Un trabajo de cálculo que abarca las aplicaciones de las integrales en las áreas y volumenes

1. ASIGNATURA
CALCULO INTEGRAL
PRESENTA
JAIR SEBASTIAN MEJIA ACHICANOY
DOCENTE
EDGAR RODRIGO ENRIQUEZ ROSERO
Colombia- San Juan de Pasto
de 2020

2. Tipo de ejercicios 1 – Análisis de gráficas.
Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso:
Mesa, F. (2012). Cálculo integral en una variable. Ecoe Ediciones. (pp.
109– 114).
Ejercicio d.
Determine el área de la región limitada por las curvas 𝑓( 𝑥) = −𝑥2
+ 2x + 5
y 𝑔( 𝑥) = 𝑥2
+ 1 , con la condición −1 ≤ 𝑥 ≤ 2.
Interprete el resultado usando la gráfica del ejercicio generada en
GeoGebra.
𝑨 = ∫ [ 𝑓( 𝑥) − 𝑔(𝑥)]
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
𝑓( 𝑥) = −𝑥2
+ 2x + 5
𝑔( 𝑥) = 𝑥2
+ 1
Para hallar el área que se encuentran entre las dos gráficas, lo que se
tiene que hacer es, a la función que está por encima, restarle el área bajo
la curva de la función que esta debajo. Pero se tiene que hacer entre dos
puntos en el eje de las x, para esto se debe tener en cuenta los puntos
de intersección de las gráficas y el dominio que se pide en el ejercicio.
Para tener mejor claridad se procede a realizar los dibujos de las gráficas
en GeoGebra:

3. Como se puede observar en la gráfica, son dos parábolas, una cóncava
hacia arriba y otra hacia abajo que se interceptan en 2 puntos,
Intersecciones
−𝑥2
+ 2x + 5 = 𝑥2
+ 1
−2𝑥2
+ 2x + 4 = 0
(−𝑥2
+ x + 2) = 0
(𝑥2
− x − 2) = 0
(𝑥 − 2)(x+ 1) = 0
𝑥 = −1
𝑥 = 2

4. Los puntos de corte para este caso son -1 y 2 en el eje de las x, que son
los puntos donde se cortan las gráficas.
Ahora se desarrolla la integral definida desde -1 hasta 2. Cabe resaltar
que la ecuación que va de primera debe ser la que esta por encima, para
que el área dé negativa.
𝑨 = ∫ [ 𝑓( 𝑥) − 𝑔(𝑥)]
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
∫ [−𝑥2
+ 2x + 5 − 𝑥2
− 1]
2
−1
𝑑𝑥
∫ [−2𝑥2
+ 2x + 4]
2
−1
𝑑𝑥
= −
2𝑥3
3
+ 𝑥2
+ 4𝑥 𝑑𝑥

5. Ahora se sustituyen los valores:
= −
2.23
3
+ 22
+ 4.2 − ( −
2(−1)3
3
+ (−1)2
+ 4(−1))
= 9
Tipo de ejercicios 2 – Solidos de revolución
POR FA EXPLICAR EN AUDIO
Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso:
Guerrero, G. (2015). Cálculo Integral. GrupoEditorial Patria. (pp. 241 – 255).
https://www.youtube.com/watch?v=_Z9X5tf-LFI&feature=youtu.be
https://www.youtube.com/watch?v=49
https://www.youtube.com/watch?v=kH9qInOWe2Y&feature=youtu.be
Ejercicio d.
Sea R la región limitada por 𝑔( 𝑥) = √4𝑥 − 𝑥2, el eje x, donde 1 ≤ 𝑥 ≤ 2.
Determine el volumen del sólido cuando R se hace girar alrededor del eje x.
Representar en GeoGebra las regiones a rotar y anexar un pantallazo.
𝑉 = ∫ 𝜋 𝑓(𝑥)2
𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑔( 𝑥) = √4𝑥 − 𝑥2

6. Desarrollo
𝑉 = 𝜋∫ (√4𝑥 − 𝑥2)2
𝑑𝑥
𝑏
𝑎
𝑉 = 𝜋∫ 4𝑥 − 𝑥2
𝑑𝑥
2
1
𝑉 = 𝜋 ∗ (2𝑥2
−
𝑥
3
3
)
V= 11/3 𝜋
Al girar la ecuación sobre el eje x, se forma una esfera la cual
el volumen es de 11/3 x

7. Tipo de ejercicios 3 – Aplicaciones de las integrales en la Ciencia.
Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso:
Alvarado, M. (2017) Cálculo integral en competencias. Grupo Editorial
Patria. (pp. 193 - 209).
https://www.youtube.com/watch?v=fJo1sKFPzrY&feature=youtu.be
Ejercicio d.
Un patólogo cultiva cierta bacteria en agar, un recipiente de forma
cuadrada de 100 𝑐𝑚3
. Dicha bacteria crece de tal forma que después de t
minutos alcanza un área 𝐴(𝑡) que cambia a razón de
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 0.6𝑡
1
4 + 0.5𝑡
5
4 𝑐𝑚2
/𝑚𝑖𝑛
Si el cultivo tenía 15 𝑐𝑚2
de área cuando inició ¿Cuánto medirá en 30
minutos?
𝑑𝐴
𝑑𝑡
= 0.6𝑡
1
4 + 0.5𝑡
5
4 𝑐𝑚2
/𝑚𝑖𝑛
∫ (0.6𝑡
1
4 + 0.5𝑡
5
4 )𝑑𝑡
𝐴 =
12
25
𝑡
5
4 +
2
9
𝑡
9
4 + 𝑐
Se halla el valor de C con el valor inicial del área, cuando t = 0.
15 = 0 + 0 + 𝐶

8. C= 15
Ahora se remplaza en la ecuación y se halla el área a los 30 min
𝐴 =
12
25
𝑡
5
4 +
2
9
𝑡
9
4 + 15
𝐴 =
12
25
(30)
5
4 +
2
9
(30)
9
4 + 15
A = 516,77 Cm2
Tipo de ejercicios 4 – Aplicaciones de las integrales en general.
https://www.youtube.com/watch?v=ruinNcTYsgg&feature=youtu.be
Consultar en el entorno de conocimiento el siguiente recurso:
Segura, V. A. (2014). Matemáticas aplicadas a las ciencias económico-
administrativas: simplicidad matemática. México: Larousse - Grupo
Editorial Patria. (pp. 170 – 200).
Alvarado, M. (2017) Cálculo integral en competencias. Grupo Editorial
Patria. (pp. 193 - 209).
Ejercicio d.
Una compañía de ingeniería de sistemas decide crear un aplicativo Mesa
de Ayuda, para la gestión automatizada de incidentes, argumentando que
una de las acciones más importante en un sistema de gestión de servicios
es la gestión de incidentes y problemas relacionados con los elementos
de la infraestructura tecnológica, con el fin de realizar un seguimiento,
análisis y registro de solución del caso y cierre de la situación. El aplicativo
es implementado en la empresa W, en donde el comportamiento de
incidente reportados en Mesa de Ayuda es aproximado por la función (𝑡)
= 𝑥𝑒 𝑥
en donde t son días desde la implementación de la aplicación.

9. i. Hallar la ecuación general que describe el número de reportes
en los primeros 10 días de funcionamiento de la aplicación de
Mesa de Ayuda.
ii. Hallar el número de reportes en entre el día 8 y el día 12.