Pronafcap-UPC-2009-Matemática

1. SESIÓN 1
LÓGICA PROPOSICIONAL
…Como bien señala Cordero, “para el fructífero
ejercicio de la profesión de educador, resulta
imprescindible una cualidad ética en el educador:
la que suele expresarse como autoridad
moral”(*)
(*) Cf. Jorge Capella, “Política educativa” pg. 31, Ed. IMPRESOS & DISEÑOS 2002

2. Se dice que ver es creer,
¿pero se puede creer
siempre en nuestros
sentidos?
Se dice que ver es creer,
¿pero se puede creer
siempre en nuestros
sentidos?

5. ¿Qué observas?
¿Hay operarios arreglando la cerca y el piso, o están
reparando la terraza y hay gente que intenta subir?

6. ¿Son posibles esas imágenes?
¿Por qué?
¿Qué ocurre si solo nos dejamos llevar por
nuestros sentidos?
 ¿Es posible llegar a un consenso?
La lógica nos permite ir más allá de la
información que nos proporcionan nuestros
sentidos.

7. ¿En qué podemos apreciar la lógica?
¿se emplea para demostrar teoremas?
¿ en computación? ¿en física?, ¿en la vida cotidiana? ¿Ayuda al
ser humano a distinguir la realidad de la percepción?
¿Ayuda en el debate y en la toma de decisiones?, ¿porqué?
¿Qué es pues la lógica?
Irving M. Copi afirma, que el principal problema que aborda la
lógica es,
“La distinción entre el razonamiento correcto e incorrecto”.
¿Qué piensa usted?.

8. Observa y responde

9. Encontrarás un Nombre

10. Lógica proposicional
Las proposiciones
Una proposición o enunciado es una expresión
lingüística que tiene una función informativa.
 La lógica formal simboliza a una proposición mediante
los siguientes símbolos: p, q, r, s, t, etc. A estas
letras se las denomina letras proposicionales. Cada
una de ellas representa un enunciado simple. A su vez,
cada enunciado se dice que es un caso de sustitución de
una letra proposicional.

11. Proposición Letra proposicional
La Argentina es el país más austral de América del Sur p
7 + 5 = 12 q
Lógica es una materia difícil r
Lengua es un curso muy estudiado s
La casa es blanca t

12. 1. Proposiciones simples y
compuestas
Las proposiciones se dividen en dos grupos:
Las simples o atómicas .
y
Las compuestas o moleculares.

13. Las proposiciones simples son aquellas que no
contienen dentro de sí ninguna otra proposición; en
efecto, las proposiciones simples afirman sólo una
cosa o informan sólo un estado de cosas. Por
ejemplo:
El número cinco es un número primo.
Aristóteles fue uno de los filósofos más grandes de la
Antigüedad.
 La O.N.U. es la Organización de las Naciones Unidas.
Por otro lado, las proposiciones compuestas son
aquellas que contienen dentro de sí al menos una
proposición.

14. Los siguientes ejemplos son de
proposiciones compuestas:
Proposición compuesta Proposiciones simples Letras
proposicionales
Hubo elecciones y
eligieron senadores.
Hubo elecciones p
Eligieron senadores q
No conseguimos entradas
para el teatro.
Conseguimos entradas
para el teatro
p
Si llego temprano
entonces te llamaré por
teléfono.
Llego temprano p
Te llamaré por teléfono q

15. En las proposiciones compuestas su
valor de verdad está en función del
valor o de los valores de verdad de las
proposiciones simples componentes y
la conectiva que las vincula. Por lo
tanto, las proposiciones compuestas
son funciones de verdad de las
proposiciones componentes.

16. 2. Las conectivas
La clasificación de los distintos tipos
de proposiciones compuestas se
establece por la presencia de ciertas
palabras o expresiones llamadas
conectivas. Estas conectivas tienen la
función de relacionar las proposiciones
que forman un enunciado compuesto.

17. Las conectivas se clasifican en
monádica y diádicas o binarias. La
conectiva monádica es la negación y
esta afecta sólo a una proposición
simple o a una compuesta. Por otro
lado, las conectivas diádicas afectan
a dos proposiciones simples o
compuestas entre sí.

18. Tipo de conectiva Conectiva Ejemplo
monádica negación La casa no es blanca
diádica
o
binaria
conjunción La casa es blanca y el
perro es marrón.
disyunción incluyente El helado es de chocolate
o de limón.
disyunción excluyente 2 + 2 = 4 ó 2 + 2 = 5
condicional
Si estudio lógica
entonces aprobaré el
examen.
bicondicional Bajará el dólar si y sólo si
se reactiva la economía.

19. La conectiva es la expresión
lingüística que, aplicada a
uno o dos enunciados,
permite obtener un
enunciado compuesto.

20. La estructura de una proposición
compuesta monádica es:
Conectiva Proposición
simple
no es la casa blanca

21. La estructura de una proposición
compuesta diádica es:
Proposición
simple
Conectiva Proposición
simple
2 + 2 = 5 y 2 . 2 = 4
La casa está
en orden
o Alfonsín
miente.

22. 3. La conjunción
La palabra “ y ” es la conectiva que cumple
la función conjuntiva. Conjuntar es unir dos
proposiciones formando así una compuesta.
El símbolo que en lógica traducirá a la
palabra “ y ” es: “ ∧ ” .

23. Juan vino Pedro se fue Juan vino y
Pedro se fue
p q
p ∧ q
se lee:
“ p y q ”
Proposición
simple
Proposición
simple
Proposición
compuesta

24. La conjunción de dos proposiciones es verdadera si y
sólo si son verdaderas las dos proposiciones simples
que la integran; y es falsa en todos los demás casos.
Tabla de verdad de la conjunción
p q p ∧ q
V V V
V F F
F V F
F F F

25. No sólo la “ y ” tiene función conjuntiva; puede
también desempeñarla la coma y otras palabras y
expresiones, como "pero", "además", "sin embargo",
"aunque".
 Inés está enferma, mañana llamaré al médico.
 El aviador tuvo dificultades, pero logró aterrizar a
salvo.
 Aunque reciba amenazas no abandonaré mis ideales.

26. 4. La negación
La palabra “ no ” es la conectiva que cumple
la función de negar un enunciado. El signo
que usaremos es “ ∼ ", el cual se coloca
antepuesto a las letra proposicional que
representa la proposición negada. Toda
proposición simple negada se transforma en
una proposición compuesta.

27. Existen los fantasmas No existen los fantasmas
p
∼ p
se lee:
“ no p “
proposición
simple
proposición
compuesta

28. La ley que define la negación es la siguiente: la
negación de un enunciado verdadero es falso, y la
negación de un enunciado falso es verdadero.
Tabla de verdad de la negación
p ∼ p
V F
F V

29. En el lenguaje ordinario, el "no" suele ubicarse
antepuesto al verbo principal o puede ir
antepuesto a toda la proposición simple.
 Colón no fue consiente de la importancia de su
descubrimiento.
 No todos los hombres son rubios.
 No es cierto que ha habido sequía este verano.
Suelen usarse otras expresiones como "no es
cierto que", "no es verdad que" y "no es el caso
que", bien para dar énfasis a la negación, o
cuando la proposición negada es compuesta.

30. 5. La disyunción
La palabra "o" es la conectiva que establece
la disyunción entre dos proposiciones
simples. Otras expresiones que cumplen
con la función disyuntiva son: "o bien... o
bien...", "o... o...“ .
La disyunción tiene dos sentidos:

31. A) Disyunción incluyente: o una
cosa o la otra, o ambas a la vez.
Modificarán el plan de
estudios
Agregarán nuevas
materias
Modificarán el plan de
estudios o agregarán
nuevas materias
p q
p ∨ q
se lee:
“ p o q "
Proposición simple Proposición simple Proposición compuesta

32. La disyunción incluyente es falsa sólo cuando ambas
proposiciones simples son falsas, de lo contraria es
verdadera.
Tabla de verdad de la disyunción incluyente
p q p ∨ q
V V V
V F V
F V V
F F F

33. B) disyunción excluyente: o una cosa
o la otra, pero no ambas a la vez.
Viajaré a Huancayo Viajaré a Arequipa Viajaré a Huancayo o
a Arequipa
p q
p ∆ q
se lee:
“ p o q "
Proposición simple Proposición simple Proposición compuesta

34. La disyunción excluyente es verdadera cuando una de
las proposiciones es verdadera y la otra es falsa, y es
falsa en los casos restantes.
Tabla de verdad de la disyunción excluyente
p q p ∆ q
V V F
V F V
F V V
F F F

35. Otras formas en que puede
traducirse la conectiva de la
disyunción excluyente es:
"a menos que" y "salvo
que".

36. 6. El condicional
La proposición condicional, es una
proposición compuesta formada por un
antecedente y un consecuente. La
conectiva es la expresión: "si... entonces...".
Lo que sigue a la palabra "si" recibe el
nombre de antecedente; y lo que sigue a la
palabra "entonces" recibe el nombre de
consecuente. El signo que se
utiliza es: "⇒".

37. Me levanto temprano Tomaré el micro de las
ocho
Si me levanto
temprano entonces
tomaré el micro de las
ocho
p q
p ⇒ q
se lee:
“ si p entonces q ”
Proposición simple Proposición simple Proposición compuesta

38. El condicional sólo es falso cuando su antecedente es
verdadero y su consecuente es falso; en todos los
otros casos es verdadero.
Tabla de verdad de la condicional
p q p ⇒ q
V V V
V F F
F V V
F F V

39. 7. El bicondicional
Otro tipo de proposición compuesta es el
bicondicional .
La conectiva es: “ si y sólo si ” y su
símbolo es: "⇔".
Otra expresión del lenguaje que corresponde al
bicondicional es:
“ cuando y sólo cuando ”

40. Jugaremos a las cartas Reunimos cuatro
personas
Jugaremos a las cartas
si y sólo si reunimos
cuatro personas
p q
p ⇔ q
se lee:
"p si y sólo si q“
proposición simple proposición simple proposición compuesta

41. Las condiciones que hacen verdadero o falso una
bicondicional son: si uno de sus componentes es
verdadero y el otro es falso, el bicondicional es falso; y
es verdadero cuando ambos componentes son
verdaderos, o ambos falsos.
Tabla de verdad de la condicional
p q p ⇔ q
V V V
V F F
F V F
F F V

42. Como su nombre lo indica, una bicondicional es un
condicional doble. En efecto, la expresión
"p si y sólo si q“
equivale a la conjunción de
"si p entonces q" y "si q entonces p".
En símbolos es:
(p ⇔ q) es equivalente a (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)

43. Veamos otras
aplicaciones de la
lógica
Veamos otras
aplicaciones de la
lógica

44. EL ACERTIJO DEL REY
Un rey plantea a los pretendientes de su hija lo
siguiente:
“Se casa con mi hija quien determine en cual de los
cofres se encuentra mi retrato”
Si se sabe que de las inscripciones solo una es falsa,
¿en cuál de los cofres se encuentra el retrato?

45. EL ACERTIJO DEL REY
A
EL RETRATO ESTA EN
ESTE COFRE
B
EL RETRATO NO ESTA
EN ESTE COFRE
C
EL RETRATO ESTA EN EL
COFRE DEL CENTRO
Recuerda solo una
inscripción es falsa

46. SOLUCION:
1.- Analizando lo escrito en el cofre A:
Si A es verdadero, entonces B es verdadero y C es falso.
Si A es Falso, B y C serían verdaderas, pero eso es contradictorio
2.- Analizando lo escrito en el cofre B:
Si B es verdadero, entonces C es falso y A es verdadero.
3.- Analizando lo escrito en el cofre C:
Si C es verdadero, entonces A es falso y B es falso.
Por lo tanto, el retrato se encuentra en el cofre: A

47. EVALUÁNDONOS
¿Qué hemos aprendido?
¿Cómo lo aprendimos?
¿Es útil lo aprendido? ¿Por
qué ?
¿Debe ser útil todo lo que se
aprende?

48. Equipo de lógica matemática
Carlos,Luis,Moises,Ramiro,Alex
y
A. Blanco