CÁLCULO

1. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN
LÍMITES LATERALES
DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE
PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
LÍMITES INDETERMINADOS
LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS
LÍMITES AL INFINITO
ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN
LÍMITES EXPONENCIALES
LÍMITES INFINITOS
FUNCIÓN CONTINUA
DISCONTINUIDAD

2. OS NATU
DERIVADA
VARIACIÓN INSTANTÁNEA
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
RECTA TANGENTE Y NORMAL DE UNA FUNCIÓN
REGLAS DE DERIVACIÓN

3. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN
Los límites fueron utilizados en la antigüedad por nuestros ancestros para hallar áreas bajo una curva, aunque la teoría en se desarrolló en el siglo XVIII y XIX.
Encontrar el límite de una función significa hallar el valor de la función cuando “x” la variable dependiente tiende a un valor específico, se expresa de la siguiente forma. lim 푥→푎 푓(푥)=퐿
Se lee: “Límite de f(x), cuando “x” tiende a “a”, es igual a “L”.
Ejemplo: lim 푥→2 푥2+3푥−2
Se reemplaza el valor al que tiende el límite. Ojo cuando se reemplaza ya no aparece el límite. lim 푥→2 푥2+3푥−2=(2)2+3(2)−2=4+6−2=8

4. LÍMITES LATERALES
Un límite lateral es acercarse a “a” por la izquierda y por la derecha y se expresa de la siguiente forma.
lim 푥→푎− 푓(푥)=퐿
Límite cuando me acerco por la izquierda de “a”.
lim 푥→푎+ 푓(푥)=퐿
Límite cuando me acerco por la derecha de “a”.
Ejemplo: lim 푥→3 푥2+3푥−2 푥−3
Se halla el límite por la izquierda y por la derecha de “3”. lim 푥→3− 푥2+3푥−2 푥−3
lim 푥→3+ 푥2+3푥−2 푥−3
푥
2,9
2,99
2,999
푓(푥)
0,9
0,99
0,999
푥
3,1
3,01
3,001

5. Cuando se acerca a “3” por la izquierda y por la derecha el límite se acerca a “1”.
No siempre el límite por la izquierda y por la derecha es igual, pero para que el límite de una función exista si deben ser. lim 푥→푎− 푓(푥)=lim 푥→푎∓ 푓(푥)
En conclusión: lim 푥→3 푥2+3푥−2 푥−3=1
DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE.
lim 푥→푎 푓(푥), existe un 휀>0 y existe un 훿>0, tal que:
0<|푥−푎|<훿 Entonces |푓(푥)−퐿|< 휀
Para cualquier valor que esté en el intervalo.
푓(푥)
0,9
0,99
0,999

6. (푎−훿,푎+훿)
Siempre tiene una imagen en el intervalo
(퐿−휀,퐿+휀)
Ejemplo: encontrar un 훿>0, que verifique la definición del límite.
lim 푥→2 푥2=4 Si 휀=0,5.
Se halla el intervalo.
(푓(푥1),푓(푥2))=(퐿−휀,퐿+휀)=(4−0.5,퐿+0.5)=(3.5,4.5)
Se remplazan en la función los valores que cumplan con estos intervalos.
푓(푥1)=(푥1)2 3.5=푥12 √3.5=푥1 1.87≈푥1
푓(푥2)=(푥2)2 4.5=푥22 √4.5=푥2 2.12≈푥2
Luego se determina cuál de los valores está más cercano a “x=2”.

7. |2−푥1|=|2−1.87|=|0.13|=0.13 |2−푥2|=|2−2.12|=|−0.12|=0.12
Como "푥2" está más cerca por lo tanto.
|2−푥1|=|2−1.87|=|0.13|=0.13 훿=0.12
lim 푥→2 푥2=4 Existe un 휀=0.5>0, existe un 훿=0.12>0 tal que:
0<|2−푥2|<0.12 Entonces, |푥2−4|<0.4

8. PROPIEDADES DE LOS LÍMITES
Los límites cuentan con las siguientes propiedades sea 푓(푥) y 푔(푥) tal que:
lim 푥→푎 푓(푥)=퐿 lim 푥→푎 푓(푥)=푀
Límite de una constante es la misma constante. lim 푥→푎 푘=푘
El límite de una constante por una función es la constante por el límite de la función. lim 푥→푎 푘.푓(푥)=푘.lim 푥→푎 푓(푥)
El límite de un producto de funciones es el producto de los límites de cada función.
lim 푥→푎 [푓(푥)+푔(푥)]=lim 푥→푎 푓(푥)+lim 푥→푎 푔(푥)=퐿+푀
El límite de un producto de funciones es el producto de los límites de cada función.
lim 푥→푎 푓(푥).푔(푥)=lim 푥→푎 푓(푥).lim 푥→푎 푔(푥)=퐿.푀
Límite de un cociente, es el límite del numerador sobre el límite del denominador.

9. lim 푥→푎 푓(푥) 푔(푥) = lim 푥→푎 푓(푥) lim 푥→푎 푔(푥) = 퐿 푀
Límite de una función compuesta, es la función evaluada en el límite de la función. lim 푥→푎 푓(푔(푥))=푓(lim 푥→푎 푔(푥))=푓(푀)
Límite de una potencia es la potencia del límite.
푙푖푚 푥→푎 [푓(푥)]푛=[푙푖푚 푥→푎 푓(푥)] 푛 =(퐿)2
El límite de una función radical, es el radical del límite.
푙푖푚 푥→푎 √푓(푥)푛=√푙푖푚 푥→푎 푓(푥)푛=√퐿푛
El límite de una función logarítmica, es el logaritmo del límite.
푙푖푚 푥→푎 [log푏푓(푥)]=log푏[푙푖푚 푥→푎 푓(푥)]=log푏퐿

10. LÍMITES DE FUNCIONES INDETERMINADAS
En algunos casos los límites al ser calculados nos generan indeterminaciones como:
00
∞ ∞
∞−∞
00
∞0
1∞
0.∞
Para determinar si el límite existe o no es necesario eliminar la indeterminación si es posible con procesos algebraicos.

11. Indeterminación en funciones racionales:
lim 푥→푎 푓(푥) 푔(푥) = 00
Para resolverlas se debe Factorizar el numerador y el denominador, para eliminar la indeterminación.
Ejemplo: hallar: lim 푥→−3 푥2+5푥+6 푥+3= 00
Se simplifica la expresión racional utilizando los casos de factorización.
lim 푥→−3(푥+3)(푥+2) 푥+3=lim 푥→−3 푥+2=(−3)+2=−1
Para funciones radicales se utiliza la conjugada.
Ejemplo: hallar: lim 푥→4√푥+5−3 푥−4= 00

12. Se multiplica por la conjugada.
lim 푥→4√푥+5−3 푥−4. √푥+5+3√푥+5+3=lim 푥→4(√푥+5) 2−9(푥−4)(√푥+5+3) lim 푥→4 푥+5−9(푥−4)(√푥+5+3) =lim 푥→4 푥−4(푥−4)(√푥+5+3) = lim 푥→41(√푥+5+3) = 1(√4+5+3) = 1(√9+3) = 1(3+3) = 16

13. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS
En funciones trigonométricas se debe tener en cuenta:
lim 푥→0 푆푒푛푎푥 푎푥 =1 lim 푥→01−퐶표푠푎푥 푎푥 =0 lim 푥→0 푇푎푛푎푥 푎푥 =1
Ejemplo: hallar: lim 푥→0 푇푎푛푥 푥 =lim 푥→0 푆푒푛푥 푥.퐶표푠푥 =lim 푥→0 푆푒푛푥 푥 .1 퐶표푠푥 =lim 푥→0 푆푒푛푥 푥 .lim 푥→01 퐶표푠푥 =1.1=1
Ejemplo: Hallar el siguiente límite.
lim 푥→0 푆푒푛3푥 푆푒푛4푥 = 00
Se multiplica y se divide por “3x” en el numerador y “4x” en el denominador.
lim 푥→03푥푆푒푛3푥 3푥 4푥푆푒푛4푥 4푥 = 3푥lim 푥→0( 푆푒푛3푥 3푥 ) 4푥lim 푥→0( 푆푒푛4푥 4푥 ) = 3푥 4푥 = 34

14. LIMITES EXPONENCIALES.
Son aquellos que tienen la forma:
lim 푥→푎 [푓(푥)]푔(푥) lim 푥→∞ [푓(푥)]푔(푥)
Para solucionarlos se deben tener en cuenta los siguientes casos.
lim 푥→푎 [푓(푥)]푔(푥)=lim 푥→푎 [푓(푥)]lim 푥→푎 푔(푥)
lim 푥→푎 푓(푥)=퐿 lim 푥→푎 푓(푥)=푀 lim 푥→푎 [푓(푥)]푔(푥)=퐿푀
lim 푥→∞ 푓(푥)=퐿 lim 푥→∞ 푓(푥)=푀 lim 푥→∞ [푓(푥)]푔(푥)=퐿푀
lim 푥→∞ 푓(푥)=퐿 lim 푥→∞ 푓(푥)=∞

15. lim 푥→∞ [푓(푥)]푔(푥)={ 0 ,푠푖 0≤퐿<1∞, 퐿>1 푓(푥), 퐿=1
lim 푥→∞ 푓(푥)=∞ lim 푥→∞ 푓(푥)=푀 lim 푥→∞ [푓(푥)]푔(푥)={ ∞,푠푖 푀>00,푠푖 푀>0
lim 푥→∞ (1+ 1 푥 ) 푥 =푒,푠푖 푒>0

16. LIMITES INFINITOS
Son aquellos que al ser resueltos tienen la forma 푎 0.
Para saber si tiende a “ ∞ “ o a “ −∞ “ , se hallan los límites laterales.
Ejemplo: hallar el siguiente límite: lim 푥→32푥+1 푥−3
Se halla el límite por la izquierda y por la derecha de “3”.
lim 푥→3− 2푥+1 푥−3=−∞
lim 푥→3+ 2푥+1 푥−3=∞
푥
2,9
2,99
2,999
푓(푥)
-68
-698
-6998
푥
3,1
3,01
3,001
푓(푥)
72
702
7002

17. LÍMITES AL INFINITO
Son aquellos donde el límite que tiende al “ ∞ “existe, estos límites tienen la siguiente forma: lim 푥→∞ 푓(푥)=퐿
Para resolverlos se debe tener en cuenta lo siguiente: =lim 푥→∞ 푎1푥푚+푎2푥푚−1………푎푚 푏1푥푛+푏2푥푛−1………푏푛
Si” 푚>푛", el límite tiende a infinito.
Si” 푚<푛", el límite tiende a “0”.
Si” 푚=푛", el límite tiende a 푎1 푏1.
Ejemplos: lim 푥→∞ 3푥5+4푥2−27푥5+3푥−4= 37 lim 푥→∞ 3푥−1 푥3+2푥 =0 lim 푥→∞ 3푥3−14푥2−2푥−10=∞

18. ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN.
Una asíntota es una a la cual se acerca una función de manera indefinida sin llegar a tocarla.
Las funciones pueden llegar a presentar 3 tipos de asíntotas.
Asíntota Horizontal: cuando se halla el límite al infinito y existe.
lim 푥→∞ 푓(푥)=퐿 lim 푥→−∞ 푓(푥)=퐿
Asíntota Vertical: Cuando se halla el límite a un valor y da infinito.
lim 푥→푎 푓(푥)=∞ lim 푥→푎 푓(푥)=−∞
“a” son los valores donde la función presenta problemas.
Asíntota oblicua: una función tiene asíntotas oblicuas 푦=푚푥+푏, si se cumple con: lim 푥→±∞ 푓(푥) 푥 =푚,푠푖 푚≠표 lim 푥→±∞ (푓(푥)−푚푥)=푏
Ejemplo: graficar la función 푓(푥)= 푥3+1 푥3−푥 =
Se halla la asíntota horizontal.

19. lim 푥→∞ 푥3+1 푥3−푥 =1
Se halla las asíntotas horizontales hallando los ceros del denominador. 푥3−푥=푥(푥2−1)=푥(푥−1)(푥+1)
푥=0 푥=1 푥=−1
Se hallan los límites en esos ceros. lim 푥→0 푥3+1 푥3−푥 = 10=∞ lim 푥→1 푥3+1 푥3−푥 = 20=∞ lim 푥→−1 푥3+1 푥3−푥 = 00
Cuando “푥→−1” es un hueco ya que da indeterminación.
Para encontrar donde queda el hueco se simplifica la expresión racional. lim 푥→−1(푥+1)(푥2−푥+1) 푥(푥+1)(푥−1) = lim 푥→−1 푥2−푥+1 푥(푥−1) (−1)2−(−1)+1(−1)((−1)−1) = 32
Cuando hay una asíntota horizontal no hay oblicua o viceversa, Se hallan los cortes.

20. Corte en el eje “x”, y=0
Corte en el eje “y”, x=0
푥2−푥+1 푥(푥−1) =0 푥2−푥+1=0
Como no tiene solución no corta el eje “x”.
푓(0)= (0)2−(0)+1(0)((0)−1) = 10
No corta el eje “y” ya que este es una asíntota vertical.
Se asignan valores alrededor de las asíntotas verticales y se hace el bosquejo de la gráfica.

21. FUNCIONES CONTINUAS
Una función es continua si se puede recorrer sin levantar la mano, es decir, no existen asíntotas, huecos y ni saltos.
Cuando se realizan operaciones de funciones continuas el resultado es una función continua.

22. 푓(푥)±푔(푥),푓(푥).푔(푥) 푓(푥)표푔(푥),푓(푥).푔(푥)
Para determinar si una función es continua debe cumplir con:
푓(푎)=퐿
lim 푥→푎 푓(푥)=퐿
lim 푥→푎 푓(푥)=푓(푎)
Ejemplo: Determinar si la siguiente función es continua en 푥=2. 푓(푥)={ 4푥−3,푥<2 푥2+1,푥≥2
Se halla la función en 푓(2).
푓(2)=(2)2+1=4+1=5
Se halla el límite lim 푥→푎 푓(푥).
Por la izquierda de 2
Por la derecha de 2
lim 푥→2− 푓(푥)=4푥−3 =4(2)−3=5
lim 푥→2+ 푓(푥)=(2)2+1 =4+1=5
lim 푥→2 푓(푥)=5
En conclusión la función es continua en 푓(2).

23. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN EN UN INTERVALO.
Una función es continua en un intervalo [푎,푏]si es continua en todos los puntos de (푎,푏)
La función 푓(푥) es continua en [푎,푏]si
lim 푥→푏− 푓(푥)=푓(푏) lim 푥→푎+ 푓(푥)=푓(푎)
Es decir el límite existe.
DISCONTINUIDAD
Se puede presentar dos tipos de discontinuidad, evitable y no evitable.
Evitable:
lim 푥→푎 푓(푥)=퐿 푥=푎 lim 푥→푎 푓(푥)≠푓(푎)
Es decir, cuando presenta un hueco.

24. Ejemplo: 푓(푥)= 푥3+8 푥+2
Se factoriza y se simplifica. 푓(푥)= 푥3+8 푥+2= (푥+2)(푥2+2푥+4) 푥+2=푥2+2푥+4
Esta función tiene un hueco en 푥=−2, por lo tanto no es continua, pero se puede redefinir tapando el hueco. 푓(푥)=푥2+2푥+4 푓(−2)=(−2)2+2(−2)+4=4−4+4=4
La nueva función continua queda. 푓(푥)={ 푥3+8 푥+2,푥≠24,푥=2
No evitable: lim 푥→푎 푓(푥)=푁표 푒푥푖푠푡푒

25. DERIVADA
Es la pendiente de la recta tangente a la función en un determinado punto, también se puede definir como la velocidad instantánea de un cuerpo en movimiento.

26. La pendiente de una recta es:
푚= Δ푥 Δ푦 = 푓(푏)−푓(푎) 푎−푏
A esta ecuación se le llama tasa de variación media y cuando hablamos de velocidad media.
Δ푥 Δ푡 = 푓(푡2)−푓(푡1) 푡2−푡1

27. VARIACIÓN INSTANTÁNEA
Para encontrarla se aproxima al punto “a”, y se observa que cada vez que se acerca se aproxima a la pendiente de la recta tangente en el punto dado. lim 푏→푎 푚=lim 푏→푎 푓(푏)−푓(푎) 푎−푏
En términos de velocidad instantánea.
lim 푡2→푡1 푓(푡2)−푓(푡1) 푡2−푡1
Ejemplo: Determinar la velocidad instantánea en 푡=10 푠 de un objeto que su función está dada por la expresión 푠(푡)=3푡2−5푡+8

28. lim 푡→10 푓(푡)−푓(푡1) 푡−푡1= lim 푡→103푡2−5푡+8−[3(10)2−5(10)+8] 푡−10= lim 푡→103푡2−5푡+8−[300−50+8] 푡−10= lim 푡→103푡2−5푡+8−[258] 푡−10= lim 푡→103푡2−5푡−250 푡−10= lim 푡→10(푡−10)(3푡+25) 푡−10= lim 푡→103푡+25=3(10)+25=55
La velocidad instantánea es 55푚 푠⁄.

29. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
Teniendo en cuenta la definición de derivada. lim 푏→푎 푓(푏)−푓(푎) 푎−푏
Se hace la sustitución de ℎ=푏−푥 , y 푎=푥 teniendo en cuenta que cuando “푏→푎” , “ℎ→0” tiende a cero. lim ℎ→0 푓(ℎ+푥)−푓(푥) ℎ
Lo anterior se denomina la derivada de una función. Está se puede denotar como:
푦´
Derivada de “y”
푑푦 푑푥
Derivada de “y” con respecto a “x”
푓´(푥)
f prima de “x”
퐷푥(푦)
Derivada de “x” de “y”
Ejemplo: hallar la derivada de 푥2+3푥−2 . lim ℎ→0 푓(ℎ+푥)−푓(푥) ℎ lim ℎ→0(ℎ+푥)2+3(ℎ+푥)−2 −푥2−3푥+2 ℎ lim ℎ→0 ℎ2+2푥ℎ+푥2+3ℎ+3푥−2 −푥2−3푥+2 ℎ lim ℎ→0 ℎ2+2푥ℎ+3ℎ ℎ lim ℎ→0 ℎ(ℎ+2푥+3) ℎ

30. lim ℎ→0 ℎ+2푥+3=2푥+3
2푥+3 Es la pendiente de la recta tangente en cualquier punto de la función.
Si se quiere hallar la derivada de la función en un punto específico se reemplaza el valor dado.
Ejemplo: hallar la derivada de la función anterior en 푥=2. 푓´(푥)=2푥+3 푓´(2)=2(2)+3=7
“7” es la pendiente de la recta tangente a la función en 푥=2.
RECTA TANGENTE Y NORMAL DE UNA FUNCIÓN
Como por medio de la derivada se puede hallar la pendiente de la recta tangente, se puede determinar la ecuación de la recta tangente y normal en ese punto.
Ejemplo: hallar la recta tangente y normal a 푥2+3푥−2 en (−1,−4).
Se halla la derivada como es el mismo ejercicio anterior. 푓´(푥)=2푥+3
Se halla la pendiente de la recta tangente a la función en el punto (−1,−4). 푓´(−1)=2(−1)+3=1

31. La pendiente de la recta tangente que pasa por (−1,−4) es “1”.
Se halla la ecuación de la recta utilizando la ecuación punto pendiente. 푦=푚(푥−푥0)+푦0 푦=1(푥−(−1))+(−4) 푦=푥+1−4 푦=푥−3
Para encontrar la ecuación de la recta normal se tiene en cuenta que:
푚1=− 1 푚2 푚1=− 11 푚1=−1
La pendiente de la normal es 푚1=−1 y con la ecuación punto pendiente se halla la ecuación de la recta normal que pasa por el punto (−1,−4). 푦=푚(푥−푥0)+푦0 푦=−1(푥−(−1))+(−4) 푦=−푥−1−4 푦=−푥−5

32. REGLAS DE DERIVACIÓN
En ocasiones el proceso de hallar la derivada de una función por el concepto del límite se vuelve muy dispendioso, pero para eso se crearon unas reglas de derivación.
DERIVADAS
푓(푥)
푓´(푥)
Constante
푐
0
Función idéntica
푥
1
Constante por una función
푘.푔(푥)
푘.푔´(푥)
Potencia
푥푛
푛푥푛−1
Suma o resta de funciones
푓(푥)±푔(푥)
푓´(푥)±푔´(푥)
Producto
푓(푥).푔(푥)
푓´(푥).푔(푥) +푓(푥).푔´(푥)
Cociente
푓(푥) 푔(푥)
푓´(푥).푔(푥) −푓(푥).푔´(푥) (푔(푥))2
Función compuesta
푓(푔(푥))
푓´(푔(푥))푔´(푥)

33. Logaritmo
log푎푔(푥)
1 푔(푥)ln푎 푔´(푥)
Función exponencial
푎푔(푥)
푎푔(푥)푔´(푥)ln푎

34. BIBLIOGRAFÍA  Richard Stallman. Enciclopedia universal. 1999. disponible en: www.wikipedia.com.  Juan Carlos Fernández Gordillo. Matemáticas. Valencia España. Edifesa, Disponible en: www.vitutor.com  Chad Hurley. Steve Chen. Jawed Karim. Reproductor de video online. 15 de febrero de 2005. Disponible en http://www.youtube.com
 William Hernando Dueñas. Luz Dary García Forero. Alix Aleida Garavito Ramírez. Con lógica 11. Ed Educar. 2012.
 Vladimir Moreno Gutiérrez. Mauricio Restrepo López. Delta 11. Ed Norma. 2008
SOFTWARE  Kvisoft Inc. FlipBook Maker Pro. 2014. Disponible en: www.kvisoft.com/flipbook-maker-pro  Diego Uscanga. aTube Catcher.2011. Disponible en: www.atubecatcher.es
VIDEOS
 Julio Alberto Ríos Gallego. Límite de una función. 2013. Disponible en https://www.youtube.com/watch?v=rrbS5l--1Ss
 Rubiños. Limites laterales-concepto. 2014. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=ujq4vyb722w

35.  Joaquín Delgado. Definición de límite. 2012. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=TenzDnHrm10
 Giovanna Lopez. Propiedades de los limites. 2013. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=LavbXSAsatQ.
 Juan David Builes Grisales. Limites indeterminados ejercicios. 2011. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=N5s3yIBWoRg
 Julio Alberto Ríos Gallego. Límite trigonométrico. 2013. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=PgOU6hYfk4s
 Esteban Rueda Barreto. Ejemplo de limites exponenciales. 2013. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=yXOhsM7xKVE
 Julio Alberto Ríos Gallego. Límites infinitos. 2013. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=fHWpGPnequE
 Daniel Bohorguez. Límites al infinito 1. 2009. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=BkQj7ziQmf8
 Tareasplus. Asíntotas horizontales y verticales de una función mediante limites. 2011. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=68t6N4JxGMo
 Toribio Arrieta. Función continúa Teoría. 2013. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=ZEVAGpV3WmU
 Educatina. Discontinuidad de una función- análisis matemático- Educatina. 2012. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=aJlTzkDPKs0
 MC Emilio Delgado. Concepto de derivada 01. 2009. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=yW-jtRgmrC8
 Manuel Jesús Quidiello. ejercicios de tasa de variación instantánea. 2013. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=A8Vw5ql0XYw

36.  Julio Alberto Ríos Gallego. Derivada de una función usando el límite. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=sR5KYTap0Cg
 Marcel Ruiz. Calcular la recta tangente y la normal de una función parte 1. 2009. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=OGnROL7Ap0M
 Raúl Gómez. Reglas de derivación. 2012. Disponible en: https://www.youtube.com/watch?v=m0GgQX_rcK0