Se desarrolla ecuaciones diferenciales aplicando el método de variables separables.

1. Universidad regional Amazónica IKIAM
Carrera: Tranco común
Asignatura: Matemática
Grupo: 1
Actividad: 7
Tema: Ecuación Diferencial Ordinaria de Variables Separables
Elaborado por: Oscar Alejandro Jijón Mora
Fecha:19/02/19

2. Objetivos
• Objetivo general
Explicar la teoría y resolución de sistemas de ecuaciones separables por
método de variables separables
• Objetivo específicos
Aplicar el método de variable separable para la resolución de una
ecuación diferencial ordinaria.
Aplicar el método de reducción a variable separable para la resolución
de una ecuación diferencial ordinaria.

3. Información previa necesaria
• ¿Qué es una Ecuación diferencial?
En términos generales es una ecuación que relaciona a una función
con sus derivadas y variables como se indica continuación.
𝑓′
𝑥 = 𝑓 𝑥 + 𝑥
ⅆ𝑦
ⅆ𝑥
= 𝑦 + 𝑥
• Las ecuaciones diferenciales se clasifican por el orden de la derivada mas
alta que aparece en la ecuación
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2
+ 4
𝑑𝑦
𝑑𝑥
+ 8𝑦 = 0Segundo orden

4. • Además, en algunos casos no se va contar con la función
explícitamente en la ecuación, esto quiere decir que se
encontrara de forma implícita, de la siguiente manera
𝑥𝑦′′ − 5𝑦′ + 3 = 0 no se indica explícitamente “Y”
• Resolver una ecuación diferencial significa encontrar la función
o funciones que satisfacen la igualdad.
Y’-2x=0; 𝑦 = 𝑥2
2𝑥 − 2𝑥 = 0
2x-2x=0

5. Ecuación diferencial Ordinaria (EDO) de variables separables
• Definición: Una Ecuación diferencial ordinaria (EDO) es de variables
separables si es posible factorizar
𝑦’ = 𝐹(𝑥, 𝑦)
en la forma 𝐹(𝑥, 𝑦) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑦)
• Es separable, puesto que el miembro derecho de la igualdad puede
reescribirse de nuevo como un producto de una función 𝑥 por una función 𝑦
• Esto significa que se pueda dejar toda 𝑥 de un lado de la ecuación y toda 𝑦 de
otro lado de la función con su respectivo diferencial.
𝑥
ⅆ𝑦
ⅆ𝑥
=y 𝑥 𝑑𝑦 = 𝑦𝑑𝑥
ⅆ𝑦
𝑦
=
ⅆ𝑥
𝑥

6. PASOS PARA RESOLVER EDO de variable separables
1 + 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥2 𝑦2 𝑑𝑦 = 1 + 𝑦2 𝑑𝑥
• 1. Obtener producto entre dos variables
Factorizar a una ecuación diferencial (EDO) en busca de un producto
entre dos funciones, sino se puede alcanzar dicho producto se concluye
que la EDO no es de variable separable y el proceso se detiene.
1 + 𝑥2
+ 𝑦2
1 + 𝑥2
𝑑𝑦 = 1 + 𝑦2
𝑑𝑥
1 + 𝑦2 1 + 𝑥2 𝑑𝑦 = 1 + 𝑦2 𝑑𝑥

7. • 2. Separación de variables
Reescriba la ecuación de tal manera que cada variable con su respectivo
diferencial se encuentre en lados opuestos de la ecuación.
1 + 𝑦2 𝑑𝑦
1 + 𝑦2
=
𝑑𝑥
1 + 𝑥2
• 3. Integrar
Se integra ambos lados de la ecuación respecto a su variable correspondiente
∫ 𝑑𝑦 = ∫
ⅆ𝑥
1+𝑥2
• 4. Escribir el resultado
Y = 𝑎𝑟𝑐 tan 𝑥 + 𝑐

8. Ejemplo
•
ⅆ𝑦
ⅆ𝑥
= cos 𝑥 + 𝑦 + sin 𝑥 sin 𝑦 cos 𝐴 + 𝐵 = cos 𝐴 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝐵 − sin 𝐴 ∗ sin 𝐵
ⅆ𝑦
ⅆ𝑥
= cos 𝑥 cos 𝑦 − sin 𝑥 ∗ sin 𝑦 + sin 𝑥 sin 𝑦
•
ⅆ𝑦
ⅆ𝑥
= cos 𝑥 cos 𝑦
•
ⅆ𝑦
cos 𝑦
= cos 𝑥 𝑑𝑥
• ∫
1
cos 𝑦
𝑑𝑦 = ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥
• ∫ 𝑠𝑒𝑐 𝑦 𝑑𝑦 = ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥
• ln sec 𝑦 + tan 𝑦 = sin 𝑥 + 𝐶

9. Ecuaciones diferenciales (EDO) reducible a variables separables
• Existen casos en los que realizar algebra o factorizar no permiten
separar las variables de una EDO directamente, esto no significa que
no se pueda realizar dicha separación. Para estos casos se realiza un
cambio de variable para convertir en la EDO en variables separables.

10. Directrices para realizar una reducción a variable separable
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑎𝑥 + 𝑏𝑦)
1. Realizar un cambio de variable y obtener su derivada
𝑢 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝑎 + 𝑏
𝑑𝑦
𝑑𝑥
• 2. Escribir una ecuación con la nueva variable
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑓(𝑢)
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑓(𝑢)
• 3. Separar cada variable con su diferencial a un lado distinto de la ecuación
𝑑𝑢
𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑓(𝑢)
= 𝑑𝑥
4.Integrar
∫
𝑑𝑢
𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑓(𝑢)
= ∫ 𝑑𝑥

11. Ejemplo
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3𝑥 + 𝑦
(1) 𝑧 = 3𝑥 + 𝑦
ⅆ𝑧
ⅆ𝑥
= 3 +
ⅆ𝑦
ⅆ𝑥
(2)
ⅆ𝑧
ⅆ𝑥
= 3 + 𝑧
(3)∫
ⅆ𝑧
3+𝑧
= ∫ 𝑑𝑥
• ln 𝑧 + 3 = 𝑥 + 𝑘
• 𝑧 + 3 = 𝐶𝑒 𝑥

12. Bibliografía
• Zill, D., Wright, W. S., & Cullen, M. R. (2011). Advanced engineering
mathematics. Jones & Bartlett Learning.
• YouTube. (2019). Ecuaciones diferenciales reducibles a variables
separadas. [online] Available at:
https://www.youtube.com/watch?v=MWX38Hj4bJw [Accessed 20
Feb. 2019].