Este documento presenta un resumen del método para resolver ecuaciones diferenciales homogéneas. Primero, se expresa la ecuación diferencial en forma homogénea para identificar las funciones M y N. Luego, se sustituye la variable y por ux para separar las variables. Finalmente, se simplifica dividiendo numerador y denominador por x2 y realizando la separación de variables para obtener una ecuación en la que solo aparece una variable.

1. MAPA COGNITIVO DE ALGORITMO
Elaborado por Walter Byron Pineda Isaza. Docente UFPS. Cúcuta Colombia
Problema tomado de Ecuaciones Diferenciales Dennis Zill.
Método de solución para ecuaciones diferenciales Homogéneas.
solución Desarrollo
Expresar la ED en la forma homogénea e identificar
las funciones 𝑀 y 𝑁. En este caso son de segundo
grado
Expresar la ecuación (1) en la forma
𝑦2
𝑑𝑥 + (𝑥2
− 𝑥𝑦)𝑑𝑦 = 0 (1)
𝑀 = 𝑦2
y 𝑁 = (𝑥2
− 𝑥𝑦)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦2
(𝑥
2
−𝑥𝑦)
(2)
𝑑𝑦 = 𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢 y 𝑢 = 𝑦/𝑥 (3)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑦2/ 𝑥2
(𝑥
2
−𝑥𝑦)
𝑥2
=
(𝑦/𝑥)2
1−𝑦/𝑥
(4)
𝑢𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑢
𝑑𝑥
=
(𝑢)2
1 − 𝑢
𝑥𝑑𝑢 = (
(𝑢)2
1 − 𝑢
− 𝑢) . 𝑑𝑥
𝑥𝑑𝑢 = (
2𝑢2
− 𝑢
1 − 𝑢
) . 𝑑𝑥
1 − 𝑢
2𝑢2 − 𝑢
𝑑𝑢 =
𝑑𝑥
𝑥
𝒚 𝟐
+ 𝒙 𝟐
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒙𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒙
Hacer la sustitución 𝑦 = 𝑢𝑥 para obtener:
Dividir en el numerador y el, denominador del
miembro derecho de (2) entre 𝑥2
para obtener:
Sustituir las ecuaciones (3) en (4)
Simplificar y hacer separación de variables.