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PREFACIO
La reducción de tamaño es una operación de gran importancia en la industria
minera, la industria de energía, de la construcción y química, entre otras. En los países
iberoamericanos indudablemente es la aplicación en la industria minera y del cemento la
que tiene mayor relevancia. Como ejemplo, podemos indicar que en Chile la industria
minera del cobre por sí solagasta 100millones de dólaresanuales para moler 100millones
de toneladas de minerales. Si a esto se agrega la minería delfierroy la industriacementera,
es fácil darse cuenta que las cifras involucradas en la operación de reducción de tamaño
son gigantescas.
Si se considera que la ley de los minerales de cobre es sólo del orden del 1%, la
cantidad total de mineral que debe ser tratado en una planta procesadora es enorme. Por
otra parte, industrias como las productoras de minerales de fierro o cemento involucran
la fragmentación de grandes tonelajes de materiales. Por ello, los equipos destinados a
estas operaciones son numerosos e individualmente de gran tamaño. Esto significa altos
costos de inversión. Un diseño adecuado de estos equipos es de importancia fundamental
si no se quiere malgastar recursos económicos siempre escasos.
El gran tamaño y cantidad de equipos instalados conlleva grandes costos de
operación. La conminución, operación bajo cuyo nombre genérico se incluye todas las
operaciones de reducción de tamaño, esto es, la trituración y molienda, consume
aproximadamente del 20 al 80% del costo total de energía para producir cobre o
concentrado de fierro, y en el caso específico del cobre constituye la mitad del costo de
procesamiento del mineral. Se puede comprender, entonces el gran impacto económico
que la optimización del proceso de conminución traería a la industria de materias primas.
A pesar de su antigüedad e importancia, y contra lo que pudiera esperarse, el
conocimiento básico en conminución es precario. Falta mucho por saber respecto de la
influencia de variables de operación sobre el comportamiento de los molinos de bolas y
barras. Se sabe muy poco sobre los medios de molienda y del efecto de los revestimientos
de molinos sobre el desgaste y la eficiencia del proceso de molienda. La aplicación de
los molinos semi-autógenos se ha propagado mucho mas rápidamente que el
conocimiento sobre ellos, de manera que lo que de éstos se conoce es mas cualitativo que
cuantitativo. Algo similar sucede con la clasificación, donde los hidrociclones se utilizan
desde hace mas de cincuenta años, sin que el mecanismo de clasificación se domine en
detalle. Finalmente, los mecanismos de conminución que se aplican en los equipos
actuales siguen siendo la compresión y el impacto, aunque se ha demostrado que ellos
son extraordinariamente ineficientes.
La importancia de la conminución ha hecho que diversas instituciones de
investigación en el mundo dediquen esfuerzos a su estudio. Los principales centros se
encuentran en los Estados Unidos de Norte América, Canadá, Europa, Australia, África
iii
WWW.MetalurgiaUCN.TK

del Sur y recientemente, en Iberoamérica. Sin embargo, el volumen de esta actividad no
guarda ninguna relación con el tamaño de los problemas de la industria minera de la
región, requiriéndose un fuerte impulso para hacer avances sustantivos y establecer una
infraestructuraestable para el desarrollodetecnologíaque,porunlado,orienteelesfuerzo
de investigaciónenladirección correcta y, porelotro,posibilitequelosresultadoslleguen
a los usuarios finales, las empresas productoras. Las empresas de la región concentran
importantes esfuerzos en la selección de equipos, optimización y automatización de la
operación. No obstante, el estado del conocimiento del área exige un esfuerzo de
investigación mayor, que genere pautas mas precisas de cómo efectuar la optimización.
Aún así, algunos pasos se han dado en el sentido de impulsar las actividades
científicas y tecnológicas en el campo de la conminución en los países iberoamericanos
y en el mundo en general.
En 1987, durante un Simposio de Molienda de ARMCO, la empresa de sistemas
de molienda, en Viña del Mar, Chile, se creó la International Comminution Research
Association, ICRA, institución con sedes en Norteamérica, Iberoamérica, Europa, Asia,
Australia y Africa. ICRA tiene como objetivos promover el intercambio de ideas para
orientar la investigación y difundir información especializada del campo de la
conminución , para asegurar que la investigación de alto nivel en el campo sea conocida
por sus miembros.
Por otra parte, el Programa Ciencia y Tecnología para el Desarrollo CYTED, es
un programa de cooperación científica y tecnológica creado en 1984 por iniciativa de
España, cuya finalidad es fomentar la cooperación científica y tecnológica entre los 21
países miembros. Su ámbito de actuación es la investigación aplicada, el desarrollo
tecnológico y la innovación y su objetivo es la obtención de resultados transferibles a los
sectores productivos. En el año 1991 el CYTED aprobó la creación de la Red XIII-A,
Fragmentación, cuyo objetivo es (1) promover la formación de recursos humanos de alto
nivel, (2) promover la investigación científica y tecnológica, (3) promover el intercambio
de información especializada y (4) promover la edición de monografías, textos didácticos
y capacitación, todos en el campo de la conminución.
ICRA y CYTED pretenden impulsar el desarrollo de su misión en Iberoamérica
en forma coordinada y cooperativa. Como un paso en esa dirección se han propuesto
editar y distribuir el libro que aquí presentamos.
Este libro es el resultado de muchos años de experiencia del autor principal en
docencia einvestigacióneneltemadelaconminución,comotambiéndeunacolaboración
estrecha entre los autores en investigación y en la dictación de cursos de educación
continuada para ingenieros de la industria minera. En las dos últimas décadas se ha
acumulado un gran caudal de nuevo conocimiento científico y tecnológico en este campo,
el cual se encuentra disperso en revistas especializadas y anales de congresos. El autor
principal ha abordado anteriormente la tarea de reunir este material en una monografía
sobre molienda publicada en idioma inglés. La presente edición quiere extender este
esfuerzo a los lectores de habla hispana, incorporando nuevo material que refleja avances
habidos y la colaboración de sus autores.
El texto pretende ser una revisión, en profundidad, de los principios sobre los que
se basan las operaciones de conminución y clasificación y su aplicación al análisis de los
iv

circuitos de molienda-clasificación. En él se da énfasis a la modelación matemática, a las
técnicas de análisis experimental y a la simulación de circuitos destinados al diseño y a
la optimización. En el capítulo 1 se hace una introducción al campo de la conminución
y se define los principales términos involucrados. El capítulo 2 está dedicado a reseñar
los fundamentos de la mecánica de fractura aplicada a la ruptura de partículas de
materiales frágiles. En el capítulo 3 se trata los métodos tradicionales de diseño de
molinos. El capítulo 4 comienza el estudio de la cinética de la molienda y forma la base
de lo tratado en los capítulos posteriores. Los ensayos de laboratorio necesarios para
determinar los parámetros de molienda se describen en detalle en los capítulos 5 y 6. El
comienzo del estudio de la molienda continua se realiza en el capítulo 7 donde se analiza
el concepto de distribución de tiempos de residencia. En el capítulo 8 se analiza los
métodos de escalamiento de resultados de molienda desde el laboratorio a la planta
industrial. La clasificación se estudia en el capítulo 9 y su aplicación a circuitos de
molienda se analiza en el capítulo 10. El capítulo 11 corresponde a un estudio de casos
que integra todos los conocimientos vistos en los capítulos anteriores. Finalmente el
capítulo 12 analiza la molienda semi-autógena, cuyo estudio ha ocupado gran parte del
tiempo del autor principal en los últimos años.
Son muchas personas a las que debemos agradecimiento por contribuir de una u
otra forma a hacer realidad la publicación de este libro. Sin duda que entre ellos están
nuestros alumnos, colegas y colaboradores. Especial agradecimiento debemos al Dr.
Jorge Menacho por su interés y aporte en la discusión de varios temas, en especial del
capítulo 12. Queremos agradecer a Sofía Barreneche de Austin por su asistencia en la
traducción de partes del libro y a Waldo Valderrama y Paola Grandela por su enorme
trabajo en la edición del libro.
Finalmente debemos agradecer muy especialmente al CYTED por su aporte de
recursos económicos sin los cuales habría sido imposible materializar este proyecto.
L.G. AUSTIN Y F. CONCHA A.
Concepción, Chile
Abril de 1994.
v

INDICE
Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii
Indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .vii
CAPITULO 1
INTRODUCCION: FORMULACION DE LOS PROBLEMAS QUE
ENFRENTA EL DISEÑADOR DE CIRCUITOS DE MOLIENDA
1.1 LA MOLIENDA COMO OPERACION UNITARIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 FORMULACION DE LOS PROBLEMAS QUE DEBE ENFRENTAR
EL DISEÑADOR DE CIRCUITOS DE MOLIENDA . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 DEFINICION DE TERMINOS Y CONCEPTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 CONDICIONES DE OPERACIÓN DE MOLINOS
ROTATORIOS DE BOLAS: DEFINICIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 NIVELES DE COMPLEJIDAD: LOS DIFERENTES CAMINOS AL
DIMENSIONAMIENTO DE MOLINOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
CAPITULO 2
MECANICA DE FRACTURA Y REDUCCION DE TAMAÑO
2.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 BREVE RESEÑA DE LA MECANICA DE FRACTURA . . . . . . . . . . . . 17
2.2.1 Esfuerzos, Deformaciones Unitarias y Energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2.2 Direcciones de los Esfuerzos Normales y de Cizalle . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 RESISTENCIA COHESIVA IDEAL, CONCENTRACION
DE ESFUERZO Y LA TEORIA DE GRIETAS DE GRIFFITH . . . . . . . . 26
2.3.1. Resistencia Cohesiva Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3.2 Concentración de Esfuerzo: Teoría de Grietas de Griffith . . . . . . . . . . . 28
2.3.3 Materiales Dúctiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
vii

2.4 FRACTURA DE ESFERAS Y PARTICULAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 APLICACIONES CUALITATIVAS DE LA TEORIA DE FRACTURA:
ENERGIA DE MOLIENDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6 DIFICULTAD DE LA MOLIENDA FINA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.7 CAMBIO DE PROPIEDADES Y REACCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.8 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
CAPITULO 3
ENSAYOS CONVENCIONALES DE MOLIENDABILIDAD Y DISEÑO DE
MOLINOS: METODO DE BOND Y OTROS
3.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2 METODO DE BOND PARA EL DISEÑO DE MOLINOS DE BOLAS . 45
3.2.1. Ecuaciones de Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
ETAPA 1: Ensayo normalizado de moliendabilidad de Bond . . . . . . . . 46
ETAPA 2: Cálculo del Indice de Trabajo del ensayo . . . . . . . . . . . . . . 47
ETAPA 3: Escalamiento a molinos mayores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
ETAPA 4: Corrección para otras condiciones de operación . . . . . . . . . 50
ETAPA 5: Cálculo de la energía específica consumida
para una razón de reducción determinada . . . . . . . . . . . . . . 51
ETAPA 6: Cálculo de la potencia para mover los medios de molienda . 52
3.2.2 Procedimiento de Cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.3 Discusión del Método de Bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.3 INDICE DE TRABAJO OPERACIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.4 METODO DE BOND PARA EL DISEÑO DE MOLINOS DE BARRAS 57
3.4.1 Ecuaciones de Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
ETAPA 1: Ensayo normalizado de moliendabilidad de Bond . . . . . . . . 58
ETAPA 2: Cálculo del Indice de Trabajo del ensayo . . . . . . . . . . . . . . 58
ETAPA 3: Escalamiento a molinos mayores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
ETAPA 4: Corrección para otras condiciones de operación . . . . . . . . . 59
ETAPA 5: Cálculo de la energía específica consumida
para una razón de reducción determinada . . . . . . . . . . . . . . 60
ETAPA 6: Cálculo de la potencia para mover los medios de molienda . 60
viii

3.4.2 Procedimiento de cálculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.5 OTROS METODOS CONVENCIONALES DE DISEÑO . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
CAPITULO 4
CINETICA DE LA MOLIENDA DISCONTINUA: BALANCE DE MASA
POR TAMAÑOS
4.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 HIPOTESIS DE MOLIENDA DE PRIMER ORDEN . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3 FUNCION DE DISTRIBUCION DE FRACTURA PRIMARIA,
O DISTRIBUCION DE TAMAÑO DE LA PROGENIE . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4 BALANCE DE MASA POR TAMAÑOS: ECUACION DE LA MOLIENDA
DISCONTINUA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.5 SOLUCION A LA ECUACION DE MOLIENDA DISCONTINUA . . . . 75
4.6 ANALISIS DE LA ECUACION DE LA MOLIENDA DISCONTINUA . 77
4.7 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
CAPITULO 5
INVESTIGACION DE LA FRACTURA EN MOLINOS DE LABORATORIO
5.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2 MODO DE OPERACION DE UN MOLINO ROTATORIO DE BOLAS. . 84
5.3 VARIACION DE LA FRACTURA CON EL TAMAÑO DE LAS
PARTICULAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
5.4 VELOCIDAD DE ROTACION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.5 CARGA DE BOLAS Y POLVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.6 DIAMETRO, DUREZA Y DENSIDAD DE BOLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.7 DIAMETRO DEL MOLINO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.8 EFECTOS DEL MEDIO AMBIENTE EN EL MOLINO . . . . . . . . . . . . . . 106
5.9 DESACELERACION DE LAS VELOCIDADES DE FRACTURA . . . . . 111
5.10 FRACTURA DE PARTICULAS GRANDES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
5.11 EFECTO DEL FLUJO A TRAVES DEL MOLINO . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
ix

5.12 ESCALAMIENTO DE LOS RESULTADOS DE LA MOLIENDA
DISCONTINUA DE LABORATORIO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.13 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
CAPITULO 6
DETERMINACION DE LAS FUNCIONES DE FRACTURA S Y B
6.1 DETERMINACION EXPERIMENTAL DE LOS PARAMETROS DE
FRACTURA MEDIANTE PRUEBAS DE LABORATORIO . . . . . . . . . . . 123
6.2 TECNICAS DE CALCULO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.3 RETRO-CALCULO DE LOS PARAMETROS DE FRACTURA
DESDE DATOS DE MOLIENDA DISCONTINUA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
6.4 RETRO-CALCULO DE LOS PARAMETROS DE FRACTURA
DESDE DATOS DE MOLIENDA CONTINUA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.5 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
CAPITULO 7
DISTRIBUCION DE TIEMPOS DE RESIDENCIA
7.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
7.2 EDAD, DISTRIBUCION DE EDADES Y TIEMPO DE RESIDENCIA . 139
7.3 MEDICION EXPERIMENTAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143
7.3.1 Trazadores utilizados en molinos industriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
7.3.2 Método experimental de inyección y medición
de un trazador radioactivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
7.3.3 Medición de DTR en un molino en circuito abierto . . . . . . . . . . . . . . . 145
7.3.4 Medición de DTR en un molino en circuito cerrado . . . . . . . . . . . . . . 147
7.3.5 Medición de DTR en equipos en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
7.4 DISTRIBUCION DE TIEMPOS DE RESIDENCIA
EN REACTORES IDEALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
7.5 DISTRIBUCION DE TIEMPOS DE RESIDENCIA
DE MOLINOS ROTATORIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7.5.1 Mezcladores perfectos en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.5.2 Un Mezclador Grande y dos Pequeños . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
7.5.3 Modelo de Rogers-Gardner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
x

7.5.4 Modelo de Dispersión Axial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.6 MODELO CINETICO PARA LA MOLIENDA CONTINUA
ESTACIONARIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7.7 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
CAPITULO 8
ESCALAMIENTO: POTENCIA, DESGASTE DE BOLAS, MEZCLA DE
BOLAS Y TRANSPORTE DE MASA
8.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.2 POTENCIA DEL MOLINO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.2.1.Teoría . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
8.2.2.Ecuaciones para la potencia de un molino . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
8.3 OPTIMIZACION DE LA POTENCIA Y NIVEL DE LLENADO PARA
MOLINOS ROTATORIOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
8.4 DESGASTE DE BOLAS Y CARGAS BALANCEADAS . . . . . . . . . . . . . 186
8.5 DATOS EXPERIMENTALES DE DESGASTE DE BOLAS . . . . . . . . . . 190
8.6 CALCULOS DE CARGA BALANCEADA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
8.7 OPTIMIZACION DE LA RECARGA DE BOLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
8.8 EFECTO DEL FLUJO Y TRANSPORTE DE MASA . . . . . . . . . . . . . . . 203
8.9 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
CAPITULO 9
CLASIFICACION E HIDROCICLONES
9.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
9.2 PRINCIPIOS DE ACCION DE LOS CLASIFICADORES . . . . . . . . . . . 208
9.3 CALCULO DE LA RAZON DE RECIRCULACION . . . . . . . . . . . . . . . 215
9.3.1.Método 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
9.3.2.Método 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
9.3.3.Método 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
9.4 CURVAS DE PARTICION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
(1) Ecuación de Rosin-Rammler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
xi

(2) Ecuación Logaritmo Normal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
(3) Ecuación de Lynch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
(4) Ecuación Logística en ln x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
9.5 HIDROCICLONES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
9.5.1.Variables que afectan la operación de un hidrociclón . . . . . . . . . . . . . . 226
(1) Variables de Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
(2) Parámetros del material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
(3) Variables de Operación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
(4) Perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.5.2. Modelos cuantitativos de hidrociclones
y su incorporación a simuladores de molienda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .231
Balances Generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Método de Diseño y Simulación basado en el Modelo de Arterburn . . 234
Objetivo 1 : Diseño Aislado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
Objetivo 2 : Simulación de Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Objetivo 3 : Simulación de Operación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
9.5.3. Modelo Lynch y Rao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
9.5.4.Modelo de Plitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
9.6 OTROS TIPOS DE CLASIFICADORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
9.6.1. Clasificadores mecánicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
9.6.2. Harneros Curvos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
9.6.3. Harneros Vibratorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
9.6.4. Separadores mecánicos de aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
9.7 CLASIFICACION EN DOS ETAPAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
9.8 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
CAPITULO 10
APLICACION DE LOS MODELOS A DATOS DE PLANTA
10.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
10.2 CONSTRUCCION DE UN MODELO DE SIMULACION
DE UNA PLANTA INDUSTRIAL DE GRAN ESCALA:
MODELOS AJUSTADOS Y REALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
xii

10.3 ESTUDIO DE CASO 1: MOLIENDA HUMEDA
DE UN MINERAL DE COBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
10.4 ESTUDIO DE CASO 2: OTRA MOLIENDA HUMEDA DE COBRE. . 259
10.5 ESTUDIO DE CASO 3: MOLIENDA DE FOSFATO . . . . . . . . . . . . . . . . 263
10.5.1.Descripción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
10.5.2. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
10.5.3. Discusión de los resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
10.6 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
CAPITULO 11
SIMULACIONES DE CIRCUITOS
11.1 COMPARACION DE LA SIMULACION DE CIRCUITOS
CON EL METODO BOND . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
11.2 COMPORTAMIENTO DE DIVERSOS DISEÑOS
DE CIRCUITOS DE MOLIENDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
11.2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
11.2.2. Caso 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
11.2.3. Caso 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
11.2.4. Caso 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
11.2.5. Caso 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
11.2.6. Caso 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
11.2.7. Caso 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
11.2.8. Caso 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
11.2.9. Caso 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
11.3 EFECTOS DE LA EFICIENCIA DEL CLASIFICADOR . . . . . . . . . . . . 295
11.4 CIRCUITO GENERAL DE DOS MOLINOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
11.4.1. Formulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
11.4.2. Ejemplos Típicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
11.5 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
xiii

CAPITULO 12
MOLIENDA SEMI-AUTOGENA(SAG) Y AUTOGENA(FAG)
12.1 INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
12.2 ENSAYOS CONVENCIONALES
PARA EL DISEÑO DE MOLINOS SAG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
12.3 ESCALAMIENTO A TRAVES DE LA POTENCIA:
ECUACIONES DE POTENCIA PARA MOLINOS . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
12.4 PROCESO DE FRACTURA QUE OCURRE EN MOLINOS SAG/FAG 326
12.4.1.Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
12.4.2. Molienda mediante bolas y guijarros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
12.4.3. Autofractura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
12.5 ANALISIS DEL PROCESO DE ASTILLAMIENTO-ABRASION . . . . . . 337
12.5.1. Abrasión Pura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
12.5.2. Combinación con fractura de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
12.5.3. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
12.6 ANALISIS DEL PROCESO DE AUTOFRACTURA
DE ORDEN DISTINTO DEL PRIMERO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
12.6.1 Distribución de resistencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
12.6.2. Fractura rápida y lenta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
12.7 ECUACIONES PARA LA AUTOFRACTURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
12.8 ESTIMACION DE LLENADO DE PULPA Y
DENSIDAD DE LA CARGA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
12.9 CALCULO DE VELOCIDADES ESPECIFICAS DE
AUTOFRACTURA A PARTIR DE ENSAYOS DE
MOLIENDA CONTINUA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
12.10 MODELO DEL MOLINO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
12.10.1 Molinos de D/L grande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
12.10.2 Molinos FAG largos; L/D grande. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
12.10.3 Tratamiento de la autofractura como un sistema duro-blando. . . . . . 374
12.10.4 Tratamiento de una alimentación consistente
en una mezcla de dos materiales de distinta dureza. . . . . . . . . . . . . . 378
12.10.5 Procedimiento computacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
12.11 EJEMPLO ILUSTRATIVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
xiv

12.11.1 Molino SAG: L/D = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
12.12 REFERENCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
INDEX. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
xv

CAPITULO 1
INTRODUCCION:
FORMULACION DE LOS PROBLEMAS QUE
ENFRENTA EL DISEÑADOR DE CIRCUITOS
DE MOLIENDA
1.1 LA MOLIENDA COMO OPERACION UNITARIA
La reducción de tamaño por trituración y molienda es una operación importante
en las industrias minera, metalúrgica, de energía y química. La cantidad de materiales
frágiles, tales como rocas, minerales, carbón, productos del cemento u otros, molidos
actualmente en los EE.UU. es por lo menos de mil millones (109
) de toneladas [1.1], con
un gran consumo de energía asociada [1.2]. Son bastante comunes plantas individuales
tratando 10 millones o más de toneladas por año.
Sorprendentemente, para una operación unitaria de importancia tan fundamental
para la tecnología industrial, no existían, hasta hace poco, textos actualizados sobre los
principios de diseño de procesos aplicados a molinos y circuitos de molienda. Varios
libros, que describen diversos aspectos de la molienda, han comenzado a ser asequibles
en los últimos años [1.3, 1.4 y 1.5], y el capítulo de Rowland y Kjos [1.3] es especialmente
bueno como una guía condensada para el diseño convencional de molinos utilizando el
método Bond. A esto se agrega el que la operación unitaria de molienda tenga ahora una
base teórica más elaborada, la que ha sido desarrollada en las dos últimas décadas [1.6].
Aun cuando no está completa todavía, será sin duda utilizada más y más en el futuro.
Esta base teórica se puede comparar, por ejemplo, a la que existe para la
transferencia de calor y la destilación y, en particular, tiene gran similitud con la teoría
del diseño de reactores químicos, usando muchos conceptos en común con la
terminologíautilizada en este campo.Losprincipales objetivosdeestetexto sonpresentar
con profundidad este enfoque más elaborado y mostrar las correlaciones y divergencias
de sus resultados con métodos más antiguos.
Este libro es una introducción compacta al tratamiento matemático de la
operación unitaria de reducción de tamaño por medios mecánicos, ésto es, el
dimensionamiento, comportamiento y rendimiento de los circuitos de molienda usando
molinos de bolas, de modo que aspectos de ingeniería mecánica de los molinos de bolas
serán mencionados solamente cuando se relacionen al diseño de procesos. Se espera que
el libro sea apropiado como texto avanzado en la enseñanza de la ingeniería metalúrgica,
ingeniería de minas e ingeniería química, ya que enfatiza los conceptos fundamentales y
procedimientos de cálculo de la reducción de tamaño en molinos más que la selección
de equipo o el diseño mecánico.
1

1.2 FORMULACION DE LOS PROBLEMAS QUE DEBE
ENFRENTAR EL DISEÑADOR DE CIRCUITOS DE MOLIENDA.
Al diseñar cualquier tipo de reactor, el primer objetivo del ingeniero de proceso es
dimensionar el reactor de acuerdo a la producción requerida de producto de la calidad
deseada, usando coeficientes cinéticos, balances térmicos y de masa, y coeficientes de
transferencia de calor. Se debe permitir la entrada o extracción de suficiente energía para
producir la reacción deseada y se debe diseñar para minimizar reacciones indeseables.
El sistema debe ser estable y controlable, para cumplir, si fuese necesario, con una
variedad de especificaciones del producto. Se debe obtener la cantidad especificada de
producto en la forma más eficiente posible, con el mínimo de costo de capital, de gastos
de energía y de costos de mantenimiento y mano de obra.
Consideraciones muy similares se pueden aplicar al diseño de molinos.
Consideremos, por ejemplo, el tipo de molino más usado en la actualidad, el molino
rotatorio de bolas, mostrado en la Figura 1.1. El material grueso que se alimenta en uno
de los extremos pasa por el molino fracturándose debido a la acción de la carga de bolas,
produciendo un material en la descarga con una distribución de tamaño más fina. Este
equipo puede ser considerado como un “reactor” continuo donde la energía suministrada
es convertida en acción mecánica de ruptura y la “reacción” obtenida es una reducción
ALIMENTACION
Figura 1.1: Ilustración de un molino de bolas detenido, que posee
descarga de parrilla.
2

de tamaño. Todos los requisitos mencionados anteriormente deben ser cumplidos. Un
paso básico en el diseño de un circuito de molienda es el dimensionamiento del molino
para obtener el tonelaje por hora deseado de producto a partir de una alimentación
específica. El gasto de capital por unidad de capacidad de molienda debe ser minimizado,
lo que envuelve una correcta selección de las condiciones de molienda tales como
velocidad de rotación, peso de la carga de bolas, y tamaño de las mismas.
Asociado con el paso básico de determinación del tamaño del molino, está la
especificación de la energía necesaria para operarlo, y el consumo esperado de energía
por tonelada del producto. Obviamente el diseñador desea ser capaz de especificar las
condiciones de molienda que produzcan un consumo mínimo de energía por tonelada del
producto. Sin embargo, se debe recordar que las condiciones de mínima energía no son
necesariamente aquellas para una máxima capacidad o para la más alta rentabilidad de
la planta. En general, el molino debe ser diseñado para funcionar con la más eficiente
molienda posible, definida por la mayor capacidad específica de molienda y el más bajo
consumo de energía, sujeto a restricciones de desgaste, costos de mantenimiento y
contaminación del producto. Además es usualmente muy deseable el saber cómo
reaccionará el circuito ante cambios en las condiciones de operación, de tal manera que
se pueda asesorar al operador que tiene que manejar el circuito para cumplir
especificaciones.
Como en muchos sistemas de reactores, el uso de varias etapas de molienda
combinadas con recirculación puede ser ventajoso. Es una práctica común pasar el
material que sale del molino a través de un clasificador de tamaño, el cual divide el
producto de la molienda en dos flujos, uno que contiene partículas más gruesas
(sobretamaño) y el otro partículas muy finas (bajotamaño). El flujo de partículas gruesas
es recirculado al punto de alimentación del molino. El proceso de separación selectiva
de tamaños se conoce como clasificación, existiendo varios tipos de equipos que
producen esta acción de clasificación: harneros continuos, clasificadores de espiral y de
rastras, hidrociclones, separadores de aire y otros. El diseño del circuito debe incluir una
especificación de la cantidad óptima de recirculación y cómo obtenerla.
Puede haber dos molinos en serie, con clasificadores apropiados y recirculación,
o puede haber recirculación y remolienda de material proveniente desde una etapa
posterior en el proceso como por ejemplo, de celdas de flotación. Por lo tanto, a menudo
es necesario escoger entre varias alternativas de circuitos de molienda, y definir el tamaño
de un número de componentes para lograr el sistema más eficiente para un determinado
trabajo. Por ejemplo, el diseñador puede confrontar la selección entre un circuito que
contiene triturador primario, triturador secundario, triturador terciario, molino de barras
y molino de bolas, y un circuito que consiste en triturador primario y molino autógeno.
Varios circuitos pueden ser técnicamente factibles y la selección es entonces, una cuestión
de economía global.
Resumiendo, los siguientes factores deben ser considerados:
(I) Tamaño del molino
(II) Potencia del molino, energía específica de molienda
(III) Condiciones de molienda eficiente
3

(IV) Recirculación, eficiencia de clasificación
(V) Desempeño del circuito de molienda bajo condiciones variables
(VI) Selección de molinos para circuitos complejos
(VII) Optimización económica
1.3 DEFINICION DE TERMINOS Y CONCEPTOS
Un molino es esencialmente un reactor que está transformando partículas grandes
a partículas más pequeñas. Hay, por supuesto, muchas formas de aplicar fuerzas a las
partículas y causar fractura, pero el ingeniero metalúrgico está interesado principalmente
en equipos de gran tamaño que procesen en forma continua grandes flujos de materiales
frágiles con capacidad estable durante las veinticuatro horas del día. Los molinos más
utilizados en estas circunstancias son los molinos de barras, los molinos de bolas y los
molinos semiautógenos. Estos molinos son equipos sencillos, relativamente baratos de
construir, seguros, fáciles de controlar y de mantener y tienen bajos requerimientos de
energía por tonelada de producto comparados con otros tipos de equipo de molienda.
El reactivo en el molino es la alimentación que en él entra, la que raramente es de
un solo tamaño y normalmente tiene una distribución granulométrica completa, de
manera tal, que debe considerarse como un conjunto de reactivos. Esta distribución de
tamaños puede ser representada por una curva continua o por un conjunto de números
P(x) que representan la fracción acumulativa en peso bajo el tamaño x. A menudo es
conveniente usar una escala log-log para la representación gráfica de P(x), tal como se
muestra en la Figura 1.2.
El método de análisis granulométrico más sencillo y seguro es el tamizado, de
modo que el tamaño se refiere por lo general al tamaño de la malla de cada tamiz utilizado
(ver Tabla 1.1) La fracción en peso retenida en los intervalos de los diversos tamaños de
tamices, denotada por w, contiene la misma información que la Figura 1.2, de manera
que un conjunto de números w también representa la distribución de tamaño. Es
conveniente usar intervalos de tamaño en una progresión geométrica correspondiente a
la secuencia normalizada de tamices. Utilizaremos la convención arbitraria de designar
el tamaño del intervalo mayor como 1, el próximo más pequeño como 2, etc., como se
muestra en la Figura 1.2. Si se considera cualquier intervalo de tamaño, por ejemplo el
intervalo i, la fracción en peso de material retenido en este intervalo es wi. No es fácil
extender la distribución granulométrica a tamaños muy pequeños, menores a 38 µm (400
mallas), debido a la dificultad experimental de medir con exactitud estos tamaños
pequeños. El intervalo de tamaño final, que contiene el peso del material más pequeño,
es definido como la fracción en peso wn de tamaños menores al más pequeño tamiz
utilizado. Este intervalo se denomina sumidero ya que él recibe material fracturado de
todos los tamaños mayores, pero no entrega material a ningún otro intervalo.
El producto es la distribución de tamaño del material que va saliendo del molino.
Nuevamente, ésta no es nunca un tamaño individual y debe utilizarse una curva o un
conjunto de números para caracterizar su distribución granulométrica, de la misma
manera que se indicó para el material de alimentación. Para definir un sistema de
4

Tabla 1.1 Serie Internacional de Tamices Normalizada
Tamaño
normalizado
Designación
malla U.S.
Tamaño
normalizado
Designación
malla U.S.
125 mm 5" 850 µm 20
106 mm 4.24" 710 µm 25
100 mm 4 “ 600 µm 30
90 mm 31⁄2 “ 500 µm 35
63 mm 21⁄2 “ 355 µm 45
53 mm 2.12 “ 300 µm 50
50 mm 2 “ 250 µm 60
45 mm 13
⁄4 “ 212 µm 70
37.5 mm 11
⁄2 “ 180 µm 80
31.5 mm 11
⁄4 “ 150 µm 100
26.5 mm 1.06 “ 125 µm 120
25.0 mm 1 “ 106 µm 140
22.4 mm 7/8 “ 90 µm 170
19.0 mm 3/4 “ 75 µm 200
16.0 mm 5/8 “ 63 µm 230
13.2 mm 0.530 “ 53 µm 270
12.5 mm 1/2 “ 45 µm 325
11.2 mm 7/16 “ 38 µm 400
9.5 mm 3/8 “
8.0 mm 5/16"
6.7 mm 0.265 “
6.3 mm 1/4 “
5.6 mm Nº 31
⁄2
4.75 mm 4
4.00 mm 5
3.35 mm 6
2.80 mm 7
2.36 mm 8
2.00 mm 10
1.70 mm 12
1.40 mm 14
1.18 mm 16
1.00 mm 18
5

molienda, se debe especificar claramente el producto deseado. Generalmente no es
posible especificar la distribución de tamaño completa, por lo tanto se utiliza una de las
formas que siguen: (a) un sólo punto en la curva P(x), por ejemplo, 80% en peso menor
a 200 mallas; (b) dos puntos en la curva P(x), por ejemplo, 50% menor a 400 mallas y no
más de 5% mayor (95% menor) a 65 mallas; (c) una superficie específica determinada.
Otro ejemplo de aplicación de la especificación del tamaño de un producto se
relaciona con la liberación de un material valioso desde un trozo de roca en operaciones
de metalurgia extractiva. Por medio de pruebas tentativas de laboratorio, el ingeniero
metalúrgico llega a la deseada fineza de molienda para obtener una liberación suficiente,
especificándola luego al diseñador del molino.
En la concentración por flotación del componente valioso, se sabe que partículas
muy finas, por ejemplo menores que 5 µm, flotan muy pobremente y que con partículas
grandes, por ejemplo mayores a 300 µm, también sucede lo mismo. Este es un ejemplo
de una especificación en que el producto debe ser en su mayor parte menor que un tamaño
especificado, pero debe además tener un mínimo de lamas.
Como se mostrará más adelante, y como se espera por sentido común, la velocidad
a la cual las partículas se fracturan en un equipo de molienda depende del tamaño de las
partículas. A diferencia de un reactor químico simple que convierte A en B, un molino
opera con un conjunto completo de tamaños de alimentación produciendo un conjunto
Figura 1.2: Gráfico log-log de la distribución de tamaño acumulativa. El tiempo de
molienda es t.
6

de tamaños finales. En forma semejante a un reactor químico, el conocimiento de la
velocidad a la cual cada tamaño se fractura permite la predicción de la rapidez de
desaparición de estas partículas de la carga del molino.
Sin embargo, a diferencia de la simple reacción química A → B, aún la
fragmentación departículasdeunsólotamañoproduceunacompletavariedaddetamaños
de producto. Si el rango de tamaños se divide en un número de intervalos, la fracción de
material fracturado desde un tamaño fijo que cae dentro de un intervalo de tamaño menor
puede ser considerado como un producto, como se ilustra en la Figura 1.3. Es claro que
la comprensión razonablemente detallada del funcionamiento del molino involucra el
conocimiento de la distribución de tamaño de la progenie, ésto es, de la función de
distribución de fractura primaria. El conocimiento de la rapidez con que un
determinado tamaño se fractura y en qué tamaño aparece su producto, constituye la
descripción elemental del balance de masa por tamaños o balance de población del
molino.
Figura 1.3: Ilustración de la fracción de material fracturado desde un monotamaño
que queda en un intervalo de tamaño determinado.
Figura 1.4: Ilustración de la distribución de tiempos de residencia (DTR) para un
molino de bolas.
7

Para definir las diversas velocidades de fractura en un molino, se puede considerar
éste como una “caja negra” con un volumen V que contiene una masa de polvo W. Si se
mira un intervalo de un tamaño particular i, la fracción de W que es de tamaño i es wi,
por lo tanto la masa de tamaño i será wiW. La velocidad específica de ruptura de este
tamaño, Si, es la velocidad fraccionaria de ruptura, por ejemplo, kilógramos de tamaño i
fracturados por unidad de tiempo por kilógramo de tamaño i presente. Las unidades de
Si son (kg/t)/kg=t-1
. De este modo Si queda definido por:
Velocidad de ruptura de un tamaño i = SiwiW (1.1)
y es equivalente a una constante de velocidad de reacción química de primer orden. La
operación de molienda más eficiente ocurre en condiciones en las cuales los valores de
Si son máximos. Si la geometría del molino o las condiciones de carga de bolas cambian,
la intensidad y estadística de la fractura por unidad de volumen del molino también
cambian y como consecuencia, cambian los valores de Si. Esto es equivalente a cambiar
la temperatura en un reactor químico.
Si se considera nuevamente el molino como un reactor, surge otro nuevo concepto.
Si la velocidad de alimentación de un molino de bolas de determinado tamaño se
Figura 1.5: Ilustración del rango de las distribuciones de tamaño con un punto común
fijo en 80% menos de 75 µm, obtenido variando la razón de recirculación.
8

disminuye, el material permanece por más tiempo en el molino, se fractura más y por lo
tanto se muele finamente. Por lo tanto, el tiempo de retención, que también recibe el
nombre tiempo de residencia, es un componente fundamental en la descripción de la
operación del molino, aplicable a un conjunto particular de condiciones de operación.
Como en cualquier tipo de reactor, el concepto anterior lleva al concepto de distribución
de tiempos de residencia (DTR) [1.7]. De una pequeña cantidad de alimentación
marcada con un trazador y administrada al molino por un muy corto tiempo, una parte
podrá dejar el molino casi inmediatamente (y estará casi sin fracturar), mientras que
otra parte del pulso de trazador permanecerá en el molino por un mayor intervalo de
tiempo (y será molida más finamente) de tal forma que se establece una completa
distribución de tiempos de residencia. Esto se ilustra en la Figura 1.4.
Se define como flujo pistón la salida súbita de todo el material trazado después de
un tiempo promedio de residencia, lo que implica que no se produce una mezcla hacia
adelante o hacia atrás del material mientras se mueve a través del molino. En el otro
extremo se denomina mezcla completa, o mezcla perfecta, al caso en que todo el material
marcado se mezcla instantáneamente en el seno de la carga y la concentración del
material marcado, en el molino y en el material que deja éste, es igual y disminuye
exponencialmente con el tiempo; ver el capítulo 7. El tiempo promedio de residencia
queda definido por W/F, siendo W la masa del material retenido en el molino, por
ejemplo en toneladas, y F la velocidad de alimentación, por ejemplo en ton/min. El
comportamiento del molino depende de la naturaleza de la DTR como también del
tiempo de residencia promedio.
La forma de la distribución de tamaño del producto puede ser modificada por la
manera en que se diseña y opera el circuito de molienda. Con “forma” se quiere decir la
pendiente de la curva de análisis granulométrico que se muestra en la Figura 1.2, ésto es,
la relativa proporción de finos, material de tamaño intermedio y gruesos. En muchas
industrias, el producto del molino debe ser menor que un determinado tamaño pero la
presencia de un exceso de finos, es indeseable. Una cantidad relativa menor de finos
aparece como una mayor pendiente en la curva granulométrica, como se muestra en la
Figura 1.5. La producción de un exceso de finos se puede considerar análoga a una
reacción química indeseable, la cual debe ser minimizada por medio de una operación
eficiente.
Un principio general de importancia es que, para evitar la producción de un exceso
de finos, es necesario remover del molino lo más rápidamente posible todo el material
que ya está suficientemente fino, evitando de este modo la sobremolienda. En la Figura
1.5 se muestra un resultado teórico (que será descrito en el Capítulo 11) de un circuito de
molienda operando para producir una distribución de tamaño con el 80% menor que 75
µm. Bajo condiciones de circuito abierto (sin clasificación o reciclo), el material ya
suficientemente fino naturalmente pasa todavía a lo largo del molino y es molido más
finamente por debajo del tamaño de control al mismo tiempo que el material más grueso
es reducido de tamaño. La incorporación de un clasificador cerrando el circuito significa
que el molino opera a flujos de masas mayores y a tiempos de residencia menores. Si los
flujos de alimentación fresca y de producto final se denominan Q, en toneladas por hora,
y si la cantidad que recicla es T, también en toneladas por hora, el flujo total que pasa por
el molino es Q + T. Este mayor flujo remueve el material más rápidamente, los finos son
separados en el clasificador y las partículas más gruesas son devueltas al sistema de
9

alimentación del molino. El beneficio de esta acción es que la distribución de tamaño
de laspartículasque hansidotrituradasenelmolinocontieneahoramáspartículasgruesas
y menos partículas finas. Si no hay finos presentes, éstos no son retriturados. El cuociente
(Q+T)/Q recibe el nombre de carga circulante y se la expresa como porcentaje. La razón
T/Q=C se denomina razón de recirculación.
Dos tipos de ineficiencias pueden ser definidos para la molienda. El primer tipo,
que recibirá el nombre de ineficiencia indirecta, fue discutido en el párrafo anterior. El
molino puede fracturar eficientemente, pero la energía se gasta en sobremoler material
que ya está suficientemente fino. El segundo tipo, que denominaremos ineficiencia
directa, sucede cuando las condiciones de la molienda causan acciones de ruptura
deficiente; ejemplos son (i) bajo llenado del molino con partículas de tal manera que
la energía cinética de las bolas se gasta en un contacto acero-acero sin que suceda una
ruptura de las partículas; (ii) sobrellenado del molino debido al cual la acción de las
bolas sobre las partículas es amortiguada por la presencia de exceso de estas últimas;
(iii) una densidad de pulpa demasiado alta en molienda húmeda, la que produce una
pulpa densa y viscosa que puede absorber el impacto de las bolas sin producir ruptura.
Finalmente, está claro que el término capacidad de molienda, que a menudo es
expresado en toneladas por hora, tph, agrupa en un solo número todas las velocidades
específicas de ruptura, la distribución de ruptura primaria, las distribuciones de tiempo
de residencia, las especificaciones de tamaño del producto en relación con la alimentación
del molino y el tamaño de éste. Este número sólo puede ser constante para condiciones
constantes precisas.
1.4 CONDICIONES DE OPERACIÓN DE MOLINOS ROTATORIOS
DE BOLAS: DEFINICIONES
El molino rotatorio de bolas contiene una masa de polvo que está siendo fracturada
y la fineza de la molienda depende de cuánto tiempo el material permanece retenido. El
producto se torna más grueso cuando se aumenta el flujo de alimentación al molino, como
se discutió anteriormente. Este tipo de equipo es un aparato de retención.
Se define como velocidad critica del molino a la velocidad de rotación a la cual
las bolas empiezan a centrifugar en las paredes del molino y no son proyectadas en el
interior del molino. Haciendo un balance entre la fuerza de gravedad y la fuerza
centrífuga sobre una bola en la pared del molino, la velocidad crítica resulta ser:
Velocidad crítica = 76.6 ⁄ √D − d RPM; D, d en pies (1.2a)
= 42.2 ⁄ √D − d RPM; D, d, en metros (1.2b)
donde D es el diámetro interno del molino y d es el diámetro máximo de las bolas. Es
razonable esperar que el movimiento de volteo de la carga en un molino dependerá de la
fracción de velocidad crítica a la cual el molino opera, de tal manera que la velocidad de
rotación de éste normalmente se especifica por medio de ϕc, la fracción de velocidad
crítica.
10

La acción de volteo de la carga y las velocidades de ruptura dependerán claramente
de qué proporción del volumen del molino está lleno con bolas. La medida más precisa
de ésto es la fracción de volumen ocupado por las bolas. Sin embargo, en ensayos en
molinos de gran tamaño, a menudo no es posible determinar el peso de las bolas, y por
lo tanto, tampoco es posible determinar su volumen, pero sí es posible parar el molino y
medir la altura desde la superficie de las bolas a la parte más alta del molino, lo que
permite la estimación de la fracción del volumen que está lleno con el lecho de las bolas;
Figura 1.6. Por lo tanto la fracción de llenado con bolas, J, se expresa,
convencionalmente, como la fracción del molino lleno por el lecho de bolas en el reposo.
Para convertir el volumen del lecho en la masa total de las bolas presentes, o vice
versa, es necesario conocer la densidad aparente de la carga del lecho de bolas. La
porosidad del lecho varía ligeramente dependiendo de la mezcla de tamaños de bolas, el
relleno de polvo, etc., sin embargo, se define una porosidad nominal constante para todos
los cálculos. Diferentes industrias y fabricantes usan valores levemente distintos de
porosidad. Nosotros usaremos una porosidad nominal de lecho de 0.4, el que da un valor
de J de:
J =
Volumen real de las bolas ⁄ Fracción en volumende acero en el lecho
Volumen del molino
J =



masa de bolas ⁄ densidad de bolas
volumendelmolino



× 


1.0
1− porosidad del lecho



J =



masa de bolas ⁄ densidad de bolas
volumendelmolino



× 


1.0
0.6



Para bolas de acero forjado de tipo normal, la porosidad formal de 0.4 produce una
densidad aparente del lecho de 295 lbs/pie cúbico (4.70 ton métrica/m3
).
Similarmente, la carga de polvo de un molino se expresa como la fracción del
volumen del molinoocupada porellecho de polvo,fc. Usando nuevamente una porosidad
nominal del lecho de polvo de 0.4:
fc =



masa del polvo ⁄ densidad del polvo
volumen del molino



× 


1.0
0.6



A fin de relacionar la carga de polvo con la carga de bolas, el volumen aparente de
la carga de polvo se compara con la porosidad nominal del lecho de bolas mediante la
variable U, que expresa la fracción de huecos entre las bolas en reposo ocupada por el
lecho de partículas.
U = 


volumendel lecho de partículas
volumen de huecos en el lecho de bolas



11

=
fc × ( volumendel molino)
J × ( volumen del molino) × ( porosidaddel lecho de bolas)
=
fc
0.4J
(1.5)
Empíricamente se ha encontrado que el rango de U de 0.6 a 1.1 es una buena proporción
de polvo a bolas para dar una fractura eficiente en el molino.
Si hay agua presente, la densidad de la suspensión se puede cuantificar mediante
la fracción en peso de los sólidos en la mezcla cp. En realidad, las propiedades reológicas
de una suspensión quedan mejor definidas por la fracción de sólido en volumen cv:
cv =
cp ⁄ ρs
cp ⁄ ρs + [(1 − cp) ⁄ ρl )]
(1.6)
donde cp es la fracción en peso del sólido y ρs y ρl son las densidades del sólido y del
líquido. La viscosidad de una suspensión depende también de la distribución granu-
lométrica de las partículas.
1.5 NIVELES DE COMPLEJIDAD: LOS DIFERENTES CAMINOS AL
DIMENSIONAMIENTO DE MOLINOS
Al describir un sistema de molienda, incluso el más sencillo, existen un número
de niveles de complejidad que pueden ser usados. Estos pueden ser categorizados, en
orden ascendente de complejidad, de la siguiente manera:
1) Método de la energía específica global
2) Métodos globales Bond/Charles
3) Método de balance de tamaño-masa
La esencia del Método 1 es el determinar experimentalmente la capacidad de
molienda de un material desde una alimentación conocida a un producto determinado en
el laboratorio o en un molino piloto, donde las condiciones en el molino de prueba son
seleccionadaslomássimilaresposiblesa lasdel molinoindustrialy el tiempodemolienda
es ajustado para obtener el tamaño deseado del producto. La energía del molino se usa
para calcular la energía específica de molienda en kWh/ton, para ir desde una determinada
alimentación hasta un producto del tamaño deseado. Se supone luego, que la energía
específica de molienda para obtener el producto señalado desde la alimentación dada es
independiente del diseño del molino o de su operación (o se escala mediante una relación
de escalamiento simple basada en la experiencia). Por lo tanto, midiendo la potencia
mp1 utilizada en el molino de laboratorio o de planta piloto mientras opera a un tonelaje
de descarga estacionario Q1 desde una alimentación a un producto determinado, la energía
específica es obtenida de:
Energía específica E =
mp1
Q1
(1.7)
12

Figura 1.6: Geometría de la carga de bolas en un molino.
13

Entonces, si se necesita un tonelaje de producción Q2 de cualquier otro molino, y se
supone una energía específica constante, su potencia será de:
mp2 = E × Q2 = mp1



Q2
Q1



(1.8)
Como la potencia mp2 que se requiere para operar un molino a una velocidad deseada
puede ser calculada mediante ecuaciones empíricas usando las dimensiones del molino
y su carga de bolas, se puede seleccionar un tamaño apropiado de molino para dar una
potencia mp2.
Este enfoque es a menudo inesperadamente exitoso, pero su aplicación sin
experiencia previa está llena de peligros. No existe una razón fundamental de por qué la
energía específica de molienda deba ser constante ya que ella no es un parámetro
termodinámico y además, es fácil idear un sistema en el cual ella no pueda de ningún
modo ser constante, especialmente si el sistema de producción seleccionado es más, o
menos, eficiente que el sistema de prueba. Este enfoque no toca los problemas de
limitaciones en flujo másico a través del molino, la correcta selección de recirculación,
las condiciones óptimas de operación, etc.
El Método 2 utiliza elementos del Método 1 y agrega relaciones empíricas, como
las de la “ley” de Bond [1.8] o la “ley” de Charles [1.9], las que describen cómo la energía
específica de molienda varía con cambios en el tamaño de la alimentación o el tamaño
del producto. Se utilizan factores de escalamiento y a menudo es necesario hacer una
serie de correcciones empíricas basadas en experiencias previas para obtener resultados
correctos.
Los métodos arriba mencionados se denominan métodos globales porque son
usualmente aplicados a la alimentación y al producto que sale del circuito y no a la
distribución real de éstos en torno al molino mismo. Ellos engloban todos los factores
cinéticos en un único parámetro descriptivo, por ejemplo, el índice de Trabajo de Bond.
Estos métodos serán discutidos en más detalle en el Capítulo 3.
El Método 3 consiste en realizar un balance de tamaño y de masa completo para
todos los tamaños de partículas del molino, utilizando los conceptos de velocidad
específica de fractura, distribución de fractura primaria, distribución de tiempos de
residencia y una descripción matemática de la acción de clasificación. El escalamiento
desde los resultados de pruebas a las condiciones industriales de producción, o a otras
condiciones del molino, se efectúa por medio de un conjunto de relaciones que describen
como cada elemento en el balance de tamaño-masa varía con las condiciones y el tamaño
del molino. Esto conduce a simulaciones de circuito razonablemente exactas y
apropiadas para la optimización y análisis del proceso. La ventaja de esta técnica es que
pueden compararse circuitos alternativos en el papel antes de adoptar finalmente un
diseño. Este nivel avanzado de complejidad puede ser tratado con variados grados de
sofisticación. Este enfoque moderno, que requiere el uso de computadores digitales para
realizar los cálculos para un número razonable de intervalos de tamaño (por ejemplo 10
a 20), es uno de los tópicos importantes de este libro y se lo vuelve a tratar en el Capítulo
4.
14

1.6 REFERENCIAS
1.1 Rumpf, H., Powder Technol., 7 (1973) 145-159.
1.2 Sheridan, D., Smithsonian, 8 (1977) 30-37.
1.3 Rowland, C.A., Jr. and Kjos, D.M., Mineral Processing Plant Design, 2nd. Ed., A. Mular and R. Bhappu,
eds.,AIME-SME, New York,NY, (1980) 239-278.
1.4 Lynch, A.J., et al., Mineral Crushing and Grinding Circuits, Elsevier, 1977.
1.5 Austin, L.G., Klimpel, R.R. Luckie, P.T. and Rogers, R.S.C., Design and Installation of Comminution
Circuits, A. L. Mular and G.V. Jergensen, II, eds., SME-AIME, New York, NY, (1982) 301-324.
1.6 Austin, L.G., Klimpel, R.R. and Luckie, P.T., The Process Engineering of Size Reduction: Ball Milling,
AIME-SME, New York, NY, (1984) 561 pp.
1.7 Levenspiel, O., Chemical Reaction Engineering, Wiley, NY (1962).
1.8 Bond, F.C., Brit. Chem. Eng., 6 (1960) 378-391, 543-548.
1.9 Charles, R.J., Trans. AIME, 208 (1957) 80-88.
15

CAPITULO 2
MECANICA DE FRACTURA Y REDUCCION
DE TAMAÑO
2.1 INTRODUCCION
Es obvio que la ciencia básica involucrada en la conminución es la mecánica de
fractura, sin embargo, existen pocos aspectos del diseño de procesos de molienda que
utilicen conceptos de mecánica de fractura. Es más, cuando las leyes de la mecánica de
fractura han sido invocadas para explicar los datos de molienda o desarrollar leyes de
diseño, la mayor parte de las veces han sido aplicadas en forma errada y de esta manera
han creado una gran confusión. En este capítulo se reseñan los conceptos básicos de
fractura desde el punto de vista de la reducción de tamaño por molienda y se muestra el
por qué es tan difícil efectuar cálculos de diseño desde un razonamiento teórico a priori.
2.2 BREVE RESEÑA DE LA MECANICA DE FRACTURA
2.2.1 Esfuerzos, Deformaciones Unitarias y Energía
Para producir una reducción de tamaño en colpas o partículas sólidas, se les debe
aplicar esfuerzos y producir fractura. Un análisis teórico cuantitativo es solamente
posible para estados de esfuerzos relativamente simples, pero los conceptos que surgen
de estos resultados son beneficiosos para entender en forma cualitativa las complejas
condiciones de esfuerzo en trituradoras y molinos industriales.
Cuando un material sólido es sometido a un esfuerzo sufre una deformación. El
estudio de este fenómeno corresponde a la mecánica del medio continuo. La descripción
del comportamiento del sólido requiere la postulación de una ecuación constitutiva que
relacione esfuerzos y deformaciones y que debe obtenerse de la experimentación con el
material. Sometiendo diversos materiales a esfuerzos de tensión conocidos, es posible
medir cada deformación producida y clasificar su comportamiento como elástico o
inelástico.
El comportamiento elástico de un material se caracteriza porque la respuesta a los
esfuerzos es afectada sólo por el esfuerzo presente. No existen efectos de memoria que
comprometan la respuesta posterior del material. La energía acumulada durante la carga
del sólido es recuperada íntegra e instantáneamente durante la descarga. Si la ecuación
constitutiva de un material sólido elástico es lineal, se dice que su comportamiento es
elástico-lineal. La Figura 2.1 esquematiza la ecuación constitutiva de un material elástico
lineal en una dimensión. Esta ecuación constitutiva se denomina ley de Hooke y es:
17

σ = Yε (2.1)
donde ε = (d − do) ⁄ do y d y do son el tamaño actual y tamaño inicial de la muestra. El
parámetro Y, que representa la pendiente de la recta en la Figura 2.1, se denomina módulo
de Young. El material se comporta elásticamente hasta el punto C. El valor del esfuerzo
y de la deformación unitaria en este punto se denota por σc y εc . El módulo de Young
queda expresado por:
Y = σ ⁄ ε , σ<σc , ε < εc (2.2)
Para un cristal perfecto, Y depende de las orientaciones de los esfuerzos, pero los
materiales de mayor interés para nosotros son sólidos frágiles policristalinos con una
distribución de cristales al azar, de manera tal que Y resulta ser una constante isotrópica
elástica efectiva.
Existen materiales cuya respuesta a una solicitación no es elástica. La razón puede
ser que el material se deforma permanentemente o que su comportamiento depende del
tiempo. Ambos disipan energía durante la deformación. Se puede distinguir dos tipos
de inelasticidad, el comportamiento plástico y el comportamiento viscoso. Estos tipos
de inelasticidad se superponen al comportamiento elástico y constituyen lo que se
Figura 2.1 : Esfuerzo versus deformación unitaria para el comportamiento
elástico-lineal de una esfera de vidrio de 38 µm de diámetro.
18

denomina comportamiento elasto-plástico y comportamiento visco-elástico. El
comportamiento elasto-plástico (Fig. 2.2) lleva a una deformación permanente del
material, que no desaparece con el tiempo, por lo que se la trata como independiente de
éste. La descripción se basa en el límite de fluencia como constante del material, además
del módulo de Young. La energía disipada corresponde al área bajo la curva σ versus ε.
El comportamiento visco-elástico se caracteriza por su gran dependencia de la velocidad
con que se lleva a efecto. Mientras más lenta la carga, más inelásticamente se comporta
el material (Fig. 2.3). Un material se puede comportar elásticamente en tiempos cortos,
y visco-elásticamente en tiempos mayores, dependiendo el rango de comportamiento
elástico de la temperatura. Por esta razón cuando se desea romper materiales
visco-elásticos, tales como el cloruro de polivinilo, se debe controlar la temperatura y la
velocidad de aplicación de los esfuerzos para que el material se comporte elásticamente.
La densidad de energía acumulada por el material durante una deformación
elástica se denomina energía de deformación y se puede expresar por unidad de volumen
Ev ,o por unidad de área Es. Para una deformación unidimensional ella es:
1
2
3
4
5
Figura 2.2 : Esfuerzo versus deformación para la deformación elasto-plástica de una
partícula mineral de aproximadamente 4 µm de diámetro.
19

Ev =
E
do A
=
1
do A ∫ F
do
d
dx = ∫do
d
F
A
dx
do
= ∫ σ
0
ε
dξ (2.3a)
donde Ev es la energía de deformación por unidad de volumen, do es el largo inicial del
material, A su sección transversal y d el largo deformado al aplicar la fuerza F. Usando
(2.1) e integrando resulta:
Ev =
1
2
Yε2
y reemplazando ε de (2.2), se obtiene la energía de deformación cuando se aplica un
esfuerzo σ < σc :
Ev =
1
2
σ
2
Y
(2.3b)
La energía de deformación por unidad de área será obviamente:
Figura 2.3 : Esfuerzo versus deformación para un material visco-elástico.
20

Es =
1
2
do
σ
2
Y
(2.3c)
Elvalordado porlasexpresiones (2.3b) y (2.3c) corresponde a una deformación reversible
(Teoría de Hertz).
Por otro lado, si el sólido es cargado inmediatamente a σ, el trabajo realizado será
Ev = σ2
⁄ Y o Es = doσ2
⁄ Y. La mitad de esta cantidad es energía de deformación y la
otra mitad es utilizada en acelerar el sólido y lo hará oscilar hasta que la amortiguación
por fricción convierta la energía cinética en calor (Fig. 2.4). En forma similar, si un sólido
se expande rápidamente a un valor "d " mediante un esfuerzo constante σ , el trabajo
efectuado por unidad de volumen es σ2
⁄ Y y otra vez solamente la mitad es energía
reversible de deformación.
La ruptura de un cuerpo sólido requiere la aplicación de esfuerzos suficientes sobre
el material para romper los enlaces entre los átomos de la red cristalina. Si a un material
ideal, considerando como tal aquél que posee una red cristalina perfecta, se le aplican
esfuerzos homogéneos, éste no puede romperse. Al aumentar las solicitaciones, tal
materialdeformaríaisotrópicamenteaumentandolasdistanciasentresusátomosenforma
homogénea. Cuando los esfuerzos sobrepasaren la resistencia del material, éste sería
separado en sus componentes. Si lo anterior no ocurre en la práctica se debe sencillamente
Figura 2.4 : Ilustración de vibración amortiguada para la carga irreversible en un
ensayo de tensión simple.
21

a que los materiales ideales no existen. Los sólidos siempre contienen inhomogeneidades
que cambian su comportamiento. Particularmente, los minerales están compuestos de
granos de diversas especies mineralógicas y cada una de éstas, de muchos cristales. Esto
significa que los minerales son intrínsecamente materiales inhomogéneos.
Si se aplican esfuerzos en un cierto plano del material, éste se romperá, ocurriendo
fractura cuando las tensiones locales sobrepasan las fuerzas interatómicas. La fractura
se denominará quiebre cuando la tensión local es mayor que la resistencia cohesiva del
material y el plano de fractura sea perpendicular al plano de esfuerzos. Si la tensión local
se hace mayor a la resistencia de cizalle cohesivo, el material se fracturará en un plano
que no es perperdicular al de los esfuerzos y la fractura se denominará cedencia (Fig.
2.5). El tipo de fractura producido en un material depende principalmente del tipo de
esfuerzo aplicado. En la conminución, los esfuerzos normales son más importantes como
forma de aplicación de fuerzas para la ruptura de los minerales, sin embargo, la
importancia relativa del cizalle dependerá de la magnitud de las solicitaciones a las que
es sometido el material.
Figura 2.5 : Tipos de fractura según la ubicación de enlaces rotos en relación al plano
de solicitaciones, en una red cúbica.
22

2.2.2 Direcciones de los Esfuerzos Normales y de Cizalle
Considere un sólido en estado de esfuerzo en el equilibrio. En un plano que pasa
por cualquier punto del sólido, no existe fuerza neta (ya que no hay movimiento de una
parte del sólido con respecto a otra), como se ilustra en la Figura 2.6, y la fuerza con
que el material A de un lado del plano actúa sobre el material B del otro lado debe igualar
la fuerza del material B actuando sobre el material A. La fuerza por unidad de área con
que A actúa sobre B es llamada esfuerzo. El esfuerzo es entonces la transmisión de
fuerzas a través del sólido.
El esfuerzo en un punto puede ser resuelto en dos componentes, la componente
normal, perpendicular a la superficie considerada y la componente tangencial, el
esfuerzo de cizalle. El esfuerzo normal tiende a separar A de B (tensión) o forzar a A
Figura 2.6 : Ilustración de los esfuerzos en un plano que pasa a través de un punto
en un sólido en equilibrio.
Figura 2.7 : Ilustración del estado de esfuerzo en un sólido desde el punto de vista
molecular.
23

sobre B (compresión), mientras que el esfuerzo de cizalle tiende a hacer deslizar a A sobre
B. La Figura 2.7 ilustra los tres estados de esfuerzos, si se esquematiza estas fuerzas
operando como resortes. Obviamente, una compresión o tensión σ desigual a través de
un sólido debe producir esfuerzos de cizalle.
Para describir el proceso de fractura es necesario conocer los esfuerzos normales
σ y tangenciales τ , y sus direcciones en el sólido. Las relaciones entre esfuerzos y
dirección de esfuerzo pueden ser desarrolladas rápidamente para un sólido plano
(bidimensional). Considere un esfuerzo en un plano actuando en un punto, como se
muestra en la Figura 2.8a. El espesor del plano es el pequeño plano mostrado en la Figura
2.6, donde las moléculas han sido comprimidas, estiradas o cortadas. El esfuerzo puede
resolverse en dos componentes perpendiculares, σx y σy, para cualquier ángulo arbitrario
α. Un balance de fuerzas muestra que, para un valor particular de α = α
__
, el valor de τ se
convierte en cero. Definiendo los nuevos ejes x
_
e y
_
paralelos y perpendiculares a la
dirección de α
__
(llamados ejes principales de esfuerzos) se tiene los resultados de la
Figura 2.8c. Los esfuerzos en las direcciones de x
_
ey
_
son llamados esfuerzosprincipales.
Entonces, se puede demostrar que para cualquier ángulo arbitrario ß con respecto a esos
ejes, como se muestra en la Figura 2.8d, los esfuerzos σ y τ están dados por:
σ = σx
_
cos
2
β + σy
_
sen
2
β (2.4)
τ =



σx
_
− σy
_
2



sen2β (2.5)
Figura 2.8 : Equilibrios de esfuerzo en un punto de un elemento plano sólido.
24

Eliminandoβ entre las ecuaciones (2.4) y (2.5) se obtiene la ecuación de un círculo,
de manera tal que las relaciones entre τ y σ, para cualquier ángulo β, pueden ser
representadas mediante el círculo de Mohr, como se muestra en la Figura 2.9. El
máximo esfuerzo de cizalle ocurre en la dirección de β = 45° (o 135°), siendo:
τmax =



σx
_
− σy
_
2



=






σx − σy
2



2
+ τxy



1
⁄2
(2.6)
στmax
=



σx
_
+ σy
_
2



(2.7)
El esfuerzo normal máximo es claramente el mayor de los esfuerzos principales.
También, es fácil demostrar que en las coordenadas originales, los esfuerzos principales
están relacionados a los esfuerzos normales mediante:
σx
_
, σy
_
=
σx + σy
2
± τmax , tg 2α
__
=
2τxy
(σx − σy)
(2.8)
Entonces, conociendo σx, σy y τxy en cualquier punto en el sólido, las direcciones y
magnitudes de los esfuerzos máximos de cizalle, tracción y compresión pueden ser
calculadas fácilmente.
Considerando las seis componentes de los esfuerzos, un tratamiento similar en tres
dimensiones conduce a círculos de Mohr para los tres planos de esfuerzos principales,
como se ilustra en la Figura 2.10, donde σ3 , σ2 , σ1 son los esfuerzos principales en orden
Figura 2.9 : Círculo de esfuerzos de Mohr para un punto de un elemento plano de un
sólido.
25

de magnitud creciente. Se puede concluir que el máximo esfuerzo de tensión tiene la
magnitud y dirección del mayor valor de los tres esfuerzos principales y que el máximo
de cizalle ocurre a 45° entre las direcciones de σ1 y σ2 , con magnitud dada por la ecuación
(2.6).
El segundo paso en la descripción de la fractura es encontrar los valores de
σx , σy y τxy en todos los puntos en un sólido, ya que éstos pueden ser convertidos a
esfuerzos máximos y direcciones de máximo esfuerzo. Esto se hace solucionando el
conjunto de ecuaciones diferenciales y algebraicas que relacionan los esfuerzos con la
deformación unitaria, el coeficiente de Poisson ν y el módulo de rigidez G
(G = Y ⁄ 2(1+ν)) en tres dimensiones en todos los puntos de la superficie del sólido,
usando como condición de contorno la ecuación constitutiva para esfuerzo-deformación
unitaria. Las soluciones son complicadas excepto para casos de geometrías sencillas y
para condiciones de contorno también sencillas. Un ejemplo utilizado más adelante es
la carga compresiva simple de una esfera entre platos rígidos y sin fricción,
correspondiendo a una prueba de esfuerzo compresivo.
La energía reversible de deformación, por sobre el estado sin esfuerzo, está dada
por:
EV =
1
2 ∫∫∫ (σxεx + σyεy + σzεz + τxyγxy + τxzγxz + τyzγyz) dxdydz (2.9)
donde γxy es la deformación angular en el plano x,y.
Figura 2.10 : Círculo de esfuerzos de Mohr para un punto para un sólido tridimen-
sional.
26

2.3 RESISTENCIA COHESIVA IDEAL, CONCENTRACION DE
ESFUERZO Y LA TEORIA DE GRIETAS DE GRIFFITH
2.3.1. Resistencia Cohesiva Ideal
El concepto de resistencia cohesiva ideal puede ser ilustrado mediante un sólido
constituido por planos de moléculas sujetos a una tensión unidimensional simple. La
tensión estira los enlaces entre las moléculas, como se ilustra en la Figura 2.11a, donde
las flechas indican las fuerzas intermoleculares de atracción y repulsión. En el estado
deformado (estirado) cualquier molécula cumple todavía un balance de fuerzas pero,
como se muestra en la Figura 2.11b, el alejamiento del equilibrio venciendo las fuerzas
de atracción requiere una adición de energía (integral de la fuerza por la distancia),
alcanzando el sólido un nuevo equilibrio en un estado de energía más alto (energía de
deformación almacenada).
La máxima fuerza de atracción que el sólido puede ejercer sobre la capa de la
superficie corresponde al punto de inflexión de la curva de energía potencial, ya que
(fuerza) = d(energía)/d(distancia de separación) y una tensión externa que exceda este
máximo, causa un desequilibrio de fuerzas y la aceleración de un plano de moléculas
respecto a otro. El sólido se desintegraría en cada uno de sus planos interiores.
Suponiendo que la ley de Hooke es aproximadamente aplicable hasta el punto de
inflexión, la energía de deformación por unidad de volumen del sólido será, de acuerdo
a la ecuación (2.3), σ2
⁄ 2Y. Por otra parte, si se supone que esta energía se utiliza para
generar una nueva superficie por ruptura del material, podemos igualar la energía
superficial con la energía de deformación hasta el límite de ruptura. Como el área
producida por unidad de longitud es 2N, donde N es el número de planos por unidad de
longitud, N=1/a, y a es la distancia entre los planos atómicos. Entonces:
2γ ⁄ a =
σc
2
2Y
y por lo tanto:
Figura 2.11 : Ilustración de las fuerzas entre moléculas en un sólido :
(a) fuerza cohesiva, (b) energía potencial.
27

σcideal
= √4Yγ ⁄ a (2.10)
donde γ es la energía superficial específica, definida como la energía necesaria para crear
una unidad de área de la superficie de un sólido no deformado. Claramente
2γ = Es ⁄ (do ⁄ a). La ecuación (2.10) debe subestimar la resistencia ideal, ya que la ley
de Hooke subestima la fuerza para llegar al punto de inflexión.
Los valores del esfuerzo σc calculados mediante la expresión (2.10) son siempre
muy grandescomparados conlos esfuerzosque se aplicana losmaterialespararomperlos.
Tres son las razones de discrepancia entre realidad y modelo. En primer lugar, en los
materiales existen medios mediante los cuales se produce concentración de esfuerzos
localmente, los que así llegan a sobrepasar la resistencia cohesiva del material. La
concentración de esfuerzos se producirá en las puntas de grietas microscópicas en el
material, la propagación de las cuales produciría ruptura. En segundo lugar, los
materiales contienen inclusiones que debilitan las uniones de ciertos planos
cristalográficos disminuyendo la resistencia cohesiva original. Finalmente es probable
que en muchos casos la ruptura se produzca a esfuerzos pequeños debido a grietas
macroscópicas en el material.
2.3.2 Concentración de Esfuerzo: Teoría de Grietas de Griffith
La teoría de la fractura estudia la iniciación de grietas a partir de fallas (grietas
microscópicas) y su propagación en el material. De acuerdo al comportamiento en este
sentido, la fractura puede ser frágil o dúctil. La fractura frágil se caracteriza por una
deformación elástica antes de la ruptura y por una rápida velocidad de propagación de la
grieta. La fractura dúctil va acompañada de una gran deformación plástica alrededor de
las grietas antes y durante su propagación.
El análisis del comportamiento de materiales durante su ruptura fue iniciado por
Griffith [2.1] en 1920. La suposición fundamental fue que el material es un sólido elástico
y frágil conteniendo un gran número de grietas microscópicas, que posteriormente
tomaron el nombre de fallas de Griffith. Al someter tal material a una tensión, los
esfuerzos se concentran en las puntas de las fallas estableciéndose un frente de
ruptura por donde se propaga la grieta.
El concepto de concentración del esfuerzo σ, o factor de intensidad del esfuerzo,
puede ser ilustrado considerando un sólido plano con un pequeño agujero, bajo un
esfuerzo externo de tensión uniforme S en la dirección x, y cero en la dirección y. Sin el
agujero, la solución es obvia σx = S , σy = τxy = 0,para todoslosvaloresdex e y. Con un
pequeño agujero de radio a (ver Figura 2.12), la solución [2.2] es:
σx(r,θ) =
S
2



1+
a
2
r
2



−
S
2



1+3
a
4
r
4



cos2θ
la cual da un esfuerzo máximo de 3S en la dirección x para θ = 90° y 270°.
Como una fisura se abrirá bajo tensión, es razonable esperar que el sólido falle por
fisuras que comienzan en la parte alta y baja del agujero y que progresan en la dirección
28

±y. La solución para un pequeño agujero elíptico es más compleja, pero da [2.1] un
esfuerzo máximo de:
σmax
S
= 1 +
2l
b
(2.11)
donde b y l son los radios de la elipse en la dirección x e y respectivamente. Para un
agujero elíptico con su eje largo perpendicular a la dirección del esfuerzo, l es mayor que
b y la concentración del esfuerzo puede ser muy alta si l >> b.
Griffith [2.1],[2.3] argumentó que los sólidos reales contienen muchas pequeñas
fallas que corresponden al equivalente tridimensional de los agujeros elípticos discutidos
anteriormente y que estos puntos de debilidad inician las grietas a niveles de esfuerzo
mucho menores que los ideales, ver Figura 2.13. Griffith hizo cuatro suposiciones
básicas:
(i) que la concentración de esfuerzos ocurre en la punta de la falla;
(ii) que el sólido es deformado al punto en que los lazos intermoleculares en la punta de
la falla son estirados hasta el límite de ruptura;
(iii) que el estado de esfuerzo es reproducido en la punta para una expansión
infinitesimal de la falla, y
(iv) que la energía necesaria para expandir la falla, como una grieta que se propaga,
está disponible ya que el sólido no puede relajarse inmediatamente del esfuerzo
exterior aplicado.
La solución de las ecuaciones de esfuerzo-deformación para una elipse (ver Figura
2.12) da la energía de deformación extra, debido a la presencia de la elipse, como:
w1 = ∆z π l
2
σ
2
⁄ Y
Figura 2.12 : Ilustración de la concentración de esfuerzos en un plano debido a un
agujero circular en a) y a un agujero elíptico en b. S es el esfuerzo de tensión exterior
aplicado.
29

donde l es el semieje largo, esto es, la mitad del largo de la grieta, y ∆z es su ancho.
Entonces, dw1 ⁄ dl = ∆z 2π l σ2
⁄ Y. La energía necesaria para romper los enlaces es
w2 = 4γ l ∆z para una grieta de semilado l , tal que dw2 ⁄ dl = 4γ∆z. Un cambio rápido e
irreversible de l a l+dl en el momento de la fractura, es semejante a un sólido deformado
que rápidamente se expande en dl a una carga constante, de modo que el trabajorealizado
es dos veces la energía (reversible) de deformación, dw3 ⁄ dl = 2dw1 ⁄ dl = (2∆z 2 π l σ2
) ⁄ Y.
Usando el principio del trabajo virtual, dw3 = dw1 + dw2 en la iniciación de la grieta el
esfuerzo de tensión crítico σc será:
σcG
= √2γY ⁄ πl (2.12)
donde σcG
es la resistencia a la tensión pronosticada por la teoría de Griffith para una
grieta orientada en forma perpendicular a la fuerza aplicada.
Figura 2.13 : Propagación de una grieta en un sólido bidimensional según
la teoría de Griffith.
30

Comparando las ecuaciones (2.12) y (2.10) se concluye que, siendo los valores de
a del orden de unos pocos angstroms, una falla con un semilado de unos cientos de
angtroms puede dar reducciones de la resistencia a la tensión de varios órdenes de
magnitud comparada a la resistencia ideal. Con el progreso de la grieta después de la
iniciación, dw3/dl >(dw1/dl) +(dw2/dl), por lo que existe un energía extra disponible para
acelerar el movimiento de la punta de la grieta. El sistema es inestable y la grieta se
expande rápidamente, acelerando a altas velocidades. La resistencia es menor que la
ideal porque el esfuerzo global no precisa ser lo suficientemente grande como para
romper todos los enlaces de una vez, ya que en un momento dado sólo aquellos enlaces
alrededor de la punta de la grieta se están rompiendo. Por otra parte, la ecuación (2.12)
es válida para una sola falla, mientras que la presencia de muchos defectos estrechamente
juntos darán una reducción adicional en la resistencia.
Obviamente que un esfuerzo compresivo puro no ocasiona la propagación de una
grieta, por lo que se hace necesario la presencia de un esfuerzo de tensión para que se
produzca la ruptura frágil. Se podría pensar que no existirían esfuerzos de tensión bajo
condiciones de compresión unidimensional simple. Sin embargo, un análisis más
detallado, que considere todas las posibles orientaciones de los defectos, muestra que se
producen esfuerzos de tensión en la punta de un elipse de orientación adecuada, incluso
bajo condiciones de compresión global. El resultado para un sistema plano, con esfuerzos
globales normales σ1 y σ2 y fallas de un tamaño tal que den un esfuerzo de tensión To
bajo una tensión unidimensional (con el eje de la grieta perpendicular al esfuerzo), se
muestra en la Figura2.14. Laresistencia compresivabajounacompresiónunidimensional
es 8To, esto es, la resistencia compresiva de materiales frágiles es alrededor de un orden
de magnitud mayor que la resistencia a la tensión.
Figura 2.14 : Ilustración del efecto de la combinación de esfuerzos de la teoría de
fallas de Griffith con resistencia a tensión simple To : las ecuaciones son las del
lugar geométrico.
31

2.3.3 Materiales Dúctiles
Los materiales dúctiles, por otro lado, sufren deformaciones plásticas debido al
deslizamiento de unos planos del sólido sobre otros, siendo el mecanismo fundamental
el movimiento de dislocaciones bajo un gradiente de esfuerzo. En este tipo de
movimiento, los enlaces entre los planos no son todos rotos simultáneamente, sino que
se rompen sólo suficientes enlaces como para permitir que la dislocación se mueva a la
próxima posición, reponiéndose los enlaces tras la dislocación, y así sucesivamente, de
manera que resulta el deslizamiento de un plano sobre otro por medio de una serie de
pasos de baja energía. La máxima fuerza de cizalle ocurre a 45° de la dirección del
esfuerzo principal, de modo que la plasticidad y ruptura por cizalle aparecerá como se
ilustra en la Figura 2.15.
El proceso de deslizamiento aparece como la región de cedencia en la Figura 2.2
y es bien diferente a la iniciación inestable de la fractura frágil. El deslizamiento puede
iniciarse a partir de un defecto orientado adecuadamente, tal que genere concentración
del esfuerzo, pero no hay apertura de una grieta comparable a la que resulta bajo un
esfuerzo de tensión. El deslizamiento plástico puede ocasionar que parte del sólido actúe
como una cuña creando fuerzas de tensión, las que luego propagan la fractura frágil.
Figura 2.15 : Ilustración de ruptura por cizalle: el deslizamiento lleva a fractura frágil.
32

El tratamiento de Griffith puede ser extendido [2.4] para tomar en cuenta la
plasticidad mediante la inclusión de un término dw4, que representa la energía requerida
para la deformación plástica causada por el campo de esfuerzo en movimiento alrededor
de la punta de la grieta. Entonces, la condición de iniciación es dw3 - dw1 > dw2 + dw4.
El valor depende del tamaño y densidad de las dislocaciones en el sólido y domina por
sobre la energía de enlace dw2 para materiales dúctiles. Sin embargo, tan pronto como
la fractura comienza, el valor para la energía plástica disminuye debido a que la grieta se
mueve a una velocidad alta en relación a la escala de tiempo para el movimiento de las
dislocaciones que dan plasticidad.
2.4 FRACTURA DE ESFERAS Y PARTICULAS
En la discusión de la Figura 2.14 se definió una resistencia a la tensión To, que se
obtendría de un ensayo simple de resistencia a la tensión de un material con una
determinada distribución de tamaño y de densidades de fallas de Griffith. Se puede
suponer que ese mismo material iniciaría grietas en cualquier región que desarrollara
esfuerzos de tensión mayores a To, al ser sometido a condiciones de esfuerzos complejos.
Por ejemplo, las soluciones de las ecuaciones de esfuerzo-deformación para la
compresión de discos, de cilindros al modo de prueba radial “brasilera” y de esferas,
muestran que hay presentes esfuerzos de tensión, con valores máximos a lo largo del eje
de carga. Incluso para cubos y cilindros cargados a lo largo del eje, la fricción entre el
plato de carga y la muestra conduce a un esfuerzo compresivo no uniforme con regiones
de esfuerzos de tensión. Entonces, la carga compresiva de trozos o partículas irregulares
producirá ciertamente regiones locales con esfuerzos de tensión y en consecuencia
producirá fracturas frágiles.
En particular, la compresión de esferas elásticas entre dos platos sin fricción da la
solución bien conocida:
∆ = 2 


9
16
1
d
(1−ν
2
)
Y
2 P
2


1
⁄3
(2.13)
donde ∆ es la disminución del diámetro d de la esfera producida por la aplicación de una
fuerza P. Para esta carga puntual el esfuerzo de tensión máximo en el sólido está dado
por:
σ =
1
π



(4)(21)
28+20ν






P
d
2



(2.14)
Suponiendo que hay una densidad suficiente de fallas de Griffith como para iniciar la
fractura en aquella región del sólido en que ocurre el máximo, el valor de Pc que produce
fractura corresponde a un esfuerzo máximo crítico σc que iguala a To. Como la sección
máxima de una esfera es π d 2
⁄ 4, la ecuación (2.14) se puede expresar en la forma
(σc = T0):
33

σc = 


21
28+20ν



σC (2.14a)
donde σC es la resistencia compresiva definida por σC = Pc ⁄ (π d 2
⁄ 4).
Como un ejemplo tomemos el valor de ν = 0.16 para el cuarzo, entonces
σC = 1.5σc, esto es, una esfera es aproximadamente una y media vez más resistente a la
compresión que una fibra del mismo material y diámetro sometida a tensión. Rumpf [2.5]
ha dado un valor de σC = 14.6 MPa para una esfera de cuarzo de 38 µm de diámetro,
correspondiendo a una resistencia a la tensión verdadera de σc =9.8 MPa. Una partícula
de cuarzo de 135 µm de diámetro dió σC = 88.5 MPa, correspondiendo a σc = 59.3 MPa.
La energía de deformación reversible de una esfera es ∫ P(d∆), dando:
E(P) = 0.83



1−ν
2
Y



2⁄3



1
d



1⁄3
P
5
⁄3
(2.15)
Usando σC = Pc ⁄ (π d2
⁄ 4), y expresándola como densidad de energía por unidad de
volumen, resulta:
Ev = 1.06



1−ν
2
Y



2⁄3
σC
5
⁄3
(2.16)
Usando el módulo de Young para el cuarzo: Y = 8.71x104
MPa, la energía crítica para la
ruptura de la partícula del cuarzo, con σC = 88.5 MPa es de Ev = 0.9x106
j/m3
. Como la
densidad del cuarzo es de 2.62 ton/m3
y 1 kWh = 3.6x106
j, la densidad de energía para
la fractura resulta ser 0.1 kWh/ton.
Los experimentos para determinar la resistencia a la fractura de esferas como
función del tamaño han demostrado que generalmente la resistencia a la tensión aumenta
al disminuir el tamaño. Esto se explica suponiendo que en las esferas más pequeñas hay
menor probabilidad que existan fallas largas de Griffith en la región de máximo esfuerzo
de tensión. Este efecto se expresa en forma empírica mediante la relación:
σc = σo(Vo ⁄ V)
1
⁄m
(2.17)
donde V es el volumen de la esfera, σo es la resistencia a la tensión que corresponde a un
volumen normal Vo y m es el coeficiente de uniformidad de Weibull. Un valor grande
de m significa que las fallas son pequeñas comparadas con el tamaño de la muestra, de
manera que la probabilidad que exista una falla grande en una región particular del sólido
no varía mucho con el tamaño.
La Figura 2.16 muestra resultados típicos [2.6], en que cada valor de σc es el
promedio de 100 ensayos. Partículas de cuarzo de forma cercana a la de una esfera dan
un aumento notable de resistencia para tamaños menores a 500 µm. Introduciendo la
34

Figura 2.16 : Variación de la resistencia S con el volumen del espécimen.
35

ecuación (2.17) en la (2.16) y usando una resistencia a la tensión de σo = 1.6 x 103
MPa
para esferas de 1 cm de diámetro (Vo = π /6), resulta:
Ev (d) = 11×10
−3
(1 ⁄ x)
5 ⁄ m
, kWh⁄ ton (2.18)
donde x está en cm. Cuando el valor de m1 cambia, la ecuación cambia a:
Ev (d) = 11×10
−3
(1 ⁄ x1)
5
⁄m1
(x1 ⁄ x)
5
⁄m2
, x ≤ x1 (2.18a)
donde x1 es aquel tamaño en que la pendiente cambia de m1 para x ≥ x1 a m2 para
x ≤ x1.
En realidad, durante la compresión de una partícula elástica, y, por efecto de las
tensiones tangenciales en las zonas de contacto de la partícula con las superficies sólidas,
se forma un núcleo en el que se concentran los esfuerzos y, por lo tanto, en el que el
número y magnitud de las grietas aumentan. Este núcleo da como resultado partículas
pequeñas al ocurrir la fractura. Fuera del núcleo las grietas se propagan radialmente pero
en cantidad menor, lo que da como resultado partículas de mayor tamaño en el producto.
Cuando se comprime una partícula de este tipo entre dos superficies paralelas se obtiene
unarelaciónentre lassolicitacionesy deformaciones semejantesa lo señalado en laFigura
2.17.
La esfera de vidrio se deforma elásticamente hasta su punto de ruptura D. En su
deformación inicial el material sigue la teoría de Hertz. La partícula también sufre
deformaciones elásticas pero, en este caso se debe distinguir entre fenómenos
Figura 2.17 : Curva esfuerzo-deformación para la compresión de una esfera de vidrio
de 38 µm y un pedazo de cuarzo de 135 µm.
36

microscópicos y macroscópicos. Desde el punto de vista microscópico se producen
pequeñas deformaciones elásticas seguidas de rupturas de pequeños trozos (esquinas y
cantos) que le dan a la curva macroscópica una forma de sierra. La curva macroscópica
a su vez, está constituida por deformaciones elásticas seguidas de rupturas, como en A,
B y especialmente en C y D. En D la ruptura es total. Es interesante observar que la
curva CD es aproximadamente paralela a la curva de la esfera de vidrio lo que indicaría
que ambos materiales tienen respuestas semejantes, modificadas por la forma y tamaño
de las partículas.
2.5 APLICACIONES CUALITATIVAS DE LA TEORIA DE
FRACTURA: ENERGIA DE MOLIENDA
Las rocas, minerales y carbones al ser fracturados en máquinas de reducción de
tamaño sufrirán generalmente una fractura frágil a partir de las fallas de Griffith
preexistentes. La resistencia a la molienda o moliendabilidad de estos materiales
correlacionará sólo aproximadamente con la dureza o la resistencia de los enlaces
químicos porque el número, tamaño y orientación de los defectos son variables
adicionales. Los materiales son más fuertes en compresión que en tensión. Con el
dc
ba
Figura 2.18 : Desarrollo de un árbol de grietas durante la propagación de la fractura,
observado por fotografía de alta velocidad. Las imágenes han sido modificadas
aclarando el fondo y mostrando la zona de las grietas en seudorelieve.
37

objetivo de calcular la resistencia de un trozo o partícula sometida a esfuerzos usando
una teoría de mecánica de fractura a priori, sería necesario (a) resolver las ecuaciones
de esfuerzo deformación para la geometría y las condiciones del esfuerzo aplicado; (b)
convertir los resultados a la magnitud local y dirección de los esfuerzos principales en
todos los puntos en el sólido; (c) considerar la densidad (número por unidad de volumen),
distribución de tamaños y orientación (posiblemente al azar) de defectos en el sólido;
(d) determinar los lugares donde los esfuerzos de tensión local pueden activar las fallas
hasta el punto de iniciación de la fractura, con la ruptura comenzando en el punto más
débil. Este cálculo resultaría extremadamente complicado, por no decir imposible, para
las situaciones reales en un molino. Por añadidura la mayoría de los equipos de
molienda producen algún grado de esfuerzos de impacto, los cuales propagan ondas de
esfuerzo a través del sólido, activando defectos a fracturas por tensión en su trayectoria.
La distribución granulométrica de la serie de fragmentos producidos por la fractura
es tan importante como la fractura misma y no existe una teoría conocida para su
predicción. Una grieta puede propagarse lentamente si ella se encuentra con una región
de esfuerzos de compresión los que cierran el extremo, especialmente en el caso de
materiales dúctiles. Sin embargo la teoría predice, y los experimentos confirman, que
una fractura que se propaga bajo esfuerzos de tensión local adquiere rápidamente alta
velocidad, del orden de la magnitud de la velocidad del sonido en el sólido. Esto conduce
a una onda de esfuerzo que se propaga desde la punta de la grieta y que, por su parte,
inicia más fracturas en los defectos que encuentra en su trayectoria. El resultado es una
bifurcación de la grieta con bifurcaciones de cada uno de los nuevos brazos, en forma
sucesiva para dar un “árbol” de grietas a través del sólido, ver Figura 2.18. La energía
asociada al movimiento de la onda de esfuerzo rápido es generalmente suficiente para
pasar la grieta a través de los límites de granos y a través de regiones de esfuerzos
compresivos masivos.
Una comparación entre la fractura de materiales frágiles y dúctiles, muestra los
siguientes aspectos principales:
(1) La fractura frágil pura es casi independiente de la temperatura, pero a mayores
temperaturas, cercanas a las que producen mayor movilidad de las dislocaciones, la
fractura puede cambiar a un deslizamiento y, por lo tanto, a menores resistencias. La
fractura dúctil pura muestra una disminución de la resistencia con un aumento de
temperatura debido a una mayor movilidad de la dislocación. Para una fractura frágil
con una componente significativa de energía plástica, la resistencia aumenta con la
temperatura debido a la zona plástica alrededor de la punta y luego disminuye cuando
la fractura cambia a deslizamiento.
(2) Para fracturas a partir de fallas de Griffith, una partícula más pequeña tiene una menor
probabilidad de contener un defecto grande y será relativamente más fuerte. Dicho de
otra manera, a medida que los materiales frágiles se fracturan los fragmentos resultantes
y restantes son más fuertes porque las fallas mayores se han roto. Por otro lado, la
fractura dúctil no es muy sensitiva al tamaño de partículas porque las dislocaciones son
muy pequeñas comparadas con los tamaños de trozos o partículas.
(3) La velocidad de la aplicación de los esfuerzos es más importante para materiales
dúctiles que para materiales frágiles porque altas velocidades de aplicación de grandes
38

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