M..

1. Nivelación de Matemáticas
para Ingeniería

2. RAZONES Y PROPORCIONES
INTRODUCCION A LOS
NUMEROS REALES

3. LOGRO DE LA SESIÓN
Al finalizar la sesión de aprendizaje el alumno
resuelve problemas con autonomía y seguridad,
cuya solución requiera del uso de razones y
proporciones.

4. ESQUEMA DE LA UNIDAD
INTRODUCCIÓN
A LOS NÚMEROS
REALES
OPERACIONES
CON ENTEROS
OPERACIONES
CON
FRACCIONES
OPERACIONES
CON
DECIMALES
RAZONES Y
PROPORCIONES

5. Comparación de dos cantidades.
Razón Aritmética: Se denomina así si la comparación
se realiza por diferencia.
𝒂 − 𝒃 = 𝒓
Ejemplo: Comparar 65 con 34
65 – 34 = 21
Se observa que 65 es mayor que 34 en 21

6. • Razón Geométrica: Se denomina así si la comparación se realiza por
cociente.
𝑎
𝑏
= 𝑟
• Ejemplo: Comparar 300 con 30:
300 : 30 = 10
Se observa que 300 contiene a 30, diez veces

7. Comparación de dos razones.
Proporción Aritmética: Se llama así a la comparación de dos razones
aritméticas.
Proporción Geométrica: Se llama así a la igualdad de dos razones
geométricas.

8. Proporción Aritmética Continua
Es aquella cuyos medios son
iguales
𝑎 − 𝑏 = 𝑏 − 𝑐
b: segunda diferencial o
media aritmética
c: tercera diferencial
Proporción Aritmética Discreta
Es aquella cuyos cuatro términos
son diferentes
𝑎 − 𝑏 = 𝑐 − 𝑑
d: cuarta diferencial

9. Proporción Geométrica Continua
Es aquella cuyos medios son iguales
𝑎
𝑏
=
𝑏
𝑐
b: segunda proporcional o media
proporcional
c: tercera proporcional
Proporción Geométrica
Discreta
Es aquella cuyos cuatro
términos son diferentes
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
d: cuarta proporcional

10. En una Proporción la razón entre la suma de los antecedentes y la
suma de los consecuentes es igual a cualquier razón de la proporción .
Ejemplo
6 12 6 12 6 12 3(6) 12
1,2
5 10 5 10 5 10 3(5) 10
  
     
  

11. • Si se suman o restan los primeros términos, y se hace lo mismo con los segundos
términos, la razón no varía.

12. 1. Si a - c = 40. Calcular b en:
2
7
5
c
b
a


Supongamos que es igual a 𝑤
5 7 2
a b c
 
luego 𝑎/5 = 𝑤 implica 𝑎 = 5𝑤 similarmente 𝑏 = 7𝑤 y 𝑐 = 2𝑤
Sustituyendo en 𝑎 − 𝑐 = 40
5𝑤 − 2𝑤 = 40 3𝑤 = 40 𝑤 = 40/3
De lo anterior
b = 7𝑤 = 7(40/3) = 280/3

13. Datos/Observaciones
2. Si a + b – c = 273. Calcular d en: 21
13
11
9
d
c
b
a



𝐴 + 𝑏 − 𝑐 = 273
𝑎 = 9𝑘, 𝑏 = 11𝑘,
𝑐 = 13𝑘, 𝑑 = 21𝑘
hallamos
9𝑘 + 11𝑘 − 13𝑘 = 273
7𝑘 = 273
𝑘 = 39
Así
𝑑 = 11(39) = 819

14. Datos/Observaciones
3. La suma de dos números es 980 y su razón es 5/9. Calcular su razón aritmética.
𝐴 + 𝐵 = 980
𝐴 = 5𝑘
𝐵 = 9𝑘
14𝑘 = 980
𝑘 = 70
Razón:
𝐵 − 𝐴 = 9𝑘 − 5𝑘 = 4 × (70) = 280

15. Datos/Observaciones
4. Un jugador de billar “A” da a otro “B” 40 carambolas para 100; además “B”
da a “C” 30 carambolas para 50, ¿Cuántas carambolas dará “A” a “C” en un
partido de 150 carambolas?
40 5 5
100 3 5
3 3 15
5 3 6
25 6
150 25 150
114
A B A x K
A B x K
B C x K B K
B x K A K
A C X K K X
A K
X

  

  
 
  
 

16. RAZONES Y PROPORCIONES
Calcular la media aritmética de 35 y 25; la tercera
diferencial de 17 y 11; la cuarta diferencial de 45; 32 y 17
dando como respuesta las suma de las cantidades halladas.
30 + 5 + 4 = 39

17. RAZONES Y PROPORCIONES
Dos amigos viven en un edificio de 15 pisos. El primero en el 10mo
piso y el segundo en el 3er piso. ¿Cuántas veces más alejado del
primer piso se encuentra el primero con respecto al segundo?
𝟐
𝟏
𝟑
veces más