LOGICA SIMBOLICA

1. CAP´ITULO 1
L´ogica
En l´ogica se analiza, entre otros muchos temas, si un razonamiento dado es correcto o no.
Si bien sus aplicaciones pr´acticas son muy diversas, mencionaremos apenas dos: en las
demostraciones (en matem´aticas), y en la elaboraci´on de programas (en computaci´on).
1.1. Proposiciones
1.1.1. Proposici´on
Definici´on 1. Una proposici´on es una oraci´on declarativa que es verdadera o falsa, pero no
ambas cosas a la vez. Notaci´on: para las proposiciones se emplean letras y, por convenio,
se empieza con p, q, r, s, ..., tambi´en usaremos P, Q, R, S , ...
1.1.2. Valor de verdad
Definici´on 2. El Valor de Verdad (VV) de una proposici´on dada, o bien es verdadero
si la misma es verdadera, o bien es falsa en caso contrario. Notaci´on: en el primer caso
simbolizaremos con T y con F en el segundo caso.
Observaci´on 1. Denotaremos “verdadero”, ya sea con T, como en estas notas, o tambi´en
con V, como en el texto de referencia o en las pr´acticas. Un motivo de la primera elecci´on
es para aminorar confusiones con el s´ımbolo ∨.
Observaci´on 2. Evitaremos simbolizar falso y verdadero con 0 y 1, respectivamente, la
cual es una notaci´on muy difundida, e.g. en t´ecnicas digitales, o en la Sec. 2.7 del texto
de referencia (2), etc.
1.1.3. Proposici´on compuesta
Definici´on 3. Una proposici´on compuesta es un proposici´on obtenida por la combinaci´on
de una o m´as proposiciones dadas mediante el uso de operadores (o conectivos) l´ogicos.
1

2. 1.1. PROPOSICIONES CAP´ITULO 1. L ´OGICA
1.1.4. Tabla de verdad
Definici´on 4. La Tabla de Verdad (TV) muestra en forma sistem´atica los valores de verdad
de una proposici´on compuesta en funci´on de los todas las combinaciones posibles de los
valores de verdad de las proposiciones que la componen.
1.1.5. Operadores o conectivos l´ogicos
Comentario 1. Consideraremos 6 operadores (o conectivos) l´ogicos:
1) Negaci´on (not)
2) Conjunci´on (and)
3) Disyunci´on (inclusiva) (or)
4) Disyunci´on exclusiva (xor)
5) Implicaci´on (material implication)
6) Doble implicaci´on o bicondicional (eqv)
en donde, en negrita, se destacan los conectivos l´ogicos de uso tan frecuente que han si-
do incorporados en pseudolenguajes, t´ecnicas digitales, y en lenguajes de programaci´on.
En el libro de texto de referencia (2) se emplean casi indistintamente las frases “opera-
dor l´ogico” y “conectivo l´ogico” excepto para la negaci´on, en donde prefiere la primera
(porque s´olo hay una proposici´on p).
Comentario 2. Ocasionalmente intercalaremos programas demos en algunos temas. Los
mismos ser´an escritos en el lenguaje Python (1) y, para su seguimiento, ser´a suficiente un
conocimiento rudimentario del mismo. Con respecto a Python:
1) Es gratis, con m´as precisi´on, posee una licencia de c´odigo abierto denominada Python
Software Foundation License, y que es compatible con la Licencia P´ublica General
de GNU a partir de la versi´on 2.1.1, e incompatible en ciertas versiones anteriores;
2) Est´a disponible para las principales plataformas (Linux, MS-Windows, Mac OS y
otras), y las nuevas versiones son lanzadas simult´aneamente;
3) Tiene diversos entornos integrados para el desarrollo, de cuales mencionamos el idle;
4) La distribuci´on oficial incluye una amplia variedad de extensiones (denominadas
m´odulos);
5) No obstante, hay bastante incompatibilidad entre las versiones 2.x y las 3.x. Todos
los demos en el curso asumen versiones de Python 3.x.
La c´atedra dispone de demos completos autocontenidos para aquellos interesados en ex-
perimentar en la computadora.
1.1.6. Negaci´on
Definici´on 5. Sea p una proposici´on. El enunciado “no se cumple p” es otra proposici´on
llamada la negaci´on de p. Notaci´on: la negaci´on de p se denota con ¬p y se lee “no p”.
La TV de la negaci´on es la dada en la Tabla 1.1.
2

3. CAP´ITULO 1. L ´OGICA 1.1. PROPOSICIONES
p ¬p
F T
T F
Tabla 1.1: Negaci´on (not).
1.1.7. Conjunci´on
Definici´on 6. Sean p y q proposiciones. La proposici´on compuesta “p y q” es la propo-
sici´on que es verdadera cuando tanto p como q son verdaderas y es falsa en los dem´as
casos. Notaci´on: la conjunci´on de p y q se denota con p ∧ q y se lee “p y q”. La TV de la
conjunci´on es la dada en la Tabla 1.2.
p q p ∧ q
F F F
F T F
T F F
T T T
Tabla 1.2: Conjunci´on (and).
1.1.8. Disyunci´on (o disyunci´on inclusiva)
Definici´on 7. Sean p y q proposiciones. La proposici´on “p ´o q” es la proposici´on que es
falsa cuando tanto p como q son falsas y es verdadera en los dem´as casos. La TV de la
disyunci´on inclusiva es la Tabla 1.3. Notaci´on: la disyunci´on de p y q se denota con p ∨ q
y se lee “p ´o q”.
Observaci´on 3. En ciencias jur´ıdicas, para evitar ambiguedades, se suele preferir decir
“p y/o q”, lo cual justifica el calificativo “disyunci´on inclusiva”, esto es, p∨q es verdadera
cuando, o bien p es verdadera y q es falsa, o bien p es falsa y q es verdadera, o bien ambas
p y q son verdaderas.
p q p ∨ q
F F F
F T T
T F T
T T T
Tabla 1.3: Disyunci´on (o disyunci´on inclusiva, or).
3

4. 1.1. PROPOSICIONES CAP´ITULO 1. L ´OGICA
1.1.9. Disyunci´on exclusiva
Definici´on 8. Sean p y q proposiciones. La proposici´on “o bien p o bien q” es aquella que
es verdadera cuando exactamente solo una de la proposiciones es verdadera, y es falsa en
los dem´as casos. Notaci´on: la disyunci´on exclusiva de p y q se denota con p⊕q y se puede
leer como “o bien p o bien q”. La TV de la disyunci´on exclusiva es la dada en la Tabla
1.4.
p q p ⊕ q
F F F
F T T
T F T
T T F
Tabla 1.4: Disyunci´on exclusiva (xor).
Observaci´on 4. Las TV de la disyunci´on exclusiva p ⊕ q y de (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q) son las
mismas, como se muestra en la Tabla 1.5.
p q p ⊕ q (p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ q)
F F F F
F T T T
T F T T
T T F F
Tabla 1.5: Las TV de la disyunci´on exclusiva p⊕q y de (p∧¬q)∨(¬p∧q) son las mismas.
Tarea 1. Mostrar que las TV de la disyunci´on exclusiva p ⊕ q y de ¬(p ∧ q) ∧ (p ∨ q) son
las mismas.
Observaci´on 5. Una implementaci´on de la disyunci´on exclusiva p ⊕ q, teniendo en cuen-
ta la Observ. 4, es la mostrada en la funci´on logical xor(p,q). Tener presente que las
l´ıneas 6-12 fueron agregadas para definir un demo autocontenido pero en los subsecuentes
ejemplos las omitiremos. Por otra parte, en Python se acostumbra a: (i) no poner un espa-
cio entre el nombre de las funciones y el par´entesis de comienzo de la lista de argumentos;
(ii) dejar una l´ınea en blanco antes de que empiece una funci´on nueva.
Observaci´on 6. L´ıneas de c´odigo auxiliares, tales como 6-12 en la siguiente funci´on,
deben omitirse en las evaluaciones.
1 # In i d l e 3 open t h i s f i l e and h i t F5 (” run module ”) .
2 def l o g i c a l x o r ( p , q ) :
3 z = ( p and not q ) or ( not p and q )
4 return z
5
6 # Test
4

5. CAP´ITULO 1. L ´OGICA 1.2. PROPOSICIONES CONDICIONALES
7 i f name == ’ m a i n ’ :
8 t e s t d a t a = [ [ False , False ] , [ False , True ] ,
9 [ True , False ] , [ True , True ] ]
10 for ( p , q ) in t e s t d a t a :
11 print ( p , q , l o g i c a l x o r ( p , q ) )
12 # end
1.1.10. Tablas de verdad con m´as de dos proposiciones
Con dos proposiciones p y q, se observa que las TV tienen 4 filas, e.g. las correspon-
dientes a los conectivos l´ogicos (excepto la negaci´on);
En general, la TV de una proposici´on obtenida por la combinaci´on de n proposicio-
nes, tendr´a 2n
filas. Este resultado se demuestra en conteo (y suele preguntarse en el
parcial 2, globalizador y finales!);
Si bien no es importante el orden dado a las filas en una TV, sin embargo, puede ser
conveniente adquirir un criterio sistem´atico, para no omitir alguna fila combinatoria
y/o no repetir alguna (un error algo frecuente en evaluaciones).
Ejemplo 1.
Si una proposici´on compuesta est´a formada por 2, 3, 4, y 5 proposiciones, entonces
hay 4, 8, 16, y 32 filas en su TV, respectivamente, lo cual no parece tan extenso de
hacer;
Pero con 200, 300, 400, y 500 proposiciones habr´an, aproximadamente, 1 × 106
,
2 × 1090
, 2 × 10120
, y 3 × 10150
filas en su TV, respectivamente, lo cual es muy caro,
a´un computacionalmente. Adelantamos que leyes de crecimiento como 2n
son muy
“malas noticias” en computaci´on.
1.2. Proposiciones condicionales
1.2.1. Implicaci´on
Definici´on 9. Sean p y q proposiciones. La implicaci´on “si p entonces q” es la proposici´on
que es falsa ´unicamente cuando p es verdadera y q es falsa, y es verdadera en los dem´as
casos. Notaci´on: la implicaci´on “si p entonces q”, se denota con p → q. Nomenclatura:
en la implicaci´on p → q, la p es el antecedente (o premisa o hip´otesis), y la q es el
consecuente (o conclusi´on o tesis). La TV de la implicaci´on es la dada en la Tabla 1.6.
Observaci´on 7.
La definici´on de la implicaci´on p → q es m´as general que en el lenguaje corriente, i.e.
a diferencia del sentido com´un, no hay una relaci´on “causa-efecto” entre la premisa p
y la conclusi´on q, lo cual es sorprendente para el ne´ofito (verlo en la Gu´ıa de Trabajos
Pr´acticos (GTP));
5

6. 1.2. PROPOSICIONES CONDICIONALES CAP´ITULO 1. L ´OGICA
p q p → q
F F T
F T T
T F F
T T T
Tabla 1.6: Implicaci´on.
Una forma ´util de entender el VV de la implicaci´on es pensarla como un contrato
legal. Tarea: leer el ejemplo alusivo en el libro de texto (2);
Observaci´on 8. Hay muchas maneras de expresar la implicaci´on p → q (todas se pre-
guntan en las evaluaciones!). Mencionamos 12:
1) Si p, entonces q.
2) Si p, q.
3) p es suficiente para q.
4) q si p.
5) q cuando p.
6) Una condici´on necesaria para p es q.
7) p implica q.
8) p s´olo si q.
9) Una condici´on suficiente para q es p.
10) q siempre que p.
11) q es necesaria para p.
12) q se deduce de p.
Observaci´on 9. En los cursos de l´ogica se analiza con m´as cuidado el siguiente detalle
en el fraseo de la implicaci´on “si p entonces q”:
Normalmente la palabra si introduce al antecedente. O sea, lo que viene a continua-
ci´on de la palabra si es la premisa p;
La excepci´on es cuando aparece la frase s´olo si, en donde se invierten los terminos.
O sea, lo que sigue despu´es del solo si es la conclusi´on q.
Ejemplo 2. [por Eli Haye]. Sea p: ser santafesino, y q: ser argentino. Se tiene:
1) Si (es santafesino), entonces (es argentino).
2) Si (es santafesino), (es argentino).
3) (Ser santafesino) es suficiente para (ser argentino).
4) (Es argentino) si (es santafesino).
5) (Es argentino) cuando (es santafesino).
6) Una condici´on necesaria para (ser santafesino) es (ser argentino).
7) (Ser santafesino) implica (ser argentino).
8) (Es santafesino) s´olo si (es argentino).
9) Una condici´on suficiente para (ser argentino) es (ser santafesino).
6

7. CAP´ITULO 1. L ´OGICA 1.2. PROPOSICIONES CONDICIONALES
10) (Es argentino) siempre que (sea santafesino).
11) (Ser argentino) es necesario para (ser santafesino).
12) (Ser argentino) se deduce de (ser santafesino).
Observaci´on 10. Una implementaci´on de la implicaci´on p → q es la mostrada en la
funci´on implicacion(p,q).
1 def i m p l i c a c i o n ( p , q ) : # donde ”p” y ”q” son v a l o r e s booleanos
2 i f ( p == False ) :
3 z = True
4 e l s e :
5 z = q
6 return z
1.2.2. Rec´ıproca, contrapositiva (o contra-rec´ıproca) e inversa
Definici´on 10. A partir de la implicaci´on p → q se definen:
La proposici´on q → p es la rec´ıproca de p → q;
La proposici´on ¬q → ¬p es la contrapositiva (o contra-rec´ıproca) de p → q;
La proposici´on ¬p → ¬q es la inversa de p → q.
Observaci´on 11. Las TV de la implicaci´on p → q y de su contrapositiva ¬q → ¬p son
las mismas, ver la Tabla 1.7.
Tarea 2. Mostrar que las TV de la rec´ıproca y de la inversa son las mismas.
p q p → q ¬q → ¬p
F F T T
F T T T
T F F F
T T T T
Tabla 1.7: Las TV de la implicaci´on p → q y de su contrapositiva ¬q → ¬p son las
mismas.
1.2.3. Doble implicaci´on (o bicondicional)
Definici´on 11. Sean p y q proposiciones. La doble implicaci´on (o bicondicional) de p y q
es la proposici´on compuesta que es verdadera cuando p y q tienen los mismos valores de
verdad y es falsa en los dem´as casos. Notaci´on: la doble implicaci´on de p y q se denota
con p ↔ q. La TV de la doble implicaci´on es la dada en la Tabla 1.8.
Observaci´on 12. Hay varias maneras de expresar la doble implicaci´on p ↔ q (y se
preguntan en las evaluaciones!). Mencionamos 4:
7

8. 1.2. PROPOSICIONES CONDICIONALES CAP´ITULO 1. L ´OGICA
p q p ↔ q
F F T
F T F
T F F
T T T
Tabla 1.8: Doble implicaci´on (o bicondicional, eqv).
1) p si y s´olo si q.
2) p es necesario y suficiente para q.
3) Si p entonces q y rec´ıprocamente.
4) p ssi p.
Observaci´on 13. La TV de la doble implicaci´on (o bicondicional) p ↔ q y de (p →
q) ∧ (q → p) son las mismas, ver la Tabla 1.9. Esto es ´util en las demostraciones.
p q p ↔ q (p → q) ∧ (q → p)
F F T T
F T F F
T F F F
T T T T
Tabla 1.9: Las TV de la doble implicaci´on p ↔ q y de (p → q) ∧ (q → p) son las mismas.
Observaci´on 14. , Las TV de la doble implicaci´on (o bicondicional) p ↔ q y de (p∧q)∨
(¬p ∧ ¬q) son las mismas, como se muestra en la Tabla 1.10.
p q p ↔ q (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q)
F F T T
F T F F
T F F F
T T T T
Tabla 1.10: Las TV de la disyunci´on exclusiva p⊕q y de (p∧q)∨(¬p∧¬q) son las mismas.
Observaci´on 15. La Observ. 14 es ´util en programaci´on, pues una implementaci´on de la
doble implicaci´on p ↔ q es la mostrada en la funci´on logical eqv v1(p,q).
1 def l o g i c a l e q v v 1 ( p , q ) : # donde ”p” y ”q” son v a l o r e s booleanos
2 z = ( p and q ) or ( not p and not q )
3 return z
Observaci´on 16. Tambi´en se puede programar la doble implicaci´on p ↔ q como se
muestra en la funci´on logical eq v2(p,q), con menos operaciones booleanas “a la
vista”, una binaria y una unaria.
8

9. CAP´ITULO 1. L ´OGICA 1.2. PROPOSICIONES CONDICIONALES
prioridad de operador nombre
precedencia l´ogico
1 ¬ negaci´on
2 ∧ conjunci´on (and)
3 ∨ disyunci´on (or)
4 → implicaci´on
5 ↔ doble implicaci´on
Tabla 1.11: Reglas de precedencia de los operadores l´ogicos.
1 def l o g i c a l x o r ( p , q ) : # donde ”p” y ”b” son v a l o r e s booleanos
2 z = ( p and not q ) or ( not p and q )
3 return z
4
5 def l o g i c a l e q v v 2 ( p , q ) :
6 z = not l o g i c a l x o r ( p , q )
7 return z
1.2.4. Reglas de precedencia de los operadores l´ogicos
La proposici´on compuesta (p ∨ q) ∧ (¬r) es la conjunci´on de p ∨ q y de ¬r;
Para reducir el n´umero de par´entesis se conviene que la negaci´on se aplica antes que
los dem´as operadores, e.g. la proposici´on (¬p) ∧ q, se reduce a ¬p ∧ q, pero (¬p) ∧ q
no es lo mismo que ¬(p ∧ q);
En general se acostumbra, si no hay ambiguedades, utilizar las reglas de precedencia
(RP) dadas en la Tabla 1.11. Empero, si hay dudas, entonces emplear los par´entesis;
Ejemplo: la notaci´on p ∨ q → r quiere significar (p ∨ q) → r. De ning´un modo
equivale, por ejemplo, a p ∨ (q → r), una (fatal) errata vista en examen;
Las RP se usan libremente tanto en los libros como en la GTP y en las evaluaciones.
1.2.5. Tautolog´ıa, contradicci´on y contingencia
Definici´on 12. Una proposici´on compuesta que siempre es verdadera, no importando los
VV de sus proposiciones componentes, se denomina tautolog´ıa.
Definici´on 13. Una proposici´on compuesta que siempre es falsa, no importando los VV
de sus proposiciones componenentes, se denomina contradicci´on.
Definici´on 14. Una proposici´on compuesta que no es una tautolog´ıa ni una contradicci´on
se denomina contingencia.
Ejemplo 3. En la Tabla 1.12 se muestra un ejemplo de una tautolog´ıa y de una contradic-
ci´on.
9

10. 1.2. PROPOSICIONES CONDICIONALES CAP´ITULO 1. L ´OGICA
p ¬p p ∨ ¬p p ∧ ¬p
F T T F
T F T F
Tabla 1.12: Un ejemplo de una tautolog´ıa (la columna p ∨ ¬p siempre es T), y de una
contradicci´on (la columna p ∧ ¬p siempre es F).
Equivalencia L´ogica (EL ) Ley
p ∨ F ≡ p 1
p ∧ T ≡ p identidad
p ∨ T ≡ T dominaci´on 2
p ∧ F ≡ F
p ∨ p ≡ p idempotencia 3
p ∧ p ≡ p
¬(¬p) ≡ p doble negaci´on 4
p ∨ q ≡ q ∨ p conmutativas 5
p ∧ p ≡ q ∧ p
Tabla 1.13: Tabla de EL de uso muy frecuente (contin´ua en la Tabla 1.14).
1.2.6. Equivalencia l´ogica
Definici´on 15. Se dice que las proposiciones p y q son l´ogicamente equivalentes (LE
), o que p y q definen una equivalencia l´ogica, siempre que p ↔ q es una tautolog´ıa.
Notaci´on: cuando p y q son LE se denota con p ≡ q.
Observaci´on 17. El s´ımbolo ≡ no es un operador (o conectivo) l´ogico, puesto que p ≡ q
no es una proposici´on compuesta, sino que quiere indicar que p ↔ q es una tautolog´ıa.
Ejemplo 4. En las Tablas 1.13-1.14 se listan las equivalencias l´ogicas de uso muy fre-
cuente en las evaluaciones.
Ejemplo 5. En las Tablas 1.15-1.16 se incluye listados de EL relacionadas con condicio-
nales y bicondicionales, respectivamente.
Tarea 3. Verificar cada una de las leyes listadas en las Tablas 1.13-1.16, e.g. como se
hace en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 6. Leyes de De Morgan para dos proposiciones. En las Tablas 1.17-1.18 se
demuestra, por medio de una TV que:
¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q, que puede enunciarse como: “no (p o q)
es equivalente a (no p) y (no q)”;
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, que puede enunciarse como: “no (p y q)
es equivalente a (no p) o (no q)”.
10

11. CAP´ITULO 1. L ´OGICA 1.2. PROPOSICIONES CONDICIONALES
EL Ley
(p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) asociativas 6
(p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) distributivas 7
p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q De Morgan 8
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q
p ∨ (p ∧ q) ≡ p absorci´on 9
p ∧ (p ∨ q) ≡ p
p ∨ ¬p ≡ T negaci´on 10
p ∧ ¬p ≡ F
Tabla 1.14: Tabla de EL de uso muy frecuente (continuaci´on de la Tabla 1.13).
p → q ≡ ¬q → ¬p (c1)
p → q ≡ ¬p ∨ q (c2)
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q (c3)
p ∨ q ≡ ¬p → q (c4)
p ∧ q ≡ ¬(p → ¬q) (c5)
(p → q) ∧ (p → r) ≡ p → (q ∧ r) (c6)
(p → r) ∧ (q → r) ≡ (p ∨ q) → r) (c7)
(p → q) ∨ (p → r) ≡ p → (q ∨ r) (c8)
(p → r) ∨ (q → r) ≡ (p ∧ q) → r) (c9)
Tabla 1.15: Algunas EL relacionadas con condicionales.
Ejemplo 7. Consigna: justificar, con y sin el uso de TV, si ((p → q)∧(q∧r)) → (p → r),
es una tautolog´ıa, contradicci´on o contingencia. Soluci´on:
Con TV: para el hogar!
Sin TV: considerar los pasos detallados en la Ec (1.1);
Comentario: la t´ecnica es eliminar las implicaciones, luego las negaciones, luego
asociar o distribuir para obtener alguna ley conocida (e.g. identidad, dominaci´on,
absorci´on, negaci´on, etc. Hay muchos caminos... el mejor es el de intentar, e intentar,
e intentar, ...
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p) (b1)
p ↔ q ≡ ¬p ↔ ¬q (b2)
p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) (b3)
¬(p ↔ q) ≡ p ↔ ¬q (b4)
Tabla 1.16: Otras EL relacionadas con bicondicionales.
11

12. 1.3. CUANTIFICADORES CAP´ITULO 1. L ´OGICA
p q
P
¬(p ∨ q)
Q
¬p ∧ ¬q P ↔ Q
F F T T T
F T F F T
T F F F T
T T F F T
Tabla 1.17: Demostraci´on mediante TV de las leyes de De Morgan para proposiciones en
el caso ¬(p ∨ q).
p q
P
¬(p ∧ q)
Q
¬p ∨ ¬q P ↔ Q
F F T T T
F T T T T
T F T T T
T T F F T
Tabla 1.18: Demostraci´on mediante TV de las leyes de De Morgan para proposiciones en
el caso ¬(p ∧ q).
[(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) uso Tabla 1.15-c1
≡ ¬[(p → q) ∧ (q → r)] ∨ (p → r) uso ley de De Morgan
≡ [¬(p → q) ∨ ¬(q → r)] ∨ (p → r) elimino corchetes
≡ ¬(p → q) ∨ ¬(q → r) ∨ (p → r) uso Tabla 1.15-c1
≡ ¬(¬p ∨ q) ∨ ¬(¬q ∨ r) ∨ (¬p ∨ r) De Morgan y saco ´ultimo ()
≡ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬r) ∨ (¬p) ∨ r asocio convenientemente
≡ [(p ∧ ¬q) ∨ ¬p] ∨ [(q ∧ ¬r) ∨ r] uso ley distributiva
≡ [(p ∨ ¬p) ∧ (¬q ∨ ¬p)] ∨ [(q ∨ r) ∧ (¬r ∨ r)] uso ley de la negaci´on
≡ [T ∧ (¬q ∨ ¬p)] ∨ [(q ∨ r) ∧ T] uso ley de identidad
≡ (¬q ∨ ¬p) ∨ (q ∨ r) puedo quitar par´entesis
≡ ¬q ∨ ¬p ∨ q ∨ r asocio convenientemente
≡ (¬q ∨ q) ∨ (¬q ∨ r) uso ley de la negaci´on
≡ T ∨ (¬q ∨ r) uso ley de la dominaci´on
≡ T es una tautolog´ıa.
(1.1)
1.3. Cuantificadores
1.3.1. Funci´on proposicional
Definici´on 16.
12

13. CAP´ITULO 1. L ´OGICA 1.3. CUANTIFICADORES
Sea P(x) un enunciado que incluye a la variable x ∈ D. Se denomina Funci´on
Proposicional (FP ), o predicado, al enunciado P si, para cada valor x ∈ D, se tie-
ne que P(x) es una proposici´on;
Se denomina Dominio de Discurso (DD ) al conjunto D del enunciado P.
Caso con m´as de una variable: un enunciado de la forma P(x1, x2, ..., xn) es el VV de
la FP P en la n-tupla (x1, x2, ..., xn);
Observaci´on 18. Algunos conjuntos de uso frecuente:
Enteros: Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} (notar que el 0 no-tiene signo);
Enteros positivos: Z+
= {1, 2, 3, ...};
Enteros negativos: Z−
= {..., −3, −2, −1};
Enteros no-negativos: Z+
0 = {0, 1, 2, 3, ...};
N´umeros reales R.
Observaci´on 19. En general, el VV de una FP puede ser, o bien T, o bien F, seg´un
sea el valor de x, como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 8.
Sea el enunciado “P (x): x es mayor a 4”, con x ∈ R. Entonces, P(7) es T, y P(2) es
F.
Sea el enunciado “Q (x,y): x = y + 3”, con x ∈ R. Entonces, Q(1, 2) es F, y Q(3, 0)
es T.
1.3.2. Cuantificador existencial
Definici´on 17. La cuantificaci´on existencial de la funci´on proposicional P con DD D,
es la proposici´on: P(x) es verdadera para al menos un valor x en el DD . Notaci´on. Se
denota con ∃x, P(x), donde ∃ es el cuantificador existencial. Nomenclatura. La notaci´on
∃x, P(x) se puede leer indistintamente como sigue:
Hay UN x tal que P(x);
Hay AL MENOS UN x tal que P(x);
Para ALGUN x, P(x);
EXISTE x tal que P(x).
Observaci´on 20. Cuando todos los elementos del DD se pueden enumerar, o sea x1, x2,
... xn (tal como en un demo de alg´un lenguaje de programaci´on), se tiene que
∃x, P(x) ≡ P(x1) ∨ P(x2) ∨ ... ∨ P(xn) (1.2)
puesto que la disyunci´on es verdadera ssi al menos uno de P(x1), P(x2), ..., P(xn) es
verdadero. Esta alternativa la usaremos en un programa demo en la Sec. 1.3.5.
13

14. 1.3. CUANTIFICADORES CAP´ITULO 1. L ´OGICA
1.3.3. Cuantificador universal
Definici´on 18. La cuantificaci´on universal de la funci´on proposicional P con DD D, es
la proposici´on: P(x) es verdadera para todos los valores x en el DD . Notaci´on. Se denota
con ∀x, P(x), donde ∀ es el cuantificador universal. Nomenclatura. La notaci´on ∀x, P(x)
se puede leer indistintamente como sigue:
Para TODO x se cumple P(x);
Para CUALQUIER x se cumple P(x);
Para CADA x se cumple P(x).
Observaci´on 21. Cuando todos los elementos del DD se pueden enumerar, o sea x1,
x2, ... xn se tiene que
∀x, P(x) ≡ P(x1) ∧ P(x2) ∧ ... ∧ P(xn) (1.3)
puesto que la conjunci´on es verdadera ssi P(x1), P(x2), ..., P(xn) son todas verdaderas.
Esta alternativa la usaremos en un programa demo en la Sec. 1.3.5.
Observaci´on 22. En la Tabla 1.19 se resume cu´ando una sentencia cuantificada es T o F.
Observaci´on 23. Enfatizamos la importancia que tiene el DD en los ejercicios: para una
misma sentencia cuantificada, el resultado puede ser verdadero o falso dependiendo de
c´omo se haya definido el DD , como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 9. Evaluar el VV de ∀x (x2
≥ x) cuando: (i) x ∈ R (tema 1); y (ii) x ∈ Z (tema
2). Soluci´on: sea x2
≥ x. Restando x miembro a miembro, se tiene que x2
− x ≥ x − x, y
sacando factor com´un x en el lazo izquierdo de esta ´ultima desigualdad queda x(x−1) ≥ 0,
cuyas soluciones son x ≤ 0 o x ≥ 1. En cuanto al intervalo 0 < x < 1 se puede observar:
i) Cuando la variable x puede tomar valores reales, habr´an (infinitos) valores de x en
dicho intervalo pero, en ese caso, la ´ultima desigualdad es inv´alida (verificarlo!). Por
eso, se concluye que ∀x (x2
≥ x) es F cuando x ∈ R;
ii) Cuando la variable x s´olo puede tomar valores enteros, no existen valores de x en
dicho intervalo tales que hagan F la ´ultima desigualdad. Por tanto, en este caso se
concluye que ∀x (x2
≥ x) es T cuando x ∈ Z.
1.3.4. Negaci´on de proposiciones cuantificadas o leyes de De Morgan generaliza-
das para la l´ogica
Teorema 1. Sea P una FP en un DD D dado. Entonces
¬(∃x, P(x)) ≡ ∀x¬P(x)
¬(∀x, P(x)) ≡ ∃x¬P(x)
(1.4)
Demostraci´on de la primera parte (la segunda queda como tarea para el hogar):
Suponga que ¬(∃x, P(x)) es T. Eso significa que ∃x, P(x) es F. Por la definici´on del
cuantificador existencial, la proposici´on ∃x, P(x) es F cuando P(x) es F para todo
x ∈ D. Pero si P(x) es F para todo x ∈ D, eso significa que ¬P(x) es T para todo
14

15. CAP´ITULO 1. L ´OGICA 1.3. CUANTIFICADORES
sentencia cu´ando es T cu´ando es F
cuantificada
∃x, P(x) P(x) es T para AL MENOS UN x P(x) es F para TODO x
∀x, P(x) P(x) es T para TODO x Al menos un x tal que P(x) es F
Tabla 1.19: Casos cuando una sentencia cuantificada es T o F.
x ∈ D. Por la definici´on del cuantificador universal, cuando ¬P(x) es T para todo x ∈
D, la proposici´on ∀x, ¬P(x) es T. Entonces, cuando ¬(∃x, P(x)) es T, la proposici´on
∀x, ¬P(x) tambi´en es T;
Suponga que ¬(∃x, P(x)) es F. Eso significa que ∃x, P(x) es T. Por la definici´on del
cuantificador existencial, la proposici´on ∃x, P(x) es T cuando P(x) es T para alg´un
x ∈ D. Pero si P(x) es T para alg´un x ∈ D, eso significa que ¬P(x) es F para
todo x ∈ D. Por la definici´on del cuantificador universal, cuando ¬P(x) es F para
todo x ∈ D, la proposici´on ∀x, ¬P(x) es F. Entonces, cuando ¬(∃x, P(x)) es F, la
proposici´on ∀x, ¬P(x) tambi´en es F.
1.3.5. Algoritmos para cuantificadores
Ejemplo 10. Algunos lenguajes de programaci´on preven instrucciones para los cuantifi-
cadores ∃x y ∀x en el caso en que todos los elementos del DD se pueden enumerar (o sea
x1, x2, ... xn). Uno de tales lenguajes es el Python (1).
Consigna: dados una funci´on proposicional P y un dominio de discurso X, escriba fun-
ciones en lenguaje Python que simulen el comportamiento de los cuantificadores existen-
ciales y universales.
Soluci´on: se pueden pensar implementaciones b´asicas, intermedias (para entusiastas), y
m´as avanzadas (para entusiastas), como se hacen a continuaci´on, en donde las instruccio-
nes any y all son nativas de este lenguaje.
1 # C u a n t i f i c a d o r e s e x i s t e n c i a l e s y u n i v e r s a l e s .
2 # Caso A: implementaciones b a s i c a s .
3 def ExisteX (P ,X) :
4 for x in X:
5 i f P ( x ) :
6 return True
7 return False
8
9 def ParaTodoX (P ,X) :
10 for x in X:
11 i f not P ( x ) :
12 return False
13 return True
14
15 # Caso B: implementaciones i n t e r m e d i a s ( para e n t u s i a s t a s ) .
16 def ExisteX (P ,X) :
17 i f any ( P ( x ) for x in X) :
18 return True
19 return False
15

16. 1.3. CUANTIFICADORES CAP´ITULO 1. L ´OGICA
20 def ParaTodoX (P ,X) :
21 i f a l l ( P ( x ) for x in X) :
22 return True
23 return False
24
25 # Caso C: implementaciones avanzadas ( para e n t u s i a s t a s ) .
26 def ExisteX (P ,X) :
27 return any ( P ( x ) for x in X)
28 def ParaTodoX (P , X) :
29 return a l l ( P ( x ) for x in X)
1.3.6. Cuantificadores doblemente anidados
Los veremos a trav´es de un ejemplo y los ejercicios en la GTP.
Ejemplo 11.
Exprese en palabras y determine el VV de las siguientes proposiciones cuantificadas, en
donde x, y ∈ R:
Sea ∃x∃y (x+y = 17). En palabras: para alg´un x, existe un y tal que x+y = 17. Valor
de Verdad: en este caso es posible hallar, al menos, un par x, y tal que x + y = 17
(e.g. sea el par x = 7 e y = 10). Como ambos cuantificadores son existenciales, un
ejemplo es suficiente para concluir que el VV de esta proposici´on es T;
Sea ∀x∃y (x + y = 17). En palabras: para todo x, existe un y tal que x + y = 17. Valor
de Verdad: en este caso tambi´en es posible hallar, para cada x, un y tal que satisfaga
la propiedad, y que est´a dado por y = 17 − x. Esto es, cada x tiene asegurado un y
(´unico en cada caso) y, por eso, el VV de esta proposici´on es T;
Sea ∃x∀y (x + y = 17). En palabras: para alg´un x, y para todo y, debe ser x + y = 17.
Valor de Verdad: deber´ıa existir un x tan particular que sum´andole cualquier y diera
siempre 17. Pero eso no es posible, por lo que el VV de esta proposici´on es F;
Sea ∀x∀y (x + y = 17). En palabras: para todo x, y para todo y, debe ser x + y = 17.
Valor de Verdad: para cualquier x deber´ıa ser posible sumarle cualquier y y siempre
dar 17. Otra vez, eso no es posible, por lo que el VV de esta proposici´on es F.
Observaci´on 24.
En general
∃x∃y P(x, y) ≡ ∃y∃x P(x, y) conmutan
∀x∀y P(x, y) ≡ ∀y∀x P(x, y) conmutan
∀x∃y P(x, y) ∃y∀x P(x, y) no conmutan
(1.5)
1.3.7. Negaci´on de proposiciones con cuantificadores doblemente anidados
Para negar proposiciones con cuantificadores doblemente anidados, se emplea sucesiva-
mente las reglas de negaci´on para proposiciones con ´unico cuantificador.
16

17. CAP´ITULO 1. L ´OGICA 1.3. CUANTIFICADORES
Ejemplo 12. Negar la proposici´on ∃x∀y (x + y = 17), donde x, y ∈ R. Soluci´on:
¬(∃x∀y (x + y = 17))
≡ ∀x ¬(∀y (x + y = 17))
≡ ∀x ∃y ¬(x + y = 17)
≡ ∀x ∃y (x + y 17)
(1.6)
Observaci´on 25. Cuando todos los elementos del DD se pueden enumerar, o sea x1,
x2, ... xn, puede ser ´util pensar a los cuantificadores anidados como recorridos anidados.
Por ejemplo, para determinar si ∀x∀y P(x, y) es T o F, recorremos todos los valores x
e y de la siguiente manera. Para cada x revisamos con un recorrido anidado todos los
valores de y. Si encontramos que P(x, y) es T en todos los casos, la conclusi´on inevitable
es que ∀x∀y P(x, y) es T. Si por el contrario, cuando encontramos el primer par de valores
x e y tal que P(x, y) es F, podr´ıan haber m´as de un par, es suficiente para concluir que
∀x∀y P(x, y) es F.
1.3.8. Algoritmos para cuantificadores doblemente anidados
Como en el caso de cuantificadores simples, se pueden hacer implementaciones b´asicas:
1 # C u a n t i f i c a d o r e s doblemente anidados .
2 # Caso A: implementaciones b a s i c a s .
3 def ParaTodoX ParaTodoY (P ,X,Y) :
4 for x in X:
5 for y in Y:
6 i f not P ( x , y ) :
7 return False
8 return True
9
10 def ParaTodoX ExisteY (P ,X,Y) :
11 for x in X:
12 e x i s t e y = False
13 for y in Y:
14 i f P ( x , y ) :
15 e x i s t e y = True
16 break
17 i f not e x i s t e y :
18 return False
19 return True
20
21 def ExisteX ParaTodoY (P ,X,Y) :
22 for x in X:
23 paratodo y = True
24 for y in Y:
25 i f not P ( x , y ) :
26 paratodo y = False
27 break
28 i f paratodo y :
29 return True
30 return False
31
32 def ExisteX ExisteY (P ,X,Y) :
33 for x in X:
34 for y in Y:
17

18. 1.3. CUANTIFICADORES CAP´ITULO 1. L ´OGICA
35 i f P ( x , y ) :
36 return True
37 return False
o bien, intermedias
1 # C u a n t i f i c a d o r e s doblemente anidados .
2 # Caso B: implementaciones i n t e r m e d i a s ( para e n t u s i a s t a s ) .
3 def ParaTodoX ParaTodoY (P ,X,Y) :
4 for x in X:
5 i f not a l l ( P ( x , y ) for y in Y) :
6 return False
7 return True
8
9 def ParaTodoX ExisteY (P ,X,Y) :
10 for x in X:
11 i f not any ( P ( x , y ) for y in Y) :
12 return False
13 return True
14
15 def ExisteX ParaTodoY (P ,X,Y) :
16 for y in Y:
17 i f any ( P ( x , y ) for x in X) :
18 return True
19 return False
20
21 def ExisteX ExisteY (P ,X,Y) :
22 for x in X:
23 i f any ( P ( x , y ) for y in Y) :
24 return True
25 return False
y m´as avanzadas
1 # C u a n t i f i c a d o r e s doblemente anidados .
2 # Caso C: implementaciones avanzadas ( para e n t u s i a s t a s ) .
3 def ParaTodoX ParaTodoY (P ,X,Y) :
4 return a l l ( P ( x , y ) for x in X for y in Y)
5
6 def ParaTodoX ExisteY (P ,X,Y) :
7 for x in X:
8 i f not any ( P ( x , y ) for y in Y) :
9 return False
10 return True
11
12 def ExisteX ParaTodoY (P ,X,Y) :
13 for x in X:
14 i f a l l ( P ( x , y ) for y in Y) :
15 return True
16 return False
17
18 def ExisteX ExisteY (P ,X,Y) :
19 return any ( P ( x , y ) for x in X for y in Y)
De nuevo, las instrucciones any y all son nativas de este lenguaje.
18

19. AP ´ENDICE A
Acr´onimos y abreviaturas empleadas
A.1. Lista de acr´onimos
DD Dominio de Discurso
EL Equivalencia L´ogica
F Falso (por False
FP Funci´on Proposicional
GTP Gu´ıa de Trabajos Pr´acticos
LE l´ogicamente equivalentes
RP reglas de precedencia
T verdadero (por True)
TV Tabla de Verdad
VV Valor de Verdad
V Verdadero
A.2. Lista de abreviaturas
i.e. es decir, o esto es, del lat´ın id est
e.g. por ejemplo, del lat´ın exempli gratia
19

20. A.2. LISTA DE ABREVIATURAS AP ´ENDICE A. ACR ´ONIMOS Y ABREVIATURAS EMPLEADAS
20

21. Bibliograf´ıa
[1] P. http://www.python.org/, 2013.
[2] R, K. H. Matem´atica Discreta y sus Aplicaciones, 5 ed. ISBN 9788448140731.
Mc Graw Hill, Colombia, 2004.
21

22. BIBLIOGRAF´IA BIBLIOGRAF´IA
22

23. Nomenclatura
∃x, P(x) Cuantificador existencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
∀x, P(x) Cuantificador universal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
¬p Negaci´on de p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
p ↔ q Doble implicaci´on (o bicondicional) de p y q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
p ⊕ q Disyunci´on exclusiva de p y q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
p → q Implicaci´on de p y q. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5
p ∨ q Disyunci´on de p y q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
p ∧ q Conjunci´on de p y q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
23

24. Indice alfab´etico
algoritmos para cuantificadores doblemente
anidados, 17
algoritmos para cuantificadores existencial
y universal, 15
bicondicional, 7
condici´on necesaria y condici´on suficiente,
6
conjunci´on, 3
contingencia, 9
contra-rec´ıproca, 7
contradicci´on, 9
cuantificador existencial, 13
cuantificador universal, 14
cuantificadores doblemente anidados, 16
disyunci´on exclusiva, 4
disyunci´on inclusiva, 3
doble implicaci´on, 7
dominio de discurso, 13
equivalencia l´ogica, 10
equivalencias l´ogicas con bicondicionales,
10
equivalencias l´ogicas con condicionales, 10
fraseos de la doble implicaci´on, 7
fraseos de una implicaci´on, 6
funci´on proposicional, 13
implicaci´on, 5
leyes de De Morgan generalizadas para la
l´ogica, 14
leyes de De Morgan para dos proposiciones,
10
negaci´on, 2
negaci´on de proposiciones con cuantifica-
dores doblemente anidados, 16
negaci´on de proposiciones cuantificadas, 14
operadores y conectivos l´ogicos, 2
premisa y conclusi´on, 6
proposici´on, 1
proposici´on compuesta, 1
rec´ıproca, contrapositiva (o contra-rec´ıpro-
ca) e inversa, 7
reglas de precedencia, 9
tabla de equivalencias l´ogicas, 10
tabla de verdad, 2
tabla de verdad con m´as de dos proposicio-
nes, 5
tautolog´ıa, 9
valor de verdad, 1
24