TEMA: FUNCIONES

1. TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA
CALCULO DIFERENCIAL
EQUIPO 4
 ALEJANDRO ANTONIO SÁNCHEZ PÉREZ
 PATSY ALEJANDRO RUEDA
 CARLOS ARMANDO JIMÉNEZ SALA
 DIANA DEL ROSARIO RAMÍREZ TREJO
UNIDAD II
ACTIVIDAD 1
 DEFINICIÓN DE FUNCIÓN
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio ) y
otro conjunto de elementos Y (llamado codominio ) de forma que a cada elemento x del
dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman
el recorrido, también llamado rango o ámbito ).
En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al
proceso lógico común que se expresa como “depende de”.
Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de
una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que
depende de su peso.
A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la
izquierda en la siguiente lista?:
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.
La regla es entonces "elevar al cuadrado":
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
x --------> x 2.
La palabra función se usa a menudo para sugerir una relación o una dependencia de una
cantidad con respecto a otra. Como tal vez sepa, en matemáticas el concepto de una función
posee una interpretación similar pero ligeramente más especializada.

2. TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA
CALCULO DIFERENCIAL
EQUIPO 4
 ALEJANDRO ANTONIO SÁNCHEZ PÉREZ
 PATSY ALEJANDRO RUEDA
 CARLOS ARMANDO JIMÉNEZ SALA
 DIANA DEL ROSARIO RAMÍREZ TREJO
 DEFINICIÓN DE RANGO
 El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir, es el
conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente; estos
valores están determinados, además, por el dominio de la función.
Ejemplo
Identificar dominio y rango de la función
Veamos:
Como la función tiene radicales el dominio está conformado por todos los valores para los
cuales x – 2 ≥ 0. Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales que son mayores o
iguales a 2.
El rango es igual al conjunto de los números reales positivos incluyendo el cero; puesto que al
reemplazar los valores del dominio se obtienen únicamente valores positivos bajo la función f.
 DEFINICIÓN DE DOMINIO
El dominio de una función es el conjunto de
todos los valores de entrada que al aplicar la
función llevan a un valor de salida.
Esto automáticamente nos lleva a ciertas
meditaciones con respecto a las funciones
que queremos estudiar:

3. TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA
CALCULO DIFERENCIAL
EQUIPO 4
 ALEJANDRO ANTONIO SÁNCHEZ PÉREZ
 PATSY ALEJANDRO RUEDA
 CARLOS ARMANDO JIMÉNEZ SALA
 DIANA DEL ROSARIO RAMÍREZ TREJO
 FUNCIÓN DE VARIABLE REAL
Es una función que asocia a cada número real otro número real. Se indica así: f: R → R. Si el
par (x, y) pertenece a la función f, significa que f ( . Así pues, el domino lo forman los x)  y
números x para los cuales existe el valor de ) f (x . La imagen, el conjunto de valores que toma
) f (x cuando x pertenece al dominio; es, por tanto, el conjunto de resultados. A x se la llama
variable independiente. Cuando se representa se hace en el eje horizontal, el eje de abscisas,
el eje OX. La y es la variable dependiente. Se representa en el eje vertical o de ordenadas, el
eje OY. Ambas variables son números reales.  Las funciones reales suelen darse mediante
una fórmula o expresión algebraica. Por ejemplo: f (x) x 3x 2   ; g( . También se escribe: x) 
 3  x y x 3x 2   ; y  3  x
 FUNCIÓN INYECTIVA
 La función f es inyectiva si cada elemento del conjunto final Y tiene como máximo un elemento
del conjunto inicial X al que le corresponde. Es decir, no pueden haber más de un valor de X que
tenga la misma imagen y.

 En términos matemáticos, una función f es inyectiva si:


4. TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA
CALCULO DIFERENCIAL
EQUIPO 4
 ALEJANDRO ANTONIO SÁNCHEZ PÉREZ
 PATSY ALEJANDRO RUEDA
 CARLOS ARMANDO JIMÉNEZ SALA
 DIANA DEL ROSARIO RAMÍREZ TREJO
 EJEMPLO
 La función f(x) = 2x+1 es inyectiva.

 Veamos que se cumple la condición de inyectividad:

 Enefecto, si x y y tienenlamisma imagen,necesariamentedebenserelmismoelemento.
Por lo tanto, f es inyectiva.

5. TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA
CALCULO DIFERENCIAL
EQUIPO 4
 ALEJANDRO ANTONIO SÁNCHEZ PÉREZ
 PATSY ALEJANDRO RUEDA
 CARLOS ARMANDO JIMÉNEZ SALA
 DIANA DEL ROSARIO RAMÍREZ TREJO
 FUNCIÓN SUPRAYECTIVA
 Una función f es sobreyectiva (o suprayectiva) si todo elemento del conjunto final Y tiene al
menos un elemento del conjunto inicial X al que le corresponde.

 Es decir, una función es sobreyectiva si el recorrido de la función es el conjunto final Y.
 En términos matemáticos, una función f es sobreyectiva si:

 Ejemplo de función sobreyectiva
 La función en los números reales definida por f(x) = x+1 es sobreyectiva.

6. TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA
CALCULO DIFERENCIAL
EQUIPO 4
 ALEJANDRO ANTONIO SÁNCHEZ PÉREZ
 PATSY ALEJANDRO RUEDA
 CARLOS ARMANDO JIMÉNEZ SALA
 DIANA DEL ROSARIO RAMÍREZ TREJO
EJEMPLO
La función en los números reales definida por f(x) = x+1 es sobreyectiva.
Esta función si que es sobreyectiva. Vamos a verlo demostrando que el recorrido de la
función son todos los números reales.
El recorrido de la función es el mismo que el conjunto final Y, por lo que la f es sobreyectiva.


7. TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA
CALCULO DIFERENCIAL
EQUIPO 4
 ALEJANDRO ANTONIO SÁNCHEZ PÉREZ
 PATSY ALEJANDRO RUEDA
 CARLOS ARMANDO JIMÉNEZ SALA
 DIANA DEL ROSARIO RAMÍREZ TREJO
 FUNCIÓN BIYECTIVA
 Una función f es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva. Es decir, si todo
elemento del conjunto final Y tiene un único elemento del conjunto inicial X al que le
corresponde (condición de función sobreyectiva) y todos los elementos del conjunto
inicial X tiene una única imagen en el conjunto final Y (condición de función inyectiva).

 Teóricamente, una función f es biyectiva si:


8. TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA
CALCULO DIFERENCIAL
EQUIPO 4
 ALEJANDRO ANTONIO SÁNCHEZ PÉREZ
 PATSY ALEJANDRO RUEDA
 CARLOS ARMANDO JIMÉNEZ SALA
 DIANA DEL ROSARIO RAMÍREZ TREJO
 EJEMPLO
 La función f(x) = 2x definida en los números reales es biyectiva.
 Para comprobarlo, veamos que (f) es inyectiva y sobreyectiva. Empezaremos por la condición
de inyectividad:

 Se cumple la condición de inyectividad, por lo que ahora nos quedaría demostrar
la sobreyectividad. Para ello, tenemos que demostrar que el recorrido de la función son todos
los números reales.


9. TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA
CALCULO DIFERENCIAL
EQUIPO 4
 ALEJANDRO ANTONIO SÁNCHEZ PÉREZ
 PATSY ALEJANDRO RUEDA
 CARLOS ARMANDO JIMÉNEZ SALA
 DIANA DEL ROSARIO RAMÍREZ TREJO
 ENCUENTRE EL DOMINIO Y EL RANGO DE LA FUNCIÓN (𝓕) dada:
a) 𝒇(𝒙) = √𝟏𝟓 − 𝟓𝑿
𝟏𝟓 − 𝟓𝒙 ≥ 𝟎
−𝟓𝒙 ≥ 𝟏𝟓
−
𝟏
𝟓
− 𝟓𝒙 ≤ −𝟏𝟓(−
𝟏
𝟓
)
𝒙 ≤ 𝟑
DOMINIO:
𝒙|𝒙 ∈ (−∞, 3]
RANGO:
𝒙 ∈ (0, ∞)
𝒙|𝒙 ∈ ℝ

10. TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA
CALCULO DIFERENCIAL
EQUIPO 4
 ALEJANDRO ANTONIO SÁNCHEZ PÉREZ
 PATSY ALEJANDRO RUEDA
 CARLOS ARMANDO JIMÉNEZ SALA
 DIANA DEL ROSARIO RAMÍREZ TREJO
b) 𝐟( 𝐱) =
𝐱
𝐱 𝟐 𝟏
𝒙
𝒙 𝟐 𝟏
≥ 1 ó
𝐱
𝐱 𝟐 𝟏
≤ −1
DOMINIO:
𝒙| ∈ ℝ [𝟏, −𝟏]
RANGO:
𝒙|𝒙 ∈ ℝ
𝒙 ∈ (−∞, ∞)
(−∞, 0) (−∞, ∞) (0, ∞)