Lógica Matemática

1. MATEMÁTICAS
Autor Anónimo
INTRODUCCIÓN LÓGICA MATEMÁTICA
UNIDAD 1
LÓGICA MATEMÁTICA
TEMA 1

2. SUBTEMAS
• PROPOSICIONES
• TABLAS DE VERDAD
• OPERADORES LÓGICOS
• CÁLCULO PROPOSICIONAL
2

3. OBJETIVO DEL TEMA
Traducir al lenguaje formal proposiciones
lógicas compuestas, para construir las tablas
de valores de verdad de las formas
proposicionales, aplicando las tablas de verdad
de los operadores lógico.
INTRODUCCIÓN

4. ACTIVIDAD DE INICIO
En cada frase marque (V) si ésta es verdadera y (F) si es falsa,
(N) si no es posible asignarle un valor (V) o (F)
a) La Tierra es plana. ( )
b) La Luna es de queso. ( )
c) 2+35=25. ( )
d) 1m= 100 cm. ( )
e) El acero es un metal. ( )
f) (a+b)2=a2+b2 ( )
g) La ciudad de Quito es la
capital del Perú ( )
h) ¡Oh que dolor! ( )
i) 15 es un número primo ( )
j) Un número primo es par ( )
k) Un cuadrado tiene 4 ángulos
rectos ( )
l) Vamos, ni un paso atrás ( )
m) ¡Que frío hace! ( )
n) 20=0 ( )

5. DEFINICIONES: LÓGICA, PROPOSICIONES Y VALOR DE VERDAD.
Un argumento se construye concatenando ideas
denominadas “proposiciones”, es así como el conocimiento
científico se ha desarrollado a lo largo de los años.
La “LÓGICA MATEMÁTICA” analiza la validez de
argumentos y razonamiento en los cuales se
fundamenta el conocimiento científico.
El estudio de la Lógica Matemática, comprende: proposiciones
con valor binario, leyes, propiedades, estructuras lógicas,
simples y complejas

6. DEFINICIONES: LÓGICA, PROPOSICIONES Y VALOR DE VERDAD.
VALOR DE VERDAD DE UNA
PROPOSICIÓN
UNA PROPOSICIÓN, ES UNA EXPRESIÓN ESCRITA, ORAL,
CORPORAL, ETC, QUE CONTIENE INFORMACIÓN
FALSA
(F)
VERDADERA
(V)

7. EJERCICIO DE APLICACIÓN
En cada PROPOSICIÓN marque (V) si esta es verdadera o (F)
si es falsa.
a) El agua produce vida. ( )
b) Los rectángulos tienen 5 lados. ( )
c) 23+35=21 ( )
d) 1Mm= 106 cm. ( )
e) (102)2=10000 . ( )
f) (a+b)2=a2+b2+2ab ( )
g) Un número impar es número primo ( )

8. OPERADORES LÓGICOS FUNDAMENTALES
TABLA DE VALORES DE VERDAD DE
OPERADORES LÓGICOS
Proposición (p) Negación (No p)
p p
F V
F V
V F
V F

9. OPERADORES LÓGICOS FUNDAMENTALES
TABLA DE VALORES DE VERDAD DE
OPERADORES LÓGICOS
Proposición Proposición
Conjunción
“p y q”
p q pq
F F F
F V F
V F F
V V V

10. OPERADORES LÓGICOS FUNDAMENTALES
TABLA DE VALORES DE VERDAD DE OPERADORES
LÓGICOS
Proposición Proposición
Disyunción
inclusiva
“p o q”
p q pq
F F F
F V V
V F V
V V V

11. OPERADORES LÓGICOS DERIVADOS
TABLA DE VALORES DE VERDAD DE OPERADORES
LÓGICOS
Proposición Proposición
Disyunción
exclusiva
“o p o q”
p q p⊻q
F F F
F V V
V F V
V V F

12. OPERADORES LÓGICOS DERIVADOS
TABLA DE VALORES DE VERDAD DE OPERADORES
LÓGICOS
Proposición Proposición
Condicional
“Si p entonces q”
p q pq
F F V
F V V
V F F
V V V

13. OPERADORES LÓGICOS DERIVADOS
TABLA DE VALORES DE VERDAD DE OPERADORES
LÓGICOS
Proposición Proposición
Bi-condicional
“ p si y solo si q”
p q pq
F F V
F V V
V F F
V V V

14. Traducciones al Lenguaje Formal
1.- Lea el texto o enunciado.
2.- Reconozca las proposiciones simples
involucradas en el enunciado, asígneles letras
del alfabeto (p, q, r…..)
3.- Establezca la estructura lógica del
enunciado y escriba la forma proposicional
del enunciado.

15. Cierre de clase /Taller Grupal
5 integrantes por grupo
Traduzca al lenguaje formal y realice la tabla de valores de
verdad de cada proposición compuesta.
1. Juan es maestro o ingeniero, pero no ambos a la vez.
2. Si A vence a B y B vence a C entonces A vence a C.
3. Si vas al cine entonces no vas ni a la fiesta, ni al
estadio, si vas al estadio no vas a la fiesta ni al cine, si
no vas a la fiesta vas al estadio y al cine.
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16. Taller Grupal (5 integrantes por grupo)
Ejercicios de Aplicación: Traduzca al lenguaje formal
y realice la tabla de valores de verdad de cada
numeral.
4. Si hay peras hay manzanas y naranjas, si hay
manzanas hay naranjas o melones, por lo tanto, si no
hay melones no hay ni naranjas ni peras.
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17. ACTIVIDAD DE INICIO
Construya la tabla de valores de verdad de la forma
proposicional siguiente:
p q r {[(pq) r]  [(rq) p] } (pq)r

18. FORMAS PROPOSICIONALES Y TABLAS DE VERDAD
Una forma proposicional puede representar a un sin
número de proposiciones compuestas
Una Forma Proposicional es una estructura que muestra
como están concatenadas las variables proposicionales.
En el análisis de la forma proposicional no interesa el
contenido o a que se refiere la proposición

19. FORMAS PROPOSICIONALES Y TABLAS DE VERDAD
NUMERO DE FILAS = 2 N
N=NUMERO DE VARIABLES PROPOSICIONALES
TABLAS DE VERDAD DE UNA FORMA
PROPOSICIONAL

20. • LEYES Y PROPIEDADES DE LA LÓGICA.
Ramos, M. Baquerizo, G. Carrión, A. (2017). Fundamentos de Matemática Básica para Bachillerato (3a ed.). : ESPOL.

21. • LEYES Y PROPIEDADES DE LA LÓGICA.
Ramos, M. Baquerizo, G. Carrión, A. (2017). Fundamentos de Matemática Básica para Bachillerato (3a ed.). : ESPOL.

22. LEYES Y PROPIEDADES DE LA LÓGICA.
Ramos, M. Baquerizo, G. Carrión, A. (2017). Fundamentos de Matemática Básica para Bachillerato (3a ed.). : ESPOL.

23. LEYES Y PROPIEDADES DE LA LÓGICA.
Ramos, M. Baquerizo, G. Carrión, A. (2017). Fundamentos de Matemática Básica para Bachillerato (3a ed.). : ESPOL.

24. FORMA PROPOSICIONAL
TAUTOLOGÍA
Todos los renglones de la
tabla de valores de verdad
son VERDADEROS.
CONTINGENCIA , EXISTE
POR LO MENOS UN
RENGLÓN VERDADERO
Y UN RENGLÓN FALSO
CONTRADICCIÓN,
todos los renglones
de la tabla de valores
de verdad son
FALSOS.

25. TAUTOLOGÍA
“A equivalente a B”
(A⇔B)
A⇔B si y sólo si A↔B
es una tautología
“A IMPLICA B” (A⇒B)
A⇒B si y sólo si A→B es
una Tautología

26. Cierre de clase /Taller Grupal
5 integrantes por grupo
Identifique las formas proposicionales que NO son
tautología.
• a) (p ∨ q) → (¬ p → q)
• b) [(p → r) ∧ (q → r)] → [(p ∨ q) → r]
• c) [(p ∨ q) ∧ ¬ p] → q
• d) [(¬ q → ¬ p)] → ¬ q
• e) [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)
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27. DEMOSTRACIONES DIRECTAS
Transformamos la forma pq a pq
También denominadas “marcha adelante”., dado que
queremos demostrar una expresión pq
Por una serie de transformaciones lógicas debemos llegar a
pqV

28. DEMOSTRACIONES POR CONTRAPOSICIÓN (O CONTRARRECÍPROCA)
Está basada en la equivalencia:
(p→q)(¬q→¬p).
Este tipo de demostración parte del supuesto que
“no”.
Por una serie de transformaciones lógicas debemos llegar a
(¬q→¬p)V

29. DEMOSTRACIONES POR CONTRAEJEMPLO
Este tipo de demostración parte del supuesto que
“no”.
Sin embargo, sí podemos demostrar el hecho de que la
proposición es falsa en por lo menos en un caso, habremos
demostrado que no es tautología, de no existir este caso
entonces se confirma la tautología
El encontramos varios caso donde una forma proposicional es
verdad no determina que esta sea tautología

30. DEMOSTRACIONES POR REDUCCIÓN AL ABSURDO
En este método se supone que la estructura del
razonamiento p→q no es tautológica.
Debido a que el operador principal de un razonamiento es la
implicación, la estructura no es tautológica si existe al menos
un caso 1→0,
Como p no puede ser falsa, pues constituye la hipótesis, se
concluye que lo que es falso es q.

31. Cierre de clase /Taller Grupal
5 integrantes por grupo
Demuestre que las formas proposicionales son tautología.
• [(p→q)∧p]⇒q.
• (a→b)∧(c→¬b)∧(c∨¬d)]→¬a
• (a→b)∧(c→¬b)∧(c∨¬d)]→a
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32. BIBLIOGRAFÍA
• Ramos, M. Baquerizo, G. Carrión, A. (2017). Fundamentos de
Matemática Básica para Bachillerato (3a ed.). Guayaquil: ESPOL.
• Ramos, M, Baquerizo, G., & Solines, S., (2006) Fundamentos de
Matemáticas para Bachillerato, (2º Ed.). Espol – Unidad de
Publicaciones.