Crecimiento demográfico lento y desigual en la Argentina

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El automóvil recurre
a la electrónica
isica
Revista de Ciencia y Tecnología
No 6 / 1970 / S 3.00 (S 300 m/n.)
DESARROLLO DEL
EMBRION
política
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mmmm
La Cuenca del Plata:
en las páginas 6 a 14,
cuatro especialistas tíos presentan
la Cuenca y su modelo.
E. Aída Nuss de Epstein
Ludovico Ivanissevicli
Ricardo Albizuri
Mario Gradowczyk
Alfred Rényi
Emxuanuel Amoroso
Daniel Amati
Manuel Risueño
Horacio Speratti
Julio Moreno
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Revista mensual
de ciencia y tecnología
Censo: un esfuerzo mal aprovechado
Tiempo de planificación vial
Virus criollo
Sin comentarios
Descripción de la Cuenca del Plata
Por qué un modelo matemático para la Cuenca
del Plata
Los modelos hidrológicos del Paraná
El modelo hidrodinámico del Alto Paraná
Un diálogo con Sócrates
Desarrollo inicial del embrión
Física y política
La serie de Fibonacci
El automóvil recurre a la electrónica
Novedades de ciencia y tecnología
1. Cómo comprobar la relatividad en un fin de semana
2. Las computadoras de la cuarta generación
3. Los satélites artificiales nos espían
4. Matemáticas con luz
5. Diamantes para todos
6. La síntesis de un gene
7. Residuos de fisión vitrificados
8. Un pulsar con un planeta *
9. Productividad científica
Metegol
Humor nuevo
Libros nuevos
Correo del lector
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De las opiniones expresadas en los artículos firmados
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Censo:
un esfuerzo mal aprovechado
Se hizo el censo. Costó inevitablemente mucho dinero:
por lo menos un día de paralización del país producti-
vo. Se completó un cuestionario discutible e incomple-
to, desaprovechado. Se gastó dinero aún en movilizar
a un personal censista insuficientemente capacitado pa-
ra su tarea y en movilizar a la población a través de un
mecanismo publicitario que alcanzó inadecuadamente
sus objetivos.
Sin embargo y a pesar de todo, es importante que
el censo se haya hecho, cualquiera sea su imprecisión.
Los primeros datos publicados concretan en cifras una
dura realidad ya presentida.
Nuestro crecimiento demográfico actual, del 1,5 por
ciento anual es (junto con el de Uruguay), el más
bajo de América Latina y uno de los más bajos del
mundo. Según los cálculos del Instituto Nacional de
Estadística y Censos, Brasil, con una tasa de creci-
miento del 3 por ciento y México con el 3,5 por ciento,
duplicarán su población dentro de veinte años, en 1990,
llegando a 186,5 millones de habitantes el primero y
a 101,5 millones el segundo. Nosotros lo haremos re-
cién 25 años más tarde, en el año 2016, llegando a 46,5
millones de habitantes.
La población total del país al 30 de setiembre era
de 23.250.000 habitantes (bastante menos de los 25
millones que se esperaban), de los cuales 8.409.000, o
sea el 36,5 por ciento, viven en la Capital Federal y
en el Gran Buenos Aires. Dada la pequeña extensión
geográfica de esta zona, podemos despreciarla en rela-
ción con la superficie total del país, lo que da una den-
sidad de población para el resto del país (excluida la
Antártida) de 5,3 habitantes por kilómetro cuadrado.
Con la sola excepción de Mendoza, las ciudades del
interior crecen con suma lentitud o bien, como en el
caso de las provincias andinas del norte y las provincias
mesopotámicas, no crecen. El desarrollo demográfico
de la Patagonia es desesperadamente lento.
Esto es, en un resumen muy rápido, lo que nos di-
cen los primeros resultados. Esperamos que este censo
nos proporcione cifras confiables, en especial en cam-
pos de importancia fundamental, como alfabetismo y
habitación. Pero, si bien es necesario esperar los datos
definitivos y hacer un análisis profundo de los mis-
mos, lo publicado basta para llegar a una primera y
fundamental conclusión: estamos creciendo poco y mal
Y esto se debe no sólo a la carencia de una política
demográfica coherente y de objetivos claros en lo que
respecta a migraciones internas, inmigración y emigra-
ción, sino que está íntimamente relacionado con la
carencia de una política nacional que se fije como
objetivos el desarrollo económico y cultural autónomos
y la integración real del país.
Es evidente que aún tienen vigencia, e inclusive se
han agravado, los males heredados de nuestra particu-
lar evolución histórica, caracterizada por un crecimien-
to demográfico desordenado, tanto en cantidad como
en distribución. En efecto, en 90 años (1870-1960)
la población de la Argentina aumentó 10 veces, au-
mento vertiginoso pocas veces observado en el mun-
do, y debido fundamentalmente a la inmigración ma-
siva, que comenzó a fines del siglo pasado y cesó
prácticamente al comenzar la década del 30. Toda esa
nueva población se concentró indiscriminadamente en
Buenos Aires y sus alrededores, a lo que se sumó la
migración interna desde el interior hacia la Capital,
que comenzó a mediados de la década del 30. En esta
reducida zona, donde en 1870 vivía el 10 por ciento
de al población total del país (180.000 habitantes),
ahora vive el 36,5 por ciento (8,4 millones). Es de-
cir, su población aumentó casi 50 veces en cien años,
o sea al promedio increíble del 50 por ciento anual!
Los resultados del censo de población son claros, e
indican que no podemos seguir dándonos el lujo de no
corregir esas fallas. Es importante hacer un censo, pero
es muy importante utilizar conscientemente sus resul-
tados para analizar a fondo la situación demográfica
de nuestro país y establecer las soluciones que no pue-
den postergarse.
Tiempo de planificación vial
Los diarios del 1? de setiembre último publicaron pá-
rrafos de la renuncia del Ing. Rubén A. Araya, "jefe
de estudios económicos y estadísticos de la Dirección
Nacional de Vialidad", en la que formula graves cargos
a la conducción de la repartición y plantea los perjuicios
que la actual política (o carencia de política) vial
oasiona al país. Al día siguiente, la D.N.V., mediante
un comunicado, aclaró "la situación de revista del men-
cionado agente", sin entrar en el debate originado por
sus críticas. Pocos días después que el Centro de Inge-
nieros de Córdoba apoyara públicamente la actitud del
Ing. Araya, el Centro Argentino de Ingenieros da una
3

concepto que le merece el funcionamiento de esa gran
declaración en la que "encuentra oportuno ratificar el
repartición" (sic).
Nosotros también creemos oportuno ratificar algunos
aspectos de este debate entablado entre un ex funcio-
nario de la D.N.V. y el C.A.I., polémica que creemos
sería oportuno profundizar, sin olvidar algunos concep-
tos esgrimidos en otras oportunidades por el C.A.I.,
por ejemplo en su defensa de la ingeniería argentina,
que valoramos y apoyamos.
Estamos de acuerdo con el Ing. Araya cuando afir-
ma (sin haber sido desmentido por el C.A.I. o la
D.N.V.), que:
"se carece de un diagnóstico vial, o sea el instrumento
necesario para conocer en todo el territorio nacional la
situación, uso y estado de los caminos y la relación
entre éstos y la economía del país, con la de los trans-
portes, y con cada provincia o región" (subrayamos
nosotros);
"tampoco cuenta Vialidad con un estudio serio e in-
tegral sobre la evolución futura del tránsito en el país";
Vialidad no cuenta con estudios sobre "las consecuen-
cias que el trazado de la red de caminos provoca sobre
el desarrollo regional y el asentamiento y movilidad de
poblaciones";
falta "un criterio propio que le permite responder, con
sentido nacional, a las directivas de las agencias finan-
cieras internacionales".
El Ing. Araya se pregunta, y nosotros con él:
"por qué se contrata en forma directa con algunas em-
presas consultoras sin emplear el procedimiento del
concurso", y
"por qué se delega en algunas empresas consultoras
funciones que son indelegables de Vialidad, tales como
el examen de los trabajos cumplidos (y el) estudio y
evaluación de las ofertas".
El Centro Argentino de Ingenieros hace notar que la
falta de ingenieros en la repartición radica "en los
magros sueldos que se abonan, que es un problema ge-
neralizado en la Administración" y, si bien "es nece-
sario reaccionar contra ese estado de cosas, en la inte-
ligencia que los gastos en personal profesional son al-
tamente redituables, para la economía en la realización
de las obras", "las entidades de profesionales indepen-
dientes representan el mejor camino para subsanar el
problema de la falta de ingenieros y técnicos en relación
de dependencia".
Pero el C.A.I. no analiza en ningún momento el
problema de fondo, el de la necesidad de una planifi-
cación vial racional que tenga en cuenta los verdaderos
intereses de nuestra república y que entendemos que
presenta tres aspectos íntimamente relacionados entre sí:
El país carece de un verdadero plan de transportes
a escala nacional que el permita optimizar sus inver-
siones en infraestructura.
Vialidad no sabe cómo evolucionará el tránsito vial
en el país, en parte porque desconoce el tránsito actual.
Vialidad Nacional y las mejores vialidades provincia-
les (el caso de la de la provincia de Buenos Aires es
patético) ve sus cuadros técnicos diezmados por los ma-
gros sueldos —pero no sólo por ellos— y por lo tanto
carece actualmente de una capacidad técnica suficiente
como para poder encarar trabajos que debe delegar en
instituciones nacionales (no siempre. . .), de profesio-
nales independientes (no tanto. . .), curiosamente for-
madas por los mismos ex funcionarios de las Vialidades
que por hacer las mismas tareas ganan varias veces su
antiguo sueldo.
Virus criollo
La imagen de un virus matrero, con poncho y espuelas,
que desacata abiertamente a la "autoridá constituida",
sería graciosa si no fuera tétrica. Sin embargo, surgió
espontáneamente en nuestra mente al leer la conferencia
que pronunció el doctor Héctor A. Ruggiero sobre "La
fiebre hemorrágica argentina" (ver "La Prensa" del 8
de agosto pasado). Refiriéndose a la labor de la Comi-
sión Nacional Coordinadora de Estudio y Lucha contra
la Fiebre Hemorrágica, el conferenciante dijo:
"Cualquiera sea el resultado final, debe decirse que
en poco más de una década la ciencia médica argentina
inició y recorrió sola el largo trayecto que supone la
ubicación etiológica y nosológica de una enfermedad
nueva y de acuerdo a su temperamento la bautizó y
lanzó a correr por el mundo un virus con nombre de
resonancia criolla."
El virus Juttín, causante de la fiebre hemorrágica o
mal de los rastrojos tendría sus días contados. "La me-
dicina argentina —dijo también el Dr. Ruggiero— pre-
paró una vacuna que bien puede extinguirla (la enfer-
edad) entre el año que transcurre y el que viene."
4
Lamentablemente, no todos comparten tal optimismo,
y en modo especial la población de las zonas afectadas,
que ha visto este año un recrudecimiento del mal. La
Comisión Popular de Lucha contra la Fiebre Hemorrá-
gica, constituida en Rojas, ha fundamentado en diversas
oportunidades su crítica a la autoridad sanitaria, espe-
cialmente en lo que se refiere a la falta de medidas pro-
filácticas, a deficiencias a nivel preventivo e informativo,
y a complicaciones burocráticas. Porque el problema no
debe tratar de resolverse solamente en el laboratorio, si-
no también en el plano social: haciendo que desaparez-
can las condiciones de vida y de trabajo que hacen posi-
ble la proliferación del virus y el contagio; realizando
una amplia campaña educativa entre los trabajadores ru-
rales; sin excluir el diálogo con sus entidades represen-
tativas; agotando los recursos técnicos y financieros para
la erradicación de la enfermedad, fundamentalmente en
lo que respecta a la reproducción de los roedores porta-
dores del virus.
En cuanto a la vacuna que se está experimentando,
queremos creer sinceramente que las palabras del Dr

Ruggiero: " . . . se puede decir en síntesis que esta va-
cuna es efectiva. . . " no son fruto de un optimismo des-
enfrenado, sino de un análisis extenso y desapasionado
de los resultados de las experiencias. Si es así, no hay
ninguna duda de que sería algo magnífico, y se podría
Sin comentarios
Fragmento del discurso del Dr. Miguel Angel Cár-
cano en el acto realizado el 11 de junio en la Sociedad
Rural Argentina. La Prensa, 12/6/70. (El subrayado es
nuestro-, C. N.)
"El trabajo del campo progresa por los técnicos. INTA
y CREA, como las Sociedades Rurales, son institucio-
nes necesarias en la vida rural. Los técnicos son los ase-
sores indispensables en toda empresa y gobierno, pero
es menos aceptable que ellos pretendan gobernar. Los
técnicos están gobernando y ello me parece una impru-
dencia. El gobierno de los técnicos puede ser el fracaso
TT * T I
L u i s r .
Premio
La noticia del otorgamiento del Premio Nobel de Quí-
mica 1970 al Dr. Luis F. Leloir nos llegó mientras
el presente número estaba en preparación, motivo por
pensar que, en el corto plazo por él previsto, nuestro
"virus criollo" pasará a integrar, junto con Juan Mo-
reira, la galería de los malevos autóctonos derrotados
por el progreso. O
de la organización social contemporánea. Ni sus estu-
dios ni su formación intelectual los preparan para el
gobernio. Es al hombre de Estado a quien le corres-
ponde gobernar la República. Es él quien debe tener
que decidir, apreciar el valor y la oportunidad en que
se debe fijar la política que conviene desenvolver. Es él
quien sabe de las pasiones e intereses que mueven a los
hombres, de las modalidades de su temperamento y sus
reacciones. Es él quien posee la experiencia de la ad-
ministración pública, la difícil aptitud para dirigir una
nación e influir conrianza en su conducción." C>
el cual hemos debido dejar para el próximo nuestros
comentarios y notas exclusivas sobre este aconteci-
miento. O
Leilor,
Nobel de Química
5

Un modelo para la Cuenca del Plata
A fines de 1969, técnicos argentinos y franceses encararon la elaboración de un
modelo matemático de la Cuenca del Plata. Hasta ese momento nunca se había
aplicado esta técnica a cuencas hídricas tan extensas. A pocos días de terminar la
primera parte del estudio, cuatro especialistas argentinos nos explican qué es la
Cuenca del Plata y cómo es su Modelo.
Descripción de la Cuenca del Plata
La Cuenca del Plata es un conjunto hidrográfico que
tiene en el Río de la Plata su boca de desagüe al Atlán-
tico. Irriga las tierras correspondientes a cinco países
(Brasil, Uruguay, Bolivia, Paraguay y Argentina) en
una superficie aproximada a los 4.500.000 kilómetros
cuadrados, casi la cuarta parte de la superficie de Sud-
américa. Es la segunda cuencia imbrífera en el mundo
después de la del Amazonas (7.000.000 km-).
La Cuenca mide 2.200 kilómetros de norte a sur
desde las fuentes del río Paraguay en Matto Grosso
hasta el centro de la provincia de Buenos Aires. De
este a oeste la distancia es de 2.100 kilómetros desde
las nacientes del Paraná y del Uruguay en la Sierra de
Mantiqueira y do Mar, cerca del Atlántico, hasta los
Andes Orientales de Bolivia, puna y montañas del oeste
argentino. En esta vasta extensión, la Cuenca ofrece
clima tropical, templado y frío (el de las alturas);
selvas impenetrables y llanuras dilatadas; ríos de mon-
taña y de llanura extensos como el Paraná, que debe
recorrer casi 4.000 km para llegar al océano y cortos
como el Luján, de apenas 50 km; pantanos como el de
Xaraes en Paraguay de 80.000 km*2
, esteros como los
del Pilcomayo, cataratas como las del Iguazú, de 70 m
de caída.
Los tres ríos claves para la estructuración de la
cuenca son el río Paraguay (2.600 km), el Paraná
(3.780 km) y el Uruguay (1.790 km), cada uno de
ellos con numerosos afluentes por ambas márgenes.
El río Paraná a lo largo de todo su recorrido recibe
en Brasil, entre otros, al Paranaíba, al Tieté, Paranapane-
ma ,Ivahy e Iguazú. Presenta durante su recorrido en
territorio argentino (1.800 km) aspectos muy distintos.
Regiones de meseta, como sucede en Misiones donde
tiene un lecho rocoso bordeado por altas barrancas, con
presencia de meláfiros que forman islas peñascosas, don-
de el cauce es sinuoso, bien definido. Aguas abajo de
Posadas, se manifiesta otra imagen, pues el río sale de
la meseta misionera y desaparece la barranca continua.
Las rocas duras ya no forman su lecho y sólo afloran en
algunas zonas como en Apipé, para formar rápidos. El
río se ensancha cada vez más y al llegar a Corrientes
tiene 3 km de ancho (en Posadas, frente a Candelaria,
su ancho es de 800 metros). Las islas llegan a tener di-
mensiones considerables como las del grupo de Talavera
y Yaciretá (paraguayas) y Apipé Grande (argentina)
que obligan al Paraná a describir un gran meandro. El
curso tiene rumbo hacia el oeste en busca de la línea
axil de fractura Paraguay-Paraná.
El río Iguazú es el afluente principal del Alto Pa-
raná y 20 kilómetros antes de volcarse en él debe sal-
var un desnivel de aproximadamente 70 metros al
formar las cataratas.
Por la margen derecha los afluentes importantes son
el río Paraguay, con sus tributarios, el Pilcomayo, Ber-
mejo, Río Negro. Luego de recibir al Paraguay el río
Paraná dobla hacia el sur manteniendo sus caracterís-
ticas: cauce ancho, islas y bancos, pero pierde sus
orillas altas. La margen derecha o santafesina tiene
innumerables canales laterales que encierran islas ane-
gadizas y pantanosas; recibe los cursos del Tapenagá,
San Javier, Saladillo, y su afluente mayor, el Salado
(llamado también Pasaje o Juramento que es el río
argentino más extenso con 2.200 km), y el Carcarañá
cuyas aguas provienen de las sierras de Córdoba, de la
confluencia de los ríos Tercero y Cuarto. Los demás
afluentes de la margen derecha del Paraná son los pe-
queños ríos y arroyos de la pampa.ondulada: Saladillo,
Arroyo del Medio (que es el límite interprovincial en-
tre Buenos Aires y Santa Fe), el arroyo Ramallo, río
Arrecifes, Baradero, Luján, tdos pertenecientes a la
cuenca.
Los afluentes por la margen izquierda son los ríos
mesopotámicos: Empedrado, San Lorenzo, Santa Lucía
(que preceden de sus respectivos esteros), Corrientes
que desagua los esteros y lagunas del Iberá, el Guay-
quiraró que forma el límite interprovincial entre Co-
rrientes y Entre Ríos, pasa por la ciudad de Esquina y
recorre un largo camino junto al Paraná para desem-
bocar cerca de la ciudad de La Paz.
El régimen del río Paraná adquiere características
definidas desde que penetra en territorio argentino. No
es modificado por ninguno de sus tributarios, salvo el
Paraguay que se hace presente con sus crecidas anuales
demoradas y suavizadas por el embalse natural en la

Planicie de El Pantanal. No hay coincidencia de las
crecidas de ambos ríos, felizmente, pues cuando son
simultáneas ocasionan grandes desbordamientos. Las al-
ternativas de su caudal registradas en Apipé se refle-
jan en toda la onda y son semejantes en Rosario. El
año hidrológico comienza para esta amplia red fluvial
al terminar el mes de setiembre, a partir del cual el
caudal va en paulatino ascenso hasta alcanzar su má-
ximo en febrero. Las bajantes más pronunciadas se
registran en el mes de agosto. En resumen, el Paraná
tiene régimen tropical, porque crece con las lluvias
estacionales que caen durante el verano en la región
de sus afluentes.
Los puertos más importantes por orden de actividad
son: Rosario, Santa Fe, San Lorenzo, Campana, Ba-
rranqueras, Corrientes, Posadas.
El río Uruguay forma con el Paraná el Río de la
Plata. Tiene una cuenca imbrífera de 440.000 km2
de
los cuales 65.000 corresponden a nuestro país. Su lon-
gitud alcanza los 1.800 km aproximadamente, de los
cuales 1.170 corresponden al tramo argentino.
Es un río compartido internacionalmente por Argen-
tina, Brasil y Uruguay. Las nacientes se encuentran a
menos de 100 km de la costa atlántica en las sierras
do Mar y Geral (Brasil) y se origina en las confluencias
de los ríos Canoas y Pelotas a los 21 de latitud sur y
48 longitud oeste de Greenwich. En sus nacientes se
registran precipitaciones que alcanzan los 2.000 mili
metros. Las precipitaciones a lo largo de su curso son
irregulares y oscilan entre 1.000 y 2.000 mm. En con-
secuencia, el régimen del río presenta su máximo cau-
dal entre junio y octubre con un marcado estiaje en
verano, entre enero y marzo. Ya al sur de Concordia
estas condiciones se modifican por las mareas del Río
de la Plata.
El Río de la Plata es para algunos expertos una
escotadura del océano o sea un golfo o bahía. Otros
lo consideran un estuario y otros sostienen que se
trata de. . . un río.
Es un río corto cuya longitud llega a 290 km pero
es el río más ancho del planeta: 220 km. Antigua-
mente, según cita Marciano Balay en su libro "El Río
de la Plata entre la atmósfera y el mar", este río debió
extenderse unos 360 km más arriba hasta el lugar
llamado Diamante, desde el cual ha comenzado el Pa-
raná a formar su delta. En un futuro muy lejano todo
el estuario será probablemente invadido por el delta
y el Paraná desembocará en el mar en forma similar
a la actual boca del Mississippi.
Su límite se encuentra a la altura de la línea imagi-
naria que une la Punta Norte del Cabo San Antonio en
la Argentina, con Punta del Este en Uruguay. Su su-
perficie es de 35.000 kilómetros cuadrados. <5
es profesora de geografía, autora
de trabajos de geografía argentina
y latinoamericana, ha participado
como asesora en distintos equipos
de consultores y, en particular,
en el del Estudio en Modelo
Matemático de la Cuenca del Plata.
¿Por qué un modelo matemático
para la Cuenca del Plata?
Ludovico Ivanissevich Machado
La Cuenca del Plata es una de las más importantes
del mundo; comprende diferentes ríos cuyo régimen
natural ha sido alterado o se prevé modificar por obras
humanas, en especial presas de embalses, y otras pre-
sas que no retienen enormes cantidades de agua pero
que de alguna manera alteran también su curso. En-
tonces se trata de conocer el efecto combinado de la
explotación de las presas existentes y de las que se pro-
grama en el futuro y en qué medida alteran el régimen
del río. Es decir, si eso trae un beneficio o un perjui-
cio, o cómo habría que hacer para que a los países
situados agua abajo —y que no participan en el control
directo o en el manejo de los ríos y de sus cuencas su-
periores— no les produzca peruicio. El primer obje-
tivo es pues estudiar cómo hubiera sido el régimen na-
tural de los ríos que forman la Cuenca. Para ello se
parte del dato básico lluvia, la lluvia caída se trans-
forma en caudal y ese caudal se mide en estaciones de
control estratégicamente ubicadas.
Los datos que conocemos de lluvias y de caudales,
tratamos de reproducirlos mediante un modelo, gene-
rando lluvias similares, e intentando conseguir, median-
te la combinación de parámetros adecuados, que se ob-
tengan caudales en las secciones de control que nos
interesa que sean coincidentes, o lo más próximos po-
sible, a los caudales realmente medidos. Cuando hemos
conseguido eso, para períodos históricos determinados
y conocidos, para años en que los regímenes de los
ríos no estaban alterados, podemos decir que hemos lo-
grado el ajuste general del modelo. Luego colocamos
las presas, las construidas y las proyectadas, genera-
mos un régimen de llenado y de explotación determi-
nados, y ya podemos concluir en qué medida se modi-
fica ese régimen natural.
Hay quienes creen que este modelo podría haber-
se encarado en principio, desde un punto de vista
puramente teórico, como modelo físico o como mo-
delo matemático. ¿Por qué no se puede ir al río
directamente y estudiarlo? Evidentemente, porque ya
pasó el período en que el régimen no estaba alterado;
de modo que hay una imposibilidad evidente de re-
currir hoy a la naturaleza, y además necesitamos un

El tramo del Paraná estudiado en modelo
matemático se extiende de Iguazú a Posadas.
plazo breve para reproducir los fenómenos y sacar con-
clusiones; y yendo a los ríos directamente, se nece-
sitaría una generación entera para poder obtener nue-
vos registros y hacer nuevos estudios. Entonces hay
que recurrir a una analogía con la realidad, a una cierta
similitud que nos permita en un plazo breve y sin
ocupar un gran espacio, encarar el problema.
¿Por qué un modelo matemático?
Qué desventajas presenta el modelo físico y qué ven-
tajas existen en favor del modelo matemático, es decir,
por qué se hizo esta elección? Por lo pronto, un modelo
físico, para generar lluvias y convertirlas en caudales,
en cuencas importantes, no se ha realizado todavía en
ninguna parte del mundo; es decir, hay una imposibili-
dad material de poder construir de alguna manera una
realidad física que represente toda la inmensa y com-
pleja combinación, de fenómenos que intervienen en el
ciclo hidrológico. Se han hecho pequeñas experiencias
en cuencas de, para dar una cifra aproximada, 1.000
hectáreas más o menos, para tratar de representar en
campos experimentales, algunos fenómenos hidrológi-
cos característicos. Pero querer representar una cuenca
de aproximadamente un millón de kilómetros cuadra-
dos para que de alguna manera una lluvia en el modelo
físico genere caudales reales es, a esta altura de los
acontecimientos, imposible. Lo que sí se ha estudiado
con modelos físicos son algunos escurrimientos fluvia-
les; es decir, ya generado un caudal, cómo se propaga
ese caudal, cómo se va deformando una^onda de creci-
da, a medida que avanza a lo largo del río. Eso sí se ha
podido estudiar a través de modelos físicos, pero esc
estudio se ha hecho, en general, para tramos cortos de
ríos, para estudiar fenómenos localizados cuando se
trata de ríos de lecho móvil, para estudiar los efectos
de la erosión en las márgenes, o si se construye un
puente o una presa, para observar los efectos que sobre
ese lecho y sobre el escurrimiento en general del río ese
puente o esa presa producen. Es decir que se estudian
fenómenos netamente locales, fenómenos que son difí-
ciles de reproducir, pero que por lo menos desde el
punto de vista cualitativo sirven para orientar un di-
seño de una obra concreta de ingeniería,
Salgo al paso de los que dirán que se ha construido
un modelo físico del río Mississipi, que es un río muy
largo e importante; eso es cierto, fue una oportunidad
histórica que tuvieron los Estados Unidos, y efectiva-
mente hicieron un modelo físico de un río de gran lon-
gitud para estudiar obras de corrección, aprovecha-
miento y manejo del río. Creo que es uno de los casos
más simgulares en la historia de los modelos fluviales,
que un río como el Mississipi se haya podido estudiar
en un modelo físico. Su construcción costó un millón
de dólares (del año 1940) y sólo tomó en cuenta fe-
nómenos globales. Cuando se realiza, entonces, un estu-
dio así, para estudiar los fenómenos globales y no loca-
les, ¿qué inconvenientes tiene el modelo físico? ¿Cuán-
to cuesta y cuánto tiempo demanda? Bueno, la repro-
ducción de un tramo de solamente 300 km, como po-
dría ser el del Río Paraná comprendido entre Iguazá y
Posadas que es de lecho basáltico, es decir, que no cam-
bia con el tiempo, hubiera obligado a efectuar muchas
mediciones costosas y, para llegar a lo que hemos deno-
minado ajuste y explotación, a una demanda de tiempo
que no se puede contar sino en la unidad año, y no
en la unidad mes. ¿Por qué? Porque la representación
de la rugosidad natural por una rugosidad artificial es
un problema delicado incluso en ríos de lecho fijo; por
supuesto que es mucho más delicado en ríos de lecho
móvil. Obliga a una distorsión de escalas, y a recurrir
a' lo que se denominan similitudes parciales. Ahora
bien, esas semejanzas parciales permiten obtener im-
portantes conclusiones de tipo cualitativo; pero en el
estudio del Paraná se trata de conseguir una gran pre-
cisión cuantitativa, y para lograrla en un modelo físico
se necesita mucho tiempo y dinero. En cambio, un mo-
delo matemático, permite, mediante las facilidades que
ofrecen las computadoras modernas, cambiar paráme-
tros casi instantáneamente haciendo corridas sumamente
breves y económicas, y conseguir ese ajuste con una
reducción de tiempo con respecto a los cálculos ma-
nuales que puede ser de uno en veinte mil, es decir,
una reducción de tiempo extraordinaria. Por eso, pen-
sando sólo en el ajuste de un modelo, lo que significa
el ahorro de tiempo y de costos de un modelo mate-
mático con respecto a un modelo físico ha hecho que,
incluso en- aquellos problemas localizados para los que
8

todavía siguen utilizándose los modelos físicos por las
complejidades de los fenómenos y la dificultad de re-
presentarlos matemáticamente, se busque ahora alguna
representación global y de alguna manera "matema-
tizar" el problema, porque la simplificación que intro-
duce el cálculo numérico permite una rapidez de ma-
niobra, una rapidez de ajuste con la realidad, que el
modelo físico no puede dar, ni siquiera para esos fe-
nómenos locales. Es decir que la tendencia moderna
no solamente va relegando el modelo físico al campo
de los fenómenos locales sino que incluso se puede
decir que los está sustituyendo por completo; prácti-
camente, hoy en día los modelos físicos se convierten
en elementos de apoyo que sirven para una primera
verficación cualitativa en aquellos casos en que pueda
económicamente lograrse. Pero en la actualidad hay
una tendencia sustitutiva, incluso en aquellos campos
que hasta hoy se presentaban como un reducto invio-
lable de los modelos físicos.
Modelo hidrológico y modelo hidrodinámico
Habíamos distinguido una etapa de conversión de
lluvia en caudal y una etapa de propagación de creci-
das; a nuestro modelo matemático lo hemos dividido
en estos dos grandes capítulos que no sólo tienen dos
temáticas sino dos metodologías diferentes: uno que llá-
manos modelo hidrológico y otro que llamamos mo-
delo hidrodnámico. El modelo hidrológico estudia en
la cuenca superior del Paraná -—-en las Fases 2 y 3 la
cuenca superior del Uruguay— la reproducción de las
lluvias y su generación de caudales; primero, los cau-
dales que se producirían con el régimen natural, y se-
gundo, con la interposición de presas, qué caudales lle-
garían a la Argentina. En cambio, el modelo hidro-
dinámico estudia, en la Fase 1, la propagación de una
onda de crecida o de un régimen permanente en el
estiaje, o el hístograma de caudales que provenga de
la explotación dada en embalses agua arriba, en el
tramo de la fase Iguazú-Posadas. En este tramo, en el
que se contaba con datos topográficos e hidrométricos
suficientes, se empleó entonces un modelo hidrodiná-
mico en lugar de un modelo hidrológico de propagación
fluvial, simplemente proque con la cantidad y calidad
de los datos con que se contaba se podía conseguir una
mejor precisión. Fundamentalmente el modelo hidro-
dinámico se diferencia del modelo hidrológico, en que
es en realidad un modelo hidrológico de preparación
fluvial más fino; es decir, además del principio de la
conservación de la masa, hace intervenir el principio de
la conservación de la energía. En las Fases 2 y 3, lo
que se tratará de lograr es estudiar el Paraná desde Po-
sadas hasta Rosario y el Uruguay hasta Concordia, y
estudiar la posible interposición de la presa de Apipé,
la derivación o no de aguas a Iberá, ya que en la gran
laguna de Ibera se supone que se construirá un enorme
embalse, y desde ese embalse estudiar las alternativas
de enviar agua hacia el río Uruguay o hacia el Paraná,
o hacia el Paraná y hacia el Uruguay. Naturalmente,
esto influirá en la presa de Salto Grande que estaría
sobre el río Uruguay, porque le beneficiaría enorme-
mente poder contar con una potencia garantida mayor.
Entonces, los efectos ya combinados de las obras de
la cuenca superior con las obras propias de la Argen-
tina, permitirán en una etapa futura, pasar de esta
etapa que es de diagnóstico a una etapa que será de
verdadera optimización. Es decir, que podrán corre-
girse y mejorarse los diseños en lo que se refiere a
producción de energía hidroeléctrica. Hay otra uti-
lidad complementaria, que es la llamada defensa con-
tra inundación: al hacer un estudio aguas abajo de
Posadas, donde se producen —con una períocidad de
unos 5 años— inundaciones que a veces llegan a oca-
sionar enormes perjuicios, el modelo puede permitir
perfectamente acotar las características de los diques
laterales, qué altura tienen que tener, en fin, dar los
grandes marcos dentro de los que tendrían que es-
tudiarse las obras de defensa de las inundaciones. Me
parece importante señalar que el modelo se convierte
de esta manera en un instrumento exclusivo de nego-
ciación internacional, un instrumento técnico que hasta
ahora no existía, y sin el cual resultaba muy difícil
hacer afirmaciones, ya sea sobre los beneficios o los
perjuicios que las obras traían. Y no sólo para califi-
carlas, decir que son ventajosas o nocivas, sino para
poder negociar cómo deben operarse las presas de la
cuenca superior en distintos casos: con el río en ba-
jante, o en épocas de grandes lluvias, incluso llevadas al
límite, es decir, sabiendo que se va a producir una cre-
cida milenaria, teniendo ya la referencia de que se han
producido lluvias excepcionalísimas en la cuenca supe-
rior; las presas se pueden maniobrar entonces de tal
manera que atenúen la crecida y traigan un beneficio
muy grande a la Argentina con respecto al régimen
natural del río si no hubieran existido embalses. Como
también, por el contrario, pueden manejarse de tal ma-
nera que la perjudiquen seriamente. Entonces, incluso
el estudio de cuál es la mejor política de explotación
para una circunstancia física determinada, sólo se puede
lograr con este modelo matemático. Es importante se-
ñalarlo porque además de ser un arma exclusiva es un
arma sumamente útil y económica.
El modelo es, de alguna manera, un organismo vivo,
es decir que lo que se entrega cuando se termina el es-
tudio no es una serie de fórmulas y conclusiones sino
que se entrega un intrumento dinámico que puede pre-
decir lo hipotético y lo real. Predecir lo hipotético quie-
re decir señalar mes a mes qué cantidad de agua tendría
que llegar a la Argentina y compararla con la que real-
mente llega; es una predicción de tipo teórico, una pre-
dición no sobre lo que va a ocurrir sino de tipo nor-
mativo. Y esto no se podría lograr con ningún otro
tipo de trabajo intelectual; sólo es posible con este
modelo. Además, la explotación continuada de nuevas
obras que se incorporen y el intercambio de informa-
ción va a permitir una predicción real. Es decir que si
se llega a un acuerdo sobre el manejo de las obras ar-
tificiales, podremos conocer con anticipación los estu-
dios futuros inmediatos de nuestros ríos. O
Ludovico Ivanissevich Machado es Ingeniero Civil
de la Universidad de Buenos Aires,
Profesor Titular de Hidráulica General en la Universidad
Católica Argentina y ex-Profesor de las Universidades
del Litoral y Buenos Aires y ex-Secretario
General de la U.B.A. Autor de numerosas publicaciones
sobre temas hidráulicos, es consultor
especializado en proyectos hidrológicos y de riego.
Dirige el proyecto del Modelo Matemático
de la Cuenca del Plata.
9

Los modelos hidrológicos del Paraná
Ricardo Albizuri
Ciencia Nueva: ¿Qué es un modelo hidrológico?
Ricardo Albizuri: Un modelo matemático hidrológico
es un sistema de instrucciones dadas a una computa-
dora que interpretan el comportamiento de una cuenca
hídrica. Tiene en general dos objetivos principales:
ya sea el de simular la transformación de la lluvia caída
en una cuenca en caudal en un río o calcular el traslado
de esos caudales entre distintos puntos de un sistema
de afluentes.
En principio, de una función de entrada (input) se
logra una función de salida (output); en el primer
caso seuna transformación lluvia/caudal, en el segundo,
caudal en el punto 1/caudal en el punto 2.
En nuestro modelo hemos utilizado ambas transfor-
maciones. Hemos dividido la Cuenca en subcuencas
(Fig. 1), que hemos esquematizado, dando un nombre
a cada punto importante del sistema del Paraná y sus
afluentes (Fig. 2). El punto H representa la sec-
ción de control ubicada en Libertad (provincia de Mi-
siones) en el que se inicia el tramo del Paraná (Li-
bertad-Posadas) en estudio en modelo hidrodinámico.
En la Figura 2 cada círculo representa una de las sub-
cuencas en las que se dividió la gran Cuenca. Cuando
llueve, suponemos que el agua de cada subcuenca se
vuelca en un punto del esquema. En cada una de estas
subcuencas hemos aplicado, por lo tanto, el modelo hi-
drológico de transformación lluvia/caudal y luego el de
transformación de caudales entre sucesivos puntos. To-
memos un ejemplo: llueve al este de la cuenca, en la
zona simbolizada con el círculo C1 cae una cierta can-
tidad de agua que el primer modelo transforma en un
caudal que se vierte al río Grande en el punto RG1,
corre hasta el punto RG2 en donde recibe el aporte de
la cuenca C2 en la que a su vez se ha calculado una
transformación de lluvia en caudal, juntos corren hasta
la población de José Américo (RG3), reciben el cau-
dal de la cuenca C3 y llegan hasta PA4.
C. N.: ¿En qué se basa la transformación lluvia/caudal?
R. A. Los modelos pueden ser determinísticos, de si-
mulación o estocásticos. Estos últimos no tienen en
cuenta el fenómeno que ocurre sino que analizan series
de tiempos, estudian las tendencias y las periodicida-
des de esa serie de tiempos. Son modelos puramente
matemáticos (en inglés se los denomina Black-box, son
verdaderas cajas negras en las que no tiene importancia
Figura 1. Subcuencas en las que se ha dividido
la zona estudiada de la Cuenca del Plata,
Sobre los afluentes más importantes
se han indicado los puntos de control.
lo que sucede en el interior, se conoce sólo lo q u e
entra y lo que sale).
El segundo tipo, los de simulación, imagina que las
cosas pasaron de alguna forma: hay una función de en-
trada, otra función que transforma a ésta y una tercera
función de salida. El modelo Muskingum, de traslado
de caudales, es un clásico modelo de simulación, mien-
tras que el BILIC, de transformación lluvia/caudal, es
de tipo determinístico, es decir, que trata de estudiar
a fondo qué pasa, cómo se produce el fenómeno y se-
guirlo lo más aproximadamente posible.
En realidad podríamos decir que difícilmente hay
modelos puramente estocásticos, determinísticos o de
simulación; en general son híbridos. El modelo mate-
mático hidrológico del Paraná Superior podría ser u n
buen ejemplo.
Veamos en mayor detalle el modelo BILIC:
En el esquema de la figura 3 tenemos como datos
de entrada la lluvia en el paso de tiempo que estamos
considerando y la evapotranspiración potencial. La pri-
mera operación que realiza el modelo consiste en sepa-
10

s las
¡en-
tesa
Jado
aien-
il, es
jlai
y se-
: hay
o de
mate-
3 un
tamos
apri-
rar de la lluvia caída — P — el escurrimiento directo
—EDIR— mediante el operador |-t. La fracción restante
—EDIF— es comparda con la evapotranspiración
—ETP— produciendo por diferencia el valor D E F .
Si este valor es menor que cero, es decir la evapo-
transpiración potencial es menor que el agua disponible,
el programa reduce eí contenido de la reserva según un
operador generado por la relación entre su estado en el
paso de tiempo que estamos analizando y su máximo
RESM.
Si fuera mayor que cero, ésta se descompone en una
fracción que pasa a dar directamente escurrimiento di-
ferido — Q B D I — y otra que se ocupará de recargar la
reserva RECA.
A esta altura el programa controla el nivel de la re-
serva. Si ésta está llena RECA se suma directamente a
QBDI formando el término llamado EBASE. En caso
contrario recarga la reserva y sólo la diferencia —si
la hubiera— entre el déficit de reserva y su valor sigue
el camino indicado.
El valor EBASE se descompone con una función ex-
ponencial decreciente de dos parámetros dando final-
mente el escurrimiento diferido o escurrimiento básico.
En resumen, el hidrograma de la lluvia en un paso
de tiempo se compone del escurrimiento inmediato
— R I — y del escurrimiento diferido.
El hidrograma total será la suma de las ordenadas de
los sucesivos hidrogramas de las lluvias de cada paso
de tiempo.
El Muskingum de transformación de caudales, toma
los caudales en un punto y los traslada con una ecuación
que supone que el almacenamiento en el tramo (S)
es una función lineal del caudal entrante ( I ) y del cau-
dal saliente ( Q )
S = K (X I + (1 — X ) Q )
La segunda ecuación necesaria es la de continuidad:
S = I — Q. El desarrollo de estas dos ecuaciones en
sucesivos intervalos de tiempo t nos da un caudal en
función del tiempo. Nuestro programa hace las sumas y
traslaciones en los tramos según corresponda.
C. N.: En el equipo intervienen empresas argentinas y
francesas. ¿Qué origen tienen estos programas?
R. A. Los modelos principales fueron escritos en su ma-
yoría por una de las empresas francesas, en Grenoble;
aquí se adaptaron y mejoraron con la colaboración de
expertos franceses y actualmente el equipo argentino
continúa esa tarea.
C. N.: ¿Se había utilizado antes en Argentina este tipo
de modelos?
R. A. Si bien estos modelos se conocen, con diferencias
de enfoque, en el mundo desde hace varios años, que
yo sepa, nunca se habían usado antes en nuestro país,
por lo menos en una cuenca de las dimensiones de la
nuestra. Hay un detalle sobre el que quiero llamar la
atención. En este momento el modelo está ajustado,
"funciona", es decir que reproduce un río (que es la
definición de modelo hidrológico); ahora comienza la
explotación del modelo. Ya disponemos de una serie
P A 4
J " , _
R G 4 R G 3 R G 2 '" R G 1 R
' °
P A 5 Í ( D 2 )
( d V f a 6 Q * - ' O "«O RIO TIETE
R T 1
( r a ) ( f Í ) ( f ?
.JO " O O RIO PARANAPANEMA
R P 4 R P 3 R P 2 RP1
Sí
—O RIO IVAI
RIV1
(m)
P A 1 3
| R I G 2
PA14 0
—O Rl
° IGUAZU
R I G 1
'Figura 2. Esquema de afluentes y secciones de control.
Cada círculo representa una sub-cuenca.
Figura 3. Esquema del análisis que efectúa
el programa con cada precipitación pluvial.
11

^mm
EDIF<
EDIR
EBAS
R E S - R E S M
ETP
t
Figura 4. La precipitación caída en un intervalo
de tiempo A' se divide (de acuerdo al esquema
visto en la figura anterior) en cuatro destinos diferentes.
DEBIDO A EBAS
TOTAL (EBAS'ETOT)
. t
Figura 5. Curvas de caudal en función del tiempo.
VOLUMEN (Hm3
)
AREA (Km2
)
Figura 6. Curvas características de un dique.
Estas curvas relacionan el área del embalse,
la altura del agua y el volumen contenido.
de hipótesis y fórmulas matemáticas en forma de tar-
jetas perforadas que funcionan como un río, ahora em-
pezamos a jugar con el río, a colocar represas y ver qué
p a s a . . . que es lo más interesante.
C. N.: ¿Qué quiere decir colocar represas? ¿Cómo se
coloca un dique en un modelo matemático?
R. A. Hasta ahora hemos visto sólo los dos programas
esenciales del modelo, pero hay toda una serie de pro-
gramas auxiliares y subrutinas. El programa de opera-
ción de presas es una subrutina del Muskingum: toma
en cuenta el caudal entrante y plantea tres o cuatro
hipótesis sucesivas.
Esta subrutina toma un caudal entrante y da un cau-
dal saliente; como datos necesita una altura mínima de
embalses en función del tiempo, un caudal turbinable
máximo, la evaporación del agua libre, la lluvia en el
embalse y, por supuesto, las curvas que corresponden
al embalse: altura, área y volumen con sus valores má-
ximos y mínimos (Fig. 6).
La primera suposición que hace el programa es que
se turbina hasta llegar a la altura mínima correspon-
diente a ese paso de tiempo, luego verifica cuál es el
caudal que debe turbinarse para llegar a esa altura, si
ese caudal es menor que el turbinable se acepta la hi-
pótesis y se pasa a la etapa siguiente, si es mayor se
verifica que el exceso no turbinado no haga que la
altura supere a la altura máxima, en este caso se acepta
la segunda hipótesis; en caso contrario recurrimos a la
tercera posibilidad: se turbina el caudal máximo, se
lleva el embalse hasta su altura máxima y el resto se
deriva por vertedero.
Pero el programa tiene todavía otra posibilidad: la
política de llenado. El programa tiene una subrutina
de llenado de embalses en la que se da como dato el
caudal mínimo que debe pasar (en realidad es este cam
dal mínimo el que Argentina debe pedir a Brasil que
respete y garantice para que sus obras agua arriba no
perjudique nuestro uso del río agua abajo. . . ) y se
calcula el tiempo de llenado del embalse.
C. N.: Este enfoque parece original.. .
R. A. Efectivamente, el tratamiento del problema y el
juego de las hipótesis sucesivas es realmente original.
C. N.: ¿Qué dimensiones tiene el programa y cuánto tiem-
po de computadora exige?
R. A. El 'programa tiene algo más de mil tarjetas, está
escrito en Fortran IV. En cuanto a su utilización, una
corrida completa con tres años (ya que el modelo ne-
cesita los datos de lluvias de tres años para estabilizarse
y alcanzar las condiciones iniciales), con un paso de
tiempo de seis días y un Muskingum de dos años con
un paso de tiempo de un día, exige alrededor de veinte
minutos de una computadora de 64 k de memoria con
dos discos y cintas. "O
Ricardo Albizuri es Ingeniero Civil de la Universidad
de Buenos Aires e Ingeniero Hidrólogo de la Universidad de
Delft (Holanda). Ha colaborado en el proyecto de centrales
hidroeléctricas y en Obras Sanitarias de la Nación;
ha proyectado y calculado importantes obras. A partir de su
estadía en Delft se ha especializado
en el estudio hidrológico de cuencas.
12
k

El modelo hidrodinámico
Entrevista a Mario Gradowczyk
del Alto P3.r3.n3.
Ciencia Nueva; ¿Qué es un modelo hidrodinámico?
M. Gradowczyk; La hidrodinámica es una ciencia que
estudia el comportamiento general de líquidos en con-
diciones muy diversas; desde el escurrimiento de un
río hasta la hidrodinámica de galaxias que están a un
número muy grande de años luz de la Tierra. Por ser
la hidrodinámica una ciencia mecánica con una funda-
mentación eminentemente matemática, de por sí re-
presenta un modelo de una realidad física que es más
compleja pero que, evidentemente, la representa bas-
tante bien. lín el caso que nos ocupa, realizar un mo-
delo hidrodinámico de un río, se desea para cada punto
de ese río y en un instante dado, conocer cómo varían
dos parámetros fundamentales: la altura de la superfi-
cie del agua en ese punto, y el caudal que pasa en ese
instante por ese punto (el caudal es el volumen de
agua que atraviesa la sección que contiene a ese pun-
to, por unidad de tiempo). En resumen, el modelo
hidrodinámico de un río con fondo fijo —fondo fijo
indica que no se tendrá en cuenta variaciones en el
lecho y el transporte de sedimentos— trata de estable-
cer una serie de relaciones, y ecuaciones que permitan
(no ya en cada punto, porque sería muy ambicioso,
en un río de 300 km. efectuar determinaciones en
cada punto, ya que estos serían infinitos) establecer
las alturas y caudales en algunas localidades, lugares,
puntos ficticios, que se consideran de interés. Para
efectuar ese cálculo se cuenta con un sistema de dos
ecuaciones, llamadas "de Saint Venant", que son las
leyes que rigen el fenómeno físico del escurrimiento
de un río. Por ser estas ecuaciones complicadas, no se
pueden resolver por métodos tradicionales y se debe
recurrir a algoritmos de cálculo, basados en métodos
de la matemática aplicada (cálculo numérico). Una vez
que se ha elegido ese esquema nupiérico que se va a
utilizar, es_ necesario hacer hipótesis significativas sobre
el río —es decir, el río puede tener una serie de curvas
y meandros, si estos no son muchos se lo considera
como un río rectificado, o sea como si fuera un canal
de eje recto—. Esto permite considerar a un tramo de
300 km. de río como dividido en 20 tramos, que tienen
una longitud del orden de 15 km, más o menos el caso
que se tiene en el Paraná superior. Una vez efectuada
la selección de puntos, por ese método numérico se
plantean las ecuaciones de manera que puedan ser trata-
das por una computadora, y teóricamente se está en
condiciones de operar el modelo en la computadora y
empezar a sacar alguna información. Pero lo que es
esencial en este tipo de modelos es la obtención de
datos previos, datos físicos, que permitirán, por un
lado, conocer la topografía del río, como su cauce, por
ejemplo, o cómo son sus superficies transversales, y
por otro lado conocer la hsitoria del río, tener algunos
elementos históricos que permitan el ajuste del mo-
delo, que es un aspecto primordial. O sea, se tiene una
metodología basada en la hidrodinámica, que es una
ciencia exacta, se tiene una diferenciación física porque
el río está en condiciones de ser atacado (porque no es
un río que tenga meandros sumamente complicados o
que tenga resaltos) y además, una serie de condiciones
físicas que se deben cumplir, y esto hace a la elección
del modelo, porque si el río tuviera muchas curvas o
condiciones geográficas muy particulares se podría es-
tudiar un río bidimensional u o t r o s . . .
Refiriéndonos a nuestro caso, que es un escurrimento
evidentemente unidimensional, esa hipótesis se cumple y
luego, hecha esa diferenciación de tipo matemático y re-
cogidos los datos, se forma ese modelo con estaciones
cada 15 km, donde en cada una se calculan las alturas
y caudales, y entonces se puede ajustar el modelo, que
consiste primordialmente en probar que se está en con-
diciones de repetir con ese modelo situaciones que
hubieran acaecido con anterioridad, o sea lo que se
llama la calibración. Si no se puede calibrar un mo-
delo, menos se podrá predecir con él acontecimientos
posteriores. Ahora bien, en el supuesto de que se pueda
calibrar —y efectivamente en nuestro caso hemos po-
dido calibrar con errores medios de alturas del orden
de los 20 cm, lo que indica, teniendo en cuenta que
por ejemplo las oscilaciones de altura son del orden
de 40 m o más, el grado de veracidad que puede
tener esta diferenciación de este modelo— y una vea
que el modelo está ajustado, o sea que cumple un ca-
rácter reproductor de hechos históricos acontecidos,
puede entonces dedicarse a una tarea específica, que es
predecir nuevos hechos, porque el objetivo del modela
es precisamente utilitario, y en este caso el fin utilitario
es saber nuevas cosas, ya que los hechos históricos va
se conocen y no se recaba ninguna enseñanza nueva,
sólo poder entenderlos un poco mejor a la luz de la
física más avanzada de hoy, de una hidrodinámica me-
jor estudiada. Pero queremos saber qué pasará mañana
si hay una catástrofe aguas arriba, si se rompe u n a
presad o si se construye un embalse en qué medida
medida cambiaría el régimen hidráulico del río, es de-
13

cir, agua abajo de donde se construye la presa cómo
van a cambiar las alturas y los caudales en cada una de
las estaciones, en función de las maniobras de opera-
ción o de llenado de ese embalse. El modelo hidrodi-
námico permite reproducir esas dos cantidades en todo
tiempo y en todo instante, y permite también al con-
trario de los modelos hidrológicos, predecir cambios
bruscos, como por ejemplo roturas de presas, o qué
pasa si se cierra la compuerta de un dique en forma
instantánea, es decir, situaciones de carácter no esta-
cionario, fenómenos transitorios, que los modelos hi-
drológicos no están en condicones de estudiar justa-
mente por su distinta concepción.
C. 3V.J ¿Este modelo es tradicional, o aporta alguna no-
vedad?
M. G.: En los últimos veinte años se han hecho mode-
los de este tipo; este es uno de los más perfeccionados
y pienso que presenta un adelanto importante en com-
paración con los primeros modelos. Algo que puede
resultar curioso es que los primeros modelos hidrodi-
námicos hechos con computadoras, fueron para estudiar
los posibles efectos de rotura en diques existentes en
el norte de Italia; ese fue el origen de estas técnicas
C. N.: ¿Qué antecedentes hay en Argentina en estos mo-
delos?
M. G.: En el Instituto del Cálculo habíamos hecho al-
gunas cosas, especialmente modelos hidrodinámicos con
fondo móvil, que son los primeros modelos de ese tipo
que se conocen, y algunos modelos hidrodinámicos con
fondo fijo. En este último caso fueron tentativas para
probar los sistemas de cálculo numérico que se podrían
usar eventualmente, ya que para ese momento no ha-
bía surgido ningún problema que requiriera el uso de
este modelo. El problema no es sólo el poder hacer la
matemática —que es complicada pero se sabe bastan-
te bien cómo hacerlo, en aquel momento tuvimos opor-
tunidad de probarlo— pero lo importante en estos
proyectos es la complejidad del manejo de la informa-
ción, de los datos, de toda la operación topográfica en
sí, de la calibración, porque cuando se hace un cálculo
de crecidas desde el punto de vista del cálculo numéri-
co, se toman datos físicos muy simplificados. La com-
plejidad del problema aparece cuando se desea realizar
un modelo como el del Paraná. Realizar un modelo
matemático de un río es hoy un caso típico de aplica-
ción de una tecnología de desarrollo avanzado, que se
nutre de investigación básica de matemática aplicada
e hidrodinámica desarrollada primordialmente en los
últimos 20 años. Este modelo en su concepción es per-
fectamente moderno porque se nutre de esa investiga-
ción básica y aplicada desarrollada en los últimos diez
años.
C. N.: ¿El modelo es independiente del tipo de río al que
se aplica?
M. G.: Es una pregunta acertada. En general, hay que
definirlo según el río que se va a estudiar; para la
primera fase del Paraná, por ejemplo, el modelo hi-
drológico termina en Libertad, o sea toda la cuenca su-
perior, y luego sigue el modelo hidrodinámico hasta
Rosario, por el momento. Ahora bien, evidentemente
el río Paraná sufre inundaciones, por ejemplo en el nor-
te de Santa Fe, donde el escurrimento llega a inundar
en el orden de 30 ó 40 km hacia el oeste, lo que hace
que el movimiento ya no sea estrictamente unidimen-
sional. Es decir que si esos hechos físicos se tienen en
cuenta en el modelo, se tendría en cuenta en Santa Fe el
efecto bidimensional. Ahora bien, este modelo es capaz
de crear otros modelos porque en un modelo madre, po-
dríamos decir, y permitirá crear después otro modelo
más de detalle, en una zona más chica con mayor infor-
mación. También es un problema de número de datos;
si quisiéramos hacer un modelo con 300 estaciones en
lugar de 20, sería posible sin ninguna duda, pero el
costo de la campaña de datos sería muy alto y no sería
lógico trabajar todo el modelo con esta precisión para
una información que no va a ser elaborada posterior-
mente. En cambio, con este modelo se puede estudiar,
por ejemplo, en una etapa posterior, la zona de inunda-
ción de Santa Fe, ampliarla, hacer una campaña de
medidas importantes pero en esa sola zona y no en
todo el resto, y así rehacer un modelo hidrodinámico
con ese propósito.
Mario H. Gradowczyk, es Ingeniero Civil de la
Universidad de Buenos Aires y Doctor en Ciencias
Técnicas de la Technische Hochscbule Graz (Austria).
Ha sido investigador del Instituto Tecnológico
de Massachussets, de la Comisión Nacional
de Energía Atómica y Profesor de la T. H. de Graz,
la Universidad de la República (Montevideo)
y de las Universidades de Buenos Aires y Litoral.
Especialista en mecánica del sálica y del fluido,
dirigió el equipo encargado del modelo
hidrodinámico del Paraná.
14

Noviembre de 1970.
FATE presenta
la primera
calculadora electrónica
creada en el país-.
CIFRA 311.
Fate-División Electrónica
presenta al pais CIFRA 311, la
solución con que ingenieros y
técnicos argentinos respondieron
a las exigencias de precisión y
caudal de cálculo de las
empresas modernas.
CIFRA 311:
Mayor potencialidad operativa.
Manejo expeditivo, inspirado
en el orden lógico de
pensamiento del operador.
Lógica de circuitos integrados
de 3a
generación.
Memorias con circuitos integrados
de 4a
generación.
Total prevención electrónica
de errores. cifra 311

FUNDACION ENRIQUE ROCCA
Promovida por la
ORGANIZACION TECHINT
Sostenida por
Dalmine Siderca S.A.
Propulsora Siderúrgica S.A.
Cometarsa S.A.
Losa S.A.
Techint S.A.
Techint Engineering Co.
Santa Marta S.A.
Córdoba 320 - Buenos Aires

Un diálogo con Sócrates
Alfréd Rényi
Alfréd Rényi (matemático
que se ha especializado
en teoría de las probabilidades
y sus aplicaciones a varías ciencias,
incluyendo la física) es profesor
de matemática en la Universidad
de Budapest y director del
Instituto de Investigación Matemática
de la Acadetnia de
Ciencias de Hungría.
Este diálogo fue publicado
en francés en Les Cahiers
Rationalistes y en inglés en las
revistas Canadian Mathematical
Bulletin y Physics Today.
(Traducción: Leticia Halperín Donghi)
Sócrates: Mi querido Hipócrates1
,
¿buscas a alguien?
Hipócrates: No, Sócrates. Ya lo he
encontrado, pues eras tú. Te busque
en muchos sitios. En el agora se me
dijo que te habían visto paseando
junto al río Iliso. Por eso vine aquí
en tu busca,
S.: Bien, dime entonces para qué vi-
niste. Y ya que estás, quisiera pre-
guntarte a mi vez: ¿Recuerdas toda-
vía nuestra discusión con Protágoras?
H.: ¿Cómo puedes dudarlo? Ni un
sólo día ha pasado desde entonces
sin que pensara en ella. En realidad,
vine hoy a solicitar tu consejo pre-
cisamente porque recordaba esta
discusión.
S.: Me parece, mi querido Hipócra-
tes que ambos deseamos hablar de
la misma cuestión. De este modo
nuestros temas llegan a ser idénticos.
Al parecer, los matemáticos están
equivocados cuando afirman que dos
nunca es igual a uno.
H.: Debes ser brujo, Sócrates. El
hecho es que deseaba conversar con-
tigo precisamente acerca de la ma-
temática.
S.: Mi querido Hipócrates, sin duda
tú no ignoras que no soy matemático.
¿Por qué no le formulas tus pregun-
tas al célebre Teodoro?
H.: Me maravilla Sócrates, que seas
capaz de contestar mis preguntas
aún antes que las exprese. Venía
para pedirte opinión sobre si debo
convertirme en discípulo de Teodo-
ro. Cuando acudí a tí porque de-
seaba ser discípulo de Protágoras y
1
Se trata de uno de los personajes del
diálogo platónico Protágoras. (N del T.)
fuimos juntos a verlo, tú guiaste la
discusión y quedó completamente
claro que Protágoras no sabe ni si-
quiera lo que enseña, Por lo tanto,
cambié de idea' y no fui discípulo
suyo. Esta discusión me ayudó a
comprender lo que no debía hacer,
pero no me mostró qué es lo que
debía. Aún hoy desearía saberlo.
Asisto a banquetes y palestras con
los jóvenes de mi edad y debo decir
que lo paso muy agradablemente,
pero esto no me satisface. Me pre-
ocupa el sentirme ignorante, insegu-
ro en mis conocimientos. En el cur-
so de la discusión con Protágoras ad-
vertí que mi conocimiento acerca de
nociones familiares, tal como la vir-
tud, la justicia y el coraje dista mu-
cho de ser satisfactorio. De todos
modos, comprendo que el ver cla-
ramente mi ignorancia ya es un
progreso.
S: Me alegra, mi querido Hipócrates
que comprendas tan bien. Siempre
digo con entera franqueza que yo
mismo, nada sé. Lo que me diferen-
cia de muchas personas es que no
imagino saber lo que en realidad ig-
noro.
H.: Esto demuestra claramente tu
sabiduría. Pero, tal sabiduría no me
satisface. Tengo fuertes deseos de
alcanzar algún conocimiento seguro
y sólido y no estaré contento hasta
que no lo logre, pero no dejo de
preguntarme qué clase de conoci-
mientos he de, tratar • de adquirir.
Hace poco Teeteto me dijo que tal
clase de conocimientos sólo existe
en la matemática y me sugirió que
aprendiera matemática con su maes-
tro, Teodoro, quien en su opinión
es el que más sabe de números y
de geometría en Atenas. Ahora bien,
no deseo cometer un error seme-
jante al de cuando aspiraba a ser
17

discípulo de Protágoras. Por lo tan-
to, dime, Sócrates, si al estudiar
matemática con Teodoro, he de en-
contrar el conocimiento sólido que
busco.
S.í Si deseas estudiar matemática, olí,
hijo de Apolodoro, no puedes hacer
nada mejor que acudir a mi tan esti-
mado amigo Teodoro. Pero, antes tie-
nes que decidir tú mismo si deseas
o no estudiar matemática. Nadie pue-
de saber mejor que tú lo que necesi-
tas.
H.:<¡Por qué me niegas tu ayuda,
Sócrates? ¿Quizás te ofendí sin dar-
m e cuenta?
S.: Me interpretas mal, mi joven ami-
go. No estoy enojado. Sólo, que pi-
des de mí algo imposible. Cada uno
debe decidir por sí mismo lo que de-
sea. Lo único que puedo hacer es
ayudar como una partera para que tu
decisión vea la luz.
H.: *Por favor, mi querido Sócrates,
no me niegues esta ayuda y, si tienes
tiempo ahora, comencemos inmedia-
tamente.
S.: Bueno, si lo deseas. Recostémonos
a la sombra de este sicómoro y em-
pecemos. Pero, primero, díme si estás
dispuesto a que la discusión se reali-
ce a mi modo. Plantearé preguntas
y tú deberás contestarlas. Tú bien
sabes que de tal conversación no po-
drás sacar otro provecho que el de
ver con más claridad lo que ya sa-
bías y el de hacer florecer el cono-
en tu alma. Espero que no te com-
portes como el Rey Darío que mató
al director de sus minas porque de
una de ellas obtuvo solamente co-
bre y el rey suponía que contenía
oro. Confío en que no olvides que
ningún minero puede encontrar na-
da más de lo que la mina contiene.
H.: Juro que no haré reproches.
Pero, por Zeus, comencemos de in-
mediato a explorar nuestra mina.
S.: Muy bien. Díme entonces: ¿Sabes
qué es la matemática? Supongo que
conoces aquello que deseas estudiar.
H.: Pienso que hasta un niño lo
sabe. La matemática es una ciencia
y una de las más hermosas.
S,: No te pedí que hicieras el elogio
de la matemática, sino que me dije-
ras cuál es su naturaleza. Por ejem-
plo, si te hubiera preguntado acerca
del arte de los médicos, me habrías
respondido que este arte tiene que
ver con la salud y la enfermedad y
18
aspira a curar al enfermo y a pre-
servar la salud. ¿Estoy en lo cierto?
H.: Con toda seguridad.
S.: Contéstame: ¿el arte del médico
se ocupa de algo que existe o de al-
go que no existe? Si no hubiera mé-
dicos, ¿seguiría existiendo la enfer-
medad?
H.: Por cierto, y aún más que ahora.
S.: Examinemos otro arte, por ejem-
plo, el de los astrónomos. ¿Estás de
acuerdo conmigo en que los astróno-
mos estudian el movimiento de las
estrellas?
II,: Ciertamente.
S.: Y si te preguntara si la astrono-
mía trata de algo que existe, ¿cuál
sería tu respuesta?
H.: Mi respuesta es: sí.
S.: ¿Existirían las estrellas si no hu-
biera astrónimos en el mundo?
H.: Seguramente. Y si Zeus en su
ira extinguiese toda la humanidad,
las estrellas brillarán en el cielo de
la noche. Pero, por qué hablamos
de astronomía, en lugar de hacerlo
de matemática?
S.: No te impacientes, mi buen ami-
go. Consideremos unas pocas artes
más para compararlas con la mate-
mática. ¿Cómo llamas al hombre que
sabe acerca de todos los seres que
viven en los bosques o en las profun-
didades del mar?
H.: Diría de él que es un científico
que estudia la naturaleza viviente.
S.: ¿Y estarías de acuerdo en que
ese hombre estudia cosas que exis-
ten?
H.: Estoy de acuerdo.
S.: Y si te dijera que todo arte trata
de cosas que existen, ¿estarías de
acuerdo?
H.: Por completo.
S.; Entonces, dime ahora, mi joven
amigo: ¿cuál es el objeto de la ma-
temática? y ¿qué cosas estudia un
matemático?
H.: Hice a Teeteto la misma pre-
gunta. Contestó que la matemática
estudia números y formas geomé-
tricas.
S.: Bueno, la respuesta es clara. Pe-
ro, ¿dirías tú que esas cosas existen?
H.: Por supuesto, ¿cómo podríamos
hablar de ellas si no existieran?
S.i Dime, entonces: Si no hubiera
matemáticos, ¿habría números pri-
mos? Y si así ocurriera, ¿dónde es-
tarían?
H.: Realmente, no sé qué respon-
derte. Por supuesto, si los matemá-
ticos piensan en los números primos,
éstos existen en sus conciencias. Pe-
ro, si no hubiera matemáticos, los
números primos no estarían en nin-
guna parte.
S.: ¿Quieres decir que debemos con-
cluir que los matemáticos están es-
tudiando cosas que no existen?
H.: Sí, pienso que tenemos que ad-
mitirlo.
S.; Examinemos la cuestión desde
otro punto de vista. Mira, he escrito
en esta tablilla de cera el número
treintinueve. ¿Lo ves?
H.: Sí. > x
S.: ¿Y lo puedes tocar con la mano?
H.: Seguramente.
S.: Entonces, quizás, de todos modos
los números existen?
H.: Oh, Sócrates, quieres burlarte
de mí.. Mira, he dibujado en la mis-
ma tablilla un dragón de siete cabe-
zas. ¿Se debe concluir que tal dra-
gón existe? Jamás he encontrado a
nadie que hubiese visto un dragón
y estoy convencido que los drago-
nes no existen excepto en los cuen-
tos de niños. Pero, supon que esté

equivocado y que en algún lugar,
más allá de las Columnas de Hércu-
les, realmente hay dragones. Ni aún
este caso guarda relación alguna con
mi dibujo.
S.! Dices verdad, Hipócrates, y es-
toy de acuerdo contigo por comple-
to, Pero, esto significa que pese a
que podamos hablar sobre los núme-
ros y que los podamos escribir, de to-
dos modos, en la realidad ellos no
existen?
H.: Seguramente.
S.: No saquemos conclusiones apre-
suradas. Hagamos otro intento. ¿Ten-
go razón al decir que puedo contar
las ovejas, acá en la colina o las na-
ves en el puerto del Pireo?
H,: Sí, podemos.
S.: ¿Y las ovejas y los navios exis-
ten?
H.r Claro está.
S.¡ Pero, si las ovejas existen, su nú-
mero debe existir también, ¿verdad?
H.: Te estás burlando de mí, Sócra-
tes. Los matemáticos no cuentan
ovejas: ésa es tarea de los pastores.
S.; ¿Quieres decir que lo que los ma-
temáticos estudian no es el número
de ovejas o de barcos o de otras co-
sas que existen, sino que estudian los
números mismos y se ocupan enton-
ces, de algo que sólo existe en sus
mentes?
H.: Sí, eso es lo que quiero signi-
ficar.
S.: Me has dicho que según Teeteto,
los matemáticos estudian números y
formas geométricas. Si pasamos a
considerar las formas y te preguntara
si éstas existen, ¿cuál sería tu res-
puesta?
H.: Por cierto que existen. Podemos
ver, por ejemplo, la forma de una
hermosa vasija y percibirla también
con nuestras manos.
S.: Sin embargo, advierto una nue-
va dificultad. Cuando miras a una
vasija, ¿qué ves: la vasija misma o
su forma?
H.: Veo las dos.
S.: Guando miras a un cordero, ¿ocu-
rre lo mismo? Es decir, ¿ves el cor-
dero y también la lana?
H.: Encuentro el símil muy bien ele-
sido.
S.: Yo opino, en cambio que este sí-
mil es tan endeble como Hefesto. Si
a un cordero se le corta el pelo, se
verá entonces separadamente al cor-
dero sin su pelo y el pelo del cordero
sin el animal. ¿Podría separar de mo-
do semejante, la forma de la vasija
de la vasija misma?
H.: Por cierto que no, y me atrevo
a decir que nadie podría hacerlo.
S,: ¿Y todavía crees, sin embargo,
que puedes ver una forma geométri-
ca?
H.: Estoy comenzando a dudarlo.
S.: Además, si los matemáticos estu-
diaran la forma de las vasijas, ¿no
deberíamos llamarlos, alfareros?
H.: Sí, seguramente.
S.: Si los matemáticos debieran estu-
diar la forma de las vasijas, ¿no se-
ría Teodoro el mejor alfarero? He
oído a mucha gente elogiarle, pero
nadie nunca me dijo que entendiera
de alfarería. Me pregunto si Teodoro
podría fabricar una vasija, aún la
más sencilla. O ¿podría ser, quizás,
que los matemáticos se ocupasen de
las formas de las estatuas y de los
edificios?
H.: Si eso hicieran, serían escultores
y arquitectos.
S.: Bien, mi amigo. Hemos llegado
a la conclusión que los matemáticos
cuando estudian geometría, no se
ocupan de las formas de los objetos
que existen, tal como las vasijas, si-
no de formas que sólo existen en
nuestros pensamientos. ¿Estás de
acuerdo?
H.: Necesariamente.
S.; Después de haber establecido que
los matemáticos se ocupan de cosas
que no existen en la realidad, sino
únicamente en nuestros pensamien-
tos, 'examinemos la afirmación de
Teeteto que tú mencionaste: que la
matemática nos da un conocimiento
más seguro y confiable que el que
se obtiene en cualquier otra rama de
la ciencia. Dime, ¿te dio Teeteto al-
gún ejemplo?
H.; Sí, él por ejemplo dijo que no
se puede saber exactamente la dis-
tancia entre Atenas y Esparta. Por
supuesto, quienes han recorrido ese
I NQ&E CURNTQ FALTO PHRn HTENR5,
EN COMBO POR MEDID DEL TEOREMB
P l i E Q Q
DCCÍRLE
WRNTQ MlDE.EXRtTHMENTE,
LO DIRGQNRL DEL
JflRFlLELDBRHMDj
camino están de acuerdo en el nú-
mero de días que les ha llevado
hacerlo. Pero, es imposible saber a
cuántos pies es igual esta distancia.
En cambio, por medio del teorema
de Pitágoras, puede decirse cuál es
la longitud de la diagonal del parale-
logramo. Dijo también que es impo-
sible decir el número exacto de per-
sonas que viven en la Hélade. Si
alguien intentara contarlas, nunca
podría obtener el número exacto,
porque durante el recuento morirán
algunos ancianos y nacerán niños y,
de este modo, el número total sólo
podrá ser correcto aproximadamen-
19

te. Pero, si le preguntas a un mate-
mático, ¿cuántas aristas tiene un
dodecaedro regular, te dirá que el
dodecaedro está limitado por doce
caras, cada una de las cuales tiene
cinco aristas, lo que hace sesenta,
pero como cada arista pertenece a
dos caras, y por lo tanto, ha sido
contada dos veces, el número de
aristas del dodecaedro resulta igual
a treinta y esta cifra está más allá
de toda duda.
S.: ¿Mencionó otros ejemplos?
H.: Muchos, pero no los recuerdo to-
dos. Dijo que nunca encuentras dos
cosas que sean exactamente iguales
en la realidad. No hay dos huevos
exactamente iguales y aun las colum-
nas del Templo de Poseidón difieren
levemente una de la otra, pero, pue-
des estar seguro que las dos diago-
nales de un rectángulo son exacta-
mente iguales. Citó a Heráclíto,
quien dijo que todo lo que existe
está cambiando continuamente y
que sólo es posible obtener cono-
cimiento seguro acerca de cosas que
no cambian nunca, por ejemplo, el
impar y el par, la línea recta y el
círculo.
S.: Esto nos bastará. Estos ejemplos
me convencen de que en matemática
podemos obtener conocimientos que
estén más allá de toda duda, mien-
tras que eso es imposible en las otras
ciencias o en la vida diaria. Inten-
temos resumir los resultados de nues-
tra indagación acerca de la naturale-
za de la matemática. ¿Tengo razón
si afirmo que hemos llegado a la
conclusión que la matemática estudia
cosas que no existen y que es capaz
de encontrar toda la verdad acerca
de ellas?
H.: Sí, es lo que hemos establecido.
S.: Pero, por amor a Zeus, díme, mi
querido Hipócrates, ¿no te resulta
misterioso que se pueda saber más
acerca de cosas que no existen, que
acerca de las existentes?
H.: SÍ lo presentas de ese modo,
ciertamente es un misterio. Estoy se-
guro que en nuestros argumentos
hay algún error.
S.; No. Hemos procedido con el ma-
yor cuidado y controlado cada paso
del argumento. En nuestro razona-
miento no puede haber ningún error.
Pero, presta atención, pues he recor-
dado algo que puede ayudarnos a
resolver este enigma.
H.: Dímelo pronto porque e s t o y to-
talmente perplejo.
S.: Esta mañana estuve en la sala del
segundo arconte y allí se acusaba a la
esposa de un carpintero de la aldea
de Pitos de haber sido infiel a su
marido y de haberle dado muerte c o n
ayuda de su amante. La mujer pro-
testaba y juraba por Artemisa y Afro-
dita que era inocente, que siempre
había amado sólo a su marido y que
éste había sido muerto por los pira-
tas. Se llamó a muchas personas co-
mo testigos: algunos dijeron q u e la
mujer era culpable y otros, q u e era
inocente. Fue imposible determinar
qué había sucedido realmente.
H.: ¿De nuevo te mofas de m í ? P r i -
mero me sumiste en la mayor c o n -
fusión y ahora, en lugar de a y u d a r -
me a encontrar la verdad, m e c u e n -
tas esas historias.
S.; No te enojes, amigo mío. R a z o n e s
tengo de peso para hablar de esa
mujer de la cual fue imposible de-
terminar si era o no culpable. Pero,
hay una cosa segura: esta mujer exis-
te. La vi con mis propios ojos y pue-
des preguntárselo a cualquiera que
haya estado allí y entre los asisten-
tes se encuentran muchos hombres
dignos de fe que nunca han m e n t i d o
en su vida. Puedes preguntarle a
cualquiera de ellos,
H.: Tu testimonio me basta, m i q u e -
rido Sócrates. Aceptamos q u e la
mujer existe. Pero, ¿qué tiene q u e
ver eso con la matemática?
S.: Más de lo que te imaginas. Pero,
antes dime: ¿conoces la historia d e
Agamenón y Clitemnestra?
H.: Todos la conocen. El a ñ o p a s a -
do vi la trilogía de Esquilo e n el
teatro.
S.; Relátame entonces la historia en
pocas palabras.
H.: Cuando Agamenón, Rey d e A r -
gos, luchó en Troya, su esposa Cli-
temnestra cometió adulterio c o n
Egisto el primo de su m a r i d o .
Cuando, después de la caída d e T r o -
ya, Agamenón volvió a su h o g a r f u e
muerto por su mujer y el a m a n t e .
S.: Dime, Hipócrates, ¿es absoluta-
mente seguro que Clitemnestra f u e s e
culpable?
H.: No comprendo por qué m e ha-
ces tales preguntas. No puede h a b e r
dudas acerca del relato. H o m e r o tíos
dice que cuando Odiseo visitó los
infiernos, encontró allí a Agamenón,
quien le relató en persona su triste
destino.
S,: Pero, ¿estás seguro de que Cli-
temnestra y Agamenón, y todos los
otros personajes del relato, existieron
realmente?
H.; Quizás, se me condenara al os-
tracismo si lo afirmara en público,
pero mi opinión es que hoy, después
de tantos siglos, es imposible, sea
probar, sea negar si las historias que
Homero nos cuenta son verdaderas
o no. Pero, esto no tiene casi im-
portancia: cuando te dije que Cli-
temnestra era culpable no me refería
a la Clitemnestra real (sea que tal
persona haya vivido o 110), sino a
la Clitemnestra de nuestra tradición
homérica, a la Clitemnestra de la
trilogía de Esquilo.
S.: ¿Puedo afirmar entonces que na-
na sabemos acerca de la Clitemnestra
real, y que aun su existencia es
insegura, pero, que en lo que respec-
ta a Clitemnestra personaje de la tri-
logía de Esquilo, estamos seguros de
que ella era culpable y de que mató
a Agamenón pues es ío que Esquilo
nos dice?
H.: Sí, por supuesto. Pero, ¿por qué
insistes en todo esto?
S.; Lo verás dentro de poco. Permí-
teme resumir lo que hemos encontra-
do: acerca de la mujer de carne y
hueso juzgada hoy en Atenas es casi
imposible descubrir si fue o no cul-
pable, mientras que en lo que respec-
ta a Clitemnestra —personaje que fi-
gura en una obra de teatro y que
probablemente no existió nunca— no
puede haber duda de que era culpa-
ble. ¿Estás de acuerdo?
H.: Ahora comienzo a vislumbrar
lo que intentas decir. Pero, sería
mejor que sacaras tu mismo las con-
clusiones.
S.: La conclusión es esta: tenemos
conocimientos mucho más seguros
acerca de personas que sólo existen
en nuestra imaginación, por ejemplo,
los personajes de una obra de teatro,
que acerca de personas vivientes. El
decir que Clitemnestra era culpable
significa sólo afirmar que así la ima-
ginó Esquilo y así la presenta en su
obra. La situación es exactamente
igual en lo que respecta a la matemá-
tica: podemos estar seguros que las
diagonales de un rectángulo son igua-
les, porque esto se deduce de la de-
finición que los matemátioos dan del
rectángulo.
20

H.: ¿Quieres decir, Sócrates, que
nuestro paradójico resultado es real-
mente verdadero y que se puede al-
canzar un conocimiento más seguro
acerca de cosas que no existen
—corno, por ejemplo, las cosas que
son los objetos de la matemática—•
que acerca de los objetos reales de
la naturaleza? Pienso que ahora
puedo incluso comprender la ra-
zón de esto. Las nociones que noso-
tros mismos hemos creado, por su
misma naturaleza, son completamen-
MHTEMflTltu y 5U CONCEPCION
JQE UN CFÜfiN
S.: Es verdad, mí joven amigo, y lo
has expresado mejor de lo que yo hu-
biera podido hacerlo.
H.: Este es mérito tuyo, Sócrates,
porque me condujiste a comprender
tales cosas. Ahora advierto no sólo
que Teeteto tenía toda la razón del
mundo al decirme que para obtener
conocimientos seguros debo estudiar
matemática; incluso, comprendo la
causa de su afirmación. Pero si con
paciencia me guiaste hasta acá, no
me abandones todavía porque una
de mis preguntas, en realidad, la más
importante, aún está sin responder.
$.; ¿Cuál es esta pregunta?
H.: Recuerda por favor, oh, Sócra-
tes, que yo vine a pedir tu consejo
sobre si debía o no estudiar matemá-
tica. Tu me ayudaste a comprender
que la matemática y sólo ella puede
darme esa clase de conocimiento se-
guro que deseo alcanzar. Pero, ¿cuál
es la utilidad de este conocimiento?
Resulta claro que si se adquieren co-
nocimientos acerca del mundo exis-
tente, aún si este conocimiento es
incompleto y no es totalmente se-
guro, tiene valor tanto para el indi-
viduo como para el estado. Aún si
este conocimiento versa sobre cosas
tan lejanas como las estrellas puede
ser útil, por ejemplo, para navegar
de noche. Pero, ¿cuál es la utilidad
de un conocimiento que, como el
que ofrece la matemática, se refiere
a cosas que no existen? ¿Para qué
sirve el conocimiento relativo a co-
sas que no existen en la realidad,
aún si este conocimiento es comple-
to y está allá de toda duda?
S.¡ Mi querido amigo, estoy seguro
que conoces la respuesta y que deseas
ponerme a prueba.
QHRNTR V £ Ü CONCEPCION
H E UN CUBO
H.: Por
contestar
ayúdame.
Hércules que n o puedo
tal pregunta. Por favor,
te conocidas por nosotros y pode-
mos descubrir toda la verdad acerca
de ellas porque son exactamente tal
como las imaginamos, pues carecen
de toda realidad fuera de nuestra
imaginación. Sin embargo, los obje-
tos que existen en el mundo real no
son idénticos a la imagen que de
ellos tenemos, siempre incompleta y
aproximada, y por lo tanto, nuestro
conocimiento acerca de tales cosas
nunca puede ser completo y total-
mente seguro.
S.: Bueno, ensayemos. Hemos estable-
cido que el matemático mismo crea
las nociones de la matemática. Dime,
¿significa esto que el matemático eli-
ge estas nociones en forma totalmente
arbitraria, según su deseo?
H.: Como ya te dije, sé muy poco
de matemática todavía. Pero, me
parece que el matemático está tan
libre para elegir los objetos menta-
les de su estudio cómo lo está para
elegir los personajes de su obra. Y
del mismo modo que el poeta atribu-
ye a sus personajes los rasgos q u e
le placen, el matemático puede do-
tar a sus nociones con las propieda-
des que desea.
S.: Si esto fuera verdad, habría tan-
tas matemáticas como matemáticos.
¿Cómo explicas entonces que todos
los matemáticos que viven lejos unos
de los otros y que no tienen contacto
entre sí, descubran las mismas verda-
des independientemente? Nunca supe
de dos poetas que hayan escrito el
mismo poema.
H.: Ni yo tampoco. Pero, recuerdo
que Teeteto me habló de cierto in-
teresante teorema que él descubrió
acerca de las distancias inconmen-
surables. Al comunicárselo a su
maestro Teodoro, éste le mostró u n a
carta de Arquitas que contenía casi
textualmente el mismo teorema,
S.: En poesía esto sería imposible.
Ves ahora que se presenta aquí u n
problema. Pero, continuemos. ¿Cómo
explicas que los matemáticos de di-
ferentes países, generalmente pueden
estar de acuerdo acerca de la ver-
dad, mientras que acerca de cuestio-
nes que conciernen al estado, por
ejemplo, no sólo los persas y los es-
partanos tienen puntos de vista casi
opuestos a los nuestros en Atenas, si-
no que los atenienses mismos no con-
cordamos a menudo entre nosotros?
H.: Puedo contestar esta pregunta.
Todos están interesados personal-
mente en las cuestiones de estado y
estos intereses personales están a
menudo en contradicción. Por e s o
es difícil llegar a un acuerdo. E n
cambio, al matemático lo guía sola-
mente el deseo de encontrar la ver-
dad.
S.: Quieres decir que los matemáticos
tratan de encontrar una verdad que
es por 'completo independiente de
ellos mismos.
H.: Efectivamente.
S.: Bien. Pero, entonces estábamos
equivocados cuando pensábamos que
los matemáticos escogen a su antojo
los objetos de su estudio. AI parecer,
el objeto de sus estudios tiene alguna
suerte de existencia que es indepen-
diente de sus propias personas. Tene-
mos que resolver este nuevo enigma.
H.: No veo por donde empezar.
S.; Si todavía tienes paciencia, in-
tentémoslo juntos. Dime, ¿cuál es la
diferencia entre el navegante que en-
2 1

Antes de que
surjan
LOS
INGENIEROS
DE VARIAS
PIERNAS.
Antes de que surjan los
mulantes que anuncien
cambios genéticos im-
previsibles, conviene
planificar la marcha de
toda obra; simplificar
sus caminos; impedir,
en suma, que haya que
dirigirse hacia varios
objetivos al mismo
t i e m p o . Afortunada-
mente, los especialistas
en organización indus-
trial del país y del ex-
terior han perfecciona-
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Diagonal Norte 846, piso 3?,
Oficina 302 - Buenos Aire»
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cuentra una tierra deshabitada y el
pintor que encuentra un nuevo co-
lor, no usado por ningún otro pintor
anteriormente?
H.: Creo que puede llamarse des-
cubridor al navegante e inventor al
pintor. El navegante descubre una
isla que existía anteriormente, pero
que no era conocida, mientras que
el pintor inventa un nuevo color que
anteriormente no existía.
S.: Nadie hubiera podido responder
mejor. Pero, dime, el matemático
que encuentra una nueva verdad, ¿la
inventa o la descubre? ¿Es un des-
cubridor como el navegante o un in-
ventor como el pintor?
H.: Creo que el matemático se pare-
ce más a un descubridor. Es un au-
daz marino que navega en el des-
conocido mar del pensamiento y
explora sus costas, islas y remolinos.
S.: Bien dicho, estoy en un todo de
acuerdo contigo. Sólo agregaría que
en menor medida, el matemático es
también un inventor, especialmente
cuando inventa nuevos conceptos.
Pero, todo descubridor tiene también
algo de inventor. Por ejemplo, si un
navegante desea alcanzar lugares a
los que otros marinos no lograron
llegar antes que él, tiene que cons-
truir un barco que sea mejor que los
usados por los otros navegantes. Los
nuevos conceptos inventados por los
matemáticos son semejantes a nue-
vos barcos que conducen al descu-
bridor más lejos en el gran mar del
pensamiento.
H.: Mi querido Sócrates, me has
ayudado a encontrar la respuesta a
la pregunta que me parecía difícil.
La tarea principal del matemático es
explorar los secretos y enigmas del
mar del pensamiento humano: éstos
existen independientemente de la
persona del matemático, pero no de
la humanidad en su conjunto. El
matemático tiene una cierta inde-
pendencia para inventar nuevos con-
ceptos que ha de usar como herra-
mientas y al parecer puede hacerlo
a discreción. Pero, al hacer esto no
es totalmente libre, porque los nue-
vos conceptos deben ser útiles para
su trabajo. El navegante también
puede construir a discreción cual-
quier tipo de barco, pero natural-
mente no cometerá la locura de cons-
truir un navio al que destroce la
primer tormenta. Pienso que ahora
todo resulta claro.
S.? Ya que todo lo ves claro, intenta
contestar nuevamente la pregunta:
¿cuál es el objeto de la matemática?
H.: Hemos llegado a la conclusión
que, además del mundo donde esta-
mos viviendo, existe otro mundo
—el del pensamiento humano— y
que el matemático es el valiente ma-
rino que explora este mundo sin
arredrarse ante los problemas, peli-
gros y aventuras que le esperan.
S.; Mi amigo, tu vigor juvenil casi
me convence. Pero, temo que en el
ardor de tu entusiasmo pases por
alto ciertas cuestiones.
H.: ¿Cuáles son?
S.: No quiero desilusionarte, pero
opino que la pregunta principal no
ha sido contestada: ¿Cuál es la uti-
lidad de explorar el maravilloso mar
del pensamiento humano?
H.: Como siempre, tienes razón, Só-
crates. Pero, ¿no podrías esta vez
dejar tu método de lado y adelan-
tarme inmediatamente la respuesta?
S.: No, amigo mío. No lo haría aun
si pudiera hacerlo y cree que es por
tu bien. El conocimiento que se ob-
tiene sin esfuerzo, no tiene casi va-
lor: comprendemos sólo lo que en-
contramos por nosotros mismos, qui-
zás con alguna ayuda externa, de
modo semejante a una planta que
sólo puede usar el agua que chupa
del suelo a través de sus propias
raíces.
H.: Perfectamente. Continuemos
nuestra búsqueda con el mismo mé-
todo, pero, por lo menos ayúdame
con tus preguntas.
S.; Retrocedamos hasta donde había-
mos dejado establecido que el mate-
mático no se ocupa de los números
de las ovejas, de los navios o de otras
cosas existentes, sino de los núme-
ros mismos. ¿No piensas, sin embar-
go, que si los matemáticos descu-
bren que algo es cierto para los nú-
meros puros, es válido también para
el número de los objetos que exis-
ten? Por ejemplo, el matemático en-
cuentra que el diecisiete es un nú-
mero primo. ¿No se concluye de esto
que es imposible distribuir diecisiete
ovejas vivientes entre algunas perso-
nas de modo que cada una obtenga
el mismo número de ovejas si no se
les da a diecisiete personas una ove-
ja cada una?
H.: Por supuesto que es cierto.
22

S.: Bien. ¿Y qué sucede con la geo-
metría? ¿No puede aplicarse a cons-
truir edificios, a hacer ollas o a
computar la cantidad de grano que
un barco puede transportar?
H..*, No sólo puede hacerse, sino que
se hace, , aunque me parece que para
los propósitos prácticos del alfarero
no se necesita mucha matemática:
las simples reglas que ya conocían
los escribas de los faraones de Egip-
to son suficientes para muchos de
estos propósitos y en la práctica no
se usan ni se necesitan los nuevos
descubrimientos a los que se refirió
Teeteto con un entusiasmo tan des-
bordante.
S.: Quizás por el momento no, pero
es posible que se los use en el
futuro.
H.: A mí me interesa el presente.
S.i Si quieres ser matemático tienes
que comprender que trabajarás sobre
todo para el futuro. Pero, volvamos
a nuestra pregunta principal. Vimos
que en la vida diaria, para contestar
preguntas del mundo real, puede
usarse el conocimiento que versa so-
bre otro mundo, el mundo del pen-
samiento, es decir sobre cosas que
no existen en el sentido usual del
término. ¿No es eso sorprendente?
H.: Mucho más. Es incomprensible,
es realmente un milagro.
S.; Quizás no encierre ningún miste-
rio y si abrimos la concha de esta
cuestión encontraremos en ella algu-
na perla verdadera.
H.: Por favor, Sócrates, no hables
con adivinanzas como la pitonisa.
S.i Dime, entonces; si alguien viaja-
se a países lejanos y viera allí mu-
cho y tuviera muchas experiencias y
luego volviera a su ciudad y usara
su experiencia para dar sabios conse-
jos a sus conciudadanos, ¿encontra-
rías eso sorprendente?
fí.: De ninguna manera.
S.: ¿Aún si los países que el viajero
ha visitado estuvieran muy alejados
y los habitara un pueblo muy dife-
rente que habla otro idioma y adora
a otros dioses?
H A ú n en este caso, porque entre
los diferentes pueblos hay mucho de
común.
S.: Ahora, dime: si resultara que,
pese a sus peculiaridades, el mundo
de la matemática fuese semejante en
algún sentido a nuestro mundo real,
¿encontrarías todavía milagroso que
la matemática pudiera aplicarse al
estudio del mundo real?
H.: En ese caso, no. Pero no veo
ninguna semejanza entre el mundo
real y el mundo imaginario de la
matemática.
S.; ¿Ves aquella roca al otro lado
del río donde éste se ensancha y for-
ma un lago?
H.: Sí, la veo.
S.: ¿Y ves la imagen de la roca re-
flejada en el agua?
H.: Por cierto que sí.
S.; Dime, entonces: ¿cuál es la dife-
rencia entre la roca y su imagen?
H.: La roca es un trozo sólido de
materia dura. El sol la calienta. Si
la tocas, sientes su aspereza. La ima-
gen reflejada no puede tocarse y si
pusiera mi mano sobre ella, sólo
tocaría el agua fría. En rigor de ver-
dad, la imagen reflejada no existe
realmente, es sólo ilusión.
S.i ¿No hay nada común entre la
roca y su imagen reflejada?
H.: Bueno, en cierto sentido, la
imagen reflejada es una estampa fiel
de la roca. El contomo de la roca,
aún sus límites más mínimos, se ve
S.: Tú lo has dicho y lo has expre-
sado muy bien.
H.: Pero, ¿cómo es posible esto?
S.: Recordemos cómo se desarrolla-
ron los conceptos abstractos de la
matemática. Hemos dicho que ésta
se ocupa de los números puros y no
de los números de los objetos reales.
Pero, ¿piensas tú que alguien, sin
haber contado nunca números rea-
les, puede comprender la noción abs-
tracta de número? Cuando un niño
aprende a contar, primero cuenta
guijarros y pequeñas varillas; sólo
cuando sabe que dos guijarros y tres
guijarros suman cinco guijarros y que
lo mismo es válido para varillas o
monedas, pues entender que dos más
tres son cinco. Con la geometría, la
situación es exactamente igual. El
niño llega a la noción de esfera me-
diante experiencias con objetos re-
dondos tal como bolas. De modo se-
mejante, la humanidad desarrolló to-
dos los conceptos fundamentales de
la matemática. Estas nociones cris-
talizaron partiendo del conocimien-
to del mundo real y no es sorpren-
dente, por eso, sino muy natural que
lleven el sello de su origen, del mis-
mo modo que los niños se parecen a
sus padres. Y al igual que los niños
se transforman al crecer en el apo-
yo de sus padres, cualquier rama de
la matemática si está lo suficiente-
mente desarrollada, se transforma en
una herramienta útil en la explora-
ción del mundo real.
H.: Ahora me resulta claro que él
conocimiento de las cosas que no
existen del mundo de la matemática
puede usarse en la vida diaria. Me
has hecho un gran servicio al ayu-
darme a comprender esto.
S.: Te envidio, mi querido Hipócra-
tes, porque todavía me preocupa algo
acerca de lo cual quisiera tener mi
espíritu en paz, pero quizás tú pue-
das ayudarme.
H.: Lo haría con mucho gusto, pe-
ro, temo que nuevamente te estés
burlando de mí. No me avergüences
pidiéndome ayuda. Dime en cambio,
francamente cuál es la cuestión que
no consideré.
S.; Ya la verás tú mismo si tratas
de resumir los resultados de nuestra
discusión.
claramente en la imagen reflejada.
Pero, ¿a qué viene todo esto?
¿Quieres decir que el mundo de la
matemática es la imagen reflejada
del mundo real en el espejo de nues-
tro pensar?
H.: Bien. Cuando resultó claro por
qué la matemática puede proporcio-
nar conocimientos seguro acerca de
otro mundo diferente a aquel en el
que estamos viviendo, acerca del
mundo del pensamiento humano,
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