ALGEBRA

1. ACADEMIAS
ÁLGEBRA C-Q | 2PAMER CATÓLICA REGULAR 2016-I 1
CPI2X2
INECUACIÓN CUADRÁTICA – INECUACIÓN RACIONAL
FRACCIONARIA
ÁLGEBRA C-Q
Desarrollo del Tema
Inecuaciones racionales
A. Inecuación racional entera
Son aquellas inecuaciones polinomiales de la forma:
a0xn
+ a1xn–1
+ a2xn–2
+ ... + an–1x + an ≥ 0; a0 ≠ 0
para resolverlas, existe un criterio práctico denominado
Regla de los Valores Críticos, cuyo procedimiento es
como sigue:
Regla de valores críticos
1º. Se reduce la inecuación racional a la forma:
donde P(x) ≥ 0, es un polinomio de grado no nulo.
2º. Se factoriza el polinomio, buscando todos los
factores lineales posibles. Para obtener los Valores
Críticos, se igualan a cero dichos factores y
enseguida se despejan los valores de x; ubicandolos
posteriormente sobre la recta numérica real.
3º. Se analiza el signo del polinomio P(x) en cada
intervalo, obteniéndose así en forma alternada,
signos (+) y (–), de derecha a izquierda (cuando
las raíces son todas diferentes).
4º. El conjunto solución de la inecuación vendrá dado
por:
• Los intervalos (+), si P(x) > 0.
• Los intervalos (–), si P(x) < 0.
Ejemplos:
1. Resolver: 6x2
+ 5x – 4 > 0
3x
2x –1
+4
(3x + 4)(2x – 1) > 0
Ubicando los valores críticos sobre la recta R:
+ +–
–4/3 1/2

Como P(x) > 0, tomamos los intervalos (+).
luego: x ∈ ]– ∞; – 4/6[ ∪ ]1/2; ∞[
2. Resolver: 3x2
– 11x + 10 < 0
3x
x –2
–5
(3x – 5)(x – 2) < 0
Colocando los valores críticos sobre la recta R:
+ +–
5/3 2

Como P(x) < 0, se toman los intervalos (–).
finalmente: x ∈ ]5/3; 2]
3. Resolver: 8x2
+ 14x + 50
4x
2x +1
+5
(4x + 5)(2x + 1) ≥ 0
De igual modo:
+ +–
–5/4 –1/2

Observar que:
P(x) ≥ 0 ↔ P(x) > 0 ∨ P(x) = 0
Como P
5
4
– = 0
P
1
2
– = 0
verifican la segunda igualdad, entonces
5
4
– y
1
2
–
son elementos del conjunto solución.
Por lo tanto:
x ∈ –∞ ; – – ; ∞∪
5
4
1
2
4. Resolver: 5x2
– 13x – 60
5x
x –3
+2
(5x + 2)(x – 3) ≤ 0
De la misma manera:
+ +–
–2/3 3

también: P =
2
5
– = 0; P(3) = 0
luego, el intervalo solución será: x ∈ 2
5
– ; 3
5. Resolver: x3
< 4x
Transponiendo: x3
– 4x < 0
factorizando: x(x + 2)(x – 2) < 0

2. PAMER CATÓLICA REGULAR 2016-I
INECUACIÓN CUADRÁTICA – INECUACIÓN RACIONAL FRACCIONARIA
2 ÁLGEBRA c-q | 2
ACADEMIAS
Ubicando los tres puntos: –2; 0 y 2 sobre la recta
numérica real:
+ ––
–2 20
+
Como P(x) < 0, tomamos los intervalos (–), así:
x ∈ ]–∞; –2[ ∪ ]0; 2[
B. Propiedades de la inecuación cuadrática
Teorema
Para que ax2
+ bx + x > 0; ∀x ∈ R
Se deben cumplir dos condiciones mutuamente
dependientes a > 0 ∧ ∆ = b2
– 4ac < 0
Ejemplo 1:
Resolver: 3x2
+ 7x + 5 > 0
Aplicando la propiedad, se tiene:
3 > 0 ∧ ∆ = (7)2
– 4 (3) (5) = –11 < 0
Por lo tanto, el polinomio (3x2
+ 7x + 5) es positivo,
para cualquier valor real de x.
Finalmente: x ∈ 
Ejemplo 2:
Resolver: 2x2
– 8x + 11 < 0
Aplicando la propiedad se tiene:
2 > 0 ∧ ∆ = (–8)2
– 4 (2)(11) = –24 < 0
Esto implica que el polinomio (2x2
– 8x + 11) es
positivo, para todo x ∈ 
Luego, la desigualdad:
2x2
– 8x + 11
(+)
< 0. ¡Es absurda!
Por lo tanto: x ∈ f
Ejemplo 3:
Entre que límites varía el parámetro m, para que la
inecuación: x2
+ 2mx + m >
3
16
Se verifique para todo valor real de x.
Transponiendo x2
+ 2mx +
3
16
m – > 0
Aplicando la propiedad:
1 > 0 ∧ ∆ = (2m)2
– 4(1)
3
16
m – < 0
Efectuando 4m2
– 4m +
3
4
< 0
16m2
– 16m + 3 < 0
(4m – 1)(4m – 3) < 0
Del cual m ∈ 1
4
3
4
;
Ejercicios DE CLASE
Nivel I
1. Resuelve 3x2
– 7x + 4 > 0
e indique un intervalo que la
verifica.
A. ]–∞;1]
B. [1;4/3]
C. ]4/3;+∞[
D. ]1;4/3[
2. Resuelve 2x2
– 3x – 9 < 0 e indica
la suma de valores enteros que la
verifican.
A. 2 C. 0
B. –1 D. 1
3. Resuelve x2
– 4x + 1 < 0 e indica
un intervalo de su conjunto
solución.
A. 
B. ]2 – 3; 2 + 3[
C. ∅
D.  – [ 2 – 3; 2 + 3]
4. Resuelve 25x2
– 20x + 4 > 0
A. ]–∞;2/5[
B. 
C. ∅
D.  – {2/5}
Nivel II
5. Resuelva 2x2
– 3x + 5 < 0
A. 
B. ]–∞; 2 + 3[ ∪ ]2 – 3; +∞[
C. ∅
D.  – {2}
6. Resuelve
x2
– 5x + 6
x2
– 12x + 35
≥ 0.
Indique un intervalo de su
conjunto solución.
A. [3;5[ C. ]5;7[
B. [2;3] D. [2;7[
7. Resuelve
x + 3
x – 2
≥ 2
A. ]2;7[ C. [7;+∞[
B. ]–∞;2] D. ]2;7]
8. Resuelve 7
x
≥ 1
A. ]0;7[ C. ]–∞;0[
B. ]0;7] D. [7;+∞[
9. Resuelve
x + 4
x + 2
≥
x + 2
x – 4
A. ]–∞;–5] ∪ ]–2;4]
B. [–5;–2[ ∪ ]–2;4]
C. [–5;–2[ ∪ ]4;+∞[
D. ]–∞;–5] ∪ ]–2;4[
10. Resuelve
9
x2 ≥ 1
A. [–3;0[ ∪ [3;+∞[
B. ]–∞;–3] ∪ ]0;3]
C. [–3;3]
D. [–3;3] – {0}
11. Resolver x2
+ 5x – 126 > (3 + x)
(6 – x)
A. 6 < x < 12
B. –6 < x < 12
C. x < –9 ∪ x > 8
D. x < –12 ∪ x > 6
12. Halla el mayor número natural que
satisface la inecuación
1
x2
+ 1
>
2
5x
.
A. 0 C. 1
B. 3 D. 2

3. PAMER CATÓLICA REGULAR 2016-I
INECUACIÓN CUADRÁTICA – INECUACIÓN RACIONAL FRACCIONARIA
3ÁLGEBRA c-q | 2
ACADEMIAS
13. Si la expresión:
x
x – 1
–
2
x + 1
–
x
x2
– 1
es una
cantidad no negativa, halla un
intervalo al cual pertenece "x".
A. [–1; 1]
B. ]–∞; 1]
C. ]–∞; –1[
D. [1; + ∞[
14. Resolver:
3x2
+ 7x + 10 ≤ 0
A. R
B. ∅
C. R – {0}
D. x ∈ [3; 10]
15. Resuelve
x – a
x – b
>
x + a
x + b
Si a < b < 0.
A. ]–a;b[
B. ]–∞;–a[ ∪ ]b;+∞[
C. ]b;–a[ ∪ ]–b;+∞[
D. ]b;0[ ∪ ]–b;+∞[