teorema y ejercicios sobre Bernolulli

1. HHIIDDRROODDIINNÁÁMMIICCAA
?
bre la porción de fluido puede
xpresarse en la forma:
r = F . Δx – F . Δx = P . A . Δx – P . A . Δx
elta t) es el
ismo que pasa por el punto 2 en el mismo intervalo de tiempo (conservación de caudal). Por lo tanto:
= A . Δx = A . Δx entonces Tr = P . V – P . V
tivas que actúan sobre la
orción del fluido es igual a la variación de su energía mecánica Tenemos entonces que:
= ΔE + ΔE = (E — E ) + (E — E )
. V — P . V = (1/2 .m . V 2
— 1/2 . m. V 2
) + (m . g . h — m . g . h )
e la densidad del fluido está dada por d=m/V podemos acomodar la expresión anterior para
emostrar que:
+ 1/2 . δ. V + δ . g. h = P + 1/2 . δ. V
TEOREMA DE BERNOULLI
A continuación estudiaremos la circulación de fluidos incompresibles, de manera que podremos explicar fenómenos
tan distintos como el vuelo de un avión o la circulación del humo por una chimenea. El estudio de la dinámica de los
fluidos fue bautizada hidrodinámica por el físico suizo Daniel Bernoulli, quien en 1738 encontró la relación
fundamental entre la presión, la altura y la velocidad de un fluido ideal. El teorema de Bernoulli demuestra que estas
variables no pueden modificarse independientemente una de la otra, sino que están determinadas por la energía
mecánica del sistema.
Supongamos que un fluido ideal circula por una cañería como
la que muestra la figura. Concentremos nuestra atención en
una pequeña porción de fluido V (coloreada con celeste): al
cabo de cierto intervalo de tiempo Δt (delta t) , el fluido ocupará
una nueva posición (coloreada con rojo) dentro de la cañería.
¿Cuál es la fuerza “exterior” a la porción V que la impulsa por
la cañería
Sobre el extremo inferior de esa porción, el fluido “que viene de
atrás” ejerce una fuerza que, en términos de la presiónp1,
puede expresarse corno P1 . A1, y está aplicada en el sentido
del flujo. Análogamente, en el extremo superior, el fluido “que
está adelante” ejerce una fuerza sobre la porción V que puede
expresarse como P2 . A2, y está aplicada en sentido contrario al
flujo. Es decir que el trabajo (T) de las fuerzas no conservativas
que están actuando so
e
T 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2
Si tenemos en cuenta que el fluido es ideal, el volumen que pasa por el punto 1 en un tiempo Δt (d
m
V 1 1 2 2 1 2
El trabajo del fluido sobre esta porción particular se “invierte” en cambiar la velocidad del fluido y en levantar el agua
en contra de la fuerza gravitatoria. En otras palabras, el trabajo de las fuerzas no conserva
p
T cinética potencial c2 c1 p2 p1
P1 2 2 1 2 1
Considerando qu
d
2
P1 1 1 2 2 2
Noten que, como los puntos 1 y 2 son puntos cualesquiera dentro de la tubería, Bernoulli pudo demostrar que la
presión, la
2
+ δ . g . h
velocidad y la altura de un fluido que circula varían siempre manteniendo una cierta cantidad constante,
ada por:
+ 1/2. δ . V² + δ. g. h = constante
eremos la cantidad de aplicaciones que pueden explicarse gracias a este teorema.
que se estrecha. Observamos
ue en la zona angosta la velocidad de la corriente es mayor y la presión es menor.
d
P
V
Fluido humano. Una multitud de espectadores pretende salir de una gran sala de proyecciones al término de la
función de cine. El salón es muy ancho, pero tiene abierta al fondo sólo una pequeña puerta que franquea el paso a
una galería estrecha que conduce hasta la calle. La gente, impaciente dentro de la sala, se aglomera contra la
puerta, abriéndose paso a empujones y codazos. La velocidad con que avanza este “fluido humano” antes de
cruzar la puerta es pequeña y la presión es grande. Cuando las personas acceden a la galería, el tránsito se hace
más rápido y la presión se alivia. Si bien este fluido no es ideal, puesto que es compresible y viscoso (incluso
podría ser turbulento), constituye un buen modelo de circulación dentro de un tubo
q

2. APLICACIONES:
EL TEOREMA DE TORRICELLI
Consideremos un depósito ancho con un tubo de desagote angosto como el de
la figura. Si destapamos el caño, el agua circula. ¿Con qué velocidad? ¿Cuál
será el caudal? En A y en B la presión es la atmosférica PA=PB=Patm. Como el
diámetro del depósito es muy grande respecto del diámetro del caño, la
velocidad con que desciende la superficie libre del agua del depósito es muy
lenta comparada con la velocidad de salida, por lo tanto podemos considerarla
igual a cero, VA = 0
La ecuación de Bernoulli queda entonces:
δ. g. hA + pA= 1/2 . δ . hB + pB
Entonces es:
g . hA = 1/2 . vB² + g. hB de donde VB²= 2. .g . (hA-hB)
De donde se deduce que:
VB² = 2. g.(hA - hB)
Este resultado que se puede deducir de la ecuación de Bernoulli, se conoce como el teorema de Torricelli, quien lo
enunció casi un siglo antes de que Bernoulli realizara sus estudios hidrodinámicos. La velocidad con que sale el
agua por el desagote es la misma que hubiera adquirido en caída libre desde una altura hA, lo que no debería
sorprendernos, ya que ejemplifica la transformación de la energía potencial del líquido en energía cinética.
EL GOL OLIMPICO
A: Una pelota que rota sobre si misma arrastra consigo una fina capa de aire por
efecto del rozamiento.
B: Cuando una pelota se traslada, el flujo de aire es en sentido contrario al
movimiento de la pelota.
C: Si la pelota, a la vez que avanza en el sentido del lanzamiento, gira sobre sí
misma, se superponen los mapas de las situaciones A y B. El mapa de líneas de
corrientes resulta de sumar en cada punto los vectores VA ~i VB. En
consecuencia, a un lado de la pelota, los módulos de las velocidades se suman
y, al otro, se restan. La velocidad del aire respecto de la pelota es mayor de un
lado que del otro.

3. D: En la región de mayor velocidad, la presión (de acuerdo con el teorema de Bernoulli) resulta menor que la que
hay en la región de menor velocidad. Por consiguiente, aparece una fuerza de una zona hacia la otra, que desvía la
pelota de su trayectoria. Éste es el secreto del gol olímpico.
EL AEROGRAFO
Las pistolas pulverizadoras de pintura funcionan con aire comprimido. Se dispara
aire a gran velocidad por un tubo fino, justo por encima de otro tubito sumergido
en un depósito de pintura. De acuerdo con el teorema de Bernoulli, se crea una
zona de baja presión sobre el tubo de suministro de pintura y, en consecuencia,
sube un chorro que se fragmenta en pequeñas gotas en forma de fina niebla.

4. Presión Lateral Pr
Medición de Presión Lateral : Tubo de Venturi
La presión lateral es una presión manométrica que se puede medir por tubos abiertos colocado perpendicularmente
a la pared del tubo que contiene el fluido; o como se ve en la última imagen con tubos cerrados con un fluido
manométrico no miscible con el fluido que se transporta.
Presión Hidrodinámica
Medición de Presión Hidrodinámica : Tubo de Pitot
+ Pr
La presión hidrodinámica calcula la presión lateral (manométrica) MAS la presión debida al movimiento del fluido,
tiene en cuenta la energía cinética, es decir el término que contiene la velocidad. Por ello el tubo debe enfrentar la
corriente

5. Estos ejemplos de tubo de Pitot, son los medidores de velocidad de los aviones, que transforman el término de la
presión en velocidad.
TIPOS DE FLUJO
Flujo laminar: Se caracteriza porque el movimiento de las partículas del fluido se produce siguiendo trayectorias
bastante regulares, separadas y perfectamente definidas dando la impresión de que se tratara de laminas o capas
mas o menos paralelas entre si, las cuales se deslizan suavemente unas sobre otras, sin que exista mezcla
macroscópica o intercambio transversal entre ellas.
Flujo turbulento: Este tipo de flujo es el que mas se presenta.
En este tipo de flujo las partículas del fluido se mueven en
trayectorias erráticas, es decir, en trayectorias muy irregulares
sin seguir un orden establecido, ocasionando la transferencia d
cantidad de movimiento de una porción de fluido a otra, de
modo similar a la transferencia de cantidad de movimiento
molecular pero a una escala mayor.
e
En este tipo de flujo, las partículas del fluido pueden tener
tamaños que van desde muy pequeñas, del orden de unos
cuantos millares de moléculas, hasta las muy grandes, del
orden de millares de pies cúbicos en un gran remolino dentro
de un río o en una ráfaga de viento.
Cuando se compara un flujo turbulento con uno que no lo es,
en igualdad de condiciones, se puede encontrar que en la
turbulencia se desarrollan mayores esfuerzos cortantes en los
fluidos, al igual que las pérdidas de energía mecánica, que a
su vez varían con la primera potencia de la velocidad.

6. .
FLUJOLAMINARY TURBULENTO
Flujo laminar alrededor de obstáculos de diferentes formas
VISCOSIDAD
Laviscosidad eslaoposiciónde un fluido alas
deformacionestangenciales
d
η
v
F
A
= η: cosVis idad
Unidades
S I
N s
m
c g s
dina s
cm
poise
. .
.
. . .
.
2
2
=
-

7. EJERCICIOS DE APLICACIÓN RESUELTOS
7.84 Por un tubo en desnivel fluyen 200 litros de agua por segundo. La
presión en el extremo más bajo es de 1,9 atm. El extremo más alto se
encuentra a 6 m de altura con respecto al nivel del extremo inferior. El
diámetro del tubo en el extremo más bajo y más alto son, respectivamente,
30 cm y 20 cm. ¿Cuál es la velocidad en ambos extremos? ¿Cuál es la
presión en el extremo más alto?

8. 7. 87 Un chorro de agua sale horizontalmente del agujero cerca del fondo del tanque de la figura. Si el agujero tiene un
diámetro de 3,5 mm ¿cuál es la altura h del nivel de agua del tanque?
Se calcula el tiempo de caída de una partícula de agua del chorro
Se calcula la velocidad con que sale el chorro:
s,
s/m,
m.
g
y
tt.g. 450
89
122
2
2
==
Δ
=Δ⇒Δ
/t.vy oy 21−Δ=Δ
s/m,
s,
m,
t
x
vox 331
450
600
==
Δ
Δ
=
Al aplicar Bernoulli entre la superficie libre del líquido y la salida del chorro, como el diámetro del chorro es muy
pequeño respecto de las dimensiones del tanque, la velocidad de salida del chorro es la misma que una
partícula en caída libre desde la superficie libre del líquido (Ley de Torricelli)
( ) m,h
s/m,.
s/m,
g.
v
h
h.g.v
090
892
331
2
2
2
22
===
=
cm9≡
7.88 Un tanque T de grandes dimensiones abierto a la atmósfera, alimenta a una cañería de sección variable que vierte agua en
el recipiente R. Datos:
• La presión atmosférica es de 1,013. 105
Pa
• El caudal con que fluye el agua, cuando la canilla C está abierta, es de 0,005 m3
/s
• La altura del tanque, desde la superficie libre del agua hasta la altura del punto A es hA= 10 m
• El diámetro de la cañería en el punto A es dA = 20 cm
• El diámetro de la cañería en el punto B es dB = 50 cm
• La cañería, entre los puntos A y B, tiene una diferencia de altura h= 4m
• El diámetro del recipiente R es dR = 2 m y su altura es de 3m
a) ¿Qué presión soporta el punto B cunado la canilla C está cerrada?
b) ¿Qué velocidad tiene el agua en el punto A cuando la canilla C está abierta?
c) ¿Qué presión soporta el punto A cuando la canilla C está abierta?
d) ¿Cuál es la presión hidrodinámica que soporta el punto B cuando la canilla C está abierta?
e) ¿Cúanto tiempo se tarda en llenar el recipiente R?
f) ¿Cuántos m3
contiene el recipiente R a los 10 segundos después de comenzar a llenarse?
g) Si una vez que está lleno el recipiente R se le practica un agujero muy pequeño a la mitad de su altura ¿con qué
velocidad sale el agua por ese orificio? Indique qué consideraciones debe realizar.

9. a)
b)
c)Velocidad del tanque despreciable frenta a las dimensiones del tanque
d) Punto de referencia B →hb = 0
e)
f)
g) La velocidad con que baja el nivel del agua en el tanque es despreciable frente a la velocidad de salida del
orifico
hB = 0