Método de rigideces (viga continua)

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE SINALOA
FACULTAD INGENIERÍA MOCHIS
INGENIERÍA CIVIL
Asignatura:
Análisis estructural l
Tema:
Método de las rigideces nivel manual, en vigas.
Nombre del docente:
Dr. Joel Andrés Calderón Guillen
Nombre del alumno:
Sergio Eduardo Armenta López
Grupo:
3-01

D1
Determinar las reacciones, fuerzas internas, desplazamientos incógnitas en los apoyos; así
como los diagramas de fuerzas cortantes y momento flector, en la siguiente viga continua
de sección constante. F´c = 240 kg/cm2
.
1) Establecer G.I.C. e identificar los desplazamientos incógnitas.
G.I.C.= 2j-NR
G.I.C.= 2(4)-4= 4
Dónde:
J= número de nodos (apoyos)
NR= número de reacciones en los apoyos
3) Aplicar el principio de la superposición a la estructura original usemos para ello la
estructura restringida.

Los desplazamientos incógnitas son 4 y corresponden a 3 rotaciones angulares y un
desplazamiento vertical, por lo cual:
D1= desplazamiento vertical en el nudo “a”
D2= desplazamiento angular en el nudo “a”
D3=desplazamiento angular en el nudo “b”
D4= desplazamiento angular en el nudo “c”
2) Estructura restringida cinematicamente determinada:
Esta será una estructura con las mismas dimensiones que la estructura original, pero con
apoyos ficticios que impidan los desplazamientos incognitos, en este particular, se colocara
apoyos ficticios empotrados con la finalidad de restringir desplazamientos en: a,b y c.
4) Ecuación de equilibro
AD=ADL + SḎ…….. Ecuación (a)
AR = ARL + SRDḎ……. Ecuación (b)
Cálculo de AD:
AD = ( ) ( )
 Este vector, son las acciones en la estructura real en dirección de los
Desplazamientos incógnitas.

Cálculo de ADL:
ADL = ( )
 Este vector, son las acciones en la estructura restringida y producida por las
cargas reales, en dirección de los desplazamientos incógnitos.
Separando las barras en la estructura restringida
ADL = ( ) ( ) ton.m

 Cálculo de S
La matriz de rigidez S; está formada por los siguientes elementos:
S
( )
Sij= Es la fuerza producida por el desplazamiento unitario Dj y que tiene la dirección del
desplazamiento Di.
Ejemplo:
S23= Es la en la dirección del desplazamiento D2 y producida por un valor unitario del
desplazamiento D3.
Cálculo de S

 Sustituyendo valores en la matriz de rigideces
S
( )
AD=ADL + SḎ…….. Ecuación (a)
Donde D son los desplazamientos incógnitos.
Despejando el vector D:
D =S-1
(AD-ADL) …….. ecuación (c)
AD-ADL=( ) ( ) ( )
S-1
( )
Sustituyendo en la ecuación c)
D=
( )
( )

( ) ( )
Como se presentó al inicio del problema, la resistencia del concreto es f´c=240 kg/cm2
, por
lo cual ese valor se sustituirá en la fórmula de elasticidad para el concreto y conforme a la
forma geométrica del elemento estructural se conocerá el momento de inercia.
Ɛ= 15100√
Sustituyendo valores en la fórmula del módulo de elasticidad:
Ɛ= 15100√ ; Ɛ= 739745.9023 ton/m2
Momento de inercia para un rectángulo:
Ix=
Sustituyendo valores en la fórmula del momento de inercia:
Ix=
( )( )
Como “EI” es constante en toda la viga su valor será de:
EI= 1123.489 ton.m2
Sustituyendo “EI” en los desplazamientos obtenidos:
( ) ( ) ( )

Una vez obtenidos los desplazamientos incógnitas “Ḏ” pasaremos a determinar el valor de
las reacciones y las fuerzas internas.
Para ello usaremos las mismas estructuras usadas en el principio de la superposición.
5) Cálculo de reacciones

Para calcular cada reacción (Ari) basta con sumar cada una de las reacciones
correspondientes a las estructuras auxiliares, así:
AR1= ARL1+SRD11D1+ SRD12 D2+ SRD13 D3+ SRD14 D4
Expresado en forma matricial
AR = ARL + SRDḎ……. Ecuación (d)
Cálculo de ARL
ARL ( )
Sustituyendo:
ARL ( ) ( )ton

Cálculo de matriz SRD:

Nota: Se aprovecharon las estructuras auxiliares planteadas al inicio para el cálculo
de SRD.
SRD
( )
Sustituyendo datos en la ecuación d)
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )

Interpretación de los resultados:
↑⅀Fv=0
⅀Fv= 3 ton + 54.676 ton + 11.972 ton + 35.348 ton – 60 ton – 45 ton = 0
0 = 0 OK
+↳⅀Mz=0
4 ton.m – 3ton(16m)- 54.576 ton(11m) – 11.972 ton(6m) – 34.679 ton.m + 60ton(11m) +
45ton(2m)+2 ton.m=0
0 = 0 OK

6) Cálculo de las acciones en los extremos (elementos mecánicos)

A si tenemos:
AM1= AML1 + SMD11D1 + SMD12D2+ SMD13D3 + SMD14D4
Expresado en forma matricial:
AM=AML+SMDD…………………… ecuación (e)
Cálculo de AML
AML=
( ) ( )
Nota: los valores de las fuerzas de empotramientos fueron calculados al inicio del ejemplo.

Cálculo de la matriz SMD

Matriz SMD
SMD=
( )

Sustituyendo datos en la ecuación e)
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )

Interpretación de resultados:
Debe comprobarse el equilibrio en los nudos (b) y (c)
⅀FV=0
⅀MZ=0
7) Dibujar los diagramas de V y M

Diagrama de cortantes (ton)
Diagrama de momento flector (ton.m)
3
-27
27.6
-2.32
9.65
-35.34
-4
-64
-0.60
-2.60
15.20
-34.697
0
0

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