Explicación de distribuciones

Universidad Tecnológica de Torreón
Organismo Público Descentralizado del Gobierno de Coahuila

Estadística
 Distribución de Bernoulli
 Distribución de Binomial
 Distribución de Poisson
 Distribución de Gamma
 Distribución de Normal
 Distribución de T de Student

Procesos Industriales
Área Manufactura
Alumno
Angel Alberto García Guerrero
2° ``A´´
Matrícula: 1110289

Profesor

Lic. G. Edgar Mata Ortiz

A lunes 19 de marzo de 2012


Índice
DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLI........................................................................... 1
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL ................................................................................... 2
DISTRIBUCIÓN DE POISSON ............................................................................... 3
DISTRIBUCIÓN GAMMA ....................................................................................... 4
DISTRIBUCIÓN NORMAL...................................................................................... 6
DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT............................................................................. 9


Distribución de Bernoulli
Ésta distribución se caracteriza por tener solamente dos resultados, los
cuales son:

 Éxito: “p”
 Fracaso: “q = 1-p”

Para todo ensayo de Bernoulli se define la variable X = 1 si el
experimento es éxito, de lo contrario, X=0 que representa el fracaso.
Solo hay dos resultados en una distribución de Bernoulli, éxito y
fracaso.
Todo lo anterior representa un “Ensayo de Bernoulli” y la serie de esos
experimentos son denominados ensayos repetidos.

1


Distribución Binomial
En una distribución binomial se extraen dos o más ensayos de
Bernoulli, de ahí su nombre distribución “binomial”.
La distribución binomial es una suma de nvariables de Bernoulli, es
decir, es una suma de dos o más ensayos de Bernoulli.

Para que sea una distribución binomial con n ensayos de Bernoulli
entonces:

 Los ensayos deben ser independientes (el resultado de un ensayo
no influye en los resultados de los demás).
 Cada ensayo tiene la misma probabilidad de éxito.
 X es el número de éxitos en losn ensayos.

2


Distribución de Poisson
Las probabilidades de la distribución binomial y de la distribución
Poisson son casi iguales entre sí.
Ésta distribución es una aproximación de la distribución binomial,
porque cuando n es grande (el total o la masa o el todo) y p es pequeña
(la probabilidad de una fracción o una parte de ese total, o esa masa o
de ese todo) la función de esa masa dependepor completo de la media
np.

Esto conduce a la definición de la función de masa de probabilidad de
Poisson.

La fórmula anterior se aplica si x es un entero no negativo. De otro modo el
resultado siempre sería 0.

La distribución Poisson es muy usada en los trabajos científicos.
Es importante para ésta solución de probabilidades que la cantidad extraída
de la suspensión no sea una fracción demasiado grande del total.

En dado caso se llegase a extraer toda la cantidad (toda la masa o todo el
total) se tendría la certeza de que se retiraron todas las partículas, en lugar
de las que se desea saber la probabilidad de extraer solo unas cuantas, por
lo que la probabilidad de esas cuantas sería de cero.
Si por ejemplo, de un líquido de 10 ml, por cada 1 ml hay 3 partículas, si se
llegase a extraer esos 10 ml y se deseara saber cuál es la probabilidad de
obtener 25 partículas en esos 10 ml, la probabilidad sería igual a cero, puesto
que sabemos que por cada ml hay 3 partículas, en 10 ml habrán 30
partículas.

3


Distribución Gamma
Es una distribución adecuada para modelizar el comportamiento de
variables aleatorias continuas con asimetría positiva. Es decir, variables
que presentan una mayor densidad de sucesos a la izquierda de la
media que a la derecha. En su expresión se encuentran dos parámetros,
siempre positivos, (α) y (β) de los que depende su forma y alcance por
la derecha, y también la función Gamma Γ (α), responsable de la
convergencia de la distribución.

Para , la función gamma se define como:

1. Para : (Integración por partes)

2. Para cualquier entero positivo n:
3.

Decimos que una variable aleatoria x, sigue una distribución gamma si
su “PDF” es:

Donde tanto como son positivos:

4


Cuando a esta distribución le llamamos “Gamma Estándar”:

Valor Esperado:

Varianza:

CASO ESPECIAL:
Cuando la distribución gamma es una exponencial con

Si usamos la gamma estandarizada su función acumulativa “CDF” es:

Se usan tablas, conlleva una integración muy compleja.

5


Distribución Normal
La distribución normal es la distribución más utilizada en la
estadística. La media de una variable aleatoria normal puede tener
cualquier valor y la varianza cualquier valor positivo.
La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria
normal con media µ y varianza σ2está dada por:

Se comprueba el hecho de que µ yσ2 son la media y la varianza,
respectivamente. Si X es una variable aleatoria cuya función de
densidad de probabilidad es normal con media µ y varianzaσ2, se
expresa como:

La figura presenta una gráfica de la función de densidad de
probabilidad normal con media µ y desviación estándar σ. Algunas
veces la función de densidad de probabilidad normal se le llama curva
normal. Podemos observar que esta es simétrica alrededor de µ de tal
forma que µ representa la mediana, así como la media.

6


Cuando se trabaja con poblaciones normales, se convierte las unidades
en las cuales se midió originalmente las unidades de la población a
unidades estándar.

Se convierte a unidades estándar al restar la media y dividir entre la
desviación estándar. Si x es una unidad seleccionada de una población
normal con media µ y varianzaσ2, la unidad estándar equivalente a x es
el número z, donde:

A continuación se presentan varias tablas que nos muestran la
conversión a unidades estándar cuando calculamos el valor de z.

7


8


Distribución T de student
Ésta distribución se construye como la relación entre dos variables, una
de ellas la que está en el numerador y la otra que está en el
denominador ambas son independientes entre si.

De éste modo al cociente se llama una distribución t de student con n
grados de libertad.

Tiene una media que es igual a 0 y su varianza se obtiene mediante
ésta relación cuando los grados de libertad son mayores a dos.

En el caso de la siguiente distribución tiende a una normal con media
cero y desviación típica de uno en el caso que aumenta los grados de
libertad para n>30 ya se obtiene una buena aproximación.

9


Aquí vemos dos funciones de densidad para dos t de student
diferentes, una con 5 grados y otra con 50 grados de libertad, ambas
tienen la media en cero.

La distribución t de student tiene una media de cero, es simétrica
respecto a la media y se extiende de -∞ a +∞ y la varianza de t para
valores de n mayores a 2.

Cuando los grados de libertad son suficientemente grandes la varianza
de la distribución t de student tiende a 1.
Tiene forma acampanada y simétrica.

No hay una distribución t, sino una familia de distribuciones t, todas
con la misma media en cero, pero con su respectiva desviación
estándar diferente de acuerdo con el tamaño de la muestra n. Existe
una distribución t para una muestra de 20, otra para una muestra de
22, y así sucesivamente.

10


Al igual que la distribución Normal, en la distribución t de student
también se utiliza una tabla.
Probabilidad que dejan
los grados de libertad
Grados de libertad

11


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