1. ACADEMIAS
ÁLGEBRA | 4APAMER CATÓLICA REGULAR 2016-I 1
CPI2X4A
ECUACIÓN cuadrática
ÁLGEBRA
Desarrollo del Tema
Forma general
ax2
+ bx + c = 0
a ≠ 0 ; a, b, c ∈
Donde: ax2
: Término cuadrático.
bx : Término lineal.
c : Término independiente.
a : Coeficiente cuadrático
(Coeficiente principal).
b : Coeficiente lineal.
Solución de la ecuación de
2do grado
A. Por factorización: (Aspa simple)
Ejemplo: Resolver: x2
+ 2x – 15 = 0
(x – 3)(x + 5) = 0
x +5
–3x
Igualando cada factor a cero:
x – 3 = 0 x + 5 = 0
x1 = 3 x2 = –5
⇒ C.S = {x1; x2} = {3; –5}
(Conjunto Solución)
B. Por fórmula general
x1,2 = –b ± b2
– 4ac
2a
x1 = –b + b2
– 4ac
2a
x2 = –b – b2
– 4ac
2a
Ejemplo:
Resolver 2x2
– 3x – 5 = 0
Solución:
Identificando coeficientes
2x2
– 3x – 5 = 0
a b c
a = 2 , b = –3 , c = –5
x1,2 = –(–3) ± (–3)2
– 4(2)(–5)
2(2)
x1,2 = 3 ± 9 + 40
4
x1,2 = 3 ± 49
4
x1,2 = 3 ± 7
4
⇒ x1 = 3 + 7
4
=
4
10
= 5
2
x2 = 3 – 7
4
=
4
–4
= – 1
⇒ C.S =
2
; –1
5
Nota:
• La expresión subradical b2
– 4ac recibe el nombre
de discriminante (∆)
∆ = b2
– 4ac
Naturaleza de las raíces
La naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática,
dependen del valor de su discriminante, así:
• Sí ∆ > 0: Las raíces son reales y diferentes.
• Sí ∆ = 0: Las raíces son reales e iguales.
• Sí ∆ < 0: Las raíces no son reales.
Donde ∆ = b2
– 4ac es el discriminante.
Propiedades de las raíces
En la ecuación: ax2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
A. Suma de raíces (S)
S = x1 + x2 =
a
–b
2. PAMER CATÓLICA REGULAR 2016-I
ECUACIÓN CUADRÁTICA
2 ÁLGEBRA | 4A
ACADEMIAS
B. Producto de raíces (P)
P = x1x2 =
a
c
C. Diferencia de raíces
d = x1 – x2 = ± S2
– 4p
donde S = x1+ x2 y P = x1 . x2
Raíces especiales
A. Raíces simétricas
Si x1 y x2 son raíces simétricas se cumple:
x1 = A ∧ x2 = –A
⇒ x1 + x2 = 0 ⇒ –
b
a
= 0 ⇒ b = 0
B. Raíces recíprocas
Si x1 y x2 son raíces recíprocas se cumple:
x1 = A ∧ x2 = 1
A
⇒ x1 . x2 = 1 ⇒
c
a
= 1 ⇒ c = a
C. Raíz nula
En la ecuación cuadrática de la forma ax2
+ bx + c = 0, se
tendrá una raíz nula cuando x = 0, es decir se cumplirá.
c = 0
Reconstrucción de la
ecuación de 2° Grado
Conociendo la S: Suma de raíces
P: Producto de raíces
x2
– Sx + P = 0
Problemas resueltos
Problema 1
Resolver:
x2
– 7x + 12 = 0
Nivel fácil
A. {–4; –3} C.
4
1
3
1
;– –
B.
4
1
3
1
; D. {4; 3}
Resolución
Estrategia de solución:
Factorizar usando aspa simple.
x2
– 7x + 12 = 0
x
x
Cuando el signo es
positivo, hay que
buscar 2 números
que multiplicados
t e d e n 1 2 y
sumados de 7.
x2
– 7x + 12 = 0
x
x 3x
4x
Como la suma
de productos en
aspa debe ser
"–7", se cambia
el signo.
4
3
x2
– 7x + 12 = 0 ∴ (x – 4)(x – 3) = 0
x –4 ⇒ x – 4 = 0 ∴ x1 = 4
x –3 ⇒ x – 3 = 0 ∴ x2 = 3
Respuesta: D. {4;3}
Problema 2
Resolver: x2
+ 7 = x – 7
Nivel intermedio
A. 3 C. 1/3
B. –3 D. ∅
Resolución
Estrategia de solución:
Elevar al cuadrado para eliminar la
raíz cuadrada.
x2
+ 7
2
= (x – 7)2
x2
+ 7 = x2
– 14x + 49
7 = –14x + 49
14x = 42
x = 3
Reemplazando x = 3 en la ecuación
original: 32
+ 7= 3 – 7
4 ≠ – 4
x ∈ ∅
Otras respuestas posibles:
• Ecuación incompatible
• Ecuación absurda
• No tiene solución
Errores más comunes:
• Generalmente en la clave A
aparece:
"x = 3"
y muchos alumnos la marcan.
• La falla está en que los
alumnos olvidan reemplazar, por
la ansiedad del momento.
Respuesta: D. ∅
Problema 3
Sea y = a2
x2
+ 2ax + 3
si y = 2 ∧ x = –1. Hallar "a".
Nivel fácil
A. 1 C. 3
B. 2 D. 4
Resolución
Reemplazamos y = 2 ∧ x = –1 en la
ecuación.
2 = a2
(–1)2
+ 2a(–1) + 3
0 = a2
– 2a + 1
0 = (a – 1)2
0 = a – 1
1 = a
Errores más comunes:
Por los nervios del examen a veces
nos confundimos al hacer operaciones
fáciles, es recomendable verificar las
operaciones.
Respuesta: A. 1
3. PAMER CATÓLICA REGULAR 2016-I
ECUACIÓN CUADRÁTICA
3ÁLGEBRA | 4A
ACADEMIAS
Ejercicios DE CLASE
Nivel I
1. Resolver (x + 4)2
= 2x(5x – 1) – 7(x – 2) y dar como
respuesta la raíz negativa.
A. –1/6 C. –1/3
B. –1/9 D. –2/3
2. Indicar la mayor raíz de la ecuación x2
– 3x + 2,16 = 0
A. 1,2 C. 2,1
B. 1,3 D. 1,8
3. Halla el valor de "n" si en la ecuación 2x2
– nx + 5 = 0,
una de sus raíces es 3.
A. 13/5 C. 23/3
B. –23/5 D. –13/3
4. Calcular la mayor raíz de la ecuación
(m – 2)x2
– (2m – 1)x + m – 1 = 0
si su discriminante es 25.
A. –1/2 C. 2
B. 3 D. 1/2
Nivel II
5. En la ecuación (4 – w)x2
+ 2wx + 2 = 0, halla w para
que las raíces sean iguales.
A. {2; –4} C. {4; –2}
B. {2; 4} D. {–2; –4}
6. En la ecuación x2
– kx + 24 = 0. Determinar k para
que se cumpla 1
x1
+ 1
x2
= 5
12
.
A. 9 C. 12
B. 10 D. 11
7. Siladiferenciadelasraícesdelaecuaciónx2
–2ax+a+1=0
vale 4, halla la suma de los valores de "a".
A. 2 C. –1
B. 4 D. 1
8. Hallar el mayor valor de "n", si la suma de los cuadrados
de las raíces es 2, en x2
– (n + 3)x + (n + 2) = 0
A. –3 C. –1
B. –2 D. 3
9. Al resolver un problema que se reduce a una ecuación
cuadrática, un estudiante comete un error en el término
independiente de la ecuación y obtiene por raíces 8 y 2.
Otro estudiante comete un error en el coeficiente de
1er. grado y obtiene por raíces – 9 y –1. La ecuación
correcta es:
A. x2
+ 10x + 9 = 0
B. x2
+ 10x – 9 = 0
C. x2
– 10x – 9 = 0
D. x2
– 10x + 9 = 0
10. Si en la ecuación x2
+ mx + n = 0, m y n son sus raíces;
los valores de m y n respectivamente son
A. 1 y 2
B. 2 y 1
C. 1 y –2
D. –2 y 1
11. Si x1 ∧ x2 son raíces de la ecuación x2
– 3x + 4 = 0,
hallar (2x1 + 3x2 +1) (3x1 + 2x2 – 1) + 2x2.
A. 40 C. 60
B. 50 D. 70
12. Dada la ecuación cuadrática 3x2
– 5x = –7 con raíces
r1 y r2. Calcula r1
r1 – 1
+ r2
r2 – 1
.
A. 9/5 C. 3/2
B. 3/15 D. –1/6
Nivel III
13. Se define al polinomio f, de la siguiente manera
f(x) =
x
2
; si "x" es par
; si "x" es impar
x + 1
2
Calcula la suma de las soluciones de la ecuación
f(x2
) = f(x + 2).
A. 2 C. 1
B. –1 D. –2
