Lógica matemática

1. ELEMENTOS DE LÓGICA
LÓGICA PROPOSICIONAL
1. PROPOSICIONES LÓGICAS
Son expresiones o enunciados a los cuales se les puede cali…car bien
como verdaderas (V) ó bien como falsas (F), sin ambiguedad. A las
proposiciones se las denotará con las letras minúsculas del abecedario
p; q; r; s; t,...,etc.
A las proposiciones lógicas también se les denomina simplemente como
proposiciones.
1.1. EJEMPLOS DE EXPRESIONES QUE NO SON PROPOSICIONES
LÓGICAS
¨ Buenos días ¨ , ¨ Llega temprano¨ , ¨ ¿Quién llamó por teléfono?¨ ,
¨ x + 3 5¨
Estas expresiones no son proposiciones lógicas debido a que no se
les puede cali…car con claridad bien como verdaderas o bien como
falsas.
1.2. EJEMPLOS DE PROPOSICIONES LÓGICAS
p : 14 8 = 11 (F)
q : 5 + 4 > 8 (V)
r : Santiago es la capital de Chile: (V)
1.3. DEFINICIÓN
Se llaman valores veritativos ó valores de verdad de una
proposición a sus dos valores posibles: verdadero ó falso. Estos
posibles valores se pueden esquematizar en una tabla de verdad
como sigue:
p
V
F
1

2. 1.4. CLASES DE PROPOSICIONES LÓGICAS
a) PROPOSICIONES SIMPLES (Ó ATÓMICAS)
Son aquellas proposiciones que se pueden representar con una
sola variable, es decir, por una sola letra como: p: 10+8 = 11:
b) PROPOSICIONES COMPUESTAS Ó MOLECULARES
Son aquellas proposiciones que se pueden representar por al
menos una variable y al menos un símbolo que representan a
las palabras no, implica, o, y, si y solo si.
2. PROPOSICIONES COMPUESTAS BÁSICAS
2.1. LA NEGACIÓN
Dada una proposición p, se denomina la negación de p, a otra
proposición denotada por p, y se le asigna el valor de verdad op-
uesto al de p. Esta proposición p es también leída como: ¨ no p¨
o ¨ no es cierto que p¨ . Su tabla de verdad es:
p p
V F
F V
Veamos los siguientes ejemplos. Dadas las proposiciones
p : 3 4 = 11 y (F)
q : Santiago es la capital de Chile (V)
entonces sus negaciones son
p : 3 4 6= 11 (V)
q : Santiago no es la capital de Chile (F)
2.2. LA DISYUNCIÓN (ó DISYUNCIÓN INCLUSIVA)
Sean p y q dos proposiciones, se denomina la disyunción de p
y q, a otra proposición denotada por p _ q, y se lee p o q. Esta
proposición p _ q es falsa únicamente en el caso de que p y q sean
2

3. ambas falsas, en cualquier otro caso es verdadera. Su tabla de
verdad es:
p q p _ q
V V V
V F V
F V V (*)
F F F
:
Por ejemplo, para las proposiciones lógicas
p : 3 4 = 11 (F)
y
q : Santiago es la capital de Chile, (V)
de acuerdo a (*), se tiene que:
p _ q: 3 4 = 11 o Santiago es la capital de Chile
es una proposición lógica verdadera.
2.3 LA CONJUNCIÓN
Sean p y q dos proposiciones, se denomina la conjunción de p
y q, a otra proposición denotada por p ^ q, y se lee p y q. Esta
proposición p ^ q es verdadera únicamente en el caso de que p y q
sean ambas verdaderas, en cualquier otro caso es falsa. Su tabla
de verdad es:
p q p ^ q
V V V
V F F (**)
F V F
F F F
Por ejemplo, para las proposiciones lógicas
p : 3 4 = 12 (V)
y
q : Santiago no es la capital de Chile, (F)
de acuerdo a (**), se tiene que:
p^q: 3 4 = 12 y Santiago no es la capital de Chile
es una proposición lógica falsa.
3

4. 2.4. LA IMPLICACIÓN (ó CONDICIONAL)
Sean p y q dos proposiciones, se denomina la implicación de p
a q, a otra proposición denotada por p =) q, y se lee: "si p en-
tonces q" ó "p es una condición su…ciente para q" ó "q es una
condición necesaria para p". En esta nueva proposición p =) q,
la proposición p es llamada antecedente y la proposición q es
llamada consecuente. Esta proposición p =) q es falsa única-
mente en el caso de que p sea verdadera y q sea falsa, en cualquier
otro caso es verdadera. Su tabla de verdad es:
p q p =) q
V V V
V F F
F V V
F F V
OBSERVACIONES
a) Según las dos últimas …las de la tabla de verdad, basta que el
antecedente p sea falso para que la implicación p =) q sea ver-
dadera, sin importar el valor de verdad del consecuente q.
b) A partir de la primera y tercera …la de la tabla de verdad, se
concluye que es su…ciente que el consecuente q sea verdadero para
que la implicación p =) q sea verdadera, sin importar el valor de
verdad del antecedente p.
c) Según la última …la, en el caso de que el antecedente p y el con-
secuente q sean ambos falsos, la implicación p =) q es verdadera.
EJEMPLOS
(3 4 = 12) =) (2 + 3 6= 5) (F)
(3 4 = 1) =) 25
< 34
(V)
(3 4 6= 12) =) Santiago no es la capital de Chile (V)
2.5. LA BICONDICIONAL
Sean p y q dos proposiciones, se denomina la bicondicional de
p y q, a otra proposición denotada por p () q, y se lee: "p si
y solo si q" ó "p es una condición necesaria y su…ciente para q".
Esta proposición p () q es verdadera en los casos en que p y q
4

5. tomen el mismo valor de verdad, y es falsa en los casos en que p
y q tengan valores veritativos opuestos. Su tabla de verdad es:
p q p () q
V V V
V F F
F V F
F F V
EJEMPLOS
3 + 4 = 7 () 2 + 3 6= 5 (F)
3 4 = 1 () 25
< 34
(F)
3 4 6= 12 () Santiago no es la capital de Chile (V)
2.6. LA DISYUNCIÓN EXCLUYENTE (O DIFERENCIA SIMÉTRICA)
Sean p y q dos proposiciones, se denomina la disyunción ex-
cleyente de p y q, a otra proposición denotada por p Y q, y se
lee: "o bien p ó bien q". Esta proposición pYq es verdadera en los
casos en que p y q tomen valores veritativos opuestos, y es falsa
si p y q tienen el mismo valor de verdad. Su tabla de verdad es:
p q p Y q
V V F
V F V
F V V
F F F
EJEMPLOS
(3 + 4 = 7) Y (2 + 3 6= 5) (V)
(3 4 = 1) Y (25
< 34
) (V)
3 4 6= 12 Y Santiago no es la capital de Chile (F)
2.7. CONECTIVOS LÓGICOS
Se llaman asi a los símbolos: ; _; ^; =) ; () y Y.
2.8. CONECTIVO PRINCIPAL
El conectivo principal de una proposición lógica compuesta es
aquel conectivo que divide en dos partes a toda la proposición.
5

6. 2.9. TABLA DE VERDAD (ó TABLA DE VALORES DE VERDAD)
La tabla de verdad, de una proposición lógica compuesta, está
dada por la columna de valores que se encuentra bajo el conectivo
principal de dicha proposión.
3. PROPOSICIONES COMPUESTAS
Utilizando los conectivos lógicos se pueden combinar cualquier número
…nito de proposiciones básicas para obtener otras proposiciones más
complejas, cuyos valores de verdad pueden ser conocidos construyendo
su respectiva tabla de verdad; en dicha tabla de verdad se indica todos
los valores resultantes de esta proposición compuesta, para todas las
combinaciones posibles de valores de verdad de las proposiciones com-
ponentes.
EJEMPLO.
La tabla de verdad de la proposición compuesta [p _ q] =) (r ^ p), es
la columna de valores de verdad que está bajo el conectivo principal,
que en este caso es =) ,
p q r [p _ q] =) (r ^ p)
V V V F V V V
V V F F V F F
V F V F F V V
V F F F F V F
F V V V V F F
F V F V V F F
F F V V V F F
F F F V V F F
(1)
3.1. PROBLEMA
Sean p; q; r y s proposiciones. Si p es verdadera, q es falsa, r es falsa
y s es verdadera, determinar el valor de verdad de la proposición
[(q ^ s) =) (s _ p)] Y (r ^ p)
SOLUCIÓN
A partir de las de…niciones de las proposiciones compuestas bási-
6

7. cas, se tiene:
[(q ^ s) =) (s _ p)] Y (r ^ p)
[(V ^ F) =) (V _ V )] Y (F ^ V )
[ F =) V ] Y F
V Y V
F
Esto es, la proposición es falsa.
3.2. PROBLEMA
Determinar el valor de verdad de la siguiente proposición:
(4 >
p
2 ^ 1 < 0) =) [3 + 4 6= 6 _ (2 3 = 4 () 1 < 0)] .
SOLUCIÓN
A partir de las de…niciones de las proposiciones compuestas bási-
cas, se tiene:
(4 >
p
2 ^ 1 < 0) =) [3 + 4 6= 6 _ (2 3 = 4 () 1 < 0)]
(V ^ F) =) [V _ (F () V )]
( F ) =) [V _ F ]
F =) V
V
Esto es, la proposición es verdadera.
3.3. PROBLEMA
Determinar el valor de verdad de la proposición
[(p =) q) () r] =) [p () (q () r)], sabiendo que la
proposición [(p =) q) =) r] () [p =) (q =) r)] es falsa.
Solución
Puesto que la proposición [(p =) q) =) r] () [p =) (q =) r)]
es falsa, entonces se tiene que estudiar los dos siguientes casos:
Caso 1: [(p =) q) =) r] = V y [p =) (q =) r)] = F.
A partir de que [p =) (q =) r)] = F, se tiene que: p = V ,
q = V y r = F. Luego, estos valores obtenidos para p; q y r,
hacen que la proposición [(p =) q) =) r] sea falsa, lo cual es
una contradicción, pues en este caso estamos considerando que
7

8. [(p =) q) =) r] = V . Esto signi…ca que no existen valores de
verdad para las proposiciones p; q y r, tal que el caso 1 se cumpla.
Por lo tanto, en este caso, no podemos determinar el valor de ver-
dad de nínguna proposición.
Caso 2: [(p =) q) =) r] = F y [p =) (q =) r)] = V .
A partir de que [(p =) q) =) r] = F, se tiene que: (p =)
q) = V y r = F. Puesto que las proposiciones (p =) q) y r
tienen valores de verdad opuestos, la proposicicón [(p =) q) () r]
es falsa. Por lotanto, la proposición
[(p =) q) () r] =) [p () (q () r)] es verdadera, pues
una proposición condicional es verdadera si su antecedente es falso.
4. TIPOS DE PROPOSICIONES
A ciertas proposiciones, simples o compuestas, se les asigna el nombre
de:
4.1. TAUTOLOGÍA, si en su tabla de verdad todos los valores son
VERDADEROS para cualquier combinación de los valores de ver-
dad de sus proposiciones componentes. A estas proposiciones se
acostumbra denotarlas simplemente con la letra V.
4.2. CONTRADICCIÓN, si en su tabla de verdad todos los valores
son FALSOS para cualquier combinación de los valores de ver-
dad de sus proposiciones componentes. A estas proposiciones se
acostumbra denotarlas simplemente con la letra F.
4.3. CONTINGENCIA, si en su tabla de verdad contiene al menos un
valor V y al menos un valor F.
4.4. EJEMPLO.
La proposición [p _ q] =) (r ^ p) es una contingencia, ya que en
su tabla de verdad, dada en (1), se observa que contiene al menos
un valor V y al menos un valor F.
5. PROPOSICIONES LÓGICAS EQUIVALENTES
Dos proposiciones lógicas p y q se dicen que son EQUIVALENTES (ó
Lógicamente Equivalentes) si ellas tienen la misma tabla de verdad, en
este caso se acostumbra simbolizar como p q.
Ejemplo: las proposiciones [p () q] y [p Y q] son equivalentes, ya que
8

9. al obtener sus respectivas tablas de verdad vemos que son identicas.
Luego, podemos escribir simbolicamente como: [p () q] [p Y q].
6. LEYES BÁSICAS DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONAL
6.1. LEYES BÁSICAS
Se denomina asi a ciertas proposiciones lógicas equivalentes como:
1a p _ p p
1b p ^ p p
2a p _ q q _ p
2b p ^ q q ^ p
3a ( p _ q ) _ r p _ ( q _ r )
3b ( p ^ q ) ^ r p ^ ( q ^ r )
4a p _ ( q ^ r ) ( p _ q ) ^ ( p _ r )
4b p ^ ( q _ r ) ( p ^ q ) _ ( p ^ r )
5a p _ F p
5b p _ V V
6a p ^ F F
6b p ^ V p
7a p _ p V
7b p ^ p F
8a p p
8b F V ; V F
9a (p _ q) p ^ q
9b (p ^ q) p _ q
10 p =) q p _ q
11 p =) q q =) p
12 p ^ ( p _ q ) p
13 p _ ( p ^ q ) p
14 p () q (p =) q) ^ (q =) p)
15 p () q (p ^ q) _ (p ^ q)
16 p Y q (p ^ q) _ (q ^ p)
9

10. 6.2. OBSERVACIÓN.
Las leyes del álgebra nos permite:
a) A partir de una proposición extensa, obtener proposiciones
equivalentes de escritura más simple.
b) Determinar si una proposición es una tautología, Contradic-
ción ó contingencia.
c) Determinar si dos proposiciones dadas son o no equivalentes.
6.3. EJEMPLO.
Determinar si la proposición
[p =) (p ^ q)] () [q =) (p _ q)] ,
representa una tautología, contradicción o contingencia.
SOLUCIÓN
Usando las leyes del álgebra, tenemos:
[p =) (p ^ q)] () [q =) (p _ q)]
p _ (p ^ q) () [q _ (p _ q)] 10
p () [q _ (q _ p)] 4a y 2a
p () [(q _ q) _ p] 3a
p () (q _ p) 1a
[p =) (q _ p)] ^ [(q _ p) =) p)] 14
[p _ (q _ p)] ^ [(q ^ p) _ p] 10 y 9a
[p _ p _ q)] ^ [(q _ p) ^ V ] 2a y 4b
[(p _ p) _ q)] ^ [(q _ p) ^ V ] 2a
[ V _ q)] ^ [(q _ p) ^ V ] 7a y
V ^ (q _ p) 5b y 6b
q _ p 6b
Rpta: La proposición dada arriba es una contingencia.
7. FUNCIÓN PROPOSICIONAL
Es una expresión que contiene al menos una variable, que se transforma
10

11. en una proposición lógica al sustituir las variables por elementos de un
conjunto referencial.
7.1. EJEMPLOS:
a) Sea A = f0; 2; 3; 4; 5g el conjunto referencial y sea la función
proposicional x2
16 2. A partir de la función proposicional
se tienen las proposiciones lógicas: 02
16 2, 22
16 2,
32
16 2, 42
16 2 y 52
16 2. Las primeras tres proposi-
ciones son falsas y las últimas dos son verdaderas.
b) Sea A = f1; 3; 5g el conjunto referencial y sea la función proposi-
cional x y = 4. Al reemplazar las incógnitas de la función
proposicional por los valores de A se tienen varias proposiciones
lógicas. La proposición 5 1 = 4 es verdadera y todas las demás
proposiciones resultan ser falsas.
8. CUANTIFICADORES
A los símbolos 8 y 9 se les llama cuanti…cador universal y cuanti…cador
existencial, respectivamente.
En lo que sigue: A representará un conjunto referencial y p(x) repre-
sentará una función proposicional.
8.1. PROPOSICIÓN CON CUANTIFICADOR UNIVERSAL (8)
Forma General:
8x 2 A; p(x): (2)
Se lee: "Para cada x 2 A se cumple p(x)" ó "Para todo x 2 A
se cumple la condición p(x)" ó "Para cualquier x 2 A se cumple
p(x)" ó "Todo x 2 A cumple p(x)".
La propsición (2) es verdadera siempre que, para cada x 2 A,
p(x) es una proposición verdadera. Esto es, si para algún x 2 A,
p(x) es una proposición falsa , entonces la proposición (2) es falsa.
8.2. PROPOSICIÓN CON CUANTIFICADOR EXISTENCIAL (9)
Forma General:
9x 2 A : p(x): (3)
Se lee: "Existe al menos un x 2 A; tal que se cumple la condición
p(x)" ó "Para al menos un x 2 A se cumple p(x)" ó "Por lo menos
un x 2 A cumple p(x)".
La proposición (3) es falsa siempre que, para cada x 2 A, p(x)
11

12. es una proposición falsa. La proposición (3) es verdadera siempre
que, para al menos un x 2 A, p(x) es una proposición verdadera.
8.3. NEGACIONES DE PROPOSICIONES CON CUANTIFICADORES
Negación de una proposición existencial
Negar la proposición existencial 9x 2 A : p(x), es equivalente a
a…rmar que todo elemento de A no satisface la condición p(x). En
símbolos,
9x 2 A : p(x) 8x 2 A; p(x)
Negación de una proposición universal
Negar la proposición universal 8x 2 A; p(x), es equivalente a
a…rmar que existe al menos un elemento x de A que no satisface
la condición p(x). En símbolos,
8x 2 A; p(x) 9x 2 A : p(x)
8.4. PROPOSICIÓN EXISTENCIAL PARTICULAR (9!)
Forma General:
9!x 2 A; p(x): (4)
Se lee: "Existe un único x 2 A; tal que se cumple la condición
p(x)" ó "Para un único x 2 A se cumple la condición p(x)" ó
"Para exactamente un x 2 A se cumple la condición p(x)".
La proposición (4) es falsa si existen por lo menos dos elementos
distintos x1; x2 2 A, tal que p(x) es una proposición verdadera.
La proposición (4) es verdadera si existe un único elemento x 2 A,
tal que p(x) es una proposición verdadera.
8.5. EJEMPLO
Dadas las proposiciones
[9x 2 Z : 5x 2 6= 7] ^ 8x 2 N; x2
+ 9 6x (5)
y
[8a 2 Z; a 0] =) 9x 2 R : x10
= x3
, (6)
exprese sus respectivas negaciones en disyunciones y/o conjun-
ciones.
Solución
12

13. i) Las negación de la proposición en (5) es expresada por:
[9x 2 Z : 5x 2 6= 7] ^ [8x 2 N; x2 + 9 6x];
la cual es equivalente a:
[9x 2 Z : 5x 2 6= 7] _ [8x 2 N; x2 + 9 6x];
que a su vez es equivalente a la proposición:
h
8x 2 Z; [5x 2 6= 7]
i
_
h
9x 2 N; [x2 + 9 6x]
i
y, al mismo tiempo, equivalente a la proposición:
[8x 2 Z; 5x 2 = 7] _ 9x 2 N; x2
+ 9 < 6x :
ii) Las negación de la proposición en (6) es expresada por:
[8a 2 Z; a 0] =) [9x 2 R : x10 = x3];
la cual es equivalente a:
[8a 2 Z; a 0] _ [9x 2 R : x10 = x3];
que a su vez es equivalente a la proposición:
[8a 2 Z; a 0] ^ [9x 2 R : x10 = x3]
y, al mismo tiempo, equivalente a las proposicioes:
[8a 2 Z; a 0] ^
h
8x 2 R : x10 = x3
i
y
[8a 2 Z; a 0] ^ 8x 2 R : x10
6= x3
:
13

14. GUÍA DE EJERCICIOS
1: Hallar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
a) ( 4
p
4 >
p
2 ^ 1 > 0) =)
hp
2 4
p
4 _ ( 1
4p
4
< 1p
2
() 1 < 0)
i
b) 3
p
8 >
p
2 ^ 8 < 0 =)
hp
2 3
p
8 _ ( 1
3p
8
< 1p
2
() 8 > 0)
i
2: Sean p; q; r; s y n cinco proposiciones lógicas. Si el valor de verdad de la
proposición
h
(p =) q) =) r
i
=) (s ^ r) es falsa y el valor de verdad de la
proposición p _ q es falso, determinar el valor de verdad de las siguientes dos
proposiciones: [(n =) p) ^ r] =) p y s =) (p () r):
3: Determinar el valor de verdad de la siguiente proposición
[(p =) q) () r] =) [p () (q () r)], sabiendo que el valor de
verdad de la proposición [(p =) q) =) r] () [p =) (q =) r)] es
falsa.
4: A partir de que la proposición (p =) q) _ (r =) s) es falsa, deducir
el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) (p ^ q) _ q
b) [(r _ q) ^ q] () [(q _ r) ^ s]
c) (p =) r) =) [(p _ q) ^ q] :
5: Si se sabe que las proposiciones (p ^ q) y (q =) t) son falsas, entonces
determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:
a) (p _ t) _ s b) [p ^ (q _ p)]
c) p _ (q ^ t) ()
h
(p =) q) ^ (q ^ t)
i
14

15. 6: Si la proposición (p ^ q) =) [(p ^ r) _ t] es falsa, determine el valor de
verdad de las siguientes proposiciones:
a) (q _ p) =) (r _ t)
b) (q ^ r) _ t ^ (q _ p)
c) [p =) t] =) (q =) r)
7: Sean r y s proposiciones cuyos valores de verdad son opuestos. Si la
proposición (p _ q) () (r ^ s) es verdadera, determine el valor de verdad
de las siguientes proposiciones:
a) [(p ^ q) _ (r ^ s)] ^ p
b)
h
(p _ q) ^ (r _ s)
i
_ (p _ q)
c) [(r ^ s) =) (s _ p)] Y (r ^ p)
8: Si p; q; r; s; t; w son proposiciones tales que, la proposición (p ^ r) ()
(s =) w) es verdadera y la proposición (w =) s) es falsa, determine el
valor de verdad de las siguientes proposiciones:
a) (p ^ q) _ r _ s
b) (s () w) =) (r _ p)
c) [t =) (w _ p)] ^ (p =) r)
9: Si la proposición [(p Y q) ^ (p _ q)] =) [r () s] es falsa, ¿cuáles de
las siguientes proposiciones son necesariamente verdaderas?:
a) (p ^ q) =) (p ^ s)
b) [p _ r] =) (r _ s)
c) (r ^ s) =) (p Y r)
15

16. 10: Determine cuales de las siguientes proposiciones son tautologías:
a)
h
(p _ q) =) q
i
() (p =) q).
b) [p () q] () (p =) q).
c) ([p ^ q) _ (p ^ (p _ q))] () (p =) q)
d) [(p _ q) ^ q] =) p
e) [(p ^ q) _ q] () q.
f) [p ^ (q _ r)] ()
h
(p ^ q) _ (p _ r)
i
g) (q =) p) () (q _ p)
h) [(p ^ q) _ q] () [(p ^ q) _ q]
i) [p =) q] () [(q _ p) ^ q]
11: Demostrar que las siguientes tres proposiciones son equivalentes:
a) [(q _ p) _ (q ^ (r _ p))]
b) (p ^ q) ^ [q _ (r _ p)]
c) [q =) p] ^
h
p =) (p =) r)
i
12: ¿Cuáles de las siguientes cuatro proposiciones son equivalentes a la
proposición (p =) q) =) r?
a) [p ^ q ^ r] b) (p ^ q) _ r
c) (q _ r) ^ [r ^ q] d) p _ p _ r
13: Determinar si las proposiciones [(s =) w) _ (t =) w)] y w =) t _ s
son equivalentes.
16

17. 14: Sea A = f1; 2; 3g. Determinar el valor de verdad de cada una de las
siguientes proposiciones y escriba sus correspondientes negaciones:
a) 8x 2 A; 8y 2 A; x2
+ 3y < 12
b) 8x 2 A; 9y 2 A : x2
+ 3y < 12
c) 9x 2 A : 8y 2 A; x2
+ 3y < 12
d) 9x 2 A : 9y 2 A : x2
+ 3y < 12
15: Sean los conjuntos A = f2; 3; 8g y B = f1; 2; 7g, ¿cuáles de las siguientes
proposiciones son verdaderas?:
a) 9x 2 A : 8y 2 B; x + y 9
b) 9x1; x2 2 A ^ 9y1; y2 2 B : 2(x1 + x2) = y1 + y2
c) 8x 2 A; 8y 2 B; x + 2y < 23
16: Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposi-
ciones y escriba sus correspondientes negaciones:
a) 8x 2 Z; x + 1 > x b) 9x 2 Z; x2
+ 1 = 0
c) 9x 2 Z; x2
= x d) 8x 2 Z; x2
1 > 0
e) 9x 2 R : x = 0 f) 8x 2 R, x2
x
= x
g) 8x 2 R; 8y 2 R, [( x)( y) = xy =) xy > 0]
h) [9x 2 N : x + 2 = 5] ^ [8x 2 N; x2
> x]
i) [8x 2 Z; -x < 0] _ [9x 2 Z : -x2
= x]
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