Coeficientes Indeterminados - Enfoque de Superposición
Para obtener la solución general de una ecuación diferencial lineal no homogénea
se deben de llevar a cabo dos cosas:
a. Hallar la función complementaria
b. Encontrar cualquier solución particular py de la ecuación no homogénea.
Recordemos que una solución particular es cualquier función, libre de constantes
arbitrarias, que satisface la ecuación diferencial idénticamente. La solución general
de una ecuación no homogénea en un intervalo es c py y y  .
El método de coeficientes indeterminados presentado no esta limitado a
ecuaciones de segundo orden, si se limita a ecuaciones lineales no homogéneas:
 Que tengan coeficientes constantes, y
 Donde ( )g x es una constante k , una función algebraica, una función
exponencial
x
e
, sen x , cos x , o sumas de productos finitos de estas
funciones.
Nota. Estrictamente hablando ( )g x k (una constante) es una función algebraica.
Como probablemente una función constante no es en lo primero que se piensa
cuando nos referimos a funciones algebraicas por énfasis se continua usando la
redundancia “funciones constantes, polinomios,……”
Los siguientes son algunos ejemplos de este tipo de funciones de entrada ( )g x
que son apropiadas para este tema:
 ( ) 10g x 

2
( ) 5g x x x 

4
( ) 15 6 8 x
g x x e
  
 ( ) 3 5 cos2g x sen x x x 
  2
( ) cos 3 1x x
g x e x x e
  
Y así sucesivamente. Esto es ( )g x es una combinación lineal de funciones del
tipo: ( tan ), , , cos yn n x n n n n
k cons te x x e x e x x e sen x  
  , donde n es un

entero no negativo y  y  son números reales. El método de coeficientes
indeterminados no es aplicable a ecuaciones de la forma:
" ' ( )ay by cy g x   (1)
Cuando:
 ( ) lng x x

1
( )g x
x

 ( ) tang x x

1
( )g x sen x

Y así sucesivamente.
El conjunto de funciones consisten de constantes, polinomios, exponenciales
x
e
,
senos y cosenos, tienen la propiedad de que las derivadas de sus sumas y
productos son nuevamente sumas y productos de constantes, polinomios,
exponenciales
x
e
, senos y cosenos. Puesto que la combinación lineal de las
derivadas " 'p p pay by cy  deben ser idénticamente igual a ( )g x . Esta
suposición puede caracterizarse mejor como una conjetura o una adecuada
propuesta.
Se deben considerar los siguientes casos los cuales son fundamentales para la
aplicación de este método de solución.
Caso I
Ninguna función que se suponga como solución particular es una solución de la
ecuación diferencial homogénea asociada.
En la siguiente tabla se ilustran algunos ejemplos específicos de ( )g x en (1)
junto con la forma correspondiente de la solución particular. Por supuesto, se da
por hecho, que ninguna función en la solución particular propuesta py se duplica
con una función en la función complementaría cy .

Tabla 1. Propuesta de Soluciones particulares
( )g x Forma de py
1. 1 (cualquier constante) A
2. 5 7x  Ax B
3.
2
3 2x  2
Ax Bx C 
4.
3
1x x  3 2
Ax Bx Cx D  
5. 4sen x cos4 4A x Bsen x
6. cos4x cos4 cos4A x B x
7.
5x
e 5x
Ae
8.   5
9 2 x
x e   5x
Ax B e
9.
2 5x
x e  2 5x
Ax Bx C e 
10.
3
4x
e sen x 3 3
cos4 4x x
Ae x Be sen x
11.
2
5 4x sen x    2 2
cos4 4Ax Bx C x Dx Ex F sen x    
12.
3
cos4x
xe x    3 3
cos4 4x x
Ax B e x Cx D e sen x  
Si ( )g x consiste de una suma, digamos, de m términos de la clase mostrada en
la tabla anterior, entonces la suposición de una solución particular py consiste en
la suma de propuestas de la forma 1 2, ,........p p pmy y y correspondientes a esos
términos:
1 2 ......p p p pmy y y y   
Puesto de otra forma:
La forma de py es una combinación lineal de todas las funciones linealmente
independientes que se generan al derivar repetidamente a ( )g x .
Caso II

Una función en la solución particular propuesta es también una solución de la
ecuación diferencial homogénea.
Supóngase una vez más que ( )g x consiste de m términos de la clase dada en
la tabla mencionada anteriormente y suponga que la propuesta para una solución
particular es:
1 2 ....p p p pmy y y y   
Donde 1,2,...., ,piy i m son de las formas de las soluciones particulares
correspondientes de estos términos. Bajo la circunstancia descrita en el Caso II,
se puede diseñar la siguiente regla general:
Si cualquier py contiene términos que se duplican en cy , entonces esa py , debe
multiplicarse por
n
x , donde n es el entero positivo más pequeño que eliminar esa
duplicación.
Problemas Propuestos
En los siguientes problemas resuelva la ecuación diferencial dada por coeficientes
constantes.
1. '' 3 ' 2 6y y y  
Planteamiento
Paso 1. Primero se resuelve la ecuación homogénea asociada
'' 3 ' 2 0y y y  
Proponiendo
mx
y e , se obtiene la ecuación auxiliar
2
3 2 0m m   , por
lo tanto sus raíces serian 1 1m   y 2 2m   de modo que la solución
complementaria de la ecuación diferencial dada es:
2
1 2
x x
cy c e c e 
 
Paso 2. Ahora, puesto que la función de entrada ( )g x es un constante,
supóngase una solución particular que tiene también la forma de una
constante:

py A
Se busca determinar el coeficiente específico A para el cual py es una
solución de la ecuación diferencial. Sustituyendo py y las derivadas:
' 0 y '' 0p py y 
Se obtiene:
0 0 2 6
6
2 6 3
2
A
A A A
  
    
Paso 3. La solución general de la ecuación dada es
2
1 2 3x x
c py y y c e c e 
    

Muestra en Mathematica 8 que la solución que se obtuve anteriormente es
correcta.
2. '' 4 3 2y y sen x 
Planteamiento
Paso 1. Primero se resuelve la ecuación homogénea asociada '' 4 0y y 
Proponiendo
mx
y e , se obtiene la ecuación auxiliar
2
4 0m   , por lo
tanto sus raíces serian 1 2m i y 2 2m i  de modo que la solución
complementaria de la ecuación diferencial dada es:
1 2cos2 2cy c x c sen x 

Paso 2. Ahora, puesto que la función de entrada ( ) 3 2g x sen x es una
función senoidal, nuestra tentativa lógica seria de 1
cos2 2py A x Bsen x 
suponemos con esto una solución particular que tiene también la forma de
senoidal de acuerdo a nuestra tabla 1 de propuestas de soluciones
particulares y considerando que hay una duplicación obvia en los términos
senx y cos x en esta forma tentativa en la función complementaria,
podemos eliminar esta repetición con solo multiplicar 1py por x :
cos2 2py Ax x Bxsen x 
Se busca determinar el coeficiente específico A y B para el cual py es
una solución de la ecuación diferencial. Sustituyendo py y las derivadas:
' 2 2 cos2 2 cos2 2 y
'' 4 cos2 2 2 2 2 4 2 2 cos2 cos2
'' 4 cos2 4 2 4 2 3 cos2
p
p
p
y Axsen x A x Bx x Bsen x
y Ax x Asen x Asen x Bxsen x B x B x
y Ax x Asen x Bxsen x B x
    
      
    
Sustituyendo en la ecuación diferencial dada, se obtiene:
 4 cos2 4 2 4 2 3 2 4 cos2 2 3 2
4 cos2 4 2 4 2 3 cos2 4 cos2 4 2 3 2
Ax x Asen x Bxsen x Bcos x Ax x Bxsen x sen x
Ax x Asen x Bxsen x B x Ax x Bxsen x sen x
      
      
Eliminando términos semejantes
4 cos2 4 cos24 2 44 2 3 cos2 3 2
4 2 3 cos2 3
2
2
Bxsen x BxAsen x B x sen x
Asen
Ax x Ax
x B x
sen
se
x x
n x
  
  
  

Y así
3
4 3
4
3 0 0
A A
B B
    
  
En consecuencia de nuestro sistema de ecuaciones se obtiene
3
cos2
4
py x x 
Paso 3. La solución general de la ecuación dada es
1 2
3
cos2 2 cos2
4
c py y y c x c sen x x x    

Muestra en Mathematica 8 que la solución que se obtuve anteriormente es
correcta