EJERCICIOS RESUELTOS DE TERMODINAMICA

1. 1
PROBLEMAS DE TERMODINÁMICA
PROCESOS POLITRÓPICOS DE UN GAS IDEAL
FUNDAMENTOS FÍSICOS DE LA INGENIERÍA

2. 2
UCLM
Un gas ideal de coeficiente adiabático  = 1.4 con un volumen específico inicial de 0.008 m3/mol se somete a un calentamiento
isocórico que hace variar su presión entre 2.65 bar y 4.20 bar. Seguidamente el gas se expande adiabáticamente hasta un volumen
adecuado, y por último se somete a una compresión isoterma hasta que recupera su volumen específico inicial. Se pide:
PROBLEMA 1
C) Determine el rendimiento del ciclo termodinámico que ha descrito el gas.
B) Determine presión, volumen y temperatura del punto común del proceso adiabático y del proceso isotermo sufrido por el gas.
A) Dibuje esquemáticamente en forma cualitativa los procesos sufridos por este gas en un diagrama p – v.
1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
P
v
ADIABÁTICA
ISOTERMA
v0
P1
P2
v3
P3
/mol
m
008
.
0 3
2
1
0 

 v
v
v
bar
65
.
2
1 
P
bar
20
.
4
2 
P
Apartado A)
1
2
3
El gas describe un ciclo de potencia (sentido
horario) cuyos puntos notables son 1, 2 y 3.
Apartado B) (Determinación coordenadas punto 3)
Las temperaturas de los puntos notables se determinan
inmediatamente a partir de la ecuación de estado del gas:
nRT
pV  RT
n
V
p 
K
255
1
1
1 

R
v
p
T
K
404
2
2
2 

R
v
p
T
RT
pv 
Las temperaturas T3 y T1 son iguales,
están sobre la misma isoterma K
255
1
3 
T
T
Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol)
Para obtener el volumen del punto 3:
Ecuación de la isoterma: 3
3
1
1 v
p
v
p 
Ecuación de la adiabática:


3
3
2
2 V
p
V
p 
3
3
1
1 V
p
V
p 
En términos de
volúmenes molares:




3
3
2
2 v
n
p
v
n
p 
 
1
/
1
1
1
2
2
3












v
p
v
p
v
1
3
1
1
2
2 
 



v
n
v
p
v
n
p
Dividiendo
miembro a
miembro:
/mol
m
025
.
0 3

Presión del punto 3: bar
838
.
0
Pa
83799
3
3
3 


v
RT
p

3. 3
UCLM
Un gas ideal de coeficiente adiabático  = 1.4 con un volumen específico inicial de 0.008 m3/mol se somete a un calentamiento
isocórico que hace variar su presión entre 2.65 bar y 4.20 bar. Seguidamente el gas se expande adiabáticamente hasta un volumen
adecuado, y por último se somete a una compresión isoterma hasta que recupera su volumen específico inicial. Se pide:
PROBLEMA 1 (Continuación)
C) Determine el rendimiento del ciclo termodinámico que ha descrito el gas.
B) Determine presión, volumen y temperatura del punto común del proceso adiabático y del proceso isotermo sufrido por el gas.
A) Dibuje esquemáticamente en forma cualitativa los procesos sufridos por este gas en un diagrama p – v.
Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol)
Apartado C)
ISOTERMA
1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
P
v
ADIABÁTICA
1
2
3
Veamos cualitativamente trabajo y calor en cada etapa del ciclo
0

V
w
0

V
q
0

ad
q
0

ad
w
0

isot
w
0

 isot
isot w
q
Rendimiento:
V
isot
ad
V
neto
q
w
w
q
w 



1
3
3
2
2




V
p
V
p
Wad 1
3
3
2
2




v
p
v
p
wad
p (Pa) v (m3/mol) T (K)
1 265000 0,008 255
2 420000 0,008 404
3 83799 0,025 255
J/mol
3100

3
1
1 ln
1
3
1
3
V
V
nRT
dV
V
nRT
pdV
W
V
V
V
V
isot 



 3
1
1 ln
v
v
RT
 J/mol
2441


 
1
2 T
T
nc
T
nc
Q V
V
V 


  
1
2 T
T
c
n
Q
q V
V
V 


R
c
c V
P 

V
P
c
c


 
1



R
cV
 
1
2
1
T
T
R
qV 



J/mol
3100

Pregunta: ¿Es casual que el resultado
numérico para qV coincida con wad?
(21%)
21
.
0
3100
2441
3100






V
isot
ad
V
neto
q
w
w
q
w


4. 4
PROBLEMA 2
Un ciclo de Carnot reversible empleado como ciclo de potencia, que usa un gas ideal de coeficiente adiabático 1.4 como
fluido de trabajo, opera entre las temperaturas 300 K y 500 K. La presión máxima del ciclo es 2.50 bar, y en la etapa de
expansión isoterma el gas aumenta su volumen específico hasta alcanzar 0.040 m3/mol. Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol).
A) Determine las coordenadas volumen específico, presión y temperatura de todos los puntos notables del ciclo.
B) Si el ciclo se repite dos veces por segundo, determine la potencia desarrollada.
C) Demuestre que para cualquier ciclo de Carnot el trabajo asociado con la etapa de compresión adiabática es el mismo en
valor absoluto y de signo opuesto al trabajo desarrollado en la expansión adiabática, y que el trabajo neto producido es
la suma algebraica del trabajo de la expansión isoterma y de la compresión isoterma.
Apartado A)
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
1
2
3
4
Ta = 500 K
Tb = 300 K
p1 = 2.5 bar v2 = 0.040 m3/mol
12 Expansión isoterma T1 = T2 = 500 K
34 Compresión isoterma T3 = T4 = 300 K
23 Expansíón adiabática.
41 Compresión adiabática.
Coordenadas de los puntos 1 y 2:
P (bar) P (Pa) v (m3
/mol) T (K)
1 2,50 250000 0,0166 500
2 1,04 103925 0,0400 500
1
1
1
p
RT
v 
2
2
2
v
RT
p 
Para calcular el volumen específico del gas en el punto
3 usamos la relación adiabática entre los puntos 2 y 3
en función de volumen específico y temperatura.


3
3
2
2 v
p
v
p  

3
3
3
2
2
2
v
v
RT
v
v
RT

1
3
3
1
2
2


 

v
T
v
T
 
1
/
1
3
2
2
3











T
T
v
v
UCLM

5. 5
PROBLEMA 2 (Continuación)
Apartado A) Una vez calculado el volumen específico del punto 3, se obtiene su presión usando la ecuación de estado
3
3
3
v
RT
p 


1
1
4
4 v
p
v
p 
3
3
4
4 v
p
v
p  3
3
1
1
1
4
v
p
v
p
v




 
1
/
1
3
3
1
1
4












v
p
v
p
v
4
4
4
v
RT
p 
El punto 4 es donde concurren la isoterma 34 y la adiabática 41, por lo que debe cumplirse
Usando otra vez la
ecuación de estado
P (bar) P (Pa) v (m3
/mol) T (K)
1 2,50 250000 0,0166 500
2 1,04 103925 0,0400 500
3 0,17 17388 0,1434 300
4 0,42 41828 0,0596 300
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
1
2
3
4
Ta = 500 K
Tb = 300 K
v (m3/mol)
P (bar)
UCLM

6. 6
Apartado B)
PROBLEMA 2 (Continuación)
Hay que calcular el trabajo producido por el ciclo. Esto puede hacerse de dos formas.
B1. Cálculo directo del trabajo de cada etapa isoterma (en el apartado C demostraremos que las adiabáticas no intervienen en el neto)
1
2
1
1
12 ln
2
1
2
1
v
v
RT
dv
v
RT
pdv
w
v
v
v
v
isot 



 3
4
3
3
34 ln
4
3
4
3
v
v
RT
dv
v
RT
pdv
w
v
v
v
v
isot 




J/mol
3649
 J/mol
2189


J/mol
1460
2189
3649
34
12 



 isot
isot
neto w
w
w
El tiempo que tarda esta máquina térmica en describir un ciclo es t = 0.5 s, por tanto la potencia específica es
watt/mol
2920
5
.
0
1460



t
w
w neto

B2. Cálculo del trabajo a partir del rendimiento del ciclo reversible. Para este ciclo el rendimiento es: 40
.
0
500
300
1
1
1
3





T
T

La energía que debe suministrarse para el funcionamiento del mismo es el calor de la etapa isoterma de alta temperatura, que
es igual al trabajo de la expansión isoterma 12, ya que la energía interna del gas ideal sólo depende de su temperatura y
por lo tanto no sufre variación en dicha etapa:
w
q
Δu isot
isot 0
12
12
12 

 w
q isot
isot J/mol
3649
12
12 

El trabajo específico neto es:
q
w
isot
neto
12

 q
w isot
neto J/mol
1460
3649
40
.
0
12 



 watt/mol
2920
5
.
0
1460



t
w
w neto

Apartado C) Trabajo de un proceso adiabático entre las condiciones (vi,pi) y (vf,pf).


f
i
v
v
pdv
w
f
f
i
v
vi
v
v
v
C
dv
v
C 1
1










 


2
1
1
1
v
v
v
pv 











1
1 







f
f
i
i
i
i
f
f v
p
v
p
v
p
v
p
p
v
ADIABÁTICA
 
p
v i
i ,
 
p
v f
f ,
w
 
f
i T
T
R



1

Aplicando la ecuación
de estado del gas ideal:
En el ciclo de Carnot hay dos adiabáticas: el proceso 23 y el proceso 41 (véase apartado A).
Puesto que en el proceso 23 Ti = T2 y Tf = T3, mientras que en el proceso 41 las temperaturas
son Ti = T3 (= T4) y Tf = T2 (= T1), se deduce que 41
23 adiab
adiab w
w 

Por lo tanto, el trabajo neto del ciclo corresponde a la suma
(algebraica) de los trabajos de las etapas isotermas 12 y 34.
UCLM

7. 7
PROBLEMA 3
Un ciclo de Stirling de refrigeración que consta de dos isotermas y dos isocóricas utiliza como fluido de trabajo 0.50 moles
de un gas ideal y opera entre las temperaturas 253 K y 300 K. Los volúmenes máximo y mínimo del ciclo son 40 litros y 20
litros respectivamente. Suponga que todas las etapas de este ciclo son reversibles. Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol).
A) Determine las coordenadas volumen específico, presión y temperatura de todos los puntos notables del ciclo.
B) Sabiendo que el coeficiente adiabático del gas es 1.4, calcule el calor y el trabajo asociado a cada etapa del ciclo y
determine su eficiencia.
C) Calcule el índice politrópico de un proceso termodinámico que una directamente el punto de mayor presión con el punto de
menor presión de este ciclo.
Apartado A)
0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
300 K
253 K
Volúmenes específicos máximo y mínimo
/mol
m
08
.
0
mol
50
.
0
m
10
40 3
3
3
max
max 




n
V
v /mol
m
04
.
0
mol
50
.
0
m
10
20 3
3
3
min
min 




n
V
v
/mol)
(m3
v
(bar)
P
T (K)
253
300
300
253
v (m3/mol)
1 0,08
2 0,08
3 0,04
4 0,04
P (Pa) P (bar)
26293 0,26
31178 0,31
62355 0,62
52586 0,53
0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
max
v
1
2
3
4
min
v Isocórica 12 /mol
m
08
.
0 3
max
2
1 

 v
v
v K
300
K
253 2
1 
 T
T
Isocórica 34 /mol
m
04
.
0 3
min
4
3 

 v
v
v K
253
K
300 4
3 
 T
T
Las presiones se calculan aplicando a cada punto la ecuación de estado
i
i
i
v
RT
p 
UCLM

8. 8
B) Sabiendo que el coeficiente adiabático del gas es 1.4, calcule el calor y el trabajo asociado a cada etapa del ciclo y determine
su eficiencia.
PROBLEMA 3 (Continuación)
/mol)
(m3
v
(bar)
P
0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
1
2
3
4
Ciclo de refrigeración (sentido antihorario)
0
23 
isot
w
0
41 
isot
w
0
12 
V
q
0
34 
V
q
0
41 
isot
q
0
23 
isot
q
R
c
c V
P 

V
P
c
c


 
1



R
cV
Determinación de calores específicos:
Proceso isocórico 12
2
3
2
23
23 ln
v
v
RT
q
w isot
isot 

 
 
 
1
2
1
2
12
1
T
T
R
T
T
c
q V
V 





Proceso isotermo 23
Proceso isocórico 34  
 
 
3
4
3
4
34
1
T
T
R
T
T
c
q V
V 





Proceso isotermo 41
4
1
4
41
41 ln
v
v
RT
q
w isot
isot 

253
300
300
253
T (K)
0,04
4
0,04
3
0,08
2
0,08
1
v (m3/mol)
0,53
52586
0,62
62355
0,31
31178
0,26
26293
P (bar)
P (Pa)
J/mol
977

J/mol
1729


J/mol
977


J/mol
1458

La eficiencia del ciclo es igual al calor extraído del foco dividido por
el valor absoluto del trabajo necesario para hacerlo. En nuestro caso:
41
23
41
isot
isot
isot
q
q
q



38
.
5
1
2
1



T
T
T

El trabajo de las etapas isocóricas es nulo, al no haber variación de v.
38
.
5
1458
1729
1458




Forma alternativa: como se trata de un ciclo reversible,
Comentario: la eficiencia representa el calor extraído del foco frío
por cada unidad de trabajo invertido en el funcionamiento del ciclo.
UCLM

9. 9
PROBLEMA 3 (Continuación)
C) Calcule el índice politrópico de un proceso termodinámico que una directamente el punto de mayor presión con el punto de
menor presión de este ciclo.
/mol)
(m3
v
(bar)
P
0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
1
2
3
4
Se pide calcular el exponente k de la ecuación del proceso politrópico k
k
v
p
v
p 1
1
3
3 
1
1
3
3 ln
ln
ln
ln v
k
p
v
k
p 


  3
1
1
3 ln
ln
ln
ln p
p
v
v
k 


 
 
1
3
3
1
/
ln
/
ln
v
v
p
p
k  246
.
1

Teniendo en cuenta los valores numéricos
bar
63255
/mol
m
04
.
0 3
3
3 
 p
v
la ecuación de esta politrópica es
5
.
1130
04
.
0
63255 246
.
1



k
pv
5
.
1130
246
.
1

pv
UCLM
31

10. 10
PROBLEMA 4
Un gas perfecto de volumen específico 0.008 m3/mol a una presión de 4.00 bar se calienta isocóricamente hasta que su
presión alcanza 8.00 bar. Después se expande adiabáticamente hasta alcanzar 0.014 m3/mol, luego se enfría isocóricamente
y finalmente se comprime adiabáticamente hasa restituir las condiciones iniciales. Todas las transformaciones son
reversibles (ciclo ideal de Otto). Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol).
A) Determine las coordenadas volumen específico, presión y temperatura de todos los puntos notables del ciclo.
B) Si se sabe que el coeficiente adiabático del gas es 1.4, calcule el calor y el trabajo asociado a cada etapa del ciclo y
determine su rendimiento.
Apartado A) Coordenadas de los puntos extremos de la isocórica 1 (4 bar)  2 (8 bar)
bar
00
.
4
/mol
m
008
.
0 1
3
1 
 p
v
bar
00
.
8
/mol
m
008
.
0 2
3
2 
 p
v
K
385
1
1
1 

R
v
p
T K
770
2
2
2 

R
v
p
T
Ecuación de la adiabática que pasa por 1: 86
.
463
1
1 

v
p 86
.
463


pv
Ecuación de la adiabática que pasa por 2: 72
.
927
2
2 

v
p 72
.
927


pv
0,007 0,008 0,009 0,010 0,011 0,012 0,013 0,014 0,015
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
1
P
(bar)
v (m
3
/mol)
0,007 0,008 0,009 0,010 0,011 0,012 0,013 0,014 0,015
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
1
P
(bar)
v (m
3
/mol)
86
.
463


pv
0,007 0,008 0,009 0,010 0,011 0,012 0,013 0,014 0,015
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
2
1
P
(bar)
v (m
3
/mol)
72
.
927


pv
3
4
/mol
m
014
.
0 3
4
3 
 v
v Pa
365457
3
2
2
3 
 

v
v
p
p Pa
182729
4
1
1
4 
 

v
v
p
p
K
615
3
3
3 

R
v
p
T K
308
4
4
4 

R
v
p
T
v
(m3/mol) P (Pa)
P
(bar) T (K)
1 0,008 400000 4,00 385
2 0,008 800000 8,00 770
3 0,014 365457 3,65 615
4 0,014 182729 1,83 308
UCLM

11. 11
Apartado B) Si se sabe que el coeficiente adiabático del gas es 1.4, calcule el calor y el trabajo asociado a cada etapa del ciclo y
determine su rendimiento
R
c
c V
P 

V
P
c
c


 
1



R
cV mol
J/K
875
.
20 

1
3
3
2
2
23




v
p
v
p
wadiab
1
1
1
4
4
41




v
p
v
p
wadiab
 
1
2
12 T
T
c
q V
V 
  
3
4
34 T
T
c
q V
V 

w (J/mol) q (J/mol)
12 8000
2 3209
34 -6396
41 -1604
12
41
23
q
w
w 

 201
.
0

PROBLEMA 4 (Continuación)
v
(m3/mol) P (Pa)
P
(bar) T (K)
1 0,008 400000 4,00 385
2 0,008 800000 8,00 770
3 0,014 365457 3,65 615
4 0,014 182729 1,83 308
UCLM

12. 12
UCLM
Un gas ideal a 273 K tiene una densidad de 50 moles/m3. Su coeficiente adiabático es  = 1.4. Este gas se somete a una compresión
adiabática reversible hasta que su presión se duplica y luego a una expansión isoterma reversible hasta restituir el volumen original.
a) Determine la temperatura final
b) Determine el trabajo neto de los dos procesos.
c) Calcule la variación de entropía sufrida por el gas.
Tomamos como base de cálculo 50 moles de gas, que en las condiciones iniciales ocupan V1 = 1 m3.
Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol)
RT
V
n
P 
Pa
113486
K
273
mol
K
J
314
.
8
m
mol
50 3
1 


P
La presión inicial se obtiene aplicando la
ecuación del gas ideal
Proceso adiabático: 113486
1
113486 4
.
1
1
1 



V
P 113486
2
2
1
1 
 

V
P
V
P 2
1
2
113486
113486
1
2
2 


P
P
V
m
0.6095
2
1 3
1/1.4
2 







V
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
100000
120000
140000
160000
180000
200000
220000
240000
P
(Pa)
V (m3)
1
2
3
T2 = T3 = 332.8 K
P2 = 2P1
Proceso isotermo: 3
2
2
2 K
8
.
332
314
,
8
50
6095
.
0
113486
2
T
nR
V
P
T 






T2 = T3 = 332.8 K
PROBLEMA 5
1
2
2
1
1




V
p
V
p
Wadiabático
2
3
2 ln
V
V
nRT
Wisotermo 
 
1
2
1




T
T
nR
Trabajo asociado con los procesos:
  J
62147
1
4
.
1
8
.
332
273
314
.
8
50






J
68497
6095
.
0
1
ln
8
.
332
314
.
8
50 



J
6350
68497
62147 




 isotermo
adiabático
neto W
W
W
J
6350

neto
W
Cambios de entropía.
En la etapa adiabática
reversible no hay
intercambio de calor, por
tanto la variación de
entropía es nula.
0



 isotermo
isotermo
isotermo W
Q
U
Etapa isoterma.
isotermo
isotermo W
Q 
J/K
8
.
205
8
.
332
68497
2




T
Q
S isotermo
La energía interna de un gas ideal
es sólo función de la temperatura
J/K
8
.
205

S
ADIABÁTICA
ISOTERMA
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
100000
120000
140000
160000
180000
200000
220000
240000
P
(Pa)
V (m3)

13. 13
Un gas ideal de coeficiente adiabático  sufre una transformación politrópica de índice k entre las condiciones (V1, P1) y (V2, P2).
Determine el calor cedido o ganado por el gas en dicho proceso.
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
100000
120000
140000
160000
180000
200000
220000
240000
V
P
Politrópica
1
2
I. Trabajo asociado con el proceso politrópico:


2
1
V
V
pdV
W
2
1
2
1
1
1
V
V
k
V
V
k
k
V
C
dV
V
C











2
1
1
1
V
V
k
k
k
V
pV 








1
1
2
2
1
1
1
1
2
2






k
V
p
V
p
k
V
p
V
p
1
2
2
1
1



k
V
p
V
p
W o
politrópic
II. Consideremos el proceso politrópico como parte de un ciclo:
12 Politrópica 23 Isobara 31 Isocora
3
3
2 P
P 
3
1 V
V 
C
pVk

III. Cálculo de trabajo y calor en la etapa isobara 23


3
2
V
V
pdV
W  
2
3
2 V
V
p 

Sea n el número de moles de gas y cp y cV los calores
específicos molares a presión y volumen constante.
 
2
3 T
T
nc
Q p 
  
2
2
3
3 V
p
V
p
R
cp


IV. Cálculo de calor en la etapa isocora 31 (el trabajo es nulo)
 
3
1 T
T
nc
Q V 
  
3
3
1
1 V
p
V
p
R
cV


V. La variación de energía interna W
Q
U 

 para cualquier ciclo completo ha de ser nula. 0
31
23
12 






 U
U
U
U
      0
1
3
3
1
1
2
3
2
2
2
3
3
2
2
1
1









 V
p
V
p
R
c
V
V
p
V
p
V
p
R
c
k
V
p
V
p
Q V
p
o
politrópic
31
U

23
U

12
U

     
3
3
1
1
2
3
2
2
2
3
3
2
2
1
1
1
V
p
V
p
R
c
V
V
p
V
p
V
p
R
c
k
V
p
V
p
Q V
p
o
politrópic 








nR
pV
T 
Gas ideal:
UCLM
PROBLEMA 6

14. 14
Un gas ideal de coeficiente adiabático  sufre una transformación politrópica de índice k entre las condiciones (V1, P1) y (V2, P2).
Determine el calor cedido o ganado por el gas en dicho proceso.
     
3
3
1
1
2
3
2
2
2
3
3
2
2
1
1
1
V
p
V
p
R
c
V
V
p
V
p
V
p
R
c
k
V
p
V
p
Q V
p
o
politrópic 








VI. Tengamos en cuenta las siguientes consideraciones:
3
2 P
P 
3
1 V
V 
Relación de Mayer: R
c
c V
P 

Coeficiente adiabático:
V
P
c
c


  R
cV 
1

 
1




R
cP
 
1
1



R
cV
     
3
3
1
1
2
3
2
2
2
3
3
2
2
1
1
1
1
1
1
V
p
V
p
V
V
p
V
p
V
p
k
V
p
V
p
Q o
politrópic 













     
1
2
1
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
1
1
1
1
1
V
p
V
p
V
V
p
V
p
V
p
k
V
p
V
p
Q o
politrópic 













1
1
1
1
1
1
2
1
1
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
1
1


















 V
p
V
p
V
p
V
p
V
p
V
p
k
V
p
V
p
Q o
politrópic
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
V
p
V
p
V
p
V
p
V
p
V
p
k
V
p
V
p
Q o
politrópic 


















 
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
V
p
V
p
V
p
V
p
k
V
p
V
p
Q o
politrópic 




























1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
V
p
V
p
V
p
V
p
V
p
k
V
p
V
p
Q o
politrópic 


































0
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1







V
p
V
p
k
V
p
V
p
Q o
politrópic
Caso especial: cuando el proceso es adiabático k =  y entonces 0

adiabático
Q
(Sustituyendo calores específicos en función de )
(Sustituyendo V3, P3 por V1 y P2 respectivamente)
(Reordenando términos)
(Sacando factor común)
UCLM
PROBLEMA 6 (Continuación)
 
  










1
1
1
2


k
k
T
T
nR
Q o
politrópic
Cuestión adicional: Compruebe que en función
de las temperaturas el calor absorbido o cedido
por el gas ideal en el proceso politrópico es
Esta deducción es válida para  ≠ 1 (cuando  = 1 la transformación es isoterma).

15. 15
Considere un transformación politrópica reversible de un gas ideal entre las condiciones iniciales (v1, p1) y finales (v2, p2),
donde v está dado en m3/mol y p en Pa. El gas ideal tiene un coeficiente adiabático  y el proceso politrópico un índice de
politropía k. Sabiendo que el calor intercambiado por el gas en dicho proceso está dado por
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1







v
p
v
p
k
v
p
v
p
q o
politrópic
deduzca el calor intercambiado por dicho gas cuando:
A) Sufre una transformación isobárica reversible.
B) Sufre una transformación isocórica reversible.
PROBLEMA 7
A) Transformación isobárica reversible.
Escribimos el calor intercambiado en función de la temperatura empleando la ecuación del gas ideal RT
pv 
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
2
2
2
2
1
1














RT
RT
k
RT
RT
v
p
v
p
k
v
p
v
p
q o
politrópic   











1
1
1
1
1
2

k
T
T
R    
   













1
1
1
1
1
2


k
k
T
T
R  
  










1
1
1
2


k
k
T
T
R
En una transformación isobárica k = 0, por lo tanto  
 










1
1
2


T
T
R
qisobárico
 
 
1
2
1
T
T
R 




  R
cV 
1

 
1



R
cV
Según la relación de Mayer y la definición de coeficiente adiabático como función de los calores específicos
 
1
2 T
T
c
q P
isobárico 

R
c
c V
P 

V
P
c
c


B) Transformación isocórica reversible.
 
  











 1
1
lim
1
2


k
k
T
T
R
q
k
isocórico  
  











 1
/
1
1
/
1
lim
1
2


k
k
T
T
R
k
 
1
2 T
T
c
q V
isocórico 

 
 
1
2
1
1
T
T
R 



 
1



 R
cP
En una transformación isocórica k   , por lo tanto
UCLM

16. 16
0
31
23
12 






 s
s
s
sciclo
0,014 0,016 0,018 0,020 0,022 0,024 0,026 0,028
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
0,014 0,016 0,018 0,020 0,022 0,024 0,026 0,028
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
0,014 0,016 0,018 0,020 0,022 0,024 0,026 0,028
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
Politrópica índice k
1
2
Cálculo de la variación de entropía en el proceso 12 a lo largo de una politrópica reversible
Trazamos una adiabática reversible que pase por 2.
Después trazamos una isoterma reversible que pase por 1.
3
La adiabática y la isoterma se cortan en 3. Al tratarse de un ciclo tenemos:
Adiabática
Isoterma
Proceso 23: Se trata de una adiabática reversible, por tanto qad =0 en
todos los puntos de la trayectoria y en consecuencia 0
23 
s
T
q
ds


La variación de entropía específica molar en una etapa
infinitesimal de un proceso termodinámico está dada por
Proceso 31: Es una isoterma, por lo tanto
1
T
q
ds isot


3
1
3
1
1
1
1
1
31 ln
ln
1
1
v
v
R
v
v
RT
T
q
T
T
q
s isot
isot






 

donde cada s representa le entropía específica molar (kJ/Kmol) de la etapa.
31
12 s
s 



(El calor asociado a un
proceso isotermo es igual
al trabajo del mismo)
3
1
ln
v
v
R


Variación de entropía en el proceso politrópico 12:
Por tanto, el cálculo de la variación de entropía del proceso politrópico reversible se reduce en realidad a calcular las
coordenadas del punto 3, donde se cortan la adiabática y la isoterma.
Calcule la variación de entropía de un gas ideal de índice adiabático  = 1.4 asociada a un proceso politrópico reversible de
índice k = 3 entre las condiciones iniciales v1 = 0.023 m3/mol, p1 = 1.80 bar y un volumen específico final v2 = 0.025 m3/mol.
P
v
PROBLEMA 8
UCLM
Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol)

17. 17
Datos iniciales coloreados


2
2
3
3 v
p
v
p 
1
1
3
3 v
p
v
p 
3
3
3
v
RT
p 
 
1
/
1
1
1
2
2
3












v
p
v
p
v
Calcule la variación de entropía de un gas ideal de índice adiabático  = 1.4 asociada a un proceso politrópico reversible de
índice k = 3 entre las condiciones iniciales v1 = 0.023 m3/mol, p1 = 1.80 bar y un volumen específico final v2 = 0.025 m3/mol.
PROBLEMA 8 (Continuación)
1
1
1 RT
v
p 
Punto inicial (1). Conocemos volumen específico
y presión, calculamos temperatura
Además del volumen especifico necesario, calcularemos todas las coordenadas desconocidas del ciclo de tres etapas.
Punto final (2). Ecuación politrópica
k
k
v
p
v
p 2
2
1
1 
k
v
v
p
p 








2
1
1
2
R
v
p
T 1
1
1 
v (m
3
/mol) P (bar) T (K)
1 0,0230 1,80 498,0
2 0,0250 1,40 421,5
3 0,0165 2,51 498,0
Ecuación de estado:
R
v
p
T 2
2
2 
Punto (3)
Adiabática
Isoterma 1
1
2
2
1
3
v
p
v
p
v




T3 = T1 (isoterma)
3
1
12 ln
v
v
R
s 


Entropía específica del proceso politrópico 12
0165
.
0
0230
.
0
ln
314
.
8

 mol
J/K
77
.
2 


0,014 0,016 0,018 0,020 0,022 0,024 0,026 0,028
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
0,014 0,016 0,018 0,020 0,022 0,024 0,026 0,028
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
0,014 0,016 0,018 0,020 0,022 0,024 0,026 0,028
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
Politrópica índice k
1
2
3
Adiabática
Isoterma
P
v
UCLM
Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol)

18. 18
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
P
v
1 2
3
Isoterma 300 K
PROBLEMA 9
Un gas ideal de coeficiente adiabático  =1.4 describe un ciclo termodinámico formado por las siguientes etapas reversibles:
1. Etapa isobara a 1.8 bar, desde una temperatura de 300 K hasta que su volumen específico molar es 0.08 m3/mol.
2. Expansión politrópica de índice k = 3.5, hasta que su temperatura es 300 K.
3. Compresión isotérmica hasta restablecer las condiciones iniciales.
Determine:
A) Las coordenadas p, v, T de cada punto notable del ciclo.
B) Trabajo y calor en cada etapa y rendimiento del ciclo.
C) La variación de entropía del gas en cada etapa del ciclo.
Ciclo de potencia
Isobara
Politrópica k = 3.5
A) Coordenadas P, v, T
p (Pa) v (m3
/mol) T (K)
1 180000 300
2 180000 0,040
3 300
k
k
V
p
V
p 3
3
2
2 
3
3
1
1 V
p
V
p 
 
1
/
1
1
1
2
2
3










k
k
v
p
v
p
v
k
k
k
k
v
n
p
v
n
p 3
3
2
2 
3
3
1
1 nv
p
nv
p 
1
3
1
1
1
2
1
2 


 k
k
k
k
v
n
v
p
v
n
p
1
1
1
p
RT
v 
R
v
p
T 2
2
2 
Ecuación de estado:
Cálculo del punto 3
/mol
m
014
.
0 3

K
866

Politrópica:
Isoterma:
/mol
m
061
.
0 3

3
3
3
v
RT
p  Pa
40805

p (Pa) v (m3
/mol) T (K)
1 180000 0,014 300
2 180000 0,040 866
3 40805 0,061 300
Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol)
UCLM

19. 19
q (J/mol) w (J/mol)
12 16470 4706 isobarico
23 -9882 1882 politropico
31 -3702 -3702 isoterma
B) Trabajo y calor en cada etapa y rendimiento del ciclo.
0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
P (bar)
v (m3/mol)
1 2
3
0

isobaro
q
0

isotermo
q
0

o
politropic
q
p (Pa) v (m3
/mol) T (K)
1 180000 0,014 300
2 180000 0,040 866
3 40805 0,061 300
1
1 






a
a
b
b
b
b
a
a
o
politrópic
v
p
v
p
k
v
p
v
p
q     










1
1 

k
k
T
T
R i
f
0

isobaro
w
0

o
politrópic
w
0

isotermo
w
1



k
v
p
v
p
w b
b
a
a
o
politrópic
a
b
v
v
v
v
isotermo
v
v
RT
dv
v
RT
pdv
w
b
a
b
a
ln





Etapa 12, isobárica k = 0 1
1
2
2 v
p
v
p
wisobárico 

 
 
1
2
1
T
T
R
qisobárico 




Etapa 23, politrópica k = 3.5
1
3
3
2
2



k
v
p
v
p
w o
politrópic
a inicial, b final
 
  










1
1
2
3


k
k
T
T
R
q o
politrópic
isotermo
v
v
v
v
isotermo q
v
v
RT
dv
v
RT
pdv
w 




 3
1
1
1
3
ln
1
3
1
Etapa 31, isoterma 300 K
Cálculos (calor y trabajo)
Rendimiento:
Trabajo neto
Calor aportado
isobarico
isotermo
o
politrópic
isobarico
q
w
w
w 


 175
.
0
16470
3702
1882
4706




PROBLEMA 9 (Continuación)
UCLM

20. 20
a
b
c
v
p
C) Variación de entropía del gas en cada etapa del ciclo.
 
1
/
1 











a
a
b
b
c
v
p
v
p
v
c
a
ab
v
v
R
s ln

  























 1
/
1
ln 

a
a
b
b
a
v
p
v
p
v
R
   
    






 



1
/
1
/
1
1
/
1
1
/
1
ln 




b
b
a
a
a
v
p
v
v
p
R
   



























 1
/
1
/
1
ln



b
a
b
a
v
v
p
p
R
   




























 1
/
1
/
1
/
/
ln



b
a
b
b
a
a
ab
v
v
v
RT
v
RT
R
s
     




































 1
/
1
/
1
1
/
1
ln




b
a
a
b
b
a
v
v
v
v
T
T
R
 



























b
a
b
a
v
v
T
T
R
1
/
1
ln
  



























a
b
a
b
ab
v
v
T
T
R
s
1
/
1
ln

  
dT
k
k
R
q o
politrópic 









1
1 


      






























 a
b
T
T
o
politrópic
ab
T
T
k
k
R
T
dT
k
k
R
T
q
s
b
a
ln
1
1
1
1 




   

















a
a
b
b
v
p
v
p
k
k
R ln
1
1 

   


























a
b
k
b
a
ab
v
v
v
v
k
k
R
s ln
1
1 

   

























1
ln
1
1
k
b
a
v
v
k
k
R


  
















b
a
v
v
k
R ln
1


   



























 1
/
1
/
ln



b
a
k
b
a
v
v
v
v
R
   




























 1
/
1
/
1
ln



b
a
b
a
a
b
ab
v
v
v
v
T
T
R
s
 



















a
b
a
b
ab
v
v
T
T
R
s
1
/
1
ln

Calculamos para una politrópica en función de temperaturas y volúmenes.
Punto inicial  a Punto final  b
Método 1. Usando el resultado del problema 8 (Recuerde que c es un punto que no está en la politrópica)
v
RT
p /

Ecuación de estado:
Método 2. Integrando el intercambio de energía en forma de calor en un proceso politrópico elemental.
k
b
a
a
b
v
v
p
p








 Expresamos este cociente en una forma más adecuada
k
a
a
k
b
b v
p
v
p  k
a
a
a
k
b
b
b
v
v
RT
v
v
RT

1
1 

 k
a
a
k
b
b v
T
v
T
1










k
b
a
a
b
v
v
T
T 1


















b
a
k
b
a
a
b
v
v
v
v
T
T
b
a
a
b
k
b
a
v
v
T
T
v
v









 


























 1
1
/
1
ln
b
a
a
b
v
v
T
T
R

PROBLEMA 9 (Continuación)
UCLM

21. 21
C) Variación de entropía del gas en cada etapa del ciclo (continuación).
 



















a
b
a
b
ab
v
v
T
T
R
s
1
/
1
ln

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
P (bar)
v (m3/mol)
1 2
3
Isobara
 



















1
2
1
/
1
1
2
12 ln
v
v
T
T
R
s

p (Pa) v (m3
/mol) T (K)
1 180000 0,014 300
2 180000 0,040 866
3 40805 0,061 300
R = 8,314 J/(Kmol)
 



















2
3
1
/
1
2
3
23 ln
v
v
T
T
R
s

 



















3
1
1
/
1
3
1
31 ln
v
v
T
T
R
s

 
J/K
8
.
30
014
.
0
040
.
0
300
866
ln
314
.
8
1
4
.
1
/
1

















 
J/K
5
.
18
040
.
0
061
.
0
866
300
ln
314
.
8
1
4
.
1
/
1


















 
J/K
3
.
12
061
.
0
014
.
0
300
300
ln
314
.
8
1
4
.
1
/
1


















Politrópica
Isoterma
PROBLEMA 9 (Continuación)
UCLM

22. 22
Un ciclo frigorífico reversible de Carnot se emplea para mantener a -18º C el congelador de un frigorífico instalado en un
local donde la temperatura es 20º C. Como fluido de trabajo de este ciclo termodinámico se emplean 0.2 moles de un gas ideal
de coeficiente adiabático  = 1.40. Los vólúmenes máximo y mínimo del gas durante el ciclo son 2 litros y 5 litros. Se pide:
A) Calcule la presión al comienzo e la expansión isoterma y el volumen al final de la compresión adiabática.
B) Calcule el trabajo necesario para extraer 1 kJ del foco frío.
C) Calcule el trabajo que debe aportarse por ciclo para mantener el frigorífico en funcionamiento.
D) La variación de entropía del gas en la etapa isoterma a baja temperatura.
Dato: R = 8,314 kJ/(Kkmol)
PROBLEMA 10
1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
V (litros)
P (bar)
K
293

alta
T
K
255

baja
T
1
2
3
4
Cálculo de las presiones
(conocidos los volúmenes) V
nRT
P 
Ciclo de
refrigeración
Expansión adiabática 3  4
Compresión isoterma 2  3
Expansión isoterma 4  1 El fluido de trabajo toma calor del foco frío
El fluido de trabajo cede calor al foco caliente
Compresión adiabática 1  2
3
3
3 m
10
2 


V
3
3
1 m
10
5 


V
K
255
18
273
1 


T
K
293
20
273
2 


T
K
293
20
273
3 


T
K
255
18
273
4 


T
Datos: tenemos los siguientes datos de temperatura y volumen:


b
b
a
a V
P
V
P  

b
b
b
a
a
a
V
V
nRT
V
V
nRT

1
1 

 

b
b
a
a V
T
V
T
nRT
PV 
Cálculo de los volúmenes V2 y V4:
UCLM

23. 23
1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
V (litros)
P (bar)
K
293

alta
T
K
255

baja
T
1
2
3
4
Ciclo de
refrigeración
Expansión adiabática 3  4
Compresión isoterma 2  3
Expansión isoterma 4  1 El fluido de trabajo toma calor del foco frío
El fluido de trabajo cede calor al foco caliente
Compresión adiabática 1  2
1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
V (litros)
P (bar)
ºC K V (m3
) P (Pa) P (bar)
1 -18 255 5,00E-03 1,06E+05 1,06
2 20 293 3,53E-03 1,72E+05 1,72
3 20 293 2,00E-03 3,05E+05 3,05
4 -18 255 2,83E-03 1,87E+05 1,87
La presión al comienzo de la expansión isoterma es: bar
87
.
1
4 
P
Expansión isoterma: 41
El volumen al final de la compresión adiabática es: Compresión adiabática: 12 litros
53
.
3
2 
V
Apartado A)
PROBLEMA 10 (Continuación)
A) Calcule la presión al comienzo e la expansión isoterma y el volumen al final de la compresión adiabática.
UCLM

24. 24
1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
1
2
3
4
K
293

alta
T
K
255

baja
T
Ciclo de
refrigeración
Volumen (litros)
Presión
(bar)
B) Calcule el trabajo necesario para extraer 1 kJ del foco frío.
C) Calcule el trabajo que debe aportarse por ciclo para mantener el frigorífico en funcionamiento.
D) La variación de entropía del gas en la etapa isoterma a baja temperatura.
PROBLEMA 10 (Continuación)
Balance de energía en un ciclo: 0
23
41 

 W
Q
Q
0
41 
Q
0
23 
Q
0

W
Eficiencia
41
23
41
41
Q
Q
Q
W
Q




baja
alta
baja
T
T
T



Eficiencia
reversible
7
.
6
255
293
255




kJ
15
.
0
7
.
6
/
1
/
1 


Significado:  representa la energía extraída del foco frío por cada unidad de trabajo
aportada al ciclo. Por tanto el trabajo necesario para extraer 1 kJ del foco frío es:
J
5
.
346


J
6
.
301

Trabajo en las
etapas isotermas
Trabajo neto
(en un ciclo)
 
2
3
23 /
ln V
V
nRT
W alta

 
4
1
41 /
ln V
V
nRT
W baja

J
9
.
44
41
23 


 W
W
W
Comentario: los trabajos asociados a las etapas adiabáticas
no cuentan, por ser iguales y de signos opuestos
 
2
2
1
1
12
1
1
V
P
V
P
W 



 
4
4
3
3
34
1
1
V
P
V
P
W 



baja
nRT
V
P
V
P 
 4
4
1
1
alta
nRT
V
P
V
P 
 3
3
2
2
Para calcular la variación de entropía de la etapa isoterma 41 es necesario determinar el calor intercambiado en ella.
Como en cualquier proceso a temperatura constante la variación de energía interna de un gas ideal es nula, se verifica que 0
41
41
41 


 W
Q
U
J
6
.
301
41
41 
W
Q J/K
18
.
1
K
255
J
6
.
301
41
41 



baja
T
Q
S
UCLM