Cálculo financiero: fundamentos y aplicaciones

Lic. Rosell Alejandro Valderrama Chumbes
Cálculo
Financiero
PROESAD
Programa de Educación Superior a Distancia
Mg. Luis Enrique Falcón Delgado

Título: cálculo financiero
Autor: Mg. Luis Enrique Falcón Delgado
Diseño interior: Doris Sudario S.
Diseño de tapa: Eduardo Grados S.
Responsables de edición:
Edwin Sucapuca Sucapuca, Christian Vallejos Angulo, Lizardo Vásquez Villanueva,
Mariela Malásquez Marín.

Primera edición, marzo 2012
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PRINTED IN PERU

Presentación
Introducirse al estudio de las finanzas requiere de una base fundamental como
lo es las matemáticas financieras. Siendo ésta una de las mejores inversiones
en información que un estudiante puede hacer. ¿Por qué?
Porque el éxito en cualquier organización desde las
pequeñas tiendas de la esquina hasta las grandes
corporaciones multinacionales requiere la comprensión
y el manejo adecuado de cálculos financieros.
Este libro es el resultado de la experiencia docente del
autor con alumnos de las carreras profesionales de
contador público y administración de empresas, así
como con profesionales del mundo de las finanzas.
Con este texto se cubren las necesidades de
ambos colectivos que, aunque diferentes, no son
excluyentes. Teoría y praxis forman un todo y deben
complementarse si se quiere lograr un conocimiento,
lo suficientemente riguroso, para entender y analizar
las operaciones financieras.
El texto contiene, por una parte, los conceptos
teóricos que permiten fundamentar el análisis de
los instrumentos financieros existentes, así como el
diseño de otros nuevos y, por otra parte, con la ayuda
de ejemplos y ejercicios, dichos conceptos se aplican en la
descripción del funcionamiento de las operaciones financieras
más habituales en el mercado.
Por este motivo, el presente texto va dirigido principalmente a empresarios,
estudiantes y profesionales no financieros, que sin tener necesariamente
conocimientos de finanzas, sin embargo, tengan la curiosidad y
deseen conocer los fundamentos de las matemáticas financieras
como herramienta vital de las finanzas corporativas modernas.

íNDICE
UNIDAD I
INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS ACTUARIALES
SESIÓN Nº 1: Conceptos básicos....................................................................................................... 17.
1. Origen de las matemáticas financieras............................................................ 17
1.1. Crédito............................................................................................................................. 17
2. El valor del dinero en el tiempo............................................................................. 18
2.1. Costo de oportunidad.............................................................................................. 19
3. Tasas de interés.................................................................................................................... 22
3.1. Capitalización de interés....................................................................................... 23
4. Monto o valor futuro (S)............................................................................................ 24
5. Interés comercial y real................................................................................................ 25
5.1. ¿Qué tipo de interés se usa o se aplica en la prática?......................... 26
6. Plazo comprendido entre dos fechas................................................................. 26
6.1. Días inicial y final...................................................................................................... 26
6.2. Fecha de vencimiento............................................................................................ 27
7. Horizontes y subhorizontes temporales.......................................................... 29
8. Métodos de afectación al interés y al principal cuando
se reduce el monto............................................................................................................ 30
8.1. PPLI(Primero Principal Luego Interés)........................................................... 30
8.2. PILP(Primero Interés Luego Principal)........................................................... 31
PRÁCTICA DIRIGIDA................................................................................................................. 32
UNIDAD II
LEYES FINANCIERAS EN LA PRÁCTICA
SESIÓN Nº 2: Interés simple................................................................................................................. 37.
1. Introducción.......................................................................................................................... 37
2. Interés con principal y tasa nominal constante....................................... 37
2.1. Calculando el capital inicial o principal (P)................................................ 40
2.2. Calculando la tasa de interés (j)....................................................................... 41
2.3. Calculando el tiempo (n)...................................................................................... 43

3. Interés con principal constante y tasa nominal variable................ 44
4. Monto o valor futuro simple con principal y tasa nominal
variable...................................................................................................................................... 46
5. Monto o valor futuro simple con principal constante y tasa
nominal variable................................................................................................................ 48
6. Valor presente o valor actual simple con principal y tasa
nominal constante............................................................................................................ 50
7. Valor presente o valor actual simple con principal constante
y tasa nominal variable............................................................................................... 52
8. Ecuaciones de valor equivalentes.......................................................................... 54
SESIÓN Nº 3: Interés compuesto....................................................................................................... 63.
1. Introducción.......................................................................................................................... 63
2. Interés con principal y tasa efectiva constante......................................... 63
2.1. Calculando el capital inicial o principal (P)................................................ 65
2.2. Calculando la tasa de interés (i)....................................................................... 67
2.3. Calculando el tiempo (n)...................................................................................... 69
3. Interés con principal constante y tasa efectiva variable.................. 71
4. Monto o valor futuro compuesto con principal y tasa
efectiva constante.............................................................................................................. 73
5. Monto o valor futuro compuesto con principal constante
y tasa efectiva variable................................................................................................. 75
6. Valor presente o valor actual compuesto con principal
y tasa efectiva constante............................................................................................. 77
7. Valor presente o valor actual compuesto con principal
constante y tasa efectiva variable....................................................................... 79
8. Ecuaciones de valor equivalentes.......................................................................... 81
9. Interés compuesto con tasa j capitalizable.................................................... 84
9.1. Valor futuro con tasa j capitalizable............................................................... 87
9.2. Valor presente o valor actual con tasa j capitalizable.......................... 88

UNIDAD IIi
OPERACIONES DE DESCUENTO, TASAS, INFLACIÓN Y DEVALUACIÓN Y LAS SEIS LLAVES
MAESTRAS DE LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS
SESIÓN Nº 4: Operaciones de descuento.................................................................................... 97.
1. Introducción.......................................................................................................................... 97
2. Descuento comercial........................................................................................................ 98
2.1. Descuento comercial unitario............................................................................. 98
2.2. Descuento comercial sucesivo o en cadena.............................................. 99
3. Descuento bancario........................................................................................................101
3.1. Descuento bancario simple...............................................................................101
3.2. Descuento bancario compuesto......................................................................105
4. Descuento racional.........................................................................................................109
4.1. Descuento racional simple.................................................................................109
4.2. Descuento racional compuesto.......................................................................114
5. Operaciones de descuento en la práctica......................................................120
PRÁCTICA DIRIGIDA...............................................................................................................123
SESIÓN Nº 5: Tasas....................................................................................................................................129.
1. Introducción........................................................................................................................129
2. Tasa vencida y anticipada..........................................................................................130
3. Tasa nominal proporcional....................................................................................130
4. Conversión de una tasa nominal a efectiva...............................................131
5. Tasa efectiva equivalente............................................................................................133
6. Tasa activa y pasiva.........................................................................................................134
6.1. Tasa de interés pasiva..........................................................................................134
6.2. Tasa de interés activa...........................................................................................135
7. Tasa compensatoria y moratoria.........................................................................136
7.1. Aplicación de tasa compensatoria y moratoria en pagarés...........137
8. TAMN, TAMEX, TIPMN, TIPMEX.......................................................................................138
9. Tasa con capitalización discreta y continua..............................................139
9.1. Tasa con capitalización discreta......................................................................139
9.2. Tasa con capitalización continua....................................................................139
10. Tasa explícita e implícita..............................................................................................140

SESIÓN Nº 6: Inflación y devaluación.......................................................................................145.
1. Introducción........................................................................................................................145
2. Cálculo de la tasa de inflación.............................................................................146
3. Cálculo de la tasa de interés real.......................................................................149
3.1. Tasa efectiva inflada..............................................................................................150
4. Tipo de cambio.....................................................................................................................151
4.1. Tipo de cambio directo........................................................................................152
4.2. Tipo de cambio cruzado......................................................................................152
5. Tasa de interés en moneda extranjera............................................................153
SESIÓN Nº 7: Las seis llaves maestras de las matemáticas financieras........157.
1. Introducción........................................................................................................................157
2. Factor simple de capitalización (FSC).................................................................158
3. Factor simple de actualización (FSA).................................................................159
4. Factor de capitalización de la serie (FCS).......................................................160
5. Factor de depósito al fondo de amortización (FDFA)...........................161
6. Factor de actualización de la serie (FAS).......................................................162
7. Factor de recuperación del capital (FRC).......................................................163
UNIDAD Iv
ANUALIDADES Y PROGRAMAS DE AMORTIZACIÓN DE CRÉDITOS
SESIÓN Nº 8: Anualidades vencidas y anticipadas..........................................................171.
1. Introducción........................................................................................................................171
2. Anualidades vencidas u ordinarias..................................................................173
2.1. Valor futuro S de una anualidad vencida..................................................173
2.2. Valor presente P de una anualidad vencida............................................176
3. Anualidades anticipadas............................................................................................180
3.1. Valor futuro S de una anualidad anticipada.............................................180
3.2. Valor presente P de una anualidad anticipada......................................184

SESIÓN Nº 9: Anualidades diferidas y perpetuas.............................................................191.
1. Introducción........................................................................................................................191
2. Anualidades diferidas...................................................................................................191
2.1. Valor futuro S de una anualidad diferida...................................................192
2.2. Valor presente P de una anualidad diferida............................................193
3. Perpetuidades.......................................................................................................................196
3.1. Valor futuro S de una perpetuidad................................................................196
3.2. Valor presente P de una perpetuidad.........................................................196
SESIÓN Nº 10: Programas de amortización de créditos............................................201.
1. Introducción........................................................................................................................201
2. Amortización con interés simple..........................................................................201
2.1. Amortización con interés global.....................................................................202
2.2. Amortización con interés sobre saldos insolutos (al rebatir).........204
3. Amortización con interés compuesto................................................................206
3.1. Sistema de amortización constante (método alemán).....................207
3.2. Sistema de amortización única al vencimiento (método
americano simple).................................................................................................208
3.3. Sistema de pagos constantes (método francés)...................................209
3.4. Sistema de pagos con período de gracia..................................................210
3.5. Sistema de pagos VAC (valor de actualización constante)..............212
4. Costo efectivo del crédito...........................................................................................214
4.1. Uso del VAN y la TIR en la evaluación de crédito.................................215
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS.............................................................223

SUMILLA
El curso pertenece al área de formación
profesional y a la sub-área de finanzas. Propone
capacitar al estudiante en la formulación de
modelos matemáticos básicos para resolver los
problemas financieros. El curso es de naturaleza
teórico-práctica y abarca los siguientes tópicos:
técnica mercantil, interés simple y compuesto,
amortización de préstamos, anualidades o rentas,
seguros de vida y alternativas de inversión.

CÓMO ESTUDIAR
LOS MÓDULOS DIDÁCTICOS O TEXTOS AUTOINSTRUCTIVOS
Antes de la lectura
Durante la lectura
Después de la lectura
El método A2D para autodidactas, de Raúl Paredes Mo-
rales, es un método de fácil aplicación para la mayoría
de los estudiantes, inclusive para los no autodidactas. Si
el estudiante aplica este método, su trabajo intelectual
será más rápido y eficaz.
A2D responde a las letras iniciales de los 3 pasos, que
se propone para la lectura de un módulo didáctico o
cualquier otro texto.
Consiste en la exploración preliminar y se debe:
Â
Â Echar un vistazo general empezando por el índice, reconociendo
unidades y lecciones que se van explicando en el módulo didáctico.
Â
Â Anotar las dudas que van surgiendo durante el vistazo general,
para esclarecerlas durante la lectura o después de ella.
Â
Â Adoptar una actitud positiva.
Ésta es la fase más importante del método, el ritmo de lectura lo pone cada
lector. Debes tener presente los siguientes aspectos:
Â
Â Mantén una actitud positiva.
Â
Â Participa activamente en la lectura: tomando apuntes, subrayando,
resumiendo y esquematizando.
Â
Â Si no entiendes lo que lees o encuentras una palabra desconocida,
consulta con tu profesor, tutor o un diccionario.
Esta fase va a afianzar la lectura, mejorando tu comprensión lectora, para
ello debes tener en cuenta lo siguiente:
Â
Â Repasa los apuntes tomados durante la lectura.
Â
Â Organiza el trabajo y planifica el horario de estudio. Trata de que
sea siempre a la misma hora.
Â
Â Realiza los trabajos diariamente. No dejes que se te acumulen las tareas.
Â
Â Procura ampliar las lecciones con lecturas complementarias.
Â
Â Al final de cada capítulo haz tu cuadro sinóptico o mapa conceptual.
Â
Â Elabora tu propio resumen.
Antes de la lectura
Durante la lectura
Después de la lectura
A2D
Enriquece tu vocabulario para entender
mejor las próximas lecturas.
MÉTODO A2D
ORIENTACIONES METODOLÓGICAS

INTRODUCCIÓN A LAS MATEMÁTICAS ACTUARIALES
Sesión Nº 1: Conceptos básicos
UNIDAD
I
UNIDAD I

COMPETENCIAS
CONCEPTUAL PROCEDIMENTAL ACTITUDINAL
Estudia el origen de las
matemáticas financie-
ras.
Organiza un mapa con-
ceptual de las matemá-
ticas financieras.
Valora la matemática fi-
nanciera como tema de
estudio.

Cálculo financiero
P R O E S A D
17
1
Sesión
conceptos básicos
1. ORÍGEN DE LAS MATEMÁTICAS FINANCIERAS
Las matemáticas han sido aplicadas a muchas áreas de las finanzas a través de los años. No
hay mucha información acerca de la historia de las matemáticas financieras, ni de cuál era
el problema que se intentaba solucionar con ellas, lo que yo creo es que se dieron como un
desarrollo involuntario, pero necesario, que complementaba algunas transacciones comerciales o
determinados pagos, por ejemplo los que habían de realizar los aldeanos a sus señores feudales
en la época del feudalismo en Europa. Investigando se encontró que las matemáticas financieras
aparecieron inicialmente con los intereses, creo que «alguien» se dio cuenta que si otro le debía
dinero o vacas o cabras o lo que fuera, él debía recibir una compensación por el tiempo que esta
persona tardara en cancelar la deuda.
Es casi natural considerar que, al igual que otras múltiples actividades que realiza el ser humano,
el comercio, con sus formas y modalidades, que hoy nos parecen asombrosas y alucinantes,
como el mercado de capitales, es el resultado de un proceso, cuyo inicio hay que ubicarlo en
algunos momentos o instituciones del pasado.
El hombre ha logrado satisfacer sus necesidades a través de actividades comerciales diferentes,
siendo el criterio diferenciador el tipo objeto de intercambio empleado por él. En tal sentido, se
identifican las siguientes etapas que fueron apareciendo no necesariamente en orden secuencial:
 Trueque o permuta: se intercambia un bien por otro (ej. papas por arroz).
 Etapa monetaria: aparece el dinero que sirve para efectuar transacciones, y comprar así los
bienes.
 Etapa de crédito: además de mi propio dinero, me endeudo para comprar algún bien.
 Etapa de los documentos o instrumentos financieros: se formalizan más los acuerdos o con-
venios entre los participantes del mercado; se convierten así en instrumentos de vida propia
que son negociados.
De todo lo expuesto anteriormente, podemos señalar que las matemáticas financieras aparecieron
cuando apareció el crédito, a continuación, la definiremos.
1.1. Crédito
Es el traspaso del derecho al uso de un bien por parte de una persona natural o jurídica que
goza de tal derecho y que renuncia a ese uso a favor de otra persona natural o jurídica, la cual lo

U n i v e r s i d a d P e r u a n a U n i ó n
Unidad I
18
adquiere por un plazo determinado o no.
Esta definición de «crédito» abarca cualquier operación de préstamo de cualquier bien, algunas
de tanta envergadura como un crédito en dólares otorgado por el Banco Interamericano de
Desarrollo (BID) a un país latinoamericano o como una concesión por 20 años para explotar
yacimientos mineros en nuestra selva peruana, a la vez que algunas tan simples como el
préstamo de una calculadora entre dos compañeros de curso durante una evaluación.
Ahora, si bien la acepción más conocida de “crédito en dinero” es aquella en la cual una institución
financiera le presta dinero a una persona natural o jurídica, es importante reconocer que este
concepto involucra un conjunto bastante amplio de operaciones, como por ejemplo: depósitos
de ahorro que realizan personas naturales o jurídicas en instituciones financieras (cuentas de
ahorro, depósitos a plazo, depósitos de CTS, etc.), préstamos de carácter comercial (ventas a
plazo) y, entre otros, la inversión en empresas productivas (el inversionista “le presta” dinero a
la empresa).
Esto, sin duda, evidencia que en las operaciones de crédito en dinero el acreedor (la persona que
prestó el dinero) exija al deudor (la persona que recibió el dinero en préstamo) el pago de una
renta por el dinero prestado, renta que recibe el nombre de interés, concepto que veremos con
más detalle más adelante.
2. EL VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
Para muchas personas resulta discutible el hecho de que se cobren intereses en las operaciones
de crédito en dinero. Incluso, existen determinadas civilizaciones en que ello está penado por la
ley, con base en preceptos religiosos.
A fin de situar este tema en la perspectiva adecuada, evitando las discusiones de carácter ético o
religioso, es importante convencer al lector de que –dada una cierta lógica– resulta difícil discutir
la aplicación de intereses en un préstamo en dinero. Obviamente, otro asunto es la cuantía o
magnitud de tales intereses, a lo cual se hará referencia más adelante.
Supóngase que a usted se le enfrenta al problema de decidir entre dos alternativas mutuamente
excluyentes (puede decidirse por solo una de ellas o por ninguna):
a) Recibir hoy una donación de $10.000.
b) Recibir una donación de $10.000 dentro de 1 año.
No cabe prácticamente ninguna duda que usted preferiría la alternativa (a). Si le preguntasen
los motivos, lo más probable es que usted mencionaría a lo menos uno de los factores que se
mencionan a continuación:
a) La pérdida de poder adquisitivo (debido a la existencia de inflación, con $10.000 disponibles
hoy puedo adquirir más bienes y servicios que con $10.000 dentro de un año).
b) El riesgo (más vale tener $10.000 seguros hoy, que tener una promesa de que recibiré
$10.000 dentro de un año).
c) Los usos alternativos del dinero (con $10.000 colocados a trabajar hoy, podría tener más de
$10.000 dentro de un año).

Cálculo financiero
P R O E S A D
19
Alcanzado un cierto acuerdo sobre lo recientemente planteado, cabe preguntarse –entonces–
por qué alguien prestaría $10.000 hoy a 1 año plazo y aceptaría que al vencimiento de ese
plazo le devolviesen los mismos $10.000. Parece evidente que se trata del mismo problema
anteriormente planteado, de tal forma que cualquiera que haya preferido la primera alternativa
de ese problema, no podría ahora defender una postura contraria a la de cobro de intereses.
De esta manera, obviando el problema del riesgo que enfrenta el acreedor al prestar dinero,
el cobro de intereses en las operaciones de crédito en dinero puede ser defendido desde dos
perspectivas: la pérdida de poder adquisitivo del dinero a lo largo del plazo del préstamo (en
una economía con inflación) y la existencia de los llamados «costos de oportunidad» en el uso
del dinero.
El primero de estos factores resulta relativamente obvio, ya que el acreedor a lo menos debiera
considerar que, una vez recuperado el dinero prestado, él pudiera adquirir un conjunto de bienes
equivalente al que podía adquirir con la suma prestada en el momento del préstamo.
El segundo de los factores es más novedoso para las personas que recién se aproximan al tema,
relacionándose con la existencia de alternativas rentables para el uso de una determinada
cantidad de dinero.
2.1. Costo de oportunidad
Es la ganancia o rentabilidad de la mejor alternativa desechada o sacrificada al asignar un bien o
recurso a un uso específico, existiendo usos alternativos rentables para ese mismo bien o recurso.
De acuerdo a ello, el concepto de «costo de oportunidad» es aplicable a cualquier bien o recurso
con usos alternativos y la ganancia o rentabilidad no necesariamente se mide en términos
monetarios.
Así, por ejemplo, el alumno que se encuentra asistiendo a una sesión de cátedra podría determinar
cuál es el costo de oportunidad en que incurre al utilizar su tiempo en esa actividad y tal costo
podría estar medido en términos de una determinada “satisfacción” sacrificada.
No obstante, aquí interesan los costos de oportunidad en el uso de una cantidad de dinero,
medidos en términos de la ganancia o rentabilidad monetaria sacrificada, al realizar una
asignación determinada de esa cantidad de dinero.
Resulta evidente que si bien, en algunos períodos de bajísimas inflación, la pérdida de poder
adquisitivo podría ser considerada no relevante, siempre existirían usos alternativos rentables
para la suma de dinero prestada, de tal forma que el acreedor debiera considerar que el interés
del préstamo fuera suficiente para –a lo menos– compensar el costo de oportunidad en que
incurrió al prestar dinero.
Cabe hacer aquí una breve precisión respecto del caso de las instituciones financieras que
prestan dinero, por cuanto para ellas existe un costo explícito de «captación» del dinero. Estas
instituciones son intermediarias que captan dinero, pagando una renta por ello (tasa de interés
pasiva), con la final de colocar o prestar ese dinero, cobrando a su vez una renta (tasa de
interés activa). A fin de que la institución financiera obtenga una ganancia o «spread» en estas
operaciones, es necesario que la tasa activa supere a la suma de los costos de captación y de
administración directa e indirecta de tales operaciones.

Unidad I
20
En definitiva, el cobro de intereses en las operaciones de crédito en dinero –en su aceptación
amplia– proviene fundamentalmente de la existencia de costos de oportunidad en el uso del
dinero, los cuales conducen al llamado valor del dinero en el tiempo. Se asigna mayor valor a
$1 disponible hoy que a $1 disponible mañana, porque colocando hoy $1 en una alternativa
rentable es posible tener mañana más de $1.
El valor del dinero en el tiempo conduce a la existencia de matemáticas especiales para cálculos
crediticios, pues se debe reconocer que no siempre es pertinente sumar dos cantidades que
se encuentran ubicadas en distintos momentos en el tiempo, o bien, no es posible saber si es
conveniente por –ejemplo– pagar dos cuotas semestrales de $9.000 o solo una cuota anual de
$20.000 en un determinado crédito.
Ejemplo

El costo de oportunidad
Usted cuenta con las siguientes tres únicas y mutuamente excluyentes1
alternativas para
«invertir» $250.000, a un mes de plazo, todas ellas con el mismo nivel de riesgo:
a) Realizar un depósito en un banco local, que ofrece pagarle a fin de mes un interés de
$2 por cada $100 depositados.
b) Colocar el dinero en una alternativa que reportará un interés de $4.750 al final del
mes.
c) Colocar el dinero en una alternativa que reportará, al final del mes, un interés de $0,25
por cada $100 del depósito previamente reajustado por inflación.
Se pide:
1) Determinar cual sería la mejor alternativa, si se estimase una tasa de inflación men-
sual de 1,6% para el mes relevante.
2) Determinar cual sería la ganancia bruta (en), la tasa de rentabilidad bruta (sobre $)
de cada alternativa y el costo de oportunidad relevante (en $ y en tasa) al seleccionar
cada una de las alternativas. Verificar la respuesta 1).
3) Determinar a partir de cual tasa de inflación (mínima o máxima) se entraría a modificar
la respuesta 1).
Desarrollo:
1. Se calcula cuanto dinero se tendría al final del mes con cada una de las alternativas
a) 250.000 + 250.000 (2/100)
250.000 + 5.000
$255.000
b) 250.000 + 4.750
$254.750
c) Primero se reajustan los $250.000, de acuerdo a la tasa de inflación. Con esta
operación, el deudor le devuelve al acreedor la pérdida de poder adquisitivo que
sufrió durante el período.
1
El término mutuamente excluyente indica que si emprendemos una de las alternativas, entonces no podremos emprender
ninguna de las otras.

Cálculo financiero
P R O E S A D
21
250.000 + 250.000(0,016)
250.000 + 4.000
$254.000
Ahora se calculan los intereses sobre los $254.000.
254.000 + 254.000 (0,25/100)
254.000 + 635
$254.635
Por tanto, la mejor alternativa es la alternativa a).
2. Cifras en $ (ganancias)

Cifras en tasa (rentabilidad)
Por lo tanto, resulta evidente que la respuesta 1) es correcta, por cuanto –dado que
todas las alternativas tienen el mismo nivel de riesgo– el evaluador debe elegir
aquella que le otorgue la mayor ganancia o rentabilidad neta positiva, lo que implica
necesariamente restarle a la ganancia o rentabilidad bruta aquella ganancia o
rentabilidad que igualmente se habría obtenido si se hubiera llevado a cabo la mejor
alternativa desechada (costo de oportunidad o tasa de rentabilidad alternativa).
3. En este caso, todas las alternativas cubren la pérdida de poder adquisitivo del período
(250.000) (0,016) = $4.000, con ganancias brutas «después de inflación» de $1.000
la alternativa a), $750, la alternativa b) y $635 la alternativa c), manteniéndose
la primacía de la alternativa a). No obstante, la única alternativa que considera un
reconocimiento explícito de la pérdida de poder adquisitivo es la alternativa c), de
tal forma que a tasas de inflación mayores que 1,6% su ganancia bruta «antes de
inflación» será gradualmente mayor que $4.635, mientras las otras dos alternativas
mantienen inalteradas sus ganancias brutas.
Por calcular, entonces, a qué tasa de inflación mensual f, la ganancia bruta de la
alternativa c) iguala a la de la alternativa a).
[250.000 + 250.000 f ] (1,0025) = 255.000
250.000 (1 + f ) (1,0025) = 255.000
(1 + f ) 250.625 = 255.000
(1 + f ) = 255.000/250.625
f = 1,017456 – 1
f = 0,017456 = 1,75%
Alternativa Ganancia Bruta Costo de Oportunidad Ganancia Neta
a) $5.000 $4.750 $250
b) $4.750 $5.000 –$250
c) $4.635 $5.000 –$365
Alternativa Rentabilidad Bruta Tasa Costo Oportunidad Ganancia Neta
a) 2,00% 1,90% 0,10%
b) 1,90% 2,00% –0,10%
c) 1,85% 2,00% –0,15%

Unidad I
22
Esto significa que con una tasa de inflación mensual superior a 1,75%, la alternativa c)
superaría a la alternativa a) y pasaría a ser la mejor alternativa. 
3. TASAS DE INTERÉS
La tasa de interés es el precio pagado a los que prestan dinero, mientras que en el caso del capital
social, los inversionistas esperan compensación en la forma de dividendos y capital ganado.
El interés es el alquiler o rédito que se conviene pagar por un dinero tomado como préstamo, la
forma cómo se expresa el precio es la tasa de operación comercial. La unidad de tiempo es el
año. La tasa se expresa en porcentajes (%).
El interés que se paga por una suma de dinero prestado depende de las condiciones contractuales
y varía en razón directa con la cantidad de dinero prestado y con el tiempo de duración del
préstamo. Asimismo, a la oferta monetaria y variables socioeconómicas, etc.
Este concepto, no es nuevo, nuestro Señor Jesucristo lo explicó hace más de dos mil años en una
de sus parábolas. A continuación la citaremos:
“El reino de los cielos es también como un hombre, que al salir de viaje, llamó a sus siervos,
y le confió sus bienes. A uno le dio cinco talentos, a otros dos, y al tercero uno. A cada uno
según su capacidad. Y se fue lejos. El que había recibido cinco talentos, en seguida negoció
con ellos, y ganó otros cinco. Del mismo modo el que había recibido dos, ganó otros dos.
Pero el que había recibido uno, cavó en la tierra, y escondió el dinero de su señor. Después
de mucho tiempo, vino el señor de aquellos siervos, y arregló cuentas con ellos. Llegó el
que había recibido cinco talentos, trajo otros cinco talentos, y dijo: ‘Señor, cinco talentos me
confiaste, aquí tienes otros cinco talentos que gané con ellos’. Su señor le dijo: ‘¡Bien, siervo
bueno y fiel! Sobre poco has sido fiel, sobre mucho te pondré, entra en el gozo de tu Señor’.
Llegó también el que había recibido dos talentos, y dijo ‘Señor, dos talentos me confiaste,
aquí tienes otro dos talentos que gané con ellos’. Su Señor le dijo: ‘¡Bien, siervo bueno y fiel!
Sobre poco has sido fiel, sobre mucho te pondré, entra en el gozo de tu señor’. Llegó también
el que había recibido un talento, y dijo: ‘Señor, sabía que eres hombre duro, que siegas
donde no sembraste, y juntas don de no esparciste, ‘y de miedo, fui y escondí tu talento en
la tierra, aquí tienes lo que es tuyo’. Su Señor respondió: ‘Siervo malo y negligente, sabías
que siego donde no sembré, y junto donde no esparcí. ‘Por eso debías haber dado mi
dinero a los banqueros, y yo hubiera recibido lo mío con el INTERÉS. ‘Quitadle el talento
y dadlo al que tiene diez talentos. ‘Porque al que tiene, le será dado, y tendrá en abundancia,
y al que no tiene, aun lo que tiene, le será quitado. ‘Y al siervo inútil echadlo fuera, en las
tinieblas, allí será el llanto y el crujir de dientes’. SAN MATEO 25:14-30.
De esta manera, la tasa de interés es el porcentaje de variación entre un capital inicial (P) y un
capital final ó monto (S) después de un periodo de tiempo es decir:
i
S P
P
=
− (1)
Pero S – P = I (interés), entonces:
i
I
P
= (2)

Cálculo financiero
P R O E S A D
23
Donde:
“ I ” son los intereses que se generan
“ P ” es el capital inicial (en el momento n=0)
“ S ” es el capital final (en el momento n)
“ i ” es la tasa de interés que se aplica
“ n ” es el tiempo que dura la inversión
Ejemplo

Cálculo de la tasa de interés
Si un banco concedió un préstamo de $10.000 y cobro $1.500 de interés después de un
año, ¿cuál fue la tasa del período que el banco aplicó?
Solución:
Los datos son:
i = ?
P = $10.000
I = $1.500
n = 1 año
Reemplazando en la ecuación (2), tenemos:

i = = ≈
$ .
$ .
. %
1 500
10 000
0 15 15
El banco está cobrando una tasa anual del 15%. Actualmente el Banco Central de Reserva
del Perú (BCRP) de acuerdo con su Ley Orgánica D.L. Nº 26123 del 29/12/92, dentro de
sus atribuciones, puede establecer la tasa máxima de interés compensatorio, moratoria y
legal pero solo para las operaciones ajenas al sistema financiero y las operaciones de este
sistema serán determinadas por la libre competencia. 
El interés generado por un principal que se simboliza por la letra I está en función de múltiples
variables, entre las cuales se encuentran:
 La magnitud del principal (capital) colocado o invertido.
 La tasa de interés implícita o explícita.
 El tiempo: a mayor tiempo, mayor interés para un mismo principal y una misma tasa de
interés.
 El riesgo de la operación; se supone que mayor riesgo al principal le corresponde una mayor
tasa de interés que genera un mayor interés.
 Otras variables de carácter económico, político, social, etcétera.
3.1. Capitalización del interés
Si este proceso se da una sola vez durante la vigencia de la cuenta se presenta un régimen de
interés monocapitalizado como el del interés simple; si ocurre múltiples veces, se trata de un

Unidad I
24
régimen de interés multicapitalizado como el del interés compuesto.
Lo anterior se puede apreciar en la figura 1, así como con un ejemplo sencillo.
Figura 1
Capitalización del interés

Ejemplo
Comparación entre interés simple y compuesto
Supongamos que podemos colocar durante 5 años un capital de $1.000 en dos bancos, el
primero en interés simple y el segundo en interés compuesto, con una tasa del 10% anual
en ambos casos.
En el primer banco, cada año, el capital inicial produciría un interés de 1.000*10%=100.
Así, al acabar el primer año tendríamos $1.100. Al final del segundo año (al no acumularse
el interés) tendríamos $1.200 (el capital sobre el que calculamos el interés permanece
constante $1.000, y al final del tercero $1.300, del cuarto $1.400 y del quinto $1.500.
En el segundo banco el primer año obtendríamos un interés de 1.000*10%=100 y al acabar
el primer año tendríamos $1.100. Para calcular el interés en el segundo año (al acumularse
los intereses) tendríamos 1.100*10%=110, y al final del segundo año tendríamos $1.210.
Al final del tercer año tendríamos $1.331, al final del cuarto $1.464,10 y al final del quinto
$1.610,51.
Como puede observarse en el ejemplo, el interés compuesto produce un mayor capital
final que el interés simple para un mismo capital, duración y tanto.
4. MONTO O VALOR FUTURO (S)
Si se conoce el capital inicial y el interés generado hasta determinado momento, el monto o
valor futuro para ese tiempo se puede calcular con la siguiente fórmula:
S = P + I (3)
INTERÉS
Múltiples
Capitalizaciones
Única
Capitalización
Interés
Simple
Interés
Compuesto

Cálculo financiero
P R O E S A D
25
Ejemplo

Cálculo del monto o valor futuro (S)
Si un banco concedió un préstamo de $10.000 y cobro $1.500 después de un año, ¿a
cuánto asciende el monto o valor futuro?
Solución:
Los datos son:
S = ?
P = $10.000
I = $1.500
Reemplazando en la ecuación (3), se tiene:
S = 10.000 + 1.500 = $11.500
El monto o valor futuro asciende a $11.500. 
5. INTERÉS COMERCIAL Y REAL
Cuando el tiempo en un préstamo está dado en días, se vuelve necesario convertir la tasa anual,
semestral, trimestral, cuatrimestral, etc., a una tasa de interés por día. Cuando la tasa anual,
semestral, etc., se convierte a tasa diaria utilizando el año natural (365 días o 366, si el año es
bisiesto2
) como divisor en la fórmula del interés simple o del monto (valor futuro), el interés
obtenido se llama interés real o interés exacto.
Ahora, cuando se lleva la conversión utilizando como divisor el número 360, se dice que se está
utilizando el año comercial. En este caso, el interés obtenido se llama interés comercial o interés
ordinario.
A lo anterior se le conoce como año bancario, el cual se refiere a un período de 360 días. El
año bancario tiene como submúltiplos, entre otros a los semestres, cuatrimestres, trimestres,
bimestres, meses, quincenas y días bancarios, cuyo número de días se indica en la siguiente
tabla:

Período bancario Número de días
Año 360
Semestre 180
Cuatrimestre 120
Trimestre 90
Bimestre 60
Mes 30
Quincena 15
Día 1
2
Un año es bisiesto, cuando el mes febrero cuenta con 29 días. Esto sucede cada cuatro años.

Unidad I
26
5.1. ¿Qué tipo de interés se usa o se aplica en la práctica?
El año comercial, y por ende el interés comercial, es usado por los bancos, bolsa de valores,
bolsa de comercio, casas comerciales y demás instituciones financieras, debido a que el interés
es mayor que el interés real.
Los bancos acostumbran a calcular los intereses, tomando como base el año de 360 días, pero
para la duración del tiempo de préstamos a plazos menores que un año, cuentan los días efectivos
calendarios.
6. PLAZO COMPRENDIDO ENTRE DOS FECHAS
Desde hace muchos años, con el objeto de facilitar los cálculos, se acostumbra suponer el año de
360 días dividido en 12 meses de 30 días cada uno. Observe que 360 días tiene los siguientes
divisores: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120 y 180. Estos divisores
permiten un gran número de simplificaciones, muy útiles cuando se trabaja sin calculadora o
computadora.
Existen varias maneras de medir el tiempo que interviene en el cálculo de los intereses. Es
importante que el lector aplique sus costumbres locales en la solución de los problemas.
6.1. Días inicial y final
Es importante mencionar que para calcular el período de tiempo comprendido entre dos fechas
la primera se excluye y la segunda se incluye; esto porque según la legislación vigente para que
un depósito o inversión genere intereses debe haber permanecido como mínimo un día en la
institución financiera desde la fecha de su deposito como lo demostramos en el siguiente cuadro.
Ejemplo

Número de días: días inicial y final
¿Cuál será el tiempo transcurrido entre el 01 de agosto de 2003 y el 15 de setiembre de
2003?
Solución:
Como puede observarse en el ejemplo, del 01 de agosto al 15 de setiembre de 2003 han
transcurrido 45 días. 
Mes Días Días
transcurridos
Observaciones
Agosto 31 30 Se excluye el 01 de agosto
Setiembre 30 15 Se incluye el 15 de setiembre
Total 45

Cálculo financiero
P R O E S A D
27
6.2. Fecha de vencimiento
La fijación de la fecha de vencimiento se establece contractualmente. Por ejemplo, un préstamo
que se recibe el 10 de marzo a 3 meses deberá pagarse el 10 de junio; pero cuando el mismo
préstamo se reciba a 90 días, deberá pagarse el 8 de junio, si la costumbre es contar solo el día
final. Si la fecha final corresponde a un día festivo, la costumbre local indicará si el pago debe
efectuarse el primer día laboral siguiente, sin contar días adicionales para el cobro de intereses.
Para calcular el tiempo transcurrido entre la fecha inicial y la fecha final de períodos mayores
a un año, la costumbre comercial es calcular el tiempo aproximado, computando los años de
360 días y los meses de 30 días. Y para períodos menores de un año, la costumbre comercial es
contar los días calendarios que hay entre dos fechas.
Veamos a continuación cada uno de ellos.
Tiempo aproximado
El número de días comerciales que transcurren, entre dos fechas, puede calcularse considerando
los meses de 30 días y años de 360 días; y restando las fechas.
Ejemplo

Número de días: aproximados
Calcular el número de días aproximados entre el 25 de marzo y el 15 de octubre del mismo
año, utilizando días comerciales y restando las fechas.
Solución:
Considerando días comerciales
En este caso, consideramos los meses de 30 días y el año de 360 días.
Restado las fechas
Si queremos restar las fechas, podemos observar que los meses si se pueden restar
fácilmente pero no lo días, entonces convertimos los meses y los días de tal forma que se
puedan restar. Decimos, 10 meses 15 días equivale a 09 meses 45 días. Recuerde, estamos
considerando los meses de 30 días. Una vez convertido se procede a restar la fechas:
Mes Días
Marzo
Abril
Mayo
Junio
Julio
Agosto
Setiembre
Octubre
5 (30 - 25)
30
30
30
30
30
30
15
Total 200

Unidad I
28
De esto, 6 meses 20 días, equivale a (=6*30)+20 días) = 200 días. 
Tiempo exacto
El número de días naturales que transcurren entre dos fechas, sin contar una de las dos, puede
calcularse con la tabla de fechas siguiente:
Mes Día
10
03
15
25
Mes Día
09
03
06
45
25
20
Día Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic Día
1 1 32 60 91 121 152 182 213 244 274 305 335 1
2 2 33 61 92 122 153 183 214 245 275 306 336 2
3 3 34 62 93 123 154 184 215 246 276 307 337 3
4 4 35 63 94 124 155 185 216 247 277 308 338 4
5 5 36 64 95 125 156 186 217 248 278 309 339 5
6 6 37 65 96 126 157 187 218 249 279 310 340 6
7 7 38 66 97 127 158 188 219 250 280 311 341 7
8 8 39 67 98 128 159 189 220 251 281 312 342 8
9 9 40 68 99 129 160 190 221 252 282 313 343 9
10 10 41 69 100 130 161 191 222 253 283 314 344 10
11 11 42 70 101 131 162 192 223 254 284 315 345 11
12 12 43 71 102 132 163 193 224 255 285 316 346 12
13 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 13
14 14 45 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 14
15 15 46 74 105 135 166 196 227 258 288 319 349 15
16 16 47 75 106 136 167 197 228 259 289 320 350 16
17 17 48 76 107 137 168 198 229 260 290 321 351 17
18 18 49 77 108 138 169 199 230 261 291 322 352 18
19 19 50 78 109 139 170 200 231 262 292 323 353 19
20 20 51 79 110 140 171 201 232 263 293 324 354 20
21 21 52 80 111 141 172 202 233 264 294 325 355 21
22 22 53 81 112 142 173 203 234 265 295 326 356 22
23 23 54 82 113 143 174 204 235 266 296 327 357 23
24 24 55 83 114 144 175 205 236 267 297 328 358 24
25 25 56 84 115 145 176 206 237 268 298 329 359 25
26 26 57 85 116 146 177 207 238 269 299 330 360 26
27 27 58 86 117 147 178 208 239 270 300 331 361 27
28 28 59 87 118 148 179 209 240 271 301 332 362 28
29 29 88 119 149 180 210 241 272 302 333 363 29
30 30 89 120 150 181 211 242 273 303 334 364 30
31 31 90 151 212 243 304 365 31

Cálculo financiero
P R O E S A D
29
Mes Días
Marzo
Abril
Mayo
Junio
Julio
Agosto
Setiembre
Octubre
6 (31 - 25)
30
31
30
31
31
30
15
Total 204
Mes Días
15/Octubre
25/Marzo
288
84
Diferencia 204
Para años bisiestos, febrero tiene 29 días y el número de cada día a partir del 1 de marzo, es uno
más que el número dado en la tabla.
Ejemplo

Número de días: exactos
Calcular el número de días naturales entre el 25 de marzo y el 15 de octubre del mismo
año, utilizando días de cada mes y la tabla de fechas.
Solución:
Utilizando los días de cada mes
En este caso, consideramos los meses de acuerdo a los números de días que le corresponden.
Utilizando las tablas de fechas
En este caso, la solución es mucho más sencilla, simplemente nos ubicamos en la tabla de
fecha y buscamos las fechas del problema. Encontramos en ella que para el 15 de octubre
la tabla muestra 288 días y para el 25 de marzo 84 días. Se procede entonces a restar
ambas fechas.
Se puede observar que en ambos casos el resultado es el mismo. Entre el 15 de marzo y
el 15 de octubre hay 204 días exactos.
7. HORIZONTES Y SUBHORIZONTES TEMPORALES
El horizonte temporal de una cuenta es el intervalo de tiempo que existe desde que se abre la
cuenta hasta que se cierra; su plazo se simboliza con la letra n.
n
Apertura de la cuenta Cierre de la cuenta

Unidad I
30
Un subhorizonte temporal es un intervalo de tiempo dentro del horizonte temporal de la cuenta.
Cuando el horizonte temporal se divide en subhorizontes temporales uniformes, su plazo se
simboliza con la letra h. por ejemplo, en un préstamo que debe amortizarse en el plazo de 120
días, con cuotas cada 30 días, el horizonte temporal puede dividirse en cuatro subhorizontes
uniformes; entonces se tiene: n = 120 días y h = 30 días.
n = 120 días

0 h 30 h 60 h 90 h 120
=30 =30 =30 =30
8. MÉTODOS DE AFECTACIÓN AL INTERÉS Y AL PRINCIPAL CUANDO SE REDUCE
EL MONTO
Cuando una deuda se amortiza con un pago, el monto de la misma se reduce en tal cantidad,
pero los importes de sus componentes (interés y capital) pueden reducirse de acuerdo con
diversos métodos.
Por ejemplo, si a las 9:00 a.m. del día de hoy tengo una deuda por $660, compuesto de $600 de
capital y $60 de interés, y durante el transcurso del día y antes de su término se realiza un pago
de $300, entonces el monto se reducirá a $360 ($660 – $300), ¿a qué importes se reducen el
interés y el principal?
La respuesta a esta pregunta depende del método de afectación al interés y al principal cuando
se reduce el monto por elegir: dos de los métodos más usados son los siguientes:
8.1. PPLI (Primero Principal Luego Interés)
Si el importe del pago es menor o igual al principal al inicio del día, se aplica por completo para
reducirlo; de lo contrario, se cancela por completo el principal y la diferencia rebaja el interés.
Este método se usa en interés simple. En el ejemplo dado, si se usa el método PPLI, el pago de
$300 se aplica por completo para rebajar el principal.
Al inicio del día Antes del término del día
Monto Pago Monto
$660 $300 $360
Principal Interés Principal Interés Principal Interés
600 60 ? ? ? ?
Monto Pago Monto
$660 $300 $360
600 60 300 0 300 0

Cálculo financiero
P R O E S A D
31
Monto Pago Monto
$660 $300 $360
600 60 300 60 300 0
8.2. PILP (Primero Interés Luego Principal)
Si el importe del pago es menor o igual al principal al inicio del día, se aplica por completo para
reducirlo; de lo contrario, se cancela por completo el interés y la diferencia rebaja el principal.
Este método se usa en interés compuesto. En el ejemplo dado, si se usa el método PILP, el pago
se aplica a $60 al interés y $240 al principal.

32
1. Usted deposita en una cuenta del BCP la suma de $4.500 que generó $225 de interés en el
plazo de un mes, ¿cuál fue la tasa de interés de ese período? Rpta. 5% mensual
2. El BWS le concedió un préstamo de $5.000 y cobró $500 de interés después de seis meses,
¿cuál fue la tasa del período que el banco aplicó? Rpta. 10% semestral
3. Usted deposita en una cuenta corriente la suma de $2.000 y lo mantiene durante un trimestre;
la tasa de interés para ese período de tiempo ascendió a 5%. ¿Cuál fue el interés generado
al término del trimestre? Rpta. $100
4. Cierta persona deposita en una cuenta del Interbank la suma de $8.000 y lo mantiene durante
un año; la tasa de interés para ese período de tiempo ascendió a 12%. ¿Cuál fue el interés
generado al término del trimestre? Rpta. $960
5. Usted deposita en una cuenta del BCP la suma de $4.500 y lo mantiene durante un mes. Al
término de dicho plazo usted cuenta con un monto de $4.725. Calcule la tasa de interés que
el banco le pagó. Rpta. 5% mensual
6. Kamila deposita en una cuenta del BCP la suma de $4.500 y lo mantiene durante un mes. Si
el banco paga una tasa de interés del 5%, ¿cuál es el monto actual de la cuenta? Rpta. $4.725
¿?¿?
¿?
GLOSARIO DE TÉRMINOS
Anota las palabras que no son comunes en tu vocabulario y busca el significado en un diccionario.
1. ______________ _____________________________________________
2. ______________ _____________________________________________
3. ______________ _____________________________________________
4. ______________ _____________________________________________
5. ______________ _____________________________________________
6. ______________ _____________________________________________
7. ______________ _____________________________________________
8. ______________ _____________________________________________
9. ______________ _____________________________________________
10. ______________ _____________________________________________
PRÁCTICA DIRIGIDA
REFUERZA LAS COMPETENCIAS A LOGRAR
Tú decides si ser el mejor o el peor.

33
7. Calcular el número de días naturales entre el 25 de marzo de 1997 y el 15 de octubre de
1998. Rpta. 569 días
8. Un padre de familia ha depositado en una cuenta de ahorros la suma de $7.500, en el Banco
Bovespa, del día 01 de agosto al 15 de noviembre del año 2002, a una tasa de interés simple
del 45%. Posteriormente ésta disminuyó a 32% a partir del 15 de setiembre, y a partir del 1
de noviembre ésta se incrementó a 36%. ¿Cuántos días transcurre en estos períodos? Rpta.
45 días, 45 días y 14 días
9. Siendo las 9:00 a.m. del día de hoy, tengo una deuda por $1.500, compuesto de $1.250 de
capital y $250 de interés, y durante el transcurso del día y antes de su término se realizó un
pago de $500, ¿a cuánto se reduce el principal y el interés si el acreedor utiliza el método
PPLI? Rpta. $750 principal y $250 interés
10. ¿A cuánto se reduce el principal y el interés si el acreedor utiliza el método PILP? Rpta. $1.000
principal y $0 interés

LEYES FINANCIERAS EN LA PRÁCTICA
Sesión Nº 2: Interés simple
Sesión Nº 3: Interés compuesto
UNIDAD
II
UNIDAD II

COMPETENCIAS
CONCEPTUAL PROCEDIMENTAL ACTITUDINAL
Identifican las distintas
leyes financieras.
Aplican las leyes finan-
cieras en el desarrollo
de las operaciones fi-
nancieras.
Respetan las opiniones
y los pensamientos de
sus compañeros y pro-
fesores, dentro y fuera
del aula.

Cálculo financiero
P R O E S A D
37
2
Sesión
INTERÉS SIMPLE
1. INTRODUCCIÓN
Existen dos modalidades básicas de interés: el interés simple y el interés compuesto, los cuales
difieren en la base sobre la cual se calculan los intereses devengados. En este capítulo, nos
ocuparemos del interés simple.
El interés simple es el importe que produce un capital generado por una tasa de interés nominal
j durante un plazo determinado, en una operación cuya característica fundamental es que dicho
capital permanece constante hasta el vencimiento de la misma. La capitalización, que es la
adición del interés ganado al capital original, se produce únicamente al término de todo el plazo
de la operación.
La capitalización simple es una fórmula financiera que permite calcular el equivalente de un
capital en un momento posterior. Es una ley que se utiliza exclusivamente en el corto plazo
(períodos menores de un año), ya que para períodos más largos se utiliza la “capitalización
compuesta o interés compuesto”, que veremos en el siguiente capítulo.
2. INTERÉS CON PRINCIPAL Y TASA NOMINAL CONSTANTE
Se supone que durante el horizonte temporal de la cuenta a interés simple:
• El principal permanece invariable antes del cierre de la cuenta.
• La tasa de interés nominal j anunciada que se aplica sobre el principal no sufre variaciones.
La fórmula que nos sirve para calcular los intereses que genera un capital es la siguiente:
I = P*j*n (1)
Donde:
“ I ” son los intereses que se generan
“ P ” es el capital inicial o principal (en el momento t=0)
“ j ” es la tasa de interés nominal que se aplica
“ n ” es el tiempo que dura la inversión

Unidad II
38
La fórmula anterior calcula el interés simple cuando el principal y la tasa de interés nominal no
varían durante el tiempo, cuyo resultado es proporcional al tiempo y al importe del principal; lo
que significa que a mayor plazo de vigencia de la cuenta, se percibe mayor interés.
Al utilizar la fórmula (1), se deben tener en cuenta dos aspectos básicos:
1. La j se debe utilizar en forma decimal, es decir, sin el símbolo de porcentaje (%). Recuerde
que para convertir un porcentaje a forma decimal, éste se divide entre 100.
2. La tasa de interés y el tiempo debe estar expresados en la misma unidad de tiempo. Si la
tasa es anual, el tiempo debe ir en año, si la tasa es mensual, el tiempo irá en meses, etc.
Dado que la tasa de interés nominal puede referirse a diferentes plazos, se designará con las
siguientes siglas:
Tabla 1
Plazos de la tasa de interés nominal

Ejemplo 1

Cálculo del interés (I)
Carlos Portanova solicita un préstamo al BWS por $5.000 a pagar en un año, a una TNA de
30%, ¿qué cantidad deberá pagar por concepto de intereses?
Solución:
Los datos son:
I = ?
P = $5.000
TNA = 30%
n = 1 año
La unidad de tiempo de j y n coincide. Por tanto, reemplazando los valores en la ecuación
(1) se tiene:
I = 5.000 * 0,30 * 1 = $1.500
Carlos pagará al final del plazo $1.500 de interés. 
Tasa nominal Siglas
Anual TNA
Semestral TNS
Cuatrimestral TNC
Trimestral TNT
Bimestral TNB
Mensual TNM
Quincenal TNQ
Diaria TND

Cálculo financiero
P R O E S A D
39
Ejemplo 2

Luis Alberto solicita un préstamo al BWS por $10.000 a pagar en cuatro meses, a una TNS
de 18%, ¿qué cantidad deberá pagar por concepto de intereses?
Solución:
Los datos son:
I = ?
P = $10.000
TNS = 18%
n = 4 meses
La unidad de tiempo de j y n no coincide. Por tanto, antes de sustituir es necesario convertir
la TNS a una TNM.
Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (1), se obtiene:
I = 10 000 0 18
4
6
1 200
. * , * $ .
=
Luis Alberto pagará al final del plazo $1.200 de interés. 
Ejemplo 3
¿De qué interés simple podrá disponerse el 27 de noviembre, si el 13 de febrero se invirtió
$2.000 a una TNM del 2%?
Solución:
En este caso, contando los días con la tabla de fechas, encontramos que el número de días
es de 287. Por tanto, sustituyendo los valores numéricos en la ecuación (1), se obtiene:
I = 2 000 0 02
287
30
382 67
. * , * $ ,
=
Se podrá disponer de un interés de $382,67. 
A continuación, veremos algunos ejemplos sobre interés simple, donde se nos pide hallar, ya no
el interés (I), sino el capital inicial (P), la tasa de interés (j) y el tiempo (n).

Unidad II
40
2.1. Calculando el capital inicial o principal (P)
La fórmula que nos sirve para calcular el capital inicial o principal:
P
I
j n
=
*
(2)
Ejemplo 1
Cálculo del capital inicial (P)
Por un préstamo que se solicitó al BWS a pagar en un año, Carlos Portanova pagó $1.500
de interés, ¿qué cantidad se pidió prestado si el banco aplica una TNA del 30%.
Solución:
Los datos son:
P = ?
TNA = 30%
I = $1.500
n = año
P =
1 500
0 30 1
5 000
.
, *
$ .
=
Carlos pidió prestado la suma de $5.000. 
Ejemplo 2

¿A cuánto asciende un préstamo solicitado por Luis Alberto al BWS a pagar en cuatro meses
a una TNS de 18%, si el banco durante dicho período me cobró un interés de $1.200?
Solución:
Los datos son:
P = ?
TNS = 18%
I = 1.200
n = 4 meses

Cálculo financiero
P R O E S A D
41
P =
1 200
0 18
4
6
10 000
.
, *
$ .
=

El préstamo solicitado asciende a $10.000. 
Ejemplo 3

¿A cuánto asciende una inversión que se efectúo el 13 de febrero a una TNM del 2%, si
para el 27 de noviembre había ganado $382,67 de interés?
Solución:
P =
382 67
0 02
287
30
2 000
,
, *
$ .
=
La inversión efectuada el 13 de febrero asciende a $2.000, el mismo que devenga un
interés de $382,67 en 287 días. 
2.2. Calculando la tasa de interés (j)
La fórmula a utilizar para calcular la tasa de interés es la siguiente:
j
I
P n
=
*
(3)
Ejemplo 1

Cálculo de la tasa de interés (j)
Por un préstamo de $5.000 que se solicitó al BWS a pagar en un año, Carlos Portanova
pagó $1.500 de interés, ¿qué TNA aplicó el banco?
Solución:
Los datos son:
j = ?
P = $5.000
I = $1.500
n = 1 año

Unidad II
42
j
= =
1 500
5 000 1
30
.
. *
%
El banco aplicó una TNA de 30%. ¿Por qué una TNA? Porque en la fórmula n es 1 (anual),
por tanto, j debe ser anual. Recuerde tanto j como n deben estar en la misma unidad de
tiempo. 
Ejemplo 2

Luis Alberto solicitó un préstamo al BWS por $10.000 a pagar en cuatro meses. Si el banco
le cobró $1.200 de interés, ¿qué TNS cobró el banco?
Solución:
Los datos son:
j = ?
P = $10.000
I = $1.200
n = 4 meses
Al sustituir los valores numéricos en la ecuación (3), se tiene:
j
= =
1 200
10 000
4
6
18
.
. *
%
El banco aplicó una TNS de 18%. 
Ejemplo 3

El 13 de febrero se efectúo una inversión por $2.000. Al 27 de noviembre había ganado
intereses por $382,67, ¿qué TNM obtuvo el inversionista?
Solución:
j
= =
382 67
2 000
287
30
2
,
. *
%
El inversionista obtuvo una TNM de 2%. 

Cálculo financiero
P R O E S A D
43
2.3. Calculando el tiempo (n)
La fórmula que nos permite para calcular el tiempo (n) es la siguiente:
n
I
P i
=
*
(4)
Ejemplo 1

Cálculo del tiempo (n)
Carlos Portanova solicita un préstamo al BWS por $5.000 a una TNA de 30%. Si el banco
cobra $1.500 de interés, ¿cuántos años duró la deuda?
Solución:
Los datos son:
n = ?
TNA = 30%
P = $5.000
I = $1.500
n
= =
1 500
5 000 0 30
1
.
. * ,
La deuda tuvo una duración de un año. 
Ejemplo 2
Luis Alberto solicitó un préstamo al BWS por $10.000 a una TNS de 18%. Si el banco le
cobró $1.200 de interés, ¿cuántos meses se mantuvo la operación?
Solución:
Los datos son:
n = ?
TNS = 18%
P = $10.000
I = $1.200
Al sustituir los valores numéricos en la ecuación (4), se tiene:

Unidad II
44
n
= =
1 200
10 000
0 18
6
4
.
. *
,
La operación duró cuatro meses. 
Ejemplo 3
El 13 de febrero se efectúo una inversión por $2.000 a una TNM de 2%. Si pasado cierto
tiempo he ganado $382,67 de interés, ¿cuántos días se mantuvo la inversión?
Solución:
n
= =
382 67
2 000
0 02
30
287
,
. *
,
La inversión se mantuvo 287 días. 
3. INTERÉS CON PRINCIPAL CONSTANTE Y TASA NOMINAL VARIABLE
En los ejemplos anteriores se calculo el interés cuando el principal y la tasa nominal son constantes,
pero ¿cómo debe calcularse el interés simple cuando una persona coloca una inversión a un plazo
fijo al cual no pueden efectuársele cargos o abonos luego de la apertura y antes del término del
horizonte temporal, mientras que la tasa de interés está sujeta a las variaciones del mercado?
Cuando en el horizonte temporal de la cuenta el principal no cambia y se produce variaciones
en la magnitud de la tasa de interés nominal, cuyos respectivos plazos pueden cambiar, por
ejemplo de TNA a TNS a TNM, etc. (j tiene un comportamiento variable), el interés simple se
obtiene al modificar de manera conveniente F, de acuerdo con el plazo de j para que n pueda
incluir los plazos de vigencia de las tasas variables durante el horizonte temporal.
La fórmula que calcula el interés generado en un horizonte temporal cuando las tasas o los
períodos de tasa son variables es la siguiente:
I P j
h
F
k
k
k
k
z
= ∗






=
∑
1
(5)
Donde:
“z” es el número de subhorizontes, donde la j no sufre variaciones
“jk” es la tasa nominal anunciada vigente en k-ésimo horizonte
“nk” es el número de periodos de la tasa jk en k-ésimo horizonte
“F” es el plazo de la tasa de interés nominal

Cálculo financiero
P R O E S A D
45
Ejemplo 1

Cálculo del interés cuando el principal es constante y la tasa nominal variable
El 13 de febrero se deposita en una cuenta $5.000 bajo un régimen de interés simple. La
TNA vigente al momento del depósito fue de 28%, la misma que bajó a 25% el 09 de julio
y a 22% el 20 de setiembre. La cuenta se cierra el 27 de noviembre. Calcule el interés en
la fecha de cierre.
Solución:
Los datos son:
I = ?
P = $5.000
TNA1
= 28%
TNA2
= 25%
TNA3
= 22%
h1
= 146
h2
= 73
h3
= 68
Según la tabla de fechas, el horizonte temporal total de la operación es de 287 días. Y
dentro de dicho horizonte encontramos tres subhorizontes; el primero de ellos de 146 días;
el segundo de 73 días y el tercero de 68 días.
Reemplazando los valores en la ecuación (5) se tiene:
I = + +





 =
5 000 0 28
146
630
0 25
73
360
0 22
68
360
1 029 03
. * , * , * , * $ . ,
El interés generado asciende a $1.029,03. 
Ejemplo 2

Cálculo del interés cuando el principal es constante y la tasa nominal variable
El 13 de febrero se deposita en una cuenta $5.000, en un banco que paga una tasa de
interés nominal variable. La cuenta se cierra el 27 de noviembre. Al término del plazo se
conoce que las tasas de interés fueron las siguientes:
Tasa A partir del
TNA
28,0% 13/02
TNS
12,5% 09/07
TNT
5,5% 20/09
Calcule el interés en la fecha de cierre.

Unidad II
46
Solución:
Los datos son:
I = ?
P = $5.000
TNA1
= 28%
TNS2
= 12,5%
TNT3
= 5,5%
h1
= 146
h2
= 73
h3
= 68
Este problema es el mismo al ejemplo anterior, en cuanto a horizonte y subhorizontes
temporales. Un horizonte temporal total de 287 días y tres subhorizontes de 146, 73 y 68
días.
Lo que cambia son las tasas nominales, manteniéndose el principal constante.
I = + +





 =
5 000 0 28
146
360
0 125
73
180
0 055
68
90
1 029 03
. * , * , * , * $ . ,
Se puede observar que el resultado es el mismo al del ejemplo anterior. Ante esto surge
una pregunta: ¿cómo puede la operación tener el mismo resultado si las tasas nominales
son variables? La respuesta es que dichas tasas son equivalentes.
Por ejemplo, la TNA de 25% del ejemplo anterior es equivalente a la TNS de 12,5% del
ejemplo actual y la TNA de 22% es equivalente a la TNT de 5,5%.
Para calcular la TNS equivalente de una TNA de 25%, se procede de la siguiente manera:
TNS =
0 25
2
12 5
,
, %
=
Y para calcular la TNT equivalente de una TNA de 22%, se procede de la siguiente manera:
TNS =
0 22
4
5 5
,
, %
=
De lo anteriormente expuesto, se concluye que el interés generado asciende a $1.029,03. 
4.MONTOOVALORFUTUROSIMPLECONPRINCIPALYTASANOMINALVARIABLE
A la suma del capital más el interés simple ganado se le llama monto simple o valor futuro
simple, y se simboliza mediante la letra S. por tanto,
S = P + I (6)

Cálculo financiero
P R O E S A D
47
Al sustituir la ecuación (1) en la (5) se obtiene:
S = P + Pjn
Factorizando la expresión anterior se tiene:
S = P[1 + jn] (7)
Las ecuaciones (6) y (7) indican que si un capital se presta o invierte durante un tiempo n, a una
tasa de interés de j% por unidad de tiempo, entonces el capital P se transforma en una cantidad
S al final del tiempo n. Debido a esto, se dice que el dinero tiene un valor que depende del
tiempo. Recuerde un dólar hoy vale más que un dólar mañana.
Ejemplo 1

Carlos Portanova solicita un préstamo al BWS por $5.000 a pagar en un año, a una TNA de
30%, ¿qué monto deberá pagar al final del plazo?
Solución:
Los datos son:
S = ?
P = $5.000
TNA = 30%
n = 1 año
El monto o valor futuro se puede obtener de dos maneras, veamos cada una de ellas:
Método 1
En primer lugar hallamos el interés, el cual es como sigue:
I = 5.000 * 0,30 * 1 = $1.500
Utilizando la ecuación (6) para calcular el valor futuro, se tiene:
S = 5.000 * 0,30 * 1 = $6.500
Método 2
El monto o valor futuro se obtiene directamente utilizando la ecuación (7):
S = 5.000[1 + 0,30 * 1] = $6.500
Carlos pagará al final del plazo un monto de $6.500. 

Unidad II
48
Ejemplo 2

Luis Alberto solicita un préstamo al BWS por $10.000 a pagar en cuatro meses, a una TNS
de 18%, ¿qué monto deberá pagar al final del plazo?
Solución:
Los datos son:
S = ?
P = $10.000
TNS = 18%
n = 4 meses
S = 10 000 1 0 18
4
6
11 200
. , * $ .
+





 =
Luis Alberto pagará al final del plazo un monto de $11.200. 
Ejemplo 3

¿De qué monto podrá disponerse el 27 de noviembre, si el 13 de febrero se invirtió $2.000
a una TNM del 2%?
Solución:
S = 2 000 1 0 02
287
30
2 382 67
. , * $ . ,
+





 =
Se podrá disponer de un monto de $2.382,67. 
5. MONTO O VALOR FUTURO SIMPLE CON PRINCIPAL CONSTANTE Y TASA
NOMINAL VARIABLE
El monto final cuando se presentan variaciones en la tasa nominal y el principal constante P que
lo produjo puede calcularse con la fórmula siguiente:
S P j
h
F
k
k
k
k
z
= +














=
∑
1
1
* (8)

Cálculo financiero
P R O E S A D
49
Ejemplo 1

Cálculo del monto cuando el principal es constante y la tasa nominal variable
El 13 de febrero se deposita en una cuenta $5.000 bajo un régimen de interés simple. La
TNA vigente al momento del depósito fue de 28%, la misma que bajó a 25% el 09 de julio
y a 22% el 20 de setiembre. La cuenta se cierra el 27 de noviembre. Calcule el monto en
la fecha de cierre.
Solución:
Los datos son:
S = ?
P = $
TNA1
= 28%
TNA2
= 25%
TNA3
= 22%
h1
= 146
h2
= 73
h3
= 68
S = + + +





 =
5 000 1 0 28
146
360
0 25
73
360
0 22
68
360
6 029 03
. , * , * , * $ . ,
El monto asciende a $6.029,03. 
Ejemplo 2

Cálculo del monto cuando el principal es constante y la tasa nominal variable
El 13 de febrero se deposita en una cuenta $5.000, en un banco que paga una tasa de
interés nominal variable. La cuenta se cierra el 27 de noviembre. Al término del plazo se
conoce que las tasas de interés fueron las siguientes:
Tasa A partir del
TNA 28,0% 13/02
TNS 12,5% 09/07
TNT 5,5% 20/09
Calcule el monto en la fecha de cierre.

Unidad II
50
Solución:
Los datos son:
S = ?
P = $5.000
TNA1
= 28%
TNS2
= 12,5%
TNT3
= 5,5%
h1
= 146
h2
= 73
h3
= 68
S = + + +





 =
5 000 1 0 28
146
360
0 125
73
180
0 055
68
90
6 029 0
. , * , * , * $ . , 3
3
El monto asciende a $6.029,03. 
6. VALOR PRESENTE O VALOR ACTUAL SIMPLE CON PRINCIPAL Y TASA
NOMINAL CONSTANTE
El siguiente ejemplo servirá para mostrar el significado del concepto de valor presente, llamado
también valor actual.
Suponga que usted, el día de hoy recibe un préstamo de $20.000 a 10 meses de plazo y con una
tasa de interés simple de 2% mensual. El monto a pagar será:
S = 20.000[1 + 0,02 * 10] = $24.000
Por el capital prestado usted deberá pagar $24.000 dentro de 10 meses. $24.000 es el monto
o valor futuro (S) de $20.000. Recíprocamente, se dice que $20.000 es el valor presente o valor
actual (P) de $24.000.
La formula para hallar el valor actual simple, se puede hallar despejando P en la ecuación (7):
P S
jn
=
+






1
1
(9)
Ejemplo 1

Cálculo del valor presente o valor actual (P)
Carlos Portanova solicita un préstamo al BWS a pagar en un año. Si el banco cobra una TNA
de 30% y el monto a pagar al final del plazo asciende a $6.500, ¿qué principal fue lo que
solicitó Carlos al BWS?

Cálculo financiero
P R O E S A D
51
Solución:
Los datos son:
P = ?
S = $6.500
TNA = 30%
n = 1 año
Sustituyendo los valores en la ecuación (9), se tiene:
P =
+





 =
6 500
1
1 0 30 1
5 000
.
, *
$ .
Carlos solicitó al BWS la suma de $5.000. 
Ejemplo 2

Luis Alberto solicita un préstamo al BWS a pagar en cuatro meses. Si el banco cobra una
TNS de 18% y el monto a pagar al final del plazo asciende a $11.200, ¿qué principal fue
solicitado por Luis Alberto al BWS?
Solución:
Los datos son:
P = ?
S = $11.200
TNS = 18%
n = 4 meses
Sustituyendo los valores en la ecuación (9), se tiene:
P =
+












=
11 200
1
1 0 18
4
6
10 000
.
, *
$ .
Luis Alberto pidió prestado la suma $10.000 al BWS.

Unidad II
52
Ejemplo 3

¿Qué principal tuvo que ser depositado el 13 de febrero, si fue invertido a una TNM del 2%,
para que el 27 de noviembre tenga un monto de $2.382,67?
Solución:
P =
+












=
2 382 67
1
1 0 02
287
30
2 000
. ,
, *
$ .
El 13 de febrero tuvo que depositarse la suma de $2.000. 
7. VALOR PRESENTE O VALOR ACTUAL SIMPLE CON PRINCIPAL CONSTANTE Y
TASA NOMINAL VARIABLE
El valor presente o valor actual cuando se presentan variaciones en la tasa nominal y el principal
constante P que lo produjo puede calcularse con la fórmula siguiente:
P S
j
h
F
k
k
k
k
z
=
+




















=
∑
1
1
1
*
(10)
Ejemplo 1

Cálculo del valor actual cuando el principal es constante y la tasa nominal variable
El 13 de febrero se efectúa un depósito bajo un régimen de interés simple. La TNA vigente
al momento del depósito fue de 28%, la misma que bajó a 25% el 09 de julio y a 22%
el 20 de setiembre. La cuenta se cierra el 27 de noviembre, la misma que ascendía a un
monto de $6.029,03. Calcule la cantidad que tuvo que depositarse el 13 de febrero.
Solución:
Los datos son:
P = ?
S = $6.029,03
TNA1
= 28%
TNA2
= 25%

Cálculo financiero
P R O E S A D
53
TNA3
= 22%
h1
= 146
h1
= 73
h1
= 68
P =
+ + +












6 029 03
1
1 0 28
146
360
0 25
73
360
0 22
68
360
. ,
, * , * , *
=
= $ .
5 000
El 13 de febrero tuvo que depositarse la suma de $5.000. 
Ejemplo 2

Cálculo del valor actual cuando el principal es constante y la tasa nominal variable
El 13 de febrero se abre una cuenta en un banco que paga una tasa de interés nominal
variable. La cuenta se cierra el 27 de noviembre. Al término del plazo el monto de la cuenta
asciende a $6.029,03; asimismo, se conoce que las tasas de interés fueron las siguientes:
Tasa A partir del
TNA 28,0% 13/02
TNS 12,5% 09/07
TNT 5,5% 20/09
Calcule la cantidad que fue depositado en el banco.
Solución:
Los datos son:
P = ?
S = $6.029,03
TNA1
= 28%
TNS2
= 12,5%
TNT3
= 5,5%
h1
= 146
h2
= 73
h3
= 68
P =
+ + +











6 029 03
1
1 0 28
146
360
0 125
73
180
0 055
68
90
. ,
, * , * , *


= $ .
5 000
La cantidad que fue depositado en el banco asciende a $5.000. 

Unidad II
54
8. ECUACIONES DE VALOR EQUIVALENTES
Es usual que deudores y acreedores hagan un convenio para refinanciar sus deudas, es decir
para reemplazar un conjunto de obligaciones que previamente contrajeron por otro conjunto de
obligaciones que le sea equivalente, pero con otras cantidades y fechas.
En las operaciones financieras y mercantiles suelen presentarse situaciones en las cuales deudores
y acreedores –por convenir a sus intereses– se ponen de acuerdo para cambiar las condiciones
pactadas originalmente, lo que genera nuevas relaciones contractuales, como sucede en:
 Refinanciación de deudas.
 Sustitución de varias deudas que vencen en fechas diferentes, por un solo pago.
 Pagos anticipados con relación a una o varias fechas de vencimiento prefijadas.
 Prórrogas de vencimiento de plazos pactados, etcétera.
Para facilitar el planteamiento y resolución de este tipo de situaciones, se utiliza una gráfica
conocida como diagrama de tiempo el cual consiste en una línea recta horizontal en la que
generalmente se anotan las fechas y cantidades originales por un lado y las que las sustituyen,
por el otro lado de la recta. Todas las cantidades que aparecen en el diagrama de tiempo, se
trasladan mediante las fórmulas de interés simple, hasta una fecha común que es conocida como
fecha focal.
En este punto se igualan los valores de la deuda original con los de la nueva estructura de las
obligaciones. Al igualar las dos cantidades se obtendrá la ecuación de valor.
La solución de este tipo de problemas se logra cuando se resuelva la ecuación de valor para
la variable que en ella aparece como incógnita. Esta solución variará un poco de acuerdo a la
ubicación de la fecha focal. Esto es cierto solo en el caso de interés simple. Por tanto, en el
interés simple, las ecuaciones de valor se plantean con una tasa nominal j o tasa de interés
simple y si dos importes son equivalentes en el presente, no necesariamente son equivalentes
en otro momento, como sí ocurre con el interés compuesto.
Ejemplo 1

Ecuaciones de valor equivalentes
Una persona tiene una deuda que debe ser saldada de la siguiente manera: $7.200 en
este momento y $13.400 dentro de dos meses. Si desea pagar completamente su deuda
el día de hoy, ¿cuánto tendrá que pagar, si la TNA es de 24,36%?
Solución:
En primer lugar es necesario establecer la fecha focal, ya que no fue establecido en el
enunciado. Si el deudor desea saldar su deuda el día de hoy, no deberá pagar $20.600 que
es la suma de (7.200 + 13.400), pues los $13.400 son un valor futuro (vencen dentro de
dos meses), mientras que los $7.200 vencen hoy (valor presente). Dos o más cantidades
no se pueden sumar mientras no coincidan, en el tiempo, sus valores de vencimiento. Lo
que se puede hacer es calcular el valor presente de los $13.400 y solo entonces, podríamos
sumarlos con los $7.200. Por tanto, el día de hoy parece una fecha focal “natural” en este
problema; aunque puede elegirse cualquier momento como fecha focal.

Cálculo financiero
P R O E S A D
55
El diagrama de tiempo sería el siguiente:
El 0 representa el momento actual o presente y X representa la cantidad total por pagar el
día de hoy para saldar la deuda; esto es, el pago propuesto. La cantidad indica que el valor
futuro de $13.400 se traslada al momento actual, debido a que este punto se ha tomado
como fecha focal. Trasladar un valor futuro al momento actual significa que se obtiene el
valor actual del monto, dos meses antes de su vencimiento. Esto es:
P =
+












=
13 400
1
1 0 2436
60
360
12 877 19
.
, *
$ . ,
Al trasladar el monto (valor futuro) a la fecha focal, todas las cantidades (7.200, 12.877,19
y X) se encuentran, ya en una fecha común en la que es posible su comparación y, por
tanto, se puede plantear la ecuación de valor siguiente:
Valor total de las deudas = Valor total de las deudas
Originales propuestas
Esto es:
7 200 13 400
1
1 0 2436
60
360
. .
, *
+
+












= X
X = $20.077,19
Esta persona tendrá que pagar $20.077,19 el día de hoy y saldar así la deuda.
Anteriormente, se sabía que el resultado depende de la localización de la fecha focal y que
si dos importes son equivalentes en el presente, no necesariamente son equivalentes en
otro momento. Para demostrar esta afirmación, consideremos ahora como fecha focal al
final de los primeros 30 días; esto es, el primer mes.
En este caso se debe obtener el valor futuro de $7.200 por 1 mes; el valor futuro de X por
1 mes; en cambio a los $13.400 le obtenemos su valor presente por 1 mes. La ecuación
de valor sería:
$7.200 $13.400
0 2
meses
Deuda propuesta
Deuda original
x

Unidad II
56
7 200 1 0 2436
30
360
13 400
1
1 0 2436
30
360
. , * .
, *
+





 +
+













= +






+ = [ ]
=
X
X
X
1 0 2436
30
360
7 346 16 13 133 39 1 0203
20 4
, *
. , . , ,
. 7
79 55
1 0203
20 072 09
,
,
. ,
=
Se observa que en este caso el resultado varía. Esto puede suceder, de hecho sucede,
utilizando interés simple. 
Ejemplo 2

El día 29 de setiembre la empresa Los Amigos S.A.C., tiene una deuda con el Banco
Santander de $4.000 que vence el 15 de octubre y otra deuda de $5.000 que vence el 15
de noviembre. Los Amigos S.A.C., renegoció con el banco y consolidó sus deudas en una
sola cuenta a interés simple con vencimiento al 30 de diciembre del mismo año, a una
TNA constante de 24%. Se requiere saber el monto que cancelará Los Amigos S.A.C. el 30
de diciembre.
Solución:
En el problema el día 30/12 parece una fecha focal “natural”, aunque puede elegirse
cualquier momento como fecha focal.
Si elegimos como fecha focal el 30/12, entonces la deuda de $4.000 que vence el 15/10
y la deuda de $5.000 que vence el 15/11, la tenemos que trasladar hasta la fecha focal.
Por tanto, se puede plantear la siguiente ecuación de valor:
4 000 1 0 24
76
360
5 000 1 0 24
45
360
9 352
. , * . , *
$ . ,
+





 + +





 =
=
X
X 6
67
Los Amigos S.A.C., tendrá que pagar el 30 de diciembre la suma de $9.352,67. 

Cálculo financiero
P R O E S A D
57
Ejemplo 3

Kamila Romero solicitó en préstamo $4.000 que se registra en una cuenta a interés simple
que genera una TNM de 2% para cancelarlo dentro de 90 días. La señorita Romero se
adelanta al vencimiento del préstamo y amortiza $1.800 el día 25 y $1.000 el día 75,
¿cuánto deberá pagar el día 90 para cancelar su deuda?
Solución:
Como es una operación a interés simple en la que debe haber una sola capitalización,
la ecuación de valor equivalente debe plantearse con la fecha focal ubicada al final del
horizonte temporal (día 90).
Para dar solución al problema, se plantea la ecuación de valor siguiente:
4 000 1 0 02
90
30
1 800 1 0 02
65
30
1 000 1 0 02
. , * . , * . , *
+





 + +





 + +
1
15
30
4240 2 888
1 352





 +
= +
=
X
X
X
.
$ .
Al final de plazo (en el día 90) deberá pagarse el importe de $1.352 para cancelar la
deuda. 

58
¿?¿?
¿?
GLOSARIO DE TÉRMINOS
Anota las palabras que no son comunes en tu vocabulario y busca el significado en un diccionario.
1. ______________ _____________________________________________
2. ______________ _____________________________________________
3. ______________ _____________________________________________
4. ______________ _____________________________________________
5. ______________ _____________________________________________
6. ______________ _____________________________________________
7. ______________ _____________________________________________
8. ______________ _____________________________________________
9. ______________ _____________________________________________
10. ______________ _____________________________________________
PRÁCTICA DIRIGIDA
REFUERZA LAS COMPETENCIAS A LOGRAR
Tú decides si ser el mejor o el peor.

Interés con principal y tasa nominal constante
1. Carito solicita un préstamo al BBVA por $2.500 a pagar en un año, a una TNA de 25%, ¿qué
cantidad deberá pagar por concepto de intereses? Rpta. $625
2. El Universo S.A.C., solicita un préstamo al Interbank por $7.500 a pagar en tres meses, a una
TNC de 10%, ¿qué cantidad deberá pagar por concepto de intereses? Rpta. $562,50
3. ¿De qué interés simple podrá disponerse el 20 de diciembre, si el 30 de marzo se invirtió
$5.000 a una TNT del 5%? Rpta. $736,11
4. Por un préstamo que se solicitó al BBVA a pagar en un año, Carito pagó $625 de interés, ¿qué
cantidad se pidió prestado si el banco aplica una TNA del 25%. Rpta. $2.500
5. ¿A cuánto asciende un préstamo solicitado por El Universo S.A.C. al Interbank a pagar en tres
meses a una TNC de 10%, si el banco durante dicho periodo me cobró un interés de $562,50?
Rpta. $7.500
6. ¿A cuánto asciende una inversión que se efectúo el 30 de marzo a una TNT del 5%, si para el
20 de diciembre se contaba con $736,11 de interés? Rpta. $5.000

59
7. Por un préstamo de $2.500 que se solicitó al BBVA a pagar en un año, Carito pagó $625 de
interés, ¿qué TNA aplicó el banco? Rpta. TNA de 25%
8. El Universo S.A.C. solicitó un préstamo al Interbank por $7.500 a pagar en tres meses. Si el
banco le cobró $562,50 de interés, ¿qué TNC cobró el banco? Rpta. TNC de 10%
9. El 30 de marzo se efectúo una inversión por $5.000. Al 20 de diciembre había ganado
intereses por $736,11, ¿qué TNT obtuvo el inversionista? Rpta. TNT de 5%
10. Carito solicita un préstamo al BBVA por $2.500 a una TNA de 25%. Si el banco nos cobra $625,
¿cuántos años duró la deuda? Rpta. 1 año
11. El Universo S.A.C. solicitó un préstamo al Interbank por $7.500 a una TNC de 10%. Si el banco
le cobró $562,50 de interés, ¿cuántos meses se mantuvo la operación? Rpta. 3 meses
12. El 30 de marzo se efectúo una inversión por $5.000 a una TNT de 5%. Si pasado cierto tiempo
he ganado $736,11 de interés, ¿cuántos días se mantuvo la inversión? Rpta. 265 días
Interés con principal constante y tasa nominal variable
13. El 30 de marzo se deposita en una cuenta $12.000 bajo un régimen de interés simple. La TNS
vigente al momento del depósito fue de 15%, la misma que bajó a 14% el 09 de julio y a
13% el 25 de octubre. La cuenta se cierra el 20 de diciembre, calcule el interés en la fecha
de cierre. Rpta. $2.503,33
14. El 30 de marzo se deposita en una cuenta $12.000, en un banco que paga una tasa de interés
nominal variable. La cuenta se cierra el 20 de diciembre. Al término del plazo se conoce que
las tasas de interés fueron las siguientes:
Tasa A partir del
TNA 30,0% 30/03
TNS 14,0% 09/07
TNT 6,5% 25/10
Calcule el interés en la fecha de cierre. Rpta. $2.503,33
Monto o valor futuro simple con principal y tasa nominal constante
15. Carito solicita un préstamo al BBVA por $2.500 a pagar en un año, a una TNA de 25%, ¿qué
monto deberá pagar al final del plazo? Rpta. $3.125
16. El Universo S.A.C. solicita un préstamo al Interbank por $7.500 a pagar en tres meses, a una
TNC de 10%, ¿qué monto deberá pagar al final del plazo? Rpta. $8.062,50
17. ¿De qué monto podrá disponerse el 20 de diciembre, si el 30 de marzo se invirtió $5.000 a
una TNT del 5%? Rpta. $5.736,11

60
Monto o valor futuro simple con principal constante y tasa nominal variable
18. El 30 de marzo se deposita en una cuenta $12.000 bajo un régimen de interés simple. La
TNS vigente al momento del depósito fue de 15%, la misma que bajó a 14% el 09 de julio y
a 13% el 25 de octubre. La cuenta se cierra el 20 de diciembre, calcule el monto en la fecha
de cierre. Rpta. $14.503,33
19. El 30 de marzo se deposita en una cuenta $12.000, en un banco que paga una tasa de interés
nominal variable. La cuenta se cierra el 20 de diciembre. Al término del plazo se conoce que
las tasas de interés fueron las siguientes:
Tasa A partir del
TNA 30,0% 30/03
TNS 14,0% 09/07
TNT 6,5% 25/10
Calcule el monto en la fecha de cierre. Rpta. $14.503,33
Valor presente o valor actual simple con principal y tasa nominal constante
20. Carito solicita un préstamo al BBVA a pagar en un año. Si el banco cobra una TNA de 25% y
el monto a pagar al final del plazo asciende a $3.125, ¿qué principal solicitó Carito al BBVA?
Rpta. $2.500
21. El Universo S.A.C. solicita un préstamo al Interbank a pagar en tres meses. Si el banco cobra
una TNC de 10% y el monto a pagar al final del plazo asciende a $8.062,50, ¿qué principal
fue solicitado por El Universo S.A.C. al Interbank? Rpta. $7.500
22. ¿Qué principal tuvo que ser depositado el 30 de marzo, si fue invertido a una TNT del 5%,
para que el 20 de diciembre tenga un monto de $5.736,11? Rpta. $5.000
Valor presente o valor actual simple con principal constante y tasa nominal variable
23. El 30 de marzo se efectúa un depósito bajo un régimen de interés simple. La TNS vigente al
momento del depósito fue de 15%, la misma que bajó a 14% el 09 de julio y a 13% el 25
de octubre. La cuenta se cierra el 20 de diciembre, la misma que ascendía a un monto de
$14.503,33. Calcule la cantidad que tuvo que depositarse el 30 de marzo. Rpta. $12.000
24. El 30 de marzo se abre una cuenta en un banco que paga una tasa de interés nominal
variable. La cuenta se cierra el 20 de diciembre. Al término del plazo el monto de la cuenta
asciende a $14.503,33; así mismo, se conoce que las tasas de interés fueron las siguientes:
Tasa A partir del
TNA 30,0% 30/03
TNS 14,0% 09/07
TNT 6,5% 25/10
Calcule la cantidad que fue depositado en el banco. Rpta. $12.000

61
25. Una persona tiene una deuda que debe ser saldada de la siguiente manera: $5.200 en este
momento y $5.200 dentro de dos meses. Si desea pagar su deuda completamente dentro de
30 días, ¿cuánto tendrá que pagar, si la TNA es de 20%? Rpta. $10.401,42
26. Textiles Pacífico S.A.C. tiene una deuda con el BSHC una deuda de $7.500 que vence el 15 de
marzo y otra deuda de $12.500 que vence el 15 de abril. La empresa renegoció con el banco
y consolidó sus deudas en una sola cuenta a interés simple con vencimiento al 25 de abril del
mismo año, a una TNT constante de 5%. Se requiere saber el monto que cancelará Textiles
Pacífico S.A.C. el 25 de abril. Rpta. $20.240,27
27. Verónica Kamila solicitó en préstamo $2.500 que se registra en una cuenta a interés simple
que genera una TNT de 8% para cancelarlo dentro de 90 días. La señorita Verónica se adelanta
al vencimiento del préstamo y amortiza $500 el día 30 y $1.000 el día 70, ¿cuánto deberá
pagar el día 90 para cancelar su deuda? Rpta. $1.155,55

Cálculo financiero
P R O E S A D
63
3
Sesión
INTERÉS compuesto
1. INTRODUCCIÓN
El interés es compuesto si, a intervalos de tiempo preestablecidos, el interés vencido es agregado
al capital por lo que también gana intereses. Es decir, los intereses generados en cada período
se integran al capital, y este monto gana intereses al siguiente período.
Su característica fundamental es que el interés generado en cada período de interés se adiciona
al capital anterior, formando un nuevo capital, el mismo que genera un nuevo interés en la
siguiente unidad de tiempo y así sucesivamente durante el plazo pactado, experimentando al
final de cada unidad de tiempo un crecimiento geométrico, a diferencia del interés simple,
donde su crecimiento es lineal o proporcional al tiempo.
2. INTERÉS CON PRINCIPAL Y TASA EFECTIVA CONSTANTE
La fórmula de capitalización compuesta que nos permite calcular los intereses es la siguiente:
I = P[(1 + i)n
- 1] (1)
Donde:
“ i ” es la tasa de interés efectiva que se aplica
La fórmula anterior calcula el interés compuesto cuando el principal y la tasa de interés efectiva
no varían durante el tiempo, cuyo resultado es proporcional al tiempo y al importe del principal;
lo que significa que a mayor plazo de vigencia de la cuenta se percibe mayor interés.
Al utilizar la fórmula (1), se deben tener en cuenta dos aspectos básicos:
1. La i se debe utilizar en forma decimal, es decir, sin el símbolo de porcentaje (%). Recuerde
que para convertir un porcentaje a forma decimal, éste se divide entre 100.
2. La tasa de interés y el tiempo debe estar expresados en la misma unidad de tiempo. Si la
tasa es anual, el tiempo debe ir en año, si la tasa es mensual, el tiempo irá en meses, etc.

Unidad II
64
Dado que la tasa de interés compuesta o tasa de interés efectiva puede referirse a diferentes
plazos, se designará con las siguientes siglas:
Tabla 1
Plazos de la tasa de interés nominal

Ejemplo 1

El BIF otorgó un préstamo a una empresa local por $10.000 para que lo devuelva en un
año, a una TEA de 25%, ¿qué cantidad deberá pagar por concepto de intereses?
Solución:
Los datos son:
I = ?
P = $10.000
TEA = 25%
n = 1 año
La unidad de tiempo de i y n coincide. Por tanto, reemplazando los valores en la ecuación
(1) se tiene:
I = 10.000[(1+0,25) - 1] = $2.500
Esto significa que la empresa al final del plazo deberá pagar por concepto de intereses la
suma de $2.500. 
Ejemplo 2

Carrusel E.I.R.L., solicita un préstamo al Interbank por $10.000 pagar en cinco meses, a una
TES de 18%, ¿qué cantidad deberá pagar por concepto de intereses?
Tasa nominal Siglas
Anual TEA
Semestral TES
Cuatrimestral TEC
Trimestral TET
Bimestral TEB
Mensual TEM
Quincenal TEQ
Diaria TED

Cálculo financiero
P R O E S A D
65
Solución:
Los datos son:
I = ?
P = $10.000
TES = 18%
n = 5 meses
I = +
( ) −





 =
10 000 1 0 28 1 1 478 94
150
180
. , $ . ,
Esto significa que al final del plazo Carrusel E.I.R.L. deberá pagar por concepto de intereses
la suma de $1.478,94. 
Ejemplo 3
¿De qué interés compuesto podrá disponerse el 27 de noviembre, si el 13 de febrero se
invirtió $2.000 a una TEM del 2%?
Solución:
I = +
( ) −





 =
2 000 1 0 02 1 417 16
287
30
. , $ ,
Se podrá disponer de un interés de $417,16. 
A continuación, veremos algunos ejemplos sobre interés compuesto, donde se nos pide hallar, ya
no el interés (I), sino el capital inicial (P), la tasa de interés (i) y el tiempo (n).
2.1. Calculando el capital inicial o principal (P)
La formula que nos sirve para calcular el capital inicial o principal:
P
I
i n
=
+ −
( )
1 1
(2)

Unidad II
66
Ejemplo 1

Por un préstamo que se solicitó al BIF a pagar en un año, una empresa pagó $2.500 de
interés, ¿qué cantidad se pidió prestado si el banco aplica una TEA del 25%?
Solución:
Los datos son:
P = ?
TEA = 25%
I = $2.500
n = 1 año
P =
+ −
=
2 500
1 0 25 1
10 000
.
( , )
$ .
$10.000 fue lo que se pidió prestado al banco para que al final de un año se pague un
interés de $2.500. 
Ejemplo 2

¿A cuánto asciende un préstamo solicitado por Carrusel E.I.R.L. al Interbank a pagar en
cinco meses a una TES de 18%, si el banco durante dicho período cobra un interés de
$1.478,94?
Solución:
Los datos son:
P = ?
TES = 18%
I = 1.478,94
n = 5 meses
P =
+ −
=
1 478 94
1 0 18 1
10 000
150
180
. ,
( , )
$ .
El préstamo solicitado asciende a $10.000. 

Cálculo financiero
P R O E S A D
67
Ejemplo 3

¿A cuánto asciende una inversión que se efectúo el 13 de febrero a una TEM del 2%, si para
el 27 de noviembre se contaba con $417,16 de interés?
Solución:
P =
+ −
=
417 16
1 0 02 1
2 000
278
30
,
( , )
$ .
La inversión efectuada el 13 de febrero asciende a $2.000, el mismo que devenga un
interés de $417,16 en 287 días. 
2.2. Calculando la tasa de interés (i)
La fórmula a utilizar para calcular la tasa de interés es la siguiente:
i
I
P
n
= +





 −
1 1
1/
(3)
Ejemplo 1

Por un préstamo de $10.000 que se solicitó al BIF a pagar en un año, una empresa pagó
$2.500 de interés, ¿qué TEA aplicó el banco?
Solución:
Los datos son:
i = ?
P = $10.000
I = $2.500
n = 1 año
i = +





 − =
2 500
10 000
1 1 25
1 1
.
.
%
/
El banco aplicó una TEA de 25%. ¿Por qué una TEA? Porque en la fórmula n es 1 (anual),

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