Este documento define estructuras algebraicas como grupos, subgrupos, anillos y cuerpos. Un grupo es un conjunto con una operación binaria que cumple cuatro axiomas: clausuratividad, asociatividad, existencia de elemento neutro y existencia de elemento inverso. Un subgrupo es una parte de un grupo que también forma un grupo. Un anillo es un grupo abeliano aditivo con una operación multiplicativa que cumple nueve axiomas. Un cuerpo es un anillo donde los elementos no nulos forman un grupo multiplicativo, que puede ser conmutativo o no.

1. ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

2. Definición. Un grupo es un conjunto en el que se ha definido una operación binaria interna , que satisface los
siguientes Axiomas:
Axioma 1. ("x)( "y)(x*y) Є G. Clausurativa.
Axioma 2. ("x)( "y)( "z): (x*y)*z =x*(y*z). Asociativa.
Axioma 3. ($e)(e Є G)("x):e*x = x*e = x. Existencia del elemento neutro.
Axioma 4. ( "x) ($e!):x*x’ = x’x=e. Existencia del elemento simétrico.
GRUPO

4. SUBGRUPO
Sucede a veces que una parte H de un grupo G forma ella misma un grupo; se dice entonces que H es un subgrupo de
G.
Ejemplos de grupos y subgrupos
Grupo Subgrupo
(Z,+) Grupo aditivo de los enteros pares.
(CQ{0}, · ) (Q+, · )
(CQ{0}, · ) ({-1,1}, · )
Grupo del trianguló equilátero Grupo de las rotaciones del triangulo
equilátero{e,d,f}, Subgrupos{e,a},{e,b}y{e,c}.

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7. Decimos que A es un anillo si se verifican los siguientes axiomas:
Grupo abeliano aditivo Sean x, y, z Є A.
Axioma 1, "x, "y: x + y Є A Clausurativa.
Axioma 2, "x, "y, "z: ( x+y)+z =x+(y+z) Asociativa.
Axioma 3. $ O Є A, "x: 0 + x=x+0=x Existencia del elemento neutro.
Axioma 4. "x, $ (-x) (-x)+x = x+(-x)=0 Existencia del elemento inverso aditivo
Axioma 5. "x, "y: x + y = y + x Conmutativa.
Axioma 6. "x, "y: x y Є A Clausurativa.
Axioma 7, "x, "y, "z: : x(yz) = (xy)z Asociativa.
Axioma 8, "x, "y, "z: : (y+z)z = yx + zx Distributiva a izquierda.
Axioma 9. "x, "y, "z: : (y+z)x = yx +zx Distributiva a derecha.

10. Se llama cuerpo todo anillo en el cual los elementos no nulos forman un grupo respecto de la multiplicación. Si
el grupo es abeliano, el cuerpo se llama conmutativo. Es decir, se cumplen los siguientes axiomas:
I. Grupo abeliano aditivo.
1. Existe una ley representada por +,"x, "y: Є(x+y) c
2. "x, "y: x + y = y+x
3. "x, "y, "z: : (y+z)+z = y + (x+z)
4.$ O Є c, "x : 0 + x = x + 0 = x
5. "x, $ (-x) (-x)+x = x+(-x)=0