Brebe descripcion de conceptos acerca de análisis cinemático de mecanismos en dos dimensiones

1. 1. Análisis cinemáticodemecanismos 2D.
1.1. Fundamentos matemáticos.
Iniciaremos nuestro estudio con los conceptos básicos del algebra lineal para deducir una
transformación lineal ortogonal, cuya matriz asociada tiene determinante positivo.
Esta transformación representa una rotación de un cuerpo rígido, y está definida como:
𝑇𝜌( 𝑝 ,∙): 𝑉 → 𝑉′
Donde 𝐓𝛒 mapea todo el espacio vectorial de V al espacio V’1. Esta transformación la usaremos para
modelar los mecanismos de cadena cinemática abierta y cerrada.
Grupo.
Sea V un conjunto de al menos dos elementos, y sea ⊕: 𝑽 × 𝑽 → 𝑽 una operación binaria. Se dice que la
pareja ( 𝑽,⊕) es un grupo, donde ⊕ es llamada operación aditiva (suma).
Un grupo debe cumplir las siguientes propiedades:
i) ∀𝑢 ∈ 𝑉, 𝑦 𝑣 ∈ 𝑉, 𝑢 ⨁ 𝑣 ∈ 𝑉 PROPIEDADDE CERRADURA
ii) ∀ 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 𝑞𝑢𝑒
(𝑢 ⨁ 𝑣)⨁𝑤 = 𝑢⨁(𝑣 + 𝑤) PROPIEDAD ASOCIATIVA
iii) ∀ 𝑢 ∈ 𝑉, ∃! 𝜃 ∈ 𝑉 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑢 ⊕ 𝜃 = 𝑢 PROPIEDADDE ELEMENTO NULO
iv) ∀ 𝑢 ∈ 𝑉, ∃ 𝑒 ∈ 𝑉, 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑢 ⨁ 𝑒 = 𝜃 PROPIEDAD ELEMENTO INVERSO
v) ∀ 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 : 𝑢 ⊕ 𝑉 = 𝑉 ⊕ 𝑢 PROPIEDAD DE CONMUTATIVIDAD
La pareja (𝑉,⊕) tendrá estructura de grupo conmutativo (Abeliano).
CLASE #4 (30/ENERO/2012)
Ejemplo 2.1.1
Sea 𝑉 = {( 𝑥1, 𝑥2
): 𝑥1, 𝑥2 𝜖 ℝ} y ⊕: ℝ2
𝑥ℝ2
→ ℝ2
llamadas operación aditiva, definida como: Recordando
que (𝑥1, 𝑥2) en un par ordenado.
{( 𝑥1, 𝑥2
)⨁( 𝑦1 , 𝑦2
) = (𝑥1 + 𝑦1, 𝑥2 + 𝑦2 ) ∈ 𝑉
Demuestre que tiene estructura de grupo (ℝ. ℝ).
1. Por simple inspección se cumple la propiedad de cerradura.
1Siendo Sir William Hamilton (1843) quien inició esta teoría, posteriormente Euler con su parámetro
de rotación.

2. {( 𝑥1, 𝑥2
) ⊕ ( 𝑦1 , 𝑦2
)} ⊕ ( 𝑧1, 𝑧2
) = ( 𝑥1, 𝑥2
) ⊕ {( 𝑦1, 𝑦2
) ⊕ ( 𝑧1, 𝑧2
)}
2. Desarrollando la parte izquierda de la igualdad:
{( 𝑥1, 𝑥2
)⊕ (𝑦1 , 𝑦2 )} ⊕ ( 𝑧1, 𝑧2
)
( 𝑥1 + 𝑦1, 𝑥2 + 𝑦2
) ⊕ ( 𝑧1, 𝑧2
)
( 𝑥1 + 𝑦1 + 𝑧1, 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
)
( 𝑥1 + (𝑦1 + 𝑧1), 𝑥2 + (𝑦2 + 𝑧2
)
(𝑥1, 𝑥2)⨁(𝑦1 + 𝑧1, 𝑦2 + 𝑧2)
( 𝑥1, 𝑥2
)⨁{(𝑦1 , 𝑦2 )⨁(𝑧1, 𝑧2)}
Por lo anterior, Se cumple la propiedad asociativa.
3. ( 𝑥1, 𝑥2
)⨁ 𝜃 = ( 𝑥1, 𝑥2
)
Si definimos 𝜃 ∈ ℝ2
𝜃 = (𝜃1 , 𝜃2 )
{( 𝑥1, 𝑥2
)⊕ (𝜃1 , 𝜃2 )} = ( 𝑥1, 𝑥2
)
(𝑥1 + 𝜃1, 𝑥2 + 𝜃2 ) = ( 𝑥1, 𝑥2
)
𝑥1 + 𝜃1= 𝑥1
𝑥2 + 𝜃2= 𝑥2
Conocemos el elemento nulo aditivo de la suma dentro de ℝ′
, 𝜃1 = 0
𝜃 = (0,0) ∈ 𝑉
Se cumple la propiedad del elemento nulo aditivo
4. {( 𝑥1, 𝑥2
) ⊕ 𝑒} = (0,0)
Si definimos 𝑒 ∈ ℝ2
𝑒 = (𝑒1, 𝑒2)
( 𝑥1, 𝑥2
)⨁( 𝑒1, 𝑒2
) = (0,0)
( 𝑥1 + 𝑒1, 𝑥2 + 𝑒2
) = (0,0)
𝑥1 + 𝑒1 = 0
𝑥2 + 𝑒2 = 0
Conocemos el elemento inverso aditivo de la suma dentro de ℝ′
, 𝑒1 = −𝑥1. Se cumple lo
mismo para 𝑒2.
𝑒 = (−𝑥1,−𝑥2
) ∈ 𝑉
Se cumple la propiedad del elemento inverso aditivo
5. (𝑥1, 𝑥2)⨁(𝑦1, 𝑦2 )
(𝑥1 + 𝑦1 , 𝑥2 + 𝑦2 )
Por asociatividad de la suma:
( 𝑦1 + 𝑥1, 𝑦2 + 𝑥2
)
(𝑦1, 𝑦2 )⨁(𝑥1, 𝑥2)
Se cumplieron las cinco propiedades, por lo tanto la pareja (𝑽,⊕) es un grupo aditivo Abeliano.
Ejemplo 2.1.2

3. Sea 𝑉 = {( 𝑥1, 𝑥2
): 𝑥1, 𝑥2 𝜖ℝ} y ∗: ℝ2
𝑥ℝ2
→ ℝ2
llamada operación multiplicación, definida como:
( 𝑥1, 𝑥2
) ∗ ( 𝑦1, 𝑦2
) = (𝑥1 𝑦1 − 𝑥2 𝑦2, 𝑥2 𝑦1 + 𝑥1 𝑦2) ∈ 𝑉
 Demuestre que tiene estructura de grupo multiplicativo (ℝ. ℝ).
 Demuestre que la pareja (𝑉,∗) es un grupo multiplicativo Abeliano.
1. Por simple inspección se cumple la propiedad de cerradura.
{( 𝑥1,𝑥2
) ∗ ( 𝑦1 , 𝑦2
)} ∗ ( 𝑧1, 𝑧2
) = ( 𝑥1, 𝑥2
)∗ { ( 𝑦1 , 𝑦2
) ∗ ( 𝑧1, 𝑧2
)}
2. Desarrollando el lado izquierdo de la igualdad de la ecuación.
{( 𝑥1, 𝑥2
)∗ (𝑦1 , 𝑦2 )} ∗ ( 𝑧1, 𝑧2
) = ( 𝑥1, 𝑥2
) ∗ {( 𝑦1 , 𝑦2
) ∗ (𝑧1, 𝑧2)}
{( 𝑥1, 𝑥2
) ∗ (𝑦1, 𝑦2 )} ∗ ( 𝑧1, 𝑧2
) = ( 𝑥1 𝑦1 − 𝑥2 𝑦2, 𝑥2 𝑦1 + 𝑥1 𝑦2
) ∗ ( 𝑧1, 𝑧2
)
Desarrollando el lado izquierdo de la ecuación. Metemos el par ordenado z dentro de los
paréntesis.
{( 𝑥1 𝑦1 − 𝑥2 𝑦2
) 𝑧1 − ( 𝑥2 𝑦1 + 𝑥1 𝑦2
) 𝑧2, ( 𝑥2 𝑦1 + 𝑥1 𝑦1
) 𝑧1 + ( 𝑥1 𝑦1 − 𝑥2 𝑦2
) 𝑧2
}
( 𝑥1 𝑦1 𝑧1 − 𝑥2 𝑦2 𝑧1 − 𝑥2 𝑦1 𝑧2 − 𝑥1 𝑦2 𝑧2 , 𝑥2 𝑦1 𝑧1 + 𝑥1 𝑦2 𝑧1 + 𝑥1 𝑦1 𝑧2 − 𝑥2 𝑦2 𝑧2
)
Desarrollando el lado derecho de la ecuación, Extrayendo el par.
( 𝑥1, 𝑥2
) ∗ {( 𝑦1 , 𝑦2
) ∗ ( 𝑧1, 𝑧2
)} = ( 𝑥1, 𝑥2
)∗ {( 𝑦1 𝑧1 − 𝑦2 𝑧2, 𝑦2 𝑧1 + 𝑦1 𝑧2
)}
= ( 𝑥1 𝑦1 𝑧1 − 𝑥1 𝑦2 𝑧2 − 𝑥2 𝑦2 𝑧1 − 𝑥2 𝑦1 𝑧2 , 𝑥2 𝑦1 𝑧1 − 𝑥2 𝑦2 𝑧2 + 𝑥1 𝑦2 𝑧1 + 𝑥1 𝑦1 𝑧2
)
Obtenemos el mismo resultado en ambos lados de la ecuación.
Se cumple la propiedad asociativa.
3. {( 𝑥1, 𝑥2
) ∗ (𝜃′1, 𝜃′2 ´)} = ( 𝑥1, 𝑥2
)
Nos habla de la existencia del nulo multiplicativo.
Significa que ambos pares permanecen a V, si yo opero este valor por un par de la misma forma
tiene que dar el mismo valor.
𝑥1 𝜃′1 − 𝑥2 𝜃′
2 = 𝑥1 (1)
𝑥2 𝜃′1 + 𝑥1 𝜃′2 = 𝑥2 (2)
Este sistema de ecuaciones es no lineal donde las incógnitas a encontrar son 𝜃′1 y 𝜃′2 el sistema es
compatible con una única solución. Resolviendo por el método de sustitución:
De la ecuación (1)
𝜃′1 =
𝑥1 + 𝑥2 𝜃2
′
𝑥1
Sustituimos 𝜃1
′
en (2).

4. 𝑥2 (
𝑥2 − 𝑥2 𝜃2
′
𝑥1
) + 𝑥1 𝜃′
2 = 𝑥2
𝜃′
2 (
𝑥2
𝑥1
+ 𝑥1) = 0
𝜃′
2 = 0
𝜃1
′
= 1
∴ 𝜃′ = (1,0) ∈ 𝑉∃!
Se cumple la propiedad del elemento nulo multiplicativo.
Existe un par ordenado (𝑥1, 𝑥2) que pertenece al espacio V tal que al ser multiplicado por el nulo
multiplicativo debe ser el mismo par ordenado.
Comprobamos la existencia del nulo multiplicativo
(𝑥1 , 𝑥2)∗ ( 𝜃′1 , 𝜃′2
) = (𝑥1, 𝑥2)
( 𝑥1, 𝑥2
)∗ (1, 0) = ( 𝑥1, 𝑥2
)
Aplicando la definición de producto ∗.
( 𝑥1 − 0, 𝑥2 + 0) = ( 𝑥1, 𝑥2
)
(0 , 0) ∗ (1 , 0) = (0 , 0)
4. {( 𝑥1, 𝑥2
) ∗ (𝑒′1, 𝑒′2 )} = (1,0)
( 𝑥1 𝑒′1 − 𝑥2 𝑒′2, 𝑥2 𝑒′1 + 𝑥1 𝑒′2
) = (1,0)
( 𝑥1 𝑒′1 − 𝑥2 𝑒′2
) = 1. . . (1)
( 𝑥2 𝑒′1 + 𝑥1 𝑒′2
) = 0… (2)
𝑒′1 =
−𝑥1 𝑒′2
𝑥2
Sustituimos en ecuación (1)
𝑥1 (
−𝑥1 𝑒′2
𝑥2
) − 𝑥2 𝑒2
′
= 1
Despejando 𝑒′2
𝑒′2 = −
𝑥2
𝑥1
2
+ 𝑥2
2 … (3)
En la ecuación (2) sustituimos (3) y nos queda la siguiente expresión para 𝑒′1
𝑥2 (−
𝑥2
𝑥2
1
+ 𝑥2
2
) + 𝑥1 𝑒2
′
= 0
𝑒1
′
= (
𝑥1
𝑥1
2
+ 𝑥2
2
)
Se cumple la propiedad del elemento inverso multiplicativo de (𝑥1, 𝑥2).
𝑒´ = (
𝑥1
𝑥1
2
+ 𝑥2
2 ,
−𝑥2
𝑥1
2 + 𝑥2
2
), 𝑥1 ≠ 0

5. El nulo aditivo de V no cumple con la propiedad del inverso aditivo. Si fuéramos rigurosos (𝑉,∗) no es
un grupo. Se dice que es un grupo solo por la excepción del nulo aditivo (campo de los reales).
Se cumple la propiedad del elemento inverso aditivo.
Comprobamos tomando ( 𝑎, 𝑏) ∗ (
𝑎
𝑎2+𝑏2
, −
𝑏
𝑎2+𝑏2
) = (1,0)
Desarrollamos el lado izquierdo.
(
𝑎2
𝑎2 + 𝑏2
+
𝑏2
𝑎2 + 𝑏2
,
𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏2
−
𝑎𝑏
𝑎2 + 𝑏2
) = (1,0)
(
𝑎2
𝑎2+𝑏2
+
𝑏2
𝑎2 +𝑏2
) = 1 (1)
(
𝑎𝑏
𝑎2+𝑏2
−
𝑎𝑏
𝑎2 +𝑏2
) = 0(2)
Por simple observación se ve que el único para ordenado (0,0) que inverso multiplicativo.
5. Propiedad de conmutatividad
𝑢 ∗ 𝑉 = 𝑉 ∗ 𝑢
( 𝑥1, 𝑥2
) ∗ ( 𝑦1, 𝑦2
) = ( 𝑦1 , 𝑦2
) ∗ ( 𝑥1, 𝑥2
)
Desarrollamos ambos lados de la ecuación.
( 𝑥1 𝑦1 − 𝑥2 𝑦2, 𝑥2 𝑦1 + 𝑥1 𝑦2
) = (𝑦1 𝑥1 − 𝑦2 𝑥2, 𝑥1 𝑦2 + 𝑥2 𝑦1)
(𝑦1, 𝑦2 ) ∗ ( 𝑥1,𝑥2
) = ( 𝑦1 , 𝑦2
) ∗ (𝑥1, 𝑥2)
Se cumple la propiedad conmutativa
De este ejercicio se concluye que: la pareja (V,*) es un grupo multiplicativo excepto por la existencia del
inverso aditivo y el nulo multiplicativo.
CLASE #5 (1/FEBRERO/2012)
Espacio vectorial.
Sea la terna (V, ⊕ ,∗ ) abstracta, se dice que tiene estructura de campo, si cumple con las siguientes
propiedades:
I) Sea el par ordenado (V, ⊕), un grupo aditivo abeliano.
II) Sea (𝑉,∗), un grupo multiplicativo conmutativo (excepto por la existencia del inverso
multiplicativo del nulo aditivo).
III) Se cumpla la propiedad de distributividad de la operación * bajo la operación ⊕ (aditiva).
∀ 𝑢, 𝑣, 𝑤 ∈ 𝑉 se cumple que 𝑢 + ( 𝑣 ⊕ 𝑤) = 𝑢 ∗ 𝑣 ⊕ 𝑢 ∗ 𝑤
Ejemplo 2.1.3
Desarrollamos la propiedad III)

6. ( 𝑥1, 𝑥2
)∗ [( 𝑦1, 𝑦2
) ⊕ ( 𝑧1, 𝑧2
)] = ( 𝑥1, 𝑥2
) ∗ ( 𝑦1 , 𝑦2
) ⊕ ( 𝑥1, 𝑥2
)∗ (𝑧1, 𝑧2)
Recordando: 𝑉 = {(x1 , x2
): x1, x2 ∈ ℝ}
( 𝑥1, 𝑥2
) ∗ [( 𝑦1 + 𝑧1, 𝑦2 + 𝑧2
)] = ( 𝑥1 𝑦1 − 𝑥2 𝑦2, 𝑥1 𝑦2 + 𝑥2 𝑦1
) ⊕ (𝑥1 𝑧1 − 𝑥2 𝑧2, 𝑥1 𝑧2 + 𝑥2 𝑧1)
( 𝑥1
( 𝑦1 + 𝑧1
) − 𝑥2
( 𝑦2 + 𝑧2
), 𝑥1
( 𝑦2 + 𝑧2
) + 𝑥2
( 𝑦1 + 𝑧1
))
= (𝑥1 𝑦1 − 𝑥2 𝑦2 + 𝑥1 𝑧1 − 𝑥2 𝑧2, 𝑥1 𝑦2 + 𝑥2 𝑦1 + 𝑥1 𝑧2 + 𝑥2 𝑧1)
{( 𝑥1, 𝑥2) ∗ ( 𝑦1 + 𝑧1
) − 𝑥2
( 𝑦2 + 𝑧2
), 𝑥2(𝑦1 + 𝑧1) + 𝑥1(𝑦2 + 𝑧2)}
(𝑥1 𝑦1 + 𝑥1 𝑧1 − 𝑥2 𝑦2 − 𝑥2 𝑧2 , 𝑥2 𝑦1 + 𝑥2 𝑧1 + 𝑥1 𝑦2 + 𝑥1 𝑧2)
{( 𝑥1 𝑦1 − 𝑥2 𝑦2, 𝑥2 𝑦1 + 𝑥1 𝑦2
)⨁ ( 𝑥1 𝑧1 − 𝑥2 𝑧2 , 𝑥2 𝑧1 + 𝑥1 𝑧2)}
( 𝑥1 𝑦1 − 𝑥2 𝑦2 + 𝑥1 𝑧1 − 𝑥2 𝑧2, 𝑥2 𝑦1 + 𝑥1 𝑦2 + 𝑥2 𝑧1 + 𝑥1 𝑧2
)
∴ ( 𝑉,⊕,∗) forman un campo que le llamaremos el campo de los números complejos ℝ2
. Es un
campo parcialmente incompleto por la ausencia del elemento nulo aditivo.
Quaterniones: 𝑄 = ( 𝛼 , 𝛽 , 𝛾 , 𝛿) 𝜖 ℝ4
Donde 𝛼 representa la cantidad de rotación (giro). Y 𝛽 , 𝛾 , 𝛿 representan la cantidad de giro.
Espacio Vectorial
Es un conjunto de al menos dos elementos y sea⨁: 𝕍 × 𝑽 → 𝑽una operación binaria, se dice que la
pareja (𝑽, ⨁) es un espacio vectorial sobre el campo (𝒌,†, ⨁) si existe:
𝒌 ∗ 𝑽 → 𝑽
Llamada multiplicación escalar y se cumplen las siguientes propiedades:
I) ∀ 𝒖 ∈ 𝑽, y 𝜶 ∈ 𝒌, existe un único 𝜶 ∙ 𝒖 ∈ 𝑽.
II) ∀ 𝒖 ∈ 𝑽, siendo 𝟏̃el elemento nulo multiplicativo de k y -𝟏̃el inverso aditivo de 𝟏̃, se
cumple que 𝒖 ⊕ (−𝟏̃) ∙ 𝒖 = 𝜽, donde 𝜃 es el elemnto nulo de 𝑉.
III) ∀ 𝒖, 𝒗 ∈ 𝑽 y 𝜶 ∈ 𝒌, se cumple que 𝜶 ∙ ( 𝒖 ⊕ 𝒗) = 𝜶 ∙ 𝒖 ⊕ 𝜶 ∙ 𝒗, propiedad distributiva de la
operación∙, bajo la operación aditiva⊕.
IV) ∀ 𝜶, 𝜷 ∈ 𝒌 y 𝒖 ∈ 𝑽, se cumple que: ( 𝜶⨁𝜷) ∙ 𝒖 = 𝜶 ∙ 𝒖 ⊕ 𝜷 ∙ 𝒖, propiedad distributiva de la
operación ∙, bajo la operación aditiva ⨁.
V) ∀ 𝜶, 𝜷 ∈ 𝒌 y 𝒖 ∈ 𝑽, se cumple que: ( 𝜶 ∙ 𝜷) ∙ 𝒖 = 𝜶 ∙ (𝜷 ∙ 𝒖), propiedad asociativa.
VI) ∀ 𝒖 ∈ 𝑽, se cumple: 𝟏̃ ∙ 𝒖 = 𝒖.
Si un espacio vectorial trabaja sobre el campo de los reales entonces se dice que es un espacio vectorial
real. Por que el campo es el que define la naturaleza del número y las operaciones. Para modelar
mecanismos necesitamos trabajar en ℝ.

7. Los espacios vectoriales descansan sobre un campo siempre y cuando exista una operación
multiplicación escalar que elije escalares con pares ordenados.