𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1; 𝑏 𝑥 = 𝑦 ⇔ 𝑥 = log 𝑏 𝑦
• Si 𝑏 𝑥 = 𝑏 𝑦 → 𝑥 = 𝑦
• Para 𝑚 > 0, 𝑛 > 0 𝑦 𝑏 ≠ 1:
• log 𝑏 𝑏 𝑥
= 𝑥 ∧ 𝑏log 𝑏 𝑥
= 𝑥; ∀𝑥 > 0
• log 𝑏 𝑥 = log 𝑏 𝑦 ⇔ 𝑥 = 𝑦
• log 𝑏 𝑏 = 1
• log 𝑏1 = 0

28. • Para 𝑚 > 0, 𝑛 > 0 𝑦 𝑏 ≠ 1:

29. • Expande cada logaritmo.

30. • Reescribe cada expresión como un logaritmo.