ejercicios optimizacion de sistemas

2. Dada las siguientes ecuaciones
𝑥
2+3𝑦+2𝑧=3
𝑥 + 3
2 𝑦−2𝑧=−1
−𝑥 − 2𝑦 + 5𝑧 = 0
Hallar el valor de f(t) para:
𝑓 𝑡 = 3𝑧´ + 𝑥4´´ − 𝑦2´
Utilizando el metodo de igualacion.

3. Paso 1: despejamos Y de las ecuaciones dadas
𝑦 =
6 − 4𝑧 − 𝑥
6
𝑦 =
−2 + 4𝑧 − 2𝑥
3
𝑦 =
5𝑧 − 𝑥
2
Paso 2: igualamos ecuación 1 con ecuación 2
6 − 4𝑧 − 𝑥
6
=
−2 + 4𝑧 − 2𝑥
3

4. Paso 3: resolvemos la ecuación
6 − 4𝑧 − 𝑥
6
=
−2 + 4𝑧 − 2𝑥
3
18 − 12𝑧 − 3𝑥 = −12 + 24𝑧 − 12𝑥
18 + 12 = 24𝑧 + 12𝑧 − 12𝑥 + 3𝑥
30 = 36𝑧 − 9𝑥
Paso 4: igualamos ecuacion 1 con ecuacion 3
6 − 4𝑧 − 𝑥
6
=
5𝑧 − 𝑥
2
12 − 8𝑧 − 2𝑥 = 30𝑧 − 6𝑥
12 = 30z − 6x + 8z + 2x
12 = 38𝑧 − 4𝑥

5. Paso 5: despejamos Z de las ecuaciones obtenidas en el paso 3 y 4
e igualamos nuevamente
𝑧 =
30 + 9𝑥
36
𝑧 =
12 + 4𝑥
38
12 + 4𝑥
38
=
30 + 9𝑥
36
432 + 144𝑥 = 1140 + 342𝑥
432 − 1140 = 342𝑥 − 144𝑥
−708 = 198𝑥
𝑥 =
−118
33

6. Paso 6: sustituimos el valor de x obtenido en la ecuacion obtenida
en el paso 4
𝑧 =
12 + 4(−118
33
)
38
𝑧 = −
2
33
Paso 7: sustituimos los valores de X y Z en ecuacion 1 para hallar el
valor de Y
𝑦 =
6 − 4(−
2
33
) − (−
118
33
)
6
𝑦 =
18
11

7. Paso 8 : encontramos el valor fe f(t) en funcion de sus derivadas y
sustituyendo los Valores de X, Y, Z
𝑓 𝑡 = 3𝑧´ + 𝑥4´´
− 𝑦2
´
𝜕𝑓 𝑡
𝜕𝑥
= 4𝑥3
𝜕2 𝑓(𝑡)
𝜕𝑥
= 12𝑥2
= 12 −
118
33
= −
472
11
𝜕𝑓(𝑡)
𝜕𝑦
= −2𝑦 = −2
18
11
= −
36
11
𝜕𝑓(𝑡)
𝜕𝑧
= 3

8. Sustituyedo en la ecuación de f(t)
𝑓 𝑡 = 3 −
472
11
−
36
11
𝑓 𝑡 = −
475
11