Este documento presenta dos métodos numéricos para encontrar las raíces o soluciones de ecuaciones: el método de bisección y el método de Newton-Raphson. El método de bisección divide repetidamente el intervalo que contiene la raíz, mientras que el método de Newton-Raphson traza la tangente en cada punto para encontrar una aproximación mejorada. También introduce el método de la secante, que aproxima la pendiente entre dos puntos en lugar de usar la derivada. El documento provee ejemplos detallados de cómo aplicar estos mé

1. Guía de estudio Matemática V
11
TEMA 2
SOLUCION DE ECUACIONES NO LINEALES
En este capítulo estudiaremos uno de los problemas básicos de la aproximación
numérica: el problema de la búsqueda de raíces o solución de una ecuación dada.
El problema de encontrar a la raíz de una ecuación se remonta por lo menos al
año 1700 a.C. Una tabla cuneiforme que pertenece a la Yale Babylonian
Collection, y que data de este periodo da un número sexagesimal (base 60)
equivalente a 1.414222 como aproximación a 2 , resultado que tiene una
presición de hasta 10-5
. Los métodos numéricos que se tratarán se utilizan para
obtener tales raíces, cuando no es posible obtener respuestas exactas con
métodos algebraicos.
2.1. EL METODO DE BISECCION:
El método de bisección (conocido también como de corte binario, de partición de
intervalos o de bolzano), es un tipo de búsqueda incremental en el que el intervalo
se divide a la mitad.
Teorema del valor intermedio de
Bolzano
Supongamos que f es una función
continua definida en el intervalo
[a,b] con f(a) y f(b) de signos
diferentes, entonces existe un
número c en (a,b) tal que f(c)=0
b
a
f(b)
f(a)
c
Descripción del método:
Si la función cambia de signo sobre un intervalo [a1 ,b1], se evalúa el valor de la
función en el punto medio.
2
1
1 b
a +
1
P = , El siguiente subintervalo [a2 ,b2] es aquel
dentro del cual ocurre un cambio de signo. Luego
2
2
2
2
b
a
P
+
= .
El proceso se repite, dividiendo los subintervalos en intervalos cada vez mas
pequeños [an ,bn], donde
2
n
n
n
b
a
P
+
= será la aproximación de la raíz.
Criterio de paro:
Si llamamos a ε , la tolerancia, el proceso de iteración termina cuando <
− n
n a
b
2
ε

2. Guía de estudio Matemática V
12
O también puede usarse el siguiente criterio <
− −
n
n
P
P
P 1
n
ε
b1
a1
f(b)
f(a)
c
P1
b2
a2 P2
fx-570ES ó 991 ES
Se recomienda a los estudiantes
el uso de estos modelos o uno
superior, para la aplicación de
los métodos numéricos.
Ejemplo:
La función tiene una raíz en [ 1 , 2 ] . Utilice el método de
bisección para aproximar la raíz. Tome
5
4
)
( 3
−
+
= −
x
e
x
f x
ε = 10-3
y utilice el criterio <
− n
n a
b
2
ε .
Solución:
f es una función continua en el intervalo [ 1 , 2 ], donde f(1) = –0.63212056 y f(2) =
27.135335 53, de signos diferentes, entonces existe un número c en (a,b) tal que
f(c)=0
Utilizando una hoja de cálculo1
, se obtuvo después de 10 iteraciones:
n an bn Pn f(Pn) f(an) (bn–an)/2
1 1 2 1,5 8,72313016 -0,63212056 0,5
2 1 1,5 1,25 3,0990048 -0,63212056 0,25
3 1 1,25 1,125 1,01996497 -0,63212056 0,125
4 1 1,125 1,0625 0,14344232 -0,63212056 0,0625
5 1 1,0625 1,03125 -0,2565982 -0,63212056 0,03125
6 1,03125 1,0625 1,046875 -0,05968781 -0,2565982 0,015625
7 1,046875 1,0625 1,0546875 0,04109415 -0,05968781 0,0078125
8 1,046875 1,0546875 1,05078125 -0,0094919 -0,05968781 0,00390625
9 1,05078125 1,0546875 1,05273438 0,01575227 -0,0094919 0,00195313
10 1,05078125 1,05273438 1,05175781 0,00311798 -0,0094919 0,00097656
1
En el Apendice 1 se indica como se elaboró la hoja de cálculo usada aqui.

3. Guía de estudio Matemática V
13
Observe que en la décima iteración:
<
⋅
=
=
−
=
− −4
10
7656
,
9
00097656
,
0
05273438
,
1
05078125
,
1
n
n a
b
2
2
ε .
Asi x ≈ Pn = 1,05175781
Veamos ahora en la grafica de los primeros pasos del
procedimiento:
5
4
)
( 3
−
+
= −
x
e
x
f x
ACTIVIDAD No. 5
1. Utilice el método de bisección para aproximar la solución de x
x cos
= , en el
intervalo [ 0 , 1 ]. Tome ε = 10-3
y utilice el criterio <
−
2
n
n a
b
ε .
2. Determine las raíces reales de , en el intervalo [ 0 , 1 ]
Tome
0
2
3
)
( 2
=
−
+
−
= x
x
e
x
f x
ε = 0,5% y utilice el criterio <
⋅
− −
%
100
1
n
n
P
P
P
n
ε .
3. Encuentre una aproximación correcta a 3
25 con una exactitud de 10-4
por
medio del algoritmo de bisección. [Sugerencia: Considere ].
utilice el criterio
25
)
( 3
−
= x
x
f
<
− n
n a
b
2
ε en el intervalo [ 2 , 3 ] ].
fx-570ES ó 991 ES
En el apéndice 2 se explica como
programar esta calculadora para
aplicar el método de bisección al
ejemplo planteado en clase.
P1=1,5
P2=1,25
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−2
−1
1
2
3
4
5
x
y
SCILAB - Alumnos con
laboratorio -
Las actividades 5-7 se resolverán
aplicando programas en SCILAB.
Tendrán a su disposición la guía
PROGRAMANDO EN SCILAB
4.1

4. Guía de estudio Matemática V
14
4. La velocidad de un paracaidista que cae esta dada por:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
− t
m
c
e
c
gm
v 1
Calcule la masa de un paracaidista si a los t=9s de haberse lanzado su
velocidad v era de 35 m/s. Tome g=9,8 m/s2
y el coeficiente de arrastre c=15
kg/s. Utilice el método de bisección para aproximar la solución en el intervalo.
Tome ε = 1% y utilice el criterio <
⋅
− −
%
100
1
n
P
n
n P
P
ε .
[Sugerencia: Grafique v
e
c
gm
m
f
t
m
c
−
⎟
⎟
⎞
⎜
⎜
⎛
−
=
−
1
)
(
⎠
⎝
y seleccione un intervalo
[a1 ,b1] adecuado que contenga al punto de corte de la función]
2.2. EL METODO DE NEWTON - RAPHSON:
El método de Newton (conocido también como el método de Newton-Raphson) es
un algoritmo eficiente para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una
función real. También puede ser usado para encontrar el máximo o mínimo de una
función, encontrando los ceros de su primera derivada.
Descripción del método:
La idea de este método es la siguiente: se comienza con un valor razonablemente
cercano a la raíz (denominado valor inicial xi), entonces se traza la tangente a la
función desde el punto (xi, f(xi)) hasta cortar el eje x en xi+1.
xi
xi+1
f(xi)
c
Recta
tangente 1
+
0
)
(
)
(
'
−
−
= i
i
x
x
x
f
x
f
i
i
Despejando xi+1
)
(
'
)
(
1
i
i
i
x
f
x
f
x
x −
=
+
i
Este xi+1 será, generalmente, una aproximación mejor a la raíz de la función.
Luego, se aplican tantas iteraciones como se deseen.
)
(
'
)
(
1
n
n
n
x
f
x
f
x
x −
=
+
n
La cual se conoce como formula de Newton-Raphson

5. Guía de estudio Matemática V
15
Criterio de paro:
Si llamamos a ε , la tolerancia, el proceso de iteración termina cuando,
<
−
+1 n
n
x
x
x
+1
n
1
ε o <
)
( n
x
f 2
ε
Ejemplo:
Utilice el método de Newton para calcular raíz de la función
tomando como valor inicial 1,5. Tome
5
4
)
( 3
−
+
= −
x
e
x
f x
ε = 10-3
y utilice el criterio <
−
+1 n
n
x
x
x
+1
n
ε .
Solución:
La derivada esta dada por: 2
12
)
(
' x
e
x
f x
+
−
= −
Utilizando una hoja de cálculo, se obtuvo después de 4 iteraciones:
i Xi f (Xi) f' (Xi) Xi+1
1
1
+
+ −
i
i
i
x
x
x
1 1,5 8,72313016 26,7768698 1,17422891 0,27743406
2 1,17422891 1,78522799 16,2367051 1,06427877 0,10330953
3 1,06427877 0,16696524 13,247295 1,05167504 0,011984427
4 1,05167504 0,00204828 12,9228927 1,05151654 0,000150735
Observe que en la cuarta iteración <
⋅
=
− −
+
+ 4
1
1
10
50735
,
1
n
n
x
x
x n ε .
Asi x ≈ 1,05167504
Considere ahora lo siguiente: Sustituya y en
)
( i
x
f )
(
' i
x
f
)
(
'
)
(
1
i
i
i
x
f
x
f
x
x −
=
+
i
2
3
1
12
5
4
x
i
x
i
i
x
e
x
e
x
x
i
i
+
−
−
+
−
= −
−
+
i
, ahora la tabla nos queda:
i Xi
1
1
+
+ −
i
i
i
x
x
x
0 1,5 1
1 1,17956917 0,27165073
2 1,06945733 0,10296048
3 1,0526878 0,0159302
4 1,05157771 0,00105564
fx-570ES ó 991 ES
En el apéndice 3 se explica
como programar esta
calculadora para aplicar el
método de Newton-Raphson al
ejemplo planteado en clase.

6. Guía de estudio Matemática V
16
ACTIVIDAD No. 6
1. Elabore Diagramas de flujo para los métodos de Bisección y Newton-Raphson.
Diseñe su propia hoja de cálculo aplicar el método de Newton-Raphson.
2. Resuelva aplicando el método de Newton los ejercicios de la ACTIVIDAD No.
5. Tome como valores iniciales los puntos medios de los intervalos dados.
3. Utilice el método de Newton para calcular la raíz de la función
tomando como valor inicial -1. Tome
x
x
x
f cos
)
( 3
−
−
= ε = 10-3
. ¿Podríamos
utilizar como valor inicial 0? Justifique su respuesta.
4. Con el método de Newton resuelva la ecuación )
2
cos(
1
1
1 2
x
xsenx
x −
−
+
2
4
2
, con
valor inicial de π/2. Itere hasta lograr una exactitud de 10-5
. Explique porque el
resultado parece poco usual para el método de Newton. Intente con valores
iniciales de 5π y 10π.
5. Aunque en general el método de Newton-Raphson es muy eficiente, hay
situaciones donde se comporta de manera deficiente. Para comprobarlo intente
determinar la raíz positiva de usando un valor inicial de 0,5.
¿Cómo se comportan las aproximaciones durante las iteraciones? ¿Cuántas
iteraciones son necesarias para determinar que la raíz es 1?, ¿Cual cree usted
que es el problema?. ¿Podríamos utilizar como valor inicial 0? Justifique su
respuesta.
1
)
( 10
−
= x
x
f
2.3. EL METODO DE LA SECANTE:
Es una variación del método de Newton-Raphson, donde en vez de calcular la
derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de
derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en el
punto de estudio y en el punto de la iteración anterior. Este método es de especial
interés cuando el coste computacional de derivar la función de estudio y evaluarla
es demasiado elevado, por lo que el método de Newton no resulta atractivo.
Descripción del método:
Comenzando con dos aproximaciones iniciales y , para poder inducir una
pendiente inicial
0
x 1
x
0
1
0
1 )
(
)
(
x
x
x
f
x
f
−
−
. La aproximación será la intersección de la
recta que une ( y con el eje
2
x
))
(
, x
f
x 0
0 1
1 ))
(
,
( x
f
x x . Ahora tenemos la recta de

7. Guía de estudio Matemática V
17
pendiente es
1
2
1
2 )
(
)
(
x
x
x
f
x
f
−
−
. La aproximación será la intersección de la recta
que une y con el eje
3
x
))
(
,
( 1
1 x
f
x ))
(
,
( 2
2 x
f
x x .
Luego, se aplican tantas iteraciones como se deseen.
1
−
−
−
1)
(
)
(
)
(
'
−
≅
i
i
i
i
x
x
x
f
x
f
f i
x
Esta aproximación se sustituye en la
ecuación de Newton
)
(
'
)
(
1
i =
+
i
i
x
f
i
x
f
x
x −
1
−
− i
i x
x
1)
(
)
(
)
(
−
−
−
i
i
i
i
x
f
x
f
x
f
x
x 1
+ =
i
)
(
)
(
)
)(
( 1
1
−
−
−
1
+
−
−
i
i
i
i
i
i
x
f
x
f
x
x
x
f
x
x =
i
x1
x0
f(x1)
c
Recta
secante
f(x0)
x2
x3
)
(
)
1
1
−
−
−
n
n
x
x
)
(
)(
(
−
−
n
n
n
x
f
x
x
f
1
+ = n
n
f
x
x La cual se conoce como formula de la secante.
Criterio de paro:
ε
Si llamamos a , la tolerancia, el proceso de iteración termina cuando,
<
n
x
1
−
+
+
1
1
n
n
x
x
ε o <
)
( n
x 2
ε
f
Ejemplo:
Utilice el método de la secante para calcular raíz de la función
tomando como valores iniciales 1 y 2. Tome
5
4
)
( 3
−
+
= −
x
e
x
f x
ε = 10-3
Solución:
Considere ahora lo siguiente: Sustituya y en
)
( i
x
f )
( 1
−
i
x
f
)
)
1
1
−
−
i
i
x
x
(
)
(
1
+
−
i
i
i
f
x
f
)(
( −
−
= i
i x
x
f
x
x
))
5
4
(
)
5
4
((
)
)(
5
4 3
−
+ i x
x
(
3
1
3
1
1
1
−
+
−
−
+
−
−
=
−
−
−
−
−
+
−
i
x
i
x
i
i
x
i
i
x
e
x
e
x
e
x
x
i
i
i

8. Guía de estudio Matemática V
18
La aproximación estaría dada por:
x2
))
5
)
1
(
4
(
)
5
)
2
(
4
((
)
1
2
)(
5
)
2
(
4
(
2
))
5
4
(
)
5
4
((
)
)(
5
4
(
1
2
2
3
2
3
3
0
1
3
1
1
2
0
1
1
−
+
−
−
+
−
−
+
−
=
−
+
−
−
+
−
−
+
−
= −
−
−
−
−
−
e
e
e
x
e
x
e
x
x
x
e
x
x x
x
x
0
1
0227648
,
1
367879
,
3
6321206
,
0
1
))
1
(
)
5
32
((
)
5
32
(
2 1
2
2
2 =
−
−
=
−
−
−
+
−
+
−
= −
−
−
e
e
e
x
Utilizando una hoja de cálculo, se obtuvo después de 4 iteraciones (2 ~ 5):
i Xi
1
1
+
+ −
i
i
i
x
x
x
0 1
1 2 1
2 1,0227648 0,9554838
3 1,03559344 0,01238771
4 1,0519841 0,01558071
5 1,05150907 0,00045176
<
⋅
=
− −
+
+ 4
1
1
10
5176
,
4
n
n
n
x
x
x
ε .
Observe que en la cuarta iteración
Asi x ≈ 1,05150907
ACTIVIDAD No. 7
1. Elabore el Diagrama de flujo para el método de la Secante. Diseñe su propia
hoja de cálculo aplicar este método.
2. Resuelva aplicando el método de la Secante los ejercicios de la ACTIVIDAD
No. 5. Tome como valores iniciales los extremos de los intervalos dados.
3. Utilice el método de Secante para calcular la raíz de la función
, tome como valores iniciales 0,3 y 0,5 y
1
)
(
8
)
( −
⋅
= −x
e
x
sen
x
f ε = 10-3
.
4. Elabore programas amigables para aplicar los tres métodos estudiados para la
solución de ecuaciones no lineales (Laboratorio).
fx-570ES ó 991 ES
En el apéndice 4 se explica
como programar esta
calculadora para aplicar el
método de la Secante al
ejemplo planteado en clase.

9. APENDICE No 1
Para escribir las formulas sigue esta
secuencia:
Vamos con la Primera fila:
1. En C8 escribe En D8 escribe
=C3 =C4
2. En E8 escribe
=(C8+D8)/2
3. En F8 escribe la función en el lenguaje
de la hoja de cálculo, por ejemplo
5
4
)
( 3
−
+
= −
x
e
x
f x
se escribe:
=EXP(-E8)+4*E8^3-5
4. En G8 escribe
=EXP(-C8)+4*C8^3-5
5. En H8 escribe
=(D8-C8)/2
9. En F9 escribe y copia en toda la columna
=SI(O(H8<$C$5;H8="");"";EXP(-E9)+4*E9^3-5)
10.En G9 escribe y copia en toda la columna
=SI(O(H8<$C$5;H8="");"";EXP(-C9)+4*C9^3-5)
11.En H9 escribe y copia en toda la columna
=SI(O(H8<$C$5;H8="");"";(D9-C9)/2)
Autor: Ing. Neptali Franco
Demás filas
6. En C9 escribe y copia en toda la columna
=SI(O(H8<$C$5;H8="");"";SI(G8*F8<0;C8;E8))
7. En D9 escribe y copia en toda la columna
=SI(O(H8<$C$5;H8="");"";SI(G8*F8<0;E8;D8))
8. En E9 escribe y copia en toda la columna
=SI(O(H8<$C$5;H8="");"";(C9+D9)/2)

10. APENDICE No 2
Observación: Observe que en la iteración 5 f(Pn)*f(an)>0, por lo
cual en la siguiente iteración an=Pn, mientras que bn no cambia.
Luego para A?1.03125, presione [ = ] y para B? presione [ = ]
1.046875
-0.05968781016
-0.256598199
Nuevamente f(Pn)*f(an)>0
Usando la calculadora fx-570ES ó 991 ES:
Escriba en la pantalla las formulas para Pn,
f(Pn), f(an):
(A+B) ÷2: :
5
4 3
−
+
−
ANS
e ANS
5
4 3
−
+
−
A
e A
Presione la tecla CAL. Escriba para A?1,
Presione [ = ] y para B?2, Presione [ = ] hasta
obtener los siguientes resultados:
1.5
8.72313016
-0.632105588
(Regla: Si f(Pn)*f(an)<0 haga bn=Pn, en caso
contrario haga an=Pn). Para A? presione [ = ] y
para B?1.5, presione [ = ] hasta obtener los
siguientes resultados:
1.25
3.099004797
-0.632105588
f(Pn)*f(an)<0. Para A? presione [ = ] y para
B?1.25, presione [ = ] hasta obtener los
siguientes resultados:
1.125
1.019964967
-0.632105588
Continúe el procedimiento hasta obtener un
valor Pn mas aproximado a la raíz verdadera.

11. APENDICE No 3
Usando la calculadora fx-570ES ó 991 ES
Escriba en la pantalla 1.5 y presione [ SHIFT ],
[STO] y luego presione [X]:
1.5→X
2
3
Escriba la formula de Newton y presione
[ SHIFT ], [STO] y luego presione [X]:
X
x
X
e
dx
d
X
e
X
X
X
=
−
+
−
+
−
−
−
)
5
4
(
5
4
3
3
→X
1.174228907
Presione [ = ] para obtener la siguiente
aproximación:
X
x
X
e
dx
d
X
e
X
X
X
=
−
+
−
+
−
−
−
)
5
4
(
5
4
3
3
→X
1.064278767
Continúe presionando [ = ] hasta obtener la
aproximación deseada.
Autor: Ing. Neptali Franco

12. APENDICE No 4
Usando la calculadora fx-570ES ó 991 ES
Ingrese los valores iniciales:
Escriba 2 y presione [ SHIFT ], [STO] y luego
presione [X]. Escriba 1 y presione [ SHIFT ], [STO]
y luego presione [Y]:
Escriba X y presione [SHIFT ], [STO] y luego
presione [A]. Presione [ALPHA], [:]. En la misma
línea escriba la formula de la Secante y presione
[SHIFT ], [STO] y luego presione [X]. Presione
[ALPHA], [:]. Escriba A y presione [SHIFT ], [STO] y
luego presione [Y]
Y
A
X
Y
e
X
e
Y
X
X
e
X
A
X
Y
X
X
→
→
−
+
−
−
+
−
−
+
−
→
−
−
−
:
)
5
4
(
5
4
)
)(
5
4
(
:
3
3
3
1.022764799
Presione [ = ] hasta obtener la siguiente
aproximación:
Y
A
X
Y
e
X
e
Y
X
X
e
X
A
X
Y
X
X
→
→
−
+
−
−
+
−
−
+
−
→
−
−
−
:
)
5
4
(
5
4
)
)(
5
4
(
:
3
3
3
1.035593435
Continúe presionando [ = ] hasta obtener la
aproximación deseada.
Autor: Ing. Neptali Franco