1. UNIVERSIDAD ANDRES BELLO
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
TUTORIA DE LOGICA Y CONJUNTOS
“Matem´atica s´olo se aprende practicando”
Ricardo M. Monge Rogel
Algebra (FMM009) - Semestre 1 de 2010
CONCEPCION-CHILE
3. ´INDICE GENERAL 3
2.9. Partici´on de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.10. Cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.10.1. Propiedades de la cardinalidad . . . . . . . . . . . . . . 27
2.11. Conjuntos num´ericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.11.1. Conjunto de los n´umeros naturales IN. . . . . . . . . . 28
2.11.2. Conjunto de los n´umeros enteros ZZ. . . . . . . . . . . 28
2.11.3. Conjunto de los n´uneros racionales Q . . . . . . . . . . 28
2.11.4. Conjunto de los n´umeros irracionales Q∗
. . . . . . . . 29
2.12. Problemas de teor´ıa de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4. Cap´ıtulo 1
L´ogica proposicional
1.1. Proposiciones l´ogicas
Los valores de verdad VERDADERO (V) y FALSO (F) son los conceptos
primitivos de la l´ogica.
Una proposici´on es una sentencia (expresi´on) sujeta a un valor de verdad.
Usualmente se denotan por letras min´usculas p, q, r, s, etc.
Ejemplo 1.1 Son proposiciones:
p: “ Las sillas est´an en el techo”.
q: “ La luna gira alrededor de la tierra”
r: “ El planeta Marte es cuadrado”
Observaci´on 1.1 Como puede observar, las proposiciones pueden ser ver-
daderas (V) o falsas (F), no aceptan ambig¨uedades.
Ejemplo 1.2 No son proposiciones:
“ La calculadora ”.
“ x + y = 2 ”
“ ¿ Qu´e d´ıa es hoy? ”
1
5. 1.2 Conectivos l´ogicos y sus tablas de verdad 2
1.2. Conectivos l´ogicos y sus tablas de verdad
Un conectivo l´ogico es una operaci´on que nos permite obtener nuevas pro-
posiciones a partir de otras dadas.
1.2.1. Conectivos l´ogicos b´asicos
Los conectivos b´asicos son:
Negaci´on (∼) (“no”)
Conjunci´on (∧) (“y”)
Disyunci´on (∨) (“o”)
Condicional (→) (“Si . . . , entonces”)
Bicondicional (↔) (“Si y s´olo si”)
1.2.2. Tipos de proposiciones
Las proposiciones se clasifican en simples y compuestas, vale decir, las
que no incluyen conectivos l´ogicos, y las que s´ı los incluyen.
Ejemplo 1.3 Las proposiciones del Ejemplo 1.1, son ejemplos de proposi-
ciones simples. Ejemplos de proposiciones compuestas son:
p: “ Michelle Bachelet es chilena y presidente ”
q: “ La luna es un sat´elite natural o el sol es una estrella”
r: “ No es verdad que 2+2=4”
Valores posibles de dos proposiciones dadas
p q
V V
V F
F V
F F
En general, los valores posibles para n proposiciones dadas son 2n
.
6. 1.2 Conectivos l´ogicos y sus tablas de verdad 3
Ejemplo 1.4 Para 3 proposiciones dadas, los valores posibles son 23
= 8, a
saber:
p q r
V V V
V F V
F V V
F F V
V V F
V F F
F V F
F F F
1.2.3. Tablas de verdad para los conectivos b´asicos
Negaci´on (∼)
Dada una proposici´on p, se llama negaci´on de p, y se escribe ∼p, a la pro-
posici´on “no p”. Esto significa que ∼p es V si p es F, y ∼p es F si p es
V.
Tabla de verdad para ∼p
p ∼p
V F
F V
Observaci´on.:
Otra notaci´on que tambi´en se usa para denotar la negaci´on de p es p.
Ejemplo 1.5 El siguiente es un ejemplo de negaci´on,
p: “ El pizarr´on es blanco ”
∼ p: “ El pizarr´on no es blanco”
Conjunci´on (∧)
Dadas dos proposiciones p y q, la conjunci´on de ellas es la proposici´on “p y
q”, la cual se escribe p∧q. As´ı p∧q, es V si ambas lo son, y p∧q es F si al
menos una de ellas lo es.
7. 1.2 Conectivos l´ogicos y sus tablas de verdad 4
Tabla de verdad para p∧q
p q p∧q
V V V
V F F
F V F
F F F
Ejemplo 1.6 Considere las dos proposiciones:
p: “ EL pizarr´on es rojo”
q: “ El pl´atano es amarillo”
Entonces, p∧q se escribe en lenguaje com´un: “ El pizarr´on es rojo y el pl´atano
es amarillo.
Disyunci´on (∨)
Dadas dos proposiciones p y q, la disyunci´on de ellas es la proposici´on “p o
q”, la cual se escribe p∨q. As, p∨q es V si al menos una de ellas lo es, y p∨q
es F si ambas lo son.
Tabla de verdad p∨q
p q p∨q
V V V
V F V
F V V
F F F
Ejemplo 1.7 Considere las dos proposiciones:
p: “ El computador funciona con gas”
q: “ El libro es de piedra”
Entonces, p∨q se escribe en lenguaje com´un: “El computador funciona con
gas o el libro es de piedra”
8. 1.2 Conectivos l´ogicos y sus tablas de verdad 5
Condicional (→)
Dadas dos proposiciones p y q, la condicional de ellas es la proposici´on “si
p entonces q”, la cual se escribe p→q. Aqu´ı, p se llama antecedente y q
consecuente. Tambi´en, p→q se lee “p es condici´on suficiente para q”, o bien
“q es condici´on necesaria para p”. As´ı, p→q es F s´olo si p es V y q es F.
Tabla de verdad para p→q
p q p→q
V V V
V F F
F V V
F F V
Ejemplo 1.8 Considere las dos proposiciones:
p: “ Son las 9:10 de la noche”
q: “ la clase es de Algebra”
As´ı, p→q, se escribe en lenguaje com´un: “Si son las 9 de la noche, entonces
la clase es de Algebra”
Bicondicional (↔)
Dadas dos proposiciones p y q, la bicondicional de ellas es la proposici´on “p
si y s´olo si q”, la cual se escribe p↔q. Tambi´en, p↔q se lee “p es condici´on
necesaria y suficiente para q”. As´ı, p↔q es V s´olo si ambas proposiciones
tienen el mismo valor de verdad.
Tabla de verdad para p↔q
p q p↔q
V V V
V F F
F V F
F F V
Ejemplo 1.9 Considere las dos proposiciones:
p: “ Estoy en el cine”
9. 1.3 Tautolog´ıas, contradicciones y contingencias 6
q: “ Estudio Auditor´ıa”
As´ı, p↔q, se escribe en lenguaje com´un: “ Estoy en el cine, si y s´olo si,
estudio Auditor´ıa”
1.3. Tautolog´ıas, contradicciones y contingen-
cias
Una proposici´on se dice una:
TAUTOLOGIA (o TEOREMA LOGICO), si ella es siempre V , cuales-
quiera sean los valores de verdad de las proposiciones simples que la
componen, es decir, si su tabla de verdad s´olo contiene valores V .
CONTRADICCION, si ella es siempre F.
CONTINGENCIA, si no es tautolog´ıa ni contradicci´on.
Ejemplo 1.10 La proposici´on:
a) p ∨ ∼ p es una tautolog´ıa. En efecto:
p ∼p p ∨ ∼ p
V F V
F V V
b) p ∧ ∼ p es una contradicci´on. En efecto:
p ∼p p ∧ ∼ p
V F F
F V F
c) p ∧ ∼ q es una contingencia. En efecto:
p q ∼ q p ∧ ∼ q
V V F F
V F V V
F V F F
F F V F
10. 1.4 Implicaciones y equivalencias l´ogicas 7
1.4. Implicaciones y equivalencias l´ogicas
1.4.1. Implicaci´on l´ogica
Dadas dos proposiciones p y q, se dice que p implica l´ogicamente q, si la
proposici´on p→q es siempre verdadera. En tal caso se escribe p⇒q y se lee
“p implica q”.
Ejemplo 1.11 (p ⇒ (p ∨ q)), porque (p → (p ∨ q)) es una tautolog´ıa.
1.4.2. Equivalencia l´ogica
Dadas dos proposiciones p y q, se dice que ellas son l´ogicamente equivalentes,
si la proposici´on p↔q es siempre verdadera. En tal caso se escribe p⇔q y se
lee “p es equivalente a q”.
Ejemplo 1.12 (p ∧ q) ⇔ (q ∧ p), porque (p ∧ q) ↔ (q ∧ p) es una tautolog´ıa
(Compru´ebelo!).
1.4.3. Algunas tautolog´ıas importantes
∼ (∼ p) ⇔ p (doble negaci´on)
p ∧ q ⇔ q ∧ p (conmutatividad de ∧)
p ∨ q ⇔ q ∨ p (conmutatividad de ∨)
p ↔ q ⇔ q ↔ p (conmutatividad de ↔)
p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r (asociatividad de ∨)
p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r (asociatividad de ∧)
p ↔ (q ↔ r) ⇔ (p ↔ q) ∧ r (asociatividad de ↔)
p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) (distributividad de ∧ con respecto a ∨)
p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) (distributividad de ∨ con respecto a ∧)
∼ (p ∧ q) ⇔ (∼ p) ∨ (∼ q) (Ley de De Morgan para ∧)
∼ (p ∨ q) ⇔ (∼ p) ∧ (∼ q) (Ley de De Morgan para ∨)
p → q ⇔ (∼ q) → (∼ p) (contrarec´ıproca)
11. 1.5 Funciones proposicionales 8
p → q ⇔ (∼ p) ∨ q
∼ (p → q) ⇔ p∧ ∼ q (Reducci´on al absurdo)
p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ (q → p) (Bicondicional dividida en dos partes)
p ↔ q ⇔ (∼ p ∧ ∼ q) ∨ (p ∧ q)
(p → q) ∧ (q → r) =⇒ (p → r) (Transitividad)
Ejercicio 1.1 Demuestre (usando tablas de verdad) que cada una de las tau-
tolog´ıas anteriores efectivamente los son.
1.5. Funciones proposicionales
Se llama funci´on proposicional (o enunciado abierto) a una expresi´on p que
contiene una o m´as variables, y tal que ella se convierte en una proposici´on
l´ogica cuando se le asignan valores espec´ıficos a dichas variables.
Ejemplo 1.13 Sea A = {1, 2, 3}, entonces
p(x) : x + 1 ≤ 3, x ∈ A.
es una funci´on proposicional. En efecto, pues:
Si x = 1, p(1) : 1 + 1 ≤ 3 es una proposici´on l´ogica (V).
Si x = 2, p(2) : 1 + 2 ≤ 3 es una proposici´on l´ogica (V).
Si x = 3, p(3) : 1 + 3 ≤ 3 es una proposici´on l´ogica (F).
Conjunto de validez
Se llama Conjunto de validez de una funci´on proposicional p, y se denota por
Vp, al conjunto de valores (o n-uplas de valores) para los cuales dicha funci´on
es verdadera.
Ejemplo 1.14 Sea B = {2, 3, 4}, y
s(x) : x − 1 > 2, x ∈ B.
Entonces:
12. 1.5 Funciones proposicionales 9
Si x = 2, s(2) : 2 − 1 > 2 es F.
Si x = 3, s(3) : 3 − 1 > 2 es F.
Si x = 4, s(4) : 4 − 1 > 2 es V.
Por lo tanto, el conjunto validez es Vs = {4}, ya que s´olo el n´umero x = 4
hace que la funci´on s(x) sea verdadera.
1.5.1. Cuantificadores l´ogicos
Para indicar que una funci´on proposicional es verdadera para cualquier
elemento de un determinado conjunto A se usa el s´ımbolo ∀, el cual se
llama cuantificador universal.
∀ se lee: “para todo”, “cualquiera sea”, “para cada”.
Para indicar que una funci´on proposicional es verdadera para algunos
elementos de un determinado conjunto A se usa el s´ımbolo ∃, el cual
se llama cuantificador existencial.
∃ se lee: “existe (un)”, “existe al menos un”, “existe alg´un”.
Para indicar que una funci´on proposicional es verdadera para un ´unico
elemento de un determinado conjunto A se usa el s´ımbolo ∃!.
∃! se lee: “existe un ´unico”.
1.5.2. M´as sobre cuantificadores l´ogicos
Sean A un conjunto y p una funci´on proposicional que depende de una va-
riable x (en tal caso se escribe p(x)).
∀x ∈ A : p(x) se lee “para todo x en A, p(x) es verdadera”.
∃x ∈ A : p(x) se lee “existe x en A tal que p(x) es verdadera”.
Ejemplo 1.15 Ejemplos de lecturas de cuantificadores,
a) ∀x ∈ IN : x2
≥ 1, se lee: “ para todo x en IN, x2
es mayor o igual que
1”.
13. 1.6 Teoremas y m´etodos de demostraci´on 10
b) ∃x ∈ ZZ : x2
= 1, se lee: “existe x en ZZ, tal que, x2
es igual a 1”.
c) ∃!x ∈ ZZ : x + 5 = 0, se lee: “existe un ´unico x en ZZ, de modo que,
x + 5 sea igual a 0”.
Negaciones importantes
∼ (∀x ∈ A : p(x)) ⇔ (∃x ∈ A : ∼ p(x))
∼ (∃x ∈ A : p(x)) ⇔ (∀x ∈ A : ∼ p(x))
∼ (∃!x ∈ A : p(x)) ⇔ [∀x ∈ A : ∼ p(x)] ∨ [∃x ∈ A, ∃y ∈ A, x = y :
p(x) ∧ p(y)]
Ejemplo 1.16 Negaciones de los enunciados del ejemplo 1.15,
a) ∼ (∀x ∈ IN : x2
≥ 1) ⇔ (∃x ∈ IN : x2
< 1).
b) ∼ (∃x ∈ ZZ : x2
= 1) ⇔ (∀x ∈ ZZ : x2
= 1).
c) ∼ (∃!x ∈ ZZ : x + 5 = 0) ⇔ ([∀x ∈ ZZ : x + 5 = 0] ∨ [∃x ∈ ZZ, ∃y ∈
ZZ, x = y : x + 5 = 0 ∧ y + 5 = 0]).
1.6. Teoremas y m´etodos de demostraci´on
Un teorema es una proposici´on verdadera de cierta relevancia para una
teor´ıa y cuya verdad debe ser demostrada.
Algunas estructuras de teoremas
Implicaci´on: Si (hip´otesis), entonces (tesis) (H → T)
M´etodos de demostraci´on:
• M´etodo directo.
• M´etodos indirectos: contra-rec´ıproca (∼ H → ∼ T), reducci´on al
absurdo (H∧ ∼ T) → (p ∧ ∼ p) (contradicci´on).
Equivalencia: (Hip´otesis) si y s´olo si (tesis) (H ↔ T)
M´etodo de demostraci´on: (H → T) ∧ (T ← H).
Equivalencia de n proposiciones:
P1 ↔ P2 ↔ · · · ↔ Pn, n > 2
M´etodos de demostraci´on:
14. 1.7 Problemas de l´ogica proposicional 11
• Directo: P1 ↔ P2 y P2 ↔ P3, etc.
• Usando transitividad: [(Pi → Pj) ∧ (Pj → Pk)] → (Pi → Pk).
(en general, demostrar que Pi → Pi+1, i = 1, . . . , n−1 y Pn → P1).
Discreto: ∀n ∈ IN : p(n)
M´etodo de demostraci´on: Inducci´on matem´atica.
La falsedad de una proposici´on se puede demostrar usando un contraejemplo.
Ejemplo 1.17 Ejemplos de demostraci´on:
Proposici´on 1.6.1 Sea a ∈ IN. Si a es par, entonces a2
par.
Demostraci´on. (directa) Hip´otesis: a es par,
entonces a = 2n para alg´un n ∈ IN,
entonces a2
= (2n)2
= 4n2
= 2(2n2
),
entonces a2
es par (pues 2n2
∈ IN).
Proposici´on 1.6.2 Sea a ∈ IN. Si a2
es par, entonces a es par.
Demostraci´on. (contradicci´on) Se supone H ∧ ∼ T: a2
es par y a es
impar,
entonces a = 2n + 1 para alg´un n ∈ IN,
entonces a2
= (2n + 1)2
= 4n2
+ 4n + 1,
entonces a2
es impar (por Proposici´on 1.6.1 y “suma de n´umeros pares
es par”),
entonces a2
es par y a2
es impar (p ∧ ∼ p), CONTRADICCION,
(→←)
1.7. Problemas de l´ogica proposicional
Problema 1 Si p(x) denota el enunciado “x + 2 > 5”, establecer si p(x) es
o no una funci´on proposicional sobre cada uno de los siguentes conjuntos:
a) IN, el conjunto de los n´umeros naturales;
15. 1.7 Problemas de l´ogica proposicional 12
b) M = {−1, −2, −3, . . .},
c) C, el conjunto de los n´umeros comlejos.
Problema 2 Determinar el valor de verdad de cada uno de los siguentes
enunciados. ( Aqu´ı, IR es el conjunto de los n´umeros reales.)
a) ∀x ∈ IR, |x| = x
b) ∀x ∈ IR, x + 1 > x
c) ∃x ∈ IR, |x| = 0
d) ∃x ∈ IR, x2
= x
e) ∃x ∈ IR, x + 2 = x
Problema 3 Negar los enunciados del Problema 2.
Problema 4 Considere las siguientes f´ormulas proposicionales
a) (p ↔ q) ↔ [(p ∧ q) ∨ (∼ p∧ ∼ q)]
b) (p → q) ↔ (q → p)
c) [(p → q)∧ ∼ q] → p
d) [(p →∼ q) ∧ ((∼ r ∨ q) ∧ r)] →∼ p
Se solicita:
i) usar una tabla de verdad para determinar si corresponden a equivalen-
cias l´ogicas, o implicacions l´ogicas.
ii) usar la equivalencia l´ogica de a) para obtener una equivalencia para
∼ (p ↔ q) que s´olo tenga concectivos ∼, ∧ o ∨.
iii) dar un contra-ejemplo para hecer ver que (c) no es una implicaci´on
l´ogica.
Problema 5 Probar las siguientes implicaciones l´ogicas (usando tablas de
verdad), que son algunas de las llamadas reglas de inferencia
a) p ⇒ (p ∨ q) (Adici´on)
b) (p ∧ q) ⇒ p (Simplificaci´on)
16. 1.7 Problemas de l´ogica proposicional 13
c) [(p ∧ (p → q)] ⇒ q (Modus ponens)
d) [(p → q)∧ ∼ q] ⇒∼ p (Modus tollens)
e) [(p ∨ q)∧ ∼ p] ⇒ q (Silogismo disyuntivo)
f) [(p → q) ∧ (q → r)] ⇒ (p → r) (Silogismo hipot´etico)
Problema 6 Se define el conectivo ↓, conjunci´on negativa; p ↓ q (se lee “ Ni
p ni q”), por la siguiente tabla de verdad
p q p ↓ q
V V F
V F F
F V F
F F V
Demostrar que los tres conectivos ∨, ∧ y ∼ se pueden expresar con el conec-
tivo ↓ como sigue:
a) ∼ p ↔ [p ↓ p]
b) p ∧ q ↔ [(p ↓ p) ↓ (q ↓ q)]
c) p ∨ q ↔ [(p ↓ q) ↓ (p ↓ q)].
Problema 7 Se define el conectivo ∨, disyunci´on exclusiva; p∨q (se lee “p o
q, pero no ambos”), por la siguiente tabla de verdad:
p q p∨q
V V F
V F V
F V V
F F F
Demostrar que (p∨q) ↔ [(p∨q)∧ ∼ (p∧q)]. Por lo tanto, ∨ se puede escribir
empleando los tres conectivos ∨, ∧ y ∼ .
Problema 8 Sean las proposiciones:
p: Tengo dinero.
q: Hoy dejar´e de fumar.
17. 1.7 Problemas de l´ogica proposicional 14
Escriba los siguientes enunciados verbales en forma simb´olica usando p y q.
a) No tengo dinero .
b) Si tengo dinero entonces hoy no dejar´e de fumar.
c) Tengo dinero, s´ı y s´olo si, hoy dejo de fumar.
d) No es verdad que, hoy no dejar´e de fumar.
e) No es verdad que, no tengo dinero y que hoy no dejar´e de fumar.
f) Es falso que, no tengo dinero o que hoy dejar´e de fumar.
Problema 9 Escriba la negaci´on de las siguientes proposiciones.
a) Estoy en clase de ´matematica I si y s´olo si hoy es miercoles.
b) Una condici´on necesaria y suficiente para que est´e en clase de matem´ati-
ca I es que hoy sea d´ıa lunes.
c) Todos los pol´ıticos son mentirosos.
d) Existe un sol en nuestra galaxia.
e) Existe un ´unico sol en nuestra galaxia.
Problema 10 Considere el conjunto A = {1, 2, . . . , 100} y las proposiciones
a) ∀n ∈ A: n2
≤ 100.
b) ∃n ∈ A: n2
= 50.
c) ∃!n ∈ A: 2n
= n2
.
Se solicita:
i) Determine el valor de verdad de cada una.
ii) Escriba la negaci´on de cada una.
Problema 11 Niegue cada una de las siguientes proposiciones
a) (∃x ∈ IR)(∀y ∈ IR) : x < y
b) (∀x ∈ IR)(∀y ∈ IR) : x ≥ y.
18. 1.7 Problemas de l´ogica proposicional 15
c) (∃!n ∈ IN) tal que ∀x ∈ IR : x ≤ n
d) ∃x ∈ IR, ∃y ∈ IR : x2
+ y2
< 0.
e) ∃ǫ > 0, ∃x ∈ IR, ∀y ∈ IR : |x − y| > ǫ.
f) ∀x ∈ IR, ∃!y ∈ IR : xy ≤ 0 ∧ |x − y| = 2x
19. Cap´ıtulo 2
Teor´ıa de conjuntos
Llamaremos conjunto a cualquier colecci´on de objetos determinados y
distintos. Los objetos los llamaremos elementos del conjunto. Dos conjuntos
importantes son el conjunto vac´ıo, que no contiene elementos, y el conjunto
universo, que contiene todos los elementos.
2.1. Notaci´on
Los conjuntos se escribir´an: A, B, C, . . .
Los elementos se escribir´an: a, b, c, . . .
a pertenece a A se escribir´a: a ∈ A
a no pertenece a A se escribir´a: a /∈ A
Conjunto vac´ıo se escribir´a: φ
Conjunto universo se escribir´a: U
Ejemplo 2.1 Sea el conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, tenemos que
1 ∈ A, 13 /∈ A.
Observaci´on 2.1 Dado x ∈ U y un conjunto A: ¿ x ∈ A ∨ x /∈ A?
Si esta pregunta puede responderse siempre, entonces se dice que el conjunto
A esta bien definido.
16
20. 2.2 Maneras de definir un conjunto 17
2.2. Maneras de definir un conjunto
Por extensi´on, vale decir mostrando los elementos del conjunto.
Ejemplo 2.2 IN = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}. (n´umeros naturales)
Por compresi´on, esto es dando una propiedad (o proposici´on) que ca-
racterice a los elementos del conjunto.
Ejemplo 2.3 Q =
a
b
: a, b ∈ ZZ, b = 0 . (n´umeros racionales)
2.3. Diagramas de Venn Euler
Los diagramas de Venn nos permiten visualizar en forma sencilla e instruc-
tiva los conjuntos y sus relaciones, y en estos diagramas se usan las siguientes
formas:
Figura 2.1: Formas usadas para hacer diagramas de Venn Euler.
Ejemplo 2.4 Ejemplo de representaci´on en un diagrama de Venn del con-
junto A formado por dos cubos y un cilindro.
21. 2.4 Inclusi´on de Conjuntos 18
Figura 2.2: El conjunto A formado por dos cubos y un cilindro.
2.4. Inclusi´on de Conjuntos
Dados dos conjuntos A y B, se dice que A es subconjunto de B, y se
escribe A ⊆ B, si todos los elementos de A est´an tambi´en en B, esto es:
A ⊆ B ⇔ (∀x ∈ U : x ∈ A ⇒ x ∈ B)
Figura 2.3: Diagrama de Venn para representar que A ⊆ B.
Ejemplo 2.5 Si A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y B = {2, 4, 6, 8}, entonces
B ⊆ A.
Propiedades de la inclusi´on
Dados A, B, C conjuntos, se tiene que
φ ⊆ A ⊆ U (el conjunto vac´ıo es subconjunto de cualquier conjunto y
todo conjunto es subconjunto del conjunto universo)
22. 2.5 Igualdad de conjuntos 19
A ⊆ A (Todo conjunto es subconjunto de s´ı mismo)
(A ⊆ B ∧ B ⊆ C) ⇒ A ⊆ C ( Transitividad de la inclusi´on).
2.5. Igualdad de conjuntos
Dados dos conjuntos A y B, se dice que A y B son iguales, y se escribe
A = B, si los elementos de A y B coinciden, esto es:
A = B ⇔ (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A).
2.6. Conjunto de las partes de un conjunto
dado
Dado un conjunto A, se define el conjunto de las partes de A, y se denota
P(A), como el conjunto de todos los subconjuntos de A, esto es:
P(A) = {X : X ⊆ A}
Observaci´on 2.2 Notar que:
i) los elementos de P(A) son conjuntos;
ii) P(A) = φ ya que φ ∈ P(A) ∧ A ∈ P(A).
Observaci´on 2.3 Notar que si A tiene n elementos, entonces el conjunto
P(A) tiene 2n
elementos
Ejemplo 2.6 Dado el conjunto A = {a, b}, entonces
P(A) = {φ, {a}, {b}, A}.
En este caso A tiene 2 elementos y P(A) tiene 22
= 4 elementos.
2.7. Operaciones entre conjuntos
Sea U el conjunto universo, y sean A, B subconjuntos de U.
23. 2.7 Operaciones entre conjuntos 20
La diferencia de A y B es el conjunto
A − B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x /∈ B}
(otra notaci´on: A B).
Figura 2.4: Diagrama de Venn para A − B.
Figura 2.5: Diagrama de Venn para A − B = φ, cuando A ⊆ B.
24. 2.7 Operaciones entre conjuntos 21
Figura 2.6: Diagrama de Venn para A − B, cuando A y B son disjuntos.
Ejemplo 2.7 Si A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y B = {2, 4, 6, 8}, entonces
A − B = {1, 3, 5, 7, 9}.
El complemento de A con respecto a U, el cual se denota Ac
(o bien
A′
, −A), es el conjunto U − A, vale decir:
Ac
= U − A = {x ∈ U : x /∈ A}.
Figura 2.7: Diagrama de Venn para Ac
.
25. 2.7 Operaciones entre conjuntos 22
Figura 2.8: Diagrama de Venn para Ac
, cuando A ⊆ B.
Figura 2.9: Diagrama de Venn para Ac
, cuando A y B son disjuntos.
Ejemplo 2.8 Si U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y A = {1, 2, 3, 7}, en-
tonces Ac
= {0, 4, 5, 6, 8, 9}.
2.7.1. Algunas propiedades
Para todo x ∈ U se tiene: (x ∈ A) ∨ (x ∈ Ac
).
φc
= U ∧ Uc
= φ
(Ac
)c
= A
2.7.2. Otras operaciones entre conjuntos
Sea U el conjunto universo, y sean A, B subconjuntos de U.
26. 2.7 Operaciones entre conjuntos 23
La intersecci´on de A y B, la cual se denota A ∩ B, es el conjunto de
todos los elementos comunes a A y B, esto es
A ∩ B = {x ∈ U : x ∈ A ∧ x ∈ B}
Figura 2.10: Diagrama de Venn para A ∩ B.
Figura 2.11: Diagrama de Venn para A ∩ B = A, cuando A ⊆ B.
27. 2.7 Operaciones entre conjuntos 24
Figura 2.12: Diagrama de Venn para A∩B = φ, cuando A y B son disjuntos.
Ejemplo 2.9 Si A = {i, w, v, x, y, z} y B = {a, b, c, x, y},
entonces A ∩ B = {x, y}.
La uni´on de A y B, la cual se denota A ∪ B, es el conjunto de todos
los elementos que est´an en A o en B, esto es
A ∪ B = {x ∈ U : x ∈ A ∨ x ∈ B}.
Figura 2.13: Diagrama de Venn para A ∪ B.
28. 2.7 Operaciones entre conjuntos 25
Figura 2.14: Diagrama de Venn para A ∪ B = B, cuando A ⊆ B.
Figura 2.15: Diagrama de Venn para A ∪ B, cuando A y B son disjuntos.
Ejemplo 2.10 Si A = {π,
√
2, e} y B = {−1, 0, 1},
entonces A ∪ B = {−1, 0, 1, π,
√
2, e}.
2.7.3. Propiedades de ∩ y ∪
A ∪ A = A y A ∩ A = A (idempotencia)
A ∪ B = B ∪ A y A ∩ B = B ∩ A (conmutatividad de ∪ y ∩).
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (Asociatividad de ∪)
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (Asociatividad de ∩)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
(distributividad de ∪ con respecto a ∩)
29. 2.8 M´as definiciones 26
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
(distributividad de ∩ con respecto a ∪)
(A ∪ B)c
= Ac
∩ Bc
(Ley de De Morgan)
(A ∩ B)c
= Ac
∪ Bc
(Ley de De Morgan)
2.8. M´as definiciones
Dos conjuntos A y B se dicen disjuntos si y s´olo si A ∩ B = φ.
Dados dos conjuntos no vac´ıos A y B, se define el Producto Cartesiano
de ellos, el cual se denota por A × B, como el conjunto de todos los
pares ordenados (a, b) tales que a pertenece a A y b pertenece a B, esto
es
A × B = {(a, b) : a ∈ A ∧ b ∈ B}
Observaci´on 2.4 Note que, en general: A × B = B × A.
Observaci´on 2.5 Si A tiene n elementos y B tiene m elementos, en-
tonces A × B tiene m · n elementos.
Ejemplo 2.11 Si A = {1, 2} y B = {3, 4, 5},
entonces A × B = {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 3), (2, 4), (2, 5)} y
B×A = {(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2), (5, 1), (5, 2)}. Usando la observaci´on
2.5, que A tiene 2 elementos y B tiene 3 elementos tenemos que A×B
tiene 2 · 3 = 6 elementos.
2.9. Partici´on de un conjunto
Sean A1, A2, . . . , An subconjuntos de un conjunto B. Se dice que {A1, A2, . . . , An}
es una PARTICION de B si estos conjuntos son no vac´ıos, disjuntos dos a
dos y su uni´on es el conjunto B, vale decir si y s´olo si:
Ai = φ, para cada i ∈ {1, 2, 3, . . . , n}.
Ai ∩ Aj = φ, para i = j.
n
i=1
Ai = B.
30. 2.10 Cardinalidad 27
Ejemplo 2.12 Si B = {1, 2, −1}, entonces una partici´on de B es {A1, A2, A3}
con A1 = {1}, A2 = {2} y A3 = {−1}.
2.10. Cardinalidad
El n´umero de elementos de un conjunto finito A se llama cardinalidad de
A y se denota |A|.
2.10.1. Propiedades de la cardinalidad
Si A y B son conjuntos disjuntos, entonces |A ∪ B| = |A| + |B|.
Si A y B son conjuntos arbitrarios, entonces |A∪B| = |A|+|B|−|A∩B|.
Si A, B y C son conjuntos arbitrarios, entonces
|A∪B ∪C| = |A|+|B|+|C|−|A∩B|−|A∩C|−|B ∩C|+|A∩B ∩C|.
Ejemplo 2.13 Si A = {1, 2, −1} y B = {1, 3, 5, 7, 9}, entonces A∩B = {1},
|A| = 3, |B| = 5, |A∩B| = 1 y |A∪B| = |A|+|B|−|A∩B| = 3+5−1 = 7.
2.11. Conjuntos num´ericos
Son aquellos conjuntos formados por n´umeros y que tienen un n´umero
infinito de elementos.
Figura 2.16: Relaci´on entre los conjuntos num´ericos: IN ⊆ ZZ ⊆ Q ⊆ IR.
31. 2.11 Conjuntos num´ericos 28
2.11.1. Conjunto de los n´umeros naturales IN.
IN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}
El conjunto de los N´umeros Naturales surge de la necesidad de contar. Este
conjunto se caracteriza porque:
Tiene infinitos elementos.
Cada elemento tiene un sucesor y cada elemento, excepto el 1, tiene un
antecesor.
El sucesor de un n´umero natural se obtiene sumando uno (+1); y el antecesor
se obtiene restando uno (-1).
2.11.2. Conjunto de los n´umeros enteros ZZ.
ZZ = {. . . , −6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, . . .}
El Conjunto de los N´umeros Enteros nace de la necesidad de dar soluci´on al
problema que surge cuando restamos dos n´umeros naturales y el sustraendo
es mayor que el minuendo, esta sustracci´on no tiene soluci´on en el Conjunto
de los n´umeros Naturales (por ejemplo: 1 − 2 =¿?). Debido a esto, la recta
num´erica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que
representa un n´umero natural le corresponda un punto sim´etrico, situado
a la izquierda del cero. Punto sim´etrico es aquel que est´a ubicado a igual
distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de ´el).
Observaci´on 2.6 Si definimos, el conjunto de los enteros negativos, ZZ−
,
como:
ZZ−
= {. . . , −6, −5, −4, −3, −2, −1},
entonces ZZ = ZZ−
∪ {0} ∪ IN.
2.11.3. Conjunto de los n´uneros racionales Q
Q =
a
b
: a, b ∈ ZZ, b = 0
Ejemplo 2.14 Tenemos que: 1
2
∈ Q, 3
2
∈ Q, 0,001 ∈ Q, etc.
32. 2.12 Problemas de teor´ıa de conjuntos 29
El conjunto de los N´umeros Racionales surgi´o debido a las limitaciones de
c´alculo que se presentaban en el conjunto de los N´umeros Naturales y N´ume-
ros Enteros. Por ejemplo, s´olo se puede dividir en el conjunto de los N´umeros
Enteros si y s´olo si el dividendo es m´ultiplo, distinto de cero, del divisor. Para
arreglar esta dificultad, se cre´o este conjunto.
2.11.4. Conjunto de los n´umeros irracionales Q∗
Este conjunto surgi´o de la necesidad de reunir a los n´umeros que no per-
tenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos tenemos a las ra´ıces inexactas,
el n´umero π, etc. A este conjunto pertenecen todos los n´umeros decimales
infinitos puros, es decir aquellos n´umeros que no pueden transformarse en
una fracci´on. No deben confundirse con los n´umeros racionales, porque ´estos
son n´umeros decimales finitos, infinitos peri´odicos e infinitos semiperi´odicos
que s´ı pueden transformarse en una fracci´on.
Ejemplo 2.15 Tenemos que: π ∈ Q∗
,
√
2 ∈ Q∗
,
√
5 ∈ Q∗
, etc.
2.12. Problemas de teor´ıa de conjuntos
Problema 1 Sea M el conjunto de los n´umeros naturales menores que 5.
a) Escriba el conjunto M por comprensi´on.
b) Escriba el conjunto M por extensi´on.
Problema 2 Expresar por extensi´on los siguientes conjuntos:
a) A = {x : x es una vocal de la palabra “ Auditor” o “ Contador” }.
b) B = {x : x es una vocal de la palabra “ IVA” }.
Problema 3 Sean los conjuntos A y B, tales que: A ∪ B = {a, b, c, d} ∧
A ∩ B = {a, c} ∧ A − B = {b}. Hallar A y B.
Problema 4 Sea U = {x ∈ ZZ : −1 < x ≤ 7} y los conjuntos:
A = {x ∈ U : x > 2}
B = {x ∈ U : 4 ≤ x < 7}
C = {x ∈ U : x ≥ 3}
33. 2.12 Problemas de teor´ıa de conjuntos 30
Encuentre:
a) (A ∩ B)c
− C
b) (A ∪ C)c
− (A ∩ B)
c) (C ∪ A) − Bc
d) (A ∪ B)c
− (C − A)
e) [A − (B − C)]c
Problema 5 Dado los conjuntos A = {1, 2, 3} y B = {a, b, {c}}; encuentre
los conjuntos P(A) y P(B).
Problema 6 Sean los conjuntos A = {1, 2, 4, 5, 7}, B = {7, 8, 9} y C =
{1, 2, 3, 4}. Diga si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas.
a) (A − (A − B))c
= Ac
∪ Bc
b) (A ∪ B) − (B ∩ Ac
) = A
c) (A ∩ C) − (A − B) ⊆ A
Problema 7 Determine si las siguientes proposiciones son Verdaderas o Fal-
sas.
a) −7 ∈ IN
b)
√
7 ∈ Q
c) (−1)3
∈ ZZ
d)
√
3 /∈ Q∗
Problema 8 Determine si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas.
a) Todos los n´umeros naturales tienen sucesor.
b) Alg´un n´umero natural es impar y es divisible por 2.
c) Todo n´umero natural menor que 10 es menor que 9.
Problema 9 Sean A = {−3, 0, 5}, B = {0, 5, −3} y C = {0, 5}. Determinar
si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. En el caso de que sean
falsas indique por qu´e.
34. 2.12 Problemas de teor´ıa de conjuntos 31
a) C ⊆ A.
b) A = B.
c) C ∈ A.
d) C ⊆ B.
e) A = C.
f) φ = {φ}.
g) A ⊆ B.
h) φ ⊆ B.
Problema 10 En una investigaci´on a mil estudiantes de un Instituto se
determin´o que 720 ten´ıan cassettes, 670 pose´ıan CD y 540 ten´ıan ambas
cosas. Determinar:
a) ¿ Cu´antos estudiantes tienen cassettes o CD?
b) ¿ Cu´antos estudiantes no tienen cassettes ni CD?
c) ¿ Cu´antos estudiantes tienen s´olo CD?
d) ¿ Cu´antos estudiantes tienen s´olo cassettes?
Problema 11 Se investig´o un grupo de 5500 personas en relaci´on con la
estrategia de ahorrar combustible. De ´estas, 2000 opinaron que lo aceptable
era el racionamiento, 1500 dijeron que lo apropiado ser´ıa fijar un impuesto
adicional por litro, y 750 personas indicaron que lo apropiado ser´ıa la aplica-
ci´on de ambos procedimientos. El resto de las personas no aceptan ninguno
de los dos sistemas. Determinar:
a) Un diagrama de Venn, que resuma lo anterior.
b) ¿ Cu´antas personas aceptar´ıan en forma voluntaria el racionamiento
pero no el impuesto?
c) ¿ Cu´antas personas aceptar´ıan en forma voluntaria el impuesto, pero
no el racionamiento?
d) ¿ Cu´antas personas no aceptar´ıan en forma voluntaria ninguno de los
dos cursos de acci´on?
35. 2.12 Problemas de teor´ıa de conjuntos 32
Problema 12 En una elecci´on de directorio de una empresa asistieron 595
de un universo de 703 accionistas. Seg´un los estatutos de la empresa cada
accionista recibe una papeleta con los nombres de todos los candidatos y
en donde el accionista marcar´a, si lo desea, hasta dos preferencias. De los
resultados de la elecci´on se determin´o la siguiente informaci´on referente a las
tres primeras mayor´ıas. El candidato A obtuvo 324 preferencias, 47 de los
accionistas s´olo votaron por A, 203 votaron por A y no por B, 164 votaron
por C y B, 358 votaron por C y 42 votaron s´olo por B. Determinar:
a) ¿ Qui´en obtuvo la primera mayor´ıa?
b) ¿ Qui´en obtuvo la segunda mayor´ıa?
c) ¿ Cu´antos votaron por dos candidatos?
d) De todos lo asistentes, ¿ cu´antos no votaron por C?
e) ¿ Cu´antos s´olo votaron por C?
f) ¿ Cu´antos de los asistentes no votaron por ninguno de los tres?
g) ¿ Cu´antos accionistas no se hicieron presente?
h) ¿ Cu´antos accionistas votaron por los tres candidatos?
Problema 13 De una encuesta a 200 personas que compran pasta de dientes
80 compran Pepsodent, 60 compran solamente Odontine, 20 compran sola-
mente Signal, 14 compran Pepsodent y Odontine, 20 compran Odontine y
Signal, 12 compran Pepsodent y Signal y 10 compran todos. El resto compra
otra marca.
a) ¿ Cu´antos compran al menos una de estas marcas?
b) ¿ Cu´antos no compran estos dentr´ıficos?
c) ¿ Cu´antos compran solamente Pepsodent?
d) ¿ Cu´antos compran Signal?
e) ¿ Cu´antos no compran Odontine?
f) ¿ Cu´antos compran Signal u Odontine?
