1. as
atic
atem
ECUACIONES
eM
DIFERENCIALES
o. d
con aplicaciones en Maple ,D
ept
uia
Jaime Escobar A.1
tioq
An
de
ad
rsid
ive
Un
1 ProfesorTitular de la Universidad de Antioquia, Magister en Matem´ticas de
a
la Universidad Nacional.

2. ii
Un
ive
rsid
ad
de
An
tioq
uia
,D
ept
o. d
eM
atem
atic
as

3. ´
INDICE GENERAL
as
atic
atem
eM
o. d
1. INTRODUCCION 1
´
ept
1.1. CAMPO DE DIRECCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2. ECUACION DE CONTINUIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . 6
,D
´
2. METODOS DE SOLUCION ´
uia
7
2.1. VARIABLES SEPARABLES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
tioq
´
2.2. ECUACIONES HOMOGENEAS . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.3. E.D. CON COEFICIENTES LINEALES . . . . . . . . . . . . 14
An
2.4. ECUACIONES EXACTAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
´
2.5. FACTORES DE INTEGRACION . . . . . . . . . . . . . . . . 20
de
2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN . . . . . . . . . . . . . . 26
ad
2.7. E.D. DE BERNOULLI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
rsid
2.8. E.D. NO LINEALES DE PRIMER ORDEN . . . . . . . . . . 34
2.9. OTRAS SUSTITUCIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
ive
2.10. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . . . . 46
Un
3. APLICACIONES DE LAS E.D. DE PRIMER ORDEN 49
´
3.1. APLICACIONES GEOMETRICAS . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.1.1. Trayectorias Isogonales y Ortogonales . . . . . . . . . . 49
3.1.2. Problemas de Persecuci´n: . . . . . . . . . . . . .
o . . 52
3.1.3. Aplicaciones a la geometr´ anal´
ıa ıtica . . . . . . . . . . 54
´
3.2. CRECIMIENTO Y DESCOMPOSICION . . . . . . . . . . . . 55
3.2.1. Desintegraci´n radioactiva . . . . . . . . . . . . . .
o . . 56
iii

4. ´
INDICE GENERAL
3.2.2.Ley de enfriamiento de Newton . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.3.Ley de absorci´n de Lambert . . . . . . . . . . . . .
o . 57
3.2.4.Crecimiento de Cultivos de Bacterias o Crecimientos
poblacionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
´
3.3. PROBLEMAS DE DILUCION . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4. VACIADO DE TANQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.5. APLICACIONES A LA FISICA . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
as
4. TEORIA DE LAS E.D.O. LINEALES 81
atic
4.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
´ ´
atem
4.2. METODO DE REDUCCION DE ORDEN . . . . . . . . . . . 96
4.3. E.D.O. LINEALES CON COEFICIENTES CONSTANTES . 100
4.4. E.D. LIN. DE ORDEN MAYOR QUE DOS CON COEF.
eM
CONST. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.5. OPERADOR ANULADOR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
o. d
´
4.6. METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS . 110
´ ´
´ ´
ept
4.7. VARIACION DE PARAMETROS . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.7.1. GENERALIZACION DEL METODO DE
,D
´ ´
VARIACION DE PARAMETROS . . . . . . . . . . . 122
uia
4.8. OPERADORES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
´
4.9. METODO DE LOS OPERADORES INVERSOS . . . . . . . 127
tioq
4.10. E.D.O. DE EULER - CAUCHY . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
4.11. APLIC. DE LA E.D. SEGUNDO ORDEN: OSCILADORES . 142
An
´
4.11.1. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE . . . . . . . . 142
4.11.2. MOVIMIENTO AMORTIGUADO . . . . . . . . . . . 145
de
4.11.3. MOVIMIENTO FORZADO. . . . . . . . . . . . . . . 147
ad
4.12. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . . . . 161
rsid
5. SOLUCIONES POR SERIES 169
ive
5.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.2. SOLUCION EN PUNTOS ORDINARIOS . . . . . . . . . . . 172
Un
5.3. SOL. EN TORNO A PUNTOS SING. REG. . . . . . . . . . . 182
5.3.1. CASO II: r1 − r2 = entero positivo . . . . . . . . . . . 188
´
5.3.2. FUNCION GAMMA: Γ(x) . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.3.3. CASO III: r1 = r2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
´
5.3.4. ECUACION DE BESSEL DE ORDEN p : . . . . . . . 199
5.3.5. PUNTO EN EL INFINITO . . . . . . . . . . . . . . . 206
5.4. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . . . . 213
iv

5. ´
INDICE GENERAL
6. TRANSFORMADA DE LAPLACE 215
6.1. INTRODUCCION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6.2. TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE . . . . . . . . . 219
6.3. TEOREMAS SOBRE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE 222
6.4. APLIC. A E.D. CON COEF. CONST. Y COND. INICIALES 238
6.5. IMPULSO UNITARIO O DELTA DE DIRAC . . . . . . . . . 243
6.6. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . . . . 246
as
7. SISTEMAS LINEALES DE E.D. DE PRIMER ORDEN 251
atic
7.1. CONJUNTOS FUNDAMENTALES Y SISTEMAS HOMO-
´
GENEOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
atem
´
7.2. METODO DE LOS VALORES Y VECTORES PROPIOS . . 255
´ ´
7.3. E.D. NO HOMOGENEA Y VARIACION DE PARAMETROS 274 ´
eM
7.4. TRANSFORMADA DE LAPLACE PARA SISTEMAS . . . . 278
7.5. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . . . . 280
o. d
8. INTRODUCCION A LA TEORIA DE ESTABILIDAD 281
ept
8.1. SIST. AUTON., PLANO DE FASE . . . . . . . . . . . . . . . 281
8.2. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS, ESTABILIDAD. . . . . . . 285
,D
8.2.1. TIPOS DE PUNTOS CRITICOS. . . . . . . . . . . . 286
uia
8.3. PUNTOS CRITICOS Y CRITERIOS DE ESTABILIDAD . . 295
8.4. CRITERIO DE ESTABILIDAD: METODO DE LIAPUNOV . 308
tioq
8.5. LINEALIZACION DE SISTEMAS NO LINEALES . . . . . . 315
8.6. CICLOS LIMITES: TEOREMA DE POINCARE-BENDIXSON334
An
8.7. ANEXO CON EL PAQUETE Maple . . . . . . . . . . . . . . 340
de
A. Existencia y Unicidad de soluciones 345
ad
A.1. PRELIMINARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
rsid
A.2. T. LOCAL DE EXISTENCIA UNICA, CASO UNIDIMEN-
SIONAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
ive
A.3. T. LOCAL Y GLOBAL PARA SIST. DE E.D.O. LINEALES 354
Un
B. EXPONENCIAL DE OPERADORES 359
C. FRACCIONES PARCIALES 363
C.1. Factores lineales no repetidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
C.2. Factores Lineales Repetidos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
C.3. Factores Cuadr´ticos. . . . . . .
a . . . . . . . . . . . . . . . . 366
C.4. Factores Cuadr´ticos Repetidos.
a . . . . . . . . . . . . . . . . 367
v

6. vi
´
Un
ive
rsid
ad
de
An
tioq
INDICE GENERAL
uia
,D
ept
o. d
eM
atem
atic
as

7. CAP´
ITULO 1
as
atic
INTRODUCCION
atem
eM
o. d
Definici´n 1.1 . Si una ecuaci´n contiene las derivadas o las diferenciales
o o
a ept
de una o m´s variables dependientes con respecto a una o m´s variables
a
independientes, se dice que es una ecuaci´n diferencial (E.D.).
o
,D
Si la ecuaci´n contiene derivadas ordinarias de una o m´s variables depen-
o a
uia
dientes con respecto a una sola variable independiente entonces la ecuaci´n
o
tioq
se dice que es una ecuaci´n diferencial ordinaria (E.D.O.).
o
An
dy
Ejemplo 1. 3 dx + 4y = 5
de
Ejemplo 2. (x2 − y)dx + 5 sen y dy = 0
ad
dv
Ejemplo 3. u du + v dx = x
rsid
dx
Si la ecuaci´n contiene derivadas parciales de una o m´s variables depen-
o a
ive
dientes con respecto a una o m´s variables independientes, se dice que es una
a
Un
ecuaci´n en derivadas parciales.
o
∂u ∂v
Ejemplo 4. ∂y
= − ∂x
∂2u
Ejemplo 5. ∂x∂y
=y−x
Definici´n 1.2 (Orden). La derivada o la diferencial de m´s alto orden
o a
1

8. CAP´
ITULO 1. INTRODUCCION
determina el orden de la E.D.
d3 y 2
Ejemplo 6. dx3
+ x2 dxy + x dx = ln x, es de orden 3.
d
2
dy
dy y
Ejemplo 7. xdy − ydx = 0 =⇒ dx
= x , la cual es de orden 1.
as
Definici´n 1.3 (E.D.O. lineal) Una E.D. es lineal si tiene la forma:
o
atic
n n−1
atem
d y d y dy
an (x) dxn + an−1 (x) dxn−1 + . . . + a1 (x) dx + a0 (x)y = g(x)
Es decir, la variable dependiente y y todas sus derivadas tienen exponente
eM
uno y cada coeficiente a0 (x), a1 (x), . . . , an (x), g(x), dependen solo de x. Si no
se cumple lo anterior se dice que la E.D. no es lineal.
o. d
3 2 ept
Ejemplo 8. x2 dxy + cos x dxy + sen x dx + x2 y = ex es lineal de orden 3.
d d dy
3 2
,D
3
Ejemplo 9. sen x dxy + xy 2 = 0 no es lineal.
d
uia
3
tioq
2
Ejemplo 10. y 2 dxy + y dx + xy = x no es lineal.
d
2
dy
An
Definici´n 1.4 . Se dice que una funci´n f con dominio en un intervalo I
o o
de
es soluci´n a una E.D. en el intervalo I, si la funci´n satisface la E.D. en el
o o
ad
intervalo I.
rsid
Ejemplo 11. x = y ln(cy) es soluci´n de y ′ (x + y) = y
ive
o
Un
dy 1 dy
En efecto, derivando impl´
ıcitamente: 1 = dx
ln(cy) + cy
cy dx
dy dy 1
1= dx
(ln(cy) + 1), luego dx
= ln(cy)+1
Sustituyendo en la ecuaci´n diferencial:
o
y ln(cy) + y y(ln (cy) + 1)
= = y,
ln (cy) + 1 ln (cy) + 1
2

9. luego y = y
por tanto x = y ln (cy) es soluci´n.
o
Una E.D. acompa˜ada de unas condiciones iniciales se le llama un pro-
n
blema de valor inicial (P.V.I.), con frecuencia es importante saber si un pro-
blema de valor inicial tiene soluci´n y tambi´n deseamos saber si esta soluci´n
o e o
es unica, aunque no podamos conseguir explicitamente la soluci´n, el si-
´ o
as
guiente teorema nos responde las inquietudes que acabamos de plantear.Este
teorema lo enuciamos y demostramos con m´s profundidad en el Ap´ndice
a e
atic
al final del texto.
atem
Teorema 1.1 (Picard)
Sea R una regi´n rectangular en el plano XY definida por
o
eM
a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d que contiene al punto (x0 , y0 ) en su interior.
Si f (x, y) y ∂f son continuas en R, entonces existe un intervalo I con cen-
o. d
∂y
tro en x0 y una unica funci´n y(x) definida en I que satisface el problema
´ o
de valor inicial y ′ = f (x, y), y(x0 ) = y0 .
ept
Ejemplo 12. Para la E.D. y ′ = x2 + y 2 , se tiene que f (x, y) = x2 + y 2 y
,D
∂f
= 2y son continuas en todo el plano XY , por lo tanto por cualquier punto
uia
∂y
(x0 , y0 ) del plano XY pasa una y solo una soluci´n de la E.D. anterior. Es
o
tioq
importante anotar que para esta E.D. es imposible hallar una soluci´n expli-
o
cita, solo con m´todos num´ricos se puede hallar la soluci´n.
e e o
An
Ejercicio 1. Demostrar que y = c1 cos 5x es soluci´n de y ′′ + 25y = 0.
o
de
2 x t2 2
Ejercicio 2. Demostrar que y = e−x e dt + c1 e−x es soluci´n de
o
ad
0
y ′ + 2xy = 1.
rsid
x sen t
Ejercicio 3. Demostrar que y = x dt es soluci´n de
o
ive
0 t
′
xy = y + x sen x.
Un
x
Ejercicio 4. Demostrar que y = e− 2 es soluci´n de 2y ′ + y = 0, tambi´n
o e
y = 0 es soluci´n.
o
Nota: si todas las soluciones de la E.D. F (x, y, y ′ , . . . , y (n) ) = 0 en un in-
tervalo I pueden obtenerse de G(x, y, C1 , . . . , Cn ) mediante valores apropia-
dos de Ci , entonces a G se le llama la soluci´n general; una soluci´n que no
o o
contenga los par´metros Ci se le llama la soluci´n particular; una soluci´n
a o o
3

10. CAP´
ITULO 1. INTRODUCCION
que no pueda obtenerse a partir de la soluci´n general se le llama soluci´n
o o
singular.
Veremos m´s adelante que la soluci´n general a una E.D. lineal de orden n
a o
tiene n par´metros. En las E.D. no lineales a veces no es posible obtener
a
explicitamente una soluci´n general.
o
Ejemplo 13. y = Cx4 es soluci´n general de xy ′ − 4y = 0.
o
Con C = 1 entonces la soluci´n particular es y = x4 .
as
o
atic
Tambi´n
e
x4 x≥0
atem
f (x) =
−x4 x<0
eM
es una soluci´n singular, porque no se puede obtener a partir de la soluci´n
o o
o. d
general.
1
Ejercicio 5. Si y ′ − xy 2 = 0, demostrar ept
2
,D
a). y = ( x + C)2 es soluci´n general.
4
o
uia
x4
b). Si C = 0 mostrar que y = 16
es soluci´n particular.
o
tioq
c). Explicar porque y = 0 es soluci´n singular.
o
Ejercicio 6. Si y ′ = y 2 − 1, demostrar
An
1+Ce2x
a). y = 1−Ce2x
es soluci´n general.
o
de
b). Explicar porque y = −1 es soluci´n singular.
o
ad
Ejercicio 7. Si xy ′ + 1 = ey , comprobar que e−y − Cx = 1 es soluci´n
o
rsid
general.
ive
Ejercicio 8. Si 2xy dx + (x2 + 2y) dy = 0, comprobar que x2 y + y 2 = C1
Un
es soluci´n general.
o
Ejercicio 9. Si (x2 + y 2 ) dx + (x2 − xy) dy = 0, comprobar que
y
C1 (x + y)2 = xe x , es soluci´n general.
o
Ejercicio 10. Si xy ′ + 1 = ey , comprobar que e−y − Cx = 1 es soluci´n
o
general.
4

11. 1.1. CAMPO DE DIRECCIONES
1.1. CAMPO DE DIRECCIONES
Dada la E.D. y ′ = f (x, y) y sabiendo que la primera derivada representa
una direcci´n en el plano XY , podemos por lo tanto asociar a cada punto
o
(x, y) una direcci´n, a este conjunto de direcciones lo llamamos el campo de
o
direcciones o campo pendiente de la E.D. y ′ = f (x, y). Este campo de di-
recciones nos permite inferir propiedades cualitativas de las soluciones, como
por ejemplo si son asint´ticas a una recta, si son cerradas o abiertas, etc..
o
as
Con el paquete Maple haremos un ejemplo.
atic
Ejemplo 14. Hallar el campo de direcciones de la E.D. y ′ = −2x2 + y 2 y
atem
cuatro curvas soluci´n de la E.D. que pasan por los puntos (0, 2), (0, 0), (0, 1),
o
(0, −1) respectivamente.
eM
> with(DEtools):
DEplot (diff(y(x),x)=-2*x^2+y(x)^2,y(x),x=-2..2,color=black,
o. d
{[0,2],[0,0],[0,1],[0,-1]},y=-2..2,linecolor=black);
ept
,D
uia
2
tioq
An
1
de
ad
y(x)0
rsid
-2 -1 0 1 2
x
ive
-1
Un
-2
Figura 1.1
5

12. CAP´
ITULO 1. INTRODUCCION
1.2. ´
ECUACION DE CONTINUIDAD
Para finalizar este Cap´ ıtulo, es importante hacer un corto comentario so-
bre la ecuaci´n de continuidad; con ella se construyen modelos de fen´menos
o o
en diferentes ´reas del conocimiento que dependen del tiempo, dando como
a
resultado una o varias Ecuaciones Diferenciales. La ecuaci´n de continuidad
o
nos dice que la tasa de acumulaci´n de una variable x en un recipiente (el
o
as
cual puede ser un tanque, un ´rgano humano, una persona, una ciudad, un
o
atic
banco, una universidad, un sistema ecol´gico, etc.) es igual a su tasa de en-
o
trada menos su tasa de salida; tanto la tasa de entrada como la tasa de salida
atem
pueden ser constantes o variables.
Si la variable es x y la tasa de entrada es E(t) y la tasa de salida es S(t)
eM
entonces la tasa de acumulaci´n es
o
o. d
dx
= E(t) − S(t).
dt
ept
Ejemplo 15. La concentraci´n de glucosa en la sangre aumenta por ingesta
o
,D
de comidas ricas en azucares; si se suministra glucosa a una raz´n constante
o
R (en mg/minuto). Al mismo tiempo, la glucosa se transforma y se elimina
uia
a una tasa proporcional a la concentraci´n presente de glucosa. Si C(t) re-
o
tioq
presenta la concentraci´n de glucosa en un instante t, entonces E(t) = R y
o
S(t) = kC(t), entonces por la ecuaci´n de continuidad, la Ecuaci´n Diferen-
o o
An
cial que rige este fen´meno es
o
de
dC(t)
= E(t) − S(t) = R − kC(t).
dt
ad
rsid
ive
Un
6

13. CAP´
ITULO 2
as
atic
´ ´
METODOS DE SOLUCION
atem
eM
o. d
2.1. VARIABLES SEPARABLES ept
dy g(x)
,D
Definici´n 2.1 . Se dice que una E.D. de la forma:
o = es separable
dx h(y)
uia
o de variables separables.
tioq
La anterior ecuaci´n se puede escribir como h(y) dy = g(x) dx e integran-
o
An
do:
de
h(y) dy = g(x) dx + C,
ad
obteni´ndose as´ una familia uniparam´trica de soluciones.
e ı e
rsid
Nota: la constante o par´metro C, a veces es conveniente escribirla de
a
ive
otra manera, por ejemplo, m´ltiplos de constantes o logaritmos de constan-
u
Un
tes o exponenciales de constantes o si aparecen varias constantes reunirlas en
una sola constante.
dy
Ejemplo 1. dx
= e3x+2y
Soluci´n:
o
dy
= e3x+2y = e3x e2y
dx
7

14. CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
separando variables
dy
= e3x dx
e2y
e integrando
1 e3x
− e−2y + C =
as
2 3
atic
la soluci´n general es
o
atem
e3x e−2y
+ =C
3 2
eM
dy 1
Ejemplo 2. dx
= xy 3 (1 + x2 )− 2 , con y(0) = 1
o. d
Soluci´n: separando variables
o
ept
2x
,D
y −3 dy = √ dx
2 1 + x2
uia
tioq
1 d(1 + x2 ) u = 1 + x2
= √ haciendo
2 1 + x2 du = 2xdx
An
obtenemos
de
1 du
= √
ad
2 u
rsid
1
y −2 1 (1 + x2 ) 2
e integrando = 1 +C
−2 2
ive
2
Un
soluci´n general
o
1 √
− = 1 + x2 + C.
2y 2
Cuando x = 0, y = 1
1 √
− = 1 + 02 + C
2×1
8

15. 2.1. VARIABLES SEPARABLES
luego
−3
C=
2
La soluci´n particular es
o
−1 √ 3
as
= 1 + x2 −
2y 2 2
atic
Resolver los siguientes ejercicios por el m´todo de separaci´n de variables:
e o
atem
Ejercicio 1. (4y + yx2 ) dy − (2x + xy 2 ) dx = 0
eM
Ejercicio 2. y ′ + y 2 sen x = 0
o. d
Ejercicio 3. 3ex tan y dx + (2 − ex ) sec2 y dy = 0
Π
ept
Ejercicio 4. y ′ sen x = y ln y, si y =e
,D
2
dy xy + 3x − y − 3
uia
Ejercicio 5. =
dx xy − 2x + 4y − 8
tioq
Ejercicio 6. x2 y ′ = y − xy, si y(−1) = −1
1
(Rta. ln |y| = − x − ln |x| − 1)
An
dy
Ejercicio 7. dx − y 2 = −9 que pase por los puntos:
de
1
a) (0, 0), b) (0, 3), c) 3 , 1
ad
rsid
Ejercicio 8. Se suministran bacterias como alimento a una poblaci´n o
de protozoarios a una raz´n constante µ. Se ha observado que las bacterias
o
ive
son devoradas a una tasa proporcional al cuadrado de su cantidad. Si c(t) es
la cantidad de bacterias en el instante t, hallar la E.D.; determinar c(t) en
Un
funci´n de c(0); ¿cu´l es la concentraci´n de equilibrio de las bacterias, es
o a o
′
decir, cuando c (t) = 0√ ?
√ √ √ √
µ+ kc(t) µ+ kc(0) 2 kµt
(Rta.: √µ−√kc(t) = √µ−√kc(0) e ; concentraci´n de equilibrio c = µ )
o k
dy dy
Ejercicio 9. Resolver por variables separables: a x dx + 2y = xy dx en
y = a y x = 2a.
9

16. CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
2.2. ´
ECUACIONES HOMOGENEAS
Definici´n 2.2 : f (x, y) es homog´nea de grado n si existe un real n tal que
o e
n
para todo t: f (tx, ty) = t f (x, y).
Ejemplo 3. f (x, y) = x2 + xy + y 2 es homog´nea de grado dos.
e
as
atic
Definici´n 2.3 .Si una ecuaci´n en la forma diferencial :
o o
atem
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
tiene la propiedad que M (tx, ty) = tn M (x, y) y N (tx, ty) = tn N (x, y), enton-
eM
ces decimos que es de coeficientes homog´neos o que es una E.D. homog´nea.
e e
o. d
Siempre que se tenga una E.D. homog´nea podr´ ser reducida por medio
e a ept
de una sustituci´n adecuada a una ecuaci´n en variables separables.
o o
,D
M´todo de soluci´n: dada la ecuaci´n
e o o
uia
tioq
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
donde M (x, y) y N (x, y) son funciones homog´neas del mismo grado; me-
e
An
diante la sustituci´n y = ux ´ x = yv (donde u ´ v son nuevas variables
o o o
de
dependientes), puede transformarse en un ecuaci´n en variables separables.
o
ad
Nota: si la estructura algebraica de N es m´s sencilla que la de M , en-
a
rsid
tonces es conveniente usar las sustituci´n y = ux.
o
Si la estructura algebraica de M es m´s sencilla que la de N , es conveniente
a
ive
usar la sustituci´n x = vy.
o
Un
Ejemplo 4. Resolver por el m´todo de las homog´neas, la siguiente E.D.:
e e
y y
(x + ye x ) dx − xe x dy = 0, con y(1) = 0.
Soluci´n:
o
y y
(x + ye x ) dx − xe x dy = 0 donde
homog´nea de orden 1
e homog´nea de orden 1
e
y y
M (x, y) = x + ye x y N (x, y) = −xe x
10

17. ´
2.2. ECUACIONES HOMOGENEAS
La sustituci´n m´s sencilla es: y = ux, por tanto dy = u dx + x du
o a
Sustituyendo en la E.D.
ux ux
(x + uxe x ) dx − xe x (u dx + x du) = 0
o sea que
x dx − x2 eu du = 0
as
atic
luego x dx = x2 eu du, separando variables y considerando x = 0, obte-
nemos,
atem
dx
= eu du ⇒ ln x = eu + C
x
eM
Por lo tanto la soluci´n general es
o
y
o. d
ln x = e x + C
Para hallar la soluci´n particular que pasa por el punto y(1) = 0, susti-
o ept
tu´
ımos en la soluci´n general y obtenemos:
o
,D
0
ln 1 = e 1 + C ⇒ 0 = 1 + C de donde C = −1
uia
tioq
Por lo tanto,
y
ln x = e x − 1
An
es la soluci´n particular
o
de
Ejemplo 5. (x2 y 2 − 1)dy + 2xy 3 dx = 0 (ayuda: hacer y = z α y calcular
ad
α para convertirla en homog´nea)
e
rsid
Soluci´n:
o
No es homog´nea; hagamos y = z α y hallemos α de tal manera que la E.D.O.
e
ive
se vuelva homog´nea:
e
Un
dy = αz α−1 dz
(x2 z 2α − 1)αz α−1 dz + 2xz 3α dx = 0
α(x2 z 3α−1 − z α−1 )dz + 2xz 3α dx = 0 (2.1)
suma de exponentes en los t´rminos: 2+3α−1, α−1 y 1+3α respectivamente.
e
11

18. CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
An´lisis de exponentes para que se cumpla la homogeneidad:
a
1 + 3α = 2 + 3α − 1 = α − 1, se concluye α = −1
Sustituyo en la E.D. (2.1): (−1)(x2 z −2 − 1)z −2 dz + 2xz −3 dx = 0
(−x2 z −4 + z −2 ) dz + 2xz −3 dx = 0
as
atic
Es homog´nea de orden −2.
e
atem
La sustituci´n m´s sencilla es x = uz ⇒ dx = u dz + z du.
o a
eM
(−u2 z 2 z −4 + z −2 ) dz + 2uzz −3 (u dz + z du) = 0
o. d
(−u2 z −2 + z −2 + 2u2 z −2 ) dz + (2uz −1 ) du = 0
ept
,D
(u2 z −2 + z −2 ) dz + 2uz −1 du = 0
uia
tioq
z −2 (u2 + 1) dz + 2uz −1 du = 0
An
z −2 dz 2u
+ 2 du = 0
z −1 u +1
de
dz 2u
ad
+ 2 du = 0
z u +1
rsid
Integrando: ln |z| + ln(u2 + 1) = ln C
ive
ln |z(u2 + 1)| = ln C ⇒ z(u2 + 1) = C
Un
x
reemplazo u = z
y tenemos, tomando z = 0
x2
+z =C
z
x2
Como y = z −1 o sea que z = y −1 , entonces y −1
+ y −1 = C
luego
x2 y 2 + 1 = Cy,
12

19. ´
2.2. ECUACIONES HOMOGENEAS
es la soluci´n general.
o
Resolver los siguientes ejercicios por el m´todo de las homog´neas, ´ con-
e e o
vertirla en homog´nea y resolverla seg´n el caso:
e u
y
Ejercicio 1. y + x cot x dx − x dy = 0.
dy
y 2 − xy) dx = y , con y(1) = 1.
as
Ejercicio 2. (x +
atic
y−x
(Rta.: ln |y| + 2 y
= 0)
atem
y y
Ejercicio 3. x − y cos x dx + x cos x dy = 0.
Ejercicio 4. (x2 − 2y 2 ) dx + xy dy = 0.
eM
y 1
(Rta.: x = C(1 − ( x )2 ) 2 )
o. d
−y
Ejercicio 5. xy ′ = y + 2xe x .
ept
Ejercicio 6. (x + y 3 ) dx + (3y 5 − 3y 2 x) dy = 0, (Ayuda: hacer x = z α ).
,D
uia
Ejercicio 7. 2(x2 y + 1 + x4 y 2 ) dx + x3 dy = 0, (Ayuda: hacer y = z α ).
(Rta.: x4 (1 + 2Cy) = C 2 )
tioq
Ejercicio 8. y cos x dx + (2y − sen x) dy = 0, (Ayuda: hacer u = sen x).
An
y y
Ejercicio 9. y(ln x + 1) dx − x ln x dy = 0.
de
1 2 y
(Rta.: ln |x| − 2 ln | x | = C)
ad
rsid
dy y y
Ejercicio 10. dx = cos( x ) + x .
y y
(Rta.: sec( x ) + tan( x ) = Cx)
ive
Ejercicio 11. Hallar la soluci´n particular de la E.D.
o
Un
yx2 dx − (x3 + y 3 )dy = 0,
donde y(0) = 1
(Rta.: ln |y| = 1 ( x )3 )
3 y
Ejercicio 12. Hallar la soluci´n particular de la E.D.
o
xy 2 dy − (x3 + y 3 )dx = 0,
13

20. CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
donde y(1) = 0
y
(Rta.: 3 ln |x| = 1 ( x )3 )
3
√
Ejercicio 13. (y + xy)dx − 2xdy = 0
y
(Rta.: x(1 − x )4 = C)
Ejercicio 14. Hallar la soluci´n particular de la E.D.
o
as
y(ln y − ln x − 1)dx + xdy = 0,
atic
donde y(e) = 1
atem
y
(Rta.: x ln | x | = −e)
Ejercicio 15. Hallar la soluci´n particular de la E.D.
o
eM
yx2 dx − (x3 + y 3 )dy = 0,
o. d
con la condici´n inicial x = 0, y = 1
o
y
(Rta.: ( x )3 = 3 ln |y|) ept
,D
uia
2.3. E.D. DE COEFICIENTES LINEALES:
tioq
(ax + by + c) dx + (αx + βy + γ) dy = 0
An
Se presentan dos casos:
de
1. Si (h, k) es el punto de intersecci´n entre las rectas:
o
ad
ax + by + c = 0 y αx + βy + γ = 0
rsid
entonces se hace la sustituci´n: x = u + h y y = v + k y se consigue la
o
ive
ecuaci´n homog´nea de grado 1:
o e
Un
(au + bv)du + (αu + βv)dv = 0
2. Si las dos rectas no se intersectan (o sea son paralelas), entonces
αx + βy = n(ax + by)
y por tanto se hace la sustituci´n z = ax + by, lo cual quiere decir
o
que αx + βy = nz, esta sustituci´n convierte la E.D. en una E.D. de
o
variables separables.
14

21. 2.4. ECUACIONES EXACTAS
Ejercicios: resolver por el m´todo anterior:
e
1. (x − y + 1) dx + (x + 2y − 5) dy = 0
dy 2y−x+5
2. dx
= 2x−y−4
(Rta.: (x + y + 1)3 = C 2 (y − x + 3))
3. (x − 2y + 4) dx + (2x − y + 2) dy = 0
(Rta.: (x + y − 2)3 = C 2 (x − y + 2))
as
atic
4. (x + y + 1)2 dx + (x + y − 1)2 dy = 0
(Rta.: 4x = − 1 (x + y)2 + 2(x + y) − ln |x + y| + C)
atem
2
5. (x + y + 1) dx + (2x + 2y − 1) dy = 0
(Rta.: 4 − x − 2y = 3 ln |2 − x − y| + C)
eM
6. (x + y − 2) dx + (x − y + 4) dy = 0
o. d
(Rta.: C −2 = 2(x + 1)(y − 3) + (x + 1)2 − (y − 3)2 )
7. (x − y − 5) dx − (x + y − 1) dy = 0 ept
(Rta.: C −2 = (x − 3)2 − 2(y + 2)(x − 3) − (y + 2)2 )
,D
8. (2x + y) dx − (4x + 2y − 1) dy = 0
uia
(Rta.: x = 2 (2x + y) − 25 − ln |5(2x + y) − 2| + C)
5
4
tioq
2.4. ECUACIONES EXACTAS
An
Si z = f (x, y), entonces
de
∂f ∂f
ad
dz = dx + dy
∂x ∂y
rsid
es la diferencial total de f ; pero si z = c = f (x, y) (familia de curvas unipa-
ive
ram´tricas en el plano XY ), entonces
e
Un
∂f ∂f
dz = 0 = dx + dy
∂x ∂y
.
Definici´n 2.4 .La forma diferencial M (x, y) dx + N (x, y) dy es una dife-
o
rencial exacta en una regi´n R del plano XY si corresponde a la diferencial
o
total de alguna funci´n f (x, y).
o
15

22. CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
La ecuaci´n M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0, es exacta si es la diferencial
o
total de alguna funci´n f (x, y) = c.
o
Teorema 2.1 (Criterio para E.D. exactas) .
Si M (x, y) y N (x, y) son continuas y tienen derivadas parciales de primer
orden continuas en una regi´n R del plano XY , entonces la condici´n nece-
o o
saria y suficiente para que la forma diferencial
as
atic
M (x, y) dx + N (x, y) dy
atem
sea una diferencial exacta es que
∂M ∂N
eM
= .
∂y ∂x
o. d
Demostraci´n: Como M (x, y) dx + N (x, y) dy es una diferencial exacta,
o
entonces existe una funci´n f (x, y) tal que:
o
ept
,D
∂f ∂f
M (x, y) dx + N (x, y) dy = dx + dy = d f (x, y)
uia
∂x ∂y
tioq
luego
∂f
M (x, y) =
An
∂x
y
de
∂f
N (x, y) =
∂y
ad
por tanto,
rsid
∂M ∂ 2f ∂ 2f ∂N
= = = .
∂y ∂y∂x ∂x∂y ∂x
ive
La igualdad entre las derivadas cruzadas se produce porque M y N son
Un
continuas con derivadas de primer orden continuas.
M´todo. Dada la ecuaci´n M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0, hallar una funci´n
e o o
f (x, y) = C tal que
∂f ∂f
=M y =N
∂x ∂y
∂M ∂N
i) Comprobar que es exacta, es decir, verificar que ∂y
= ∂x
.
16

23. 2.4. ECUACIONES EXACTAS
∂f
ii) Suponer que ∂x
= M (x, y) y luego integrar con respecto a x dejando a
y constante:
f (x, y) = M (x, y) dx + g(y) (2.2)
iii) Derivar con respecto a y la ecuaci´n (2.2)
o
as
∂f ∂
= M (x, y) dx + g ′ (y) = N (x, y)
atic
∂y ∂y
atem
despejar
∂
eM
g ′ (y) = N (x, y) − M (x, y) dx (2.3)
∂y
o. d
Esta expresi´n es independiente de x, en efecto:
o
∂ ∂ ∂N ∂ ∂ ept
N (x, y) − M (x, y) dx = − M (x, y) dx
,D
∂x ∂y ∂x ∂x ∂y
∂N ∂ ∂ ∂N ∂
uia
= − M (x, y) dx = − M (x, y) = 0
∂x ∂y ∂x ∂x ∂y
tioq
iv) Integrar la expresi´n (2.3) con respecto a y y sustituir en (2.2) e igualar
o
An
a C.
de
∂f
Nota: en ii) se pudo haber comenzado por ∂y
= N (x, y).
ad
Ejemplo 6. Resolver la siguiente E.D.:
rsid
(2xy 2 + yex ) dx + (2x2 y + ex − 1) dy = 0
Soluci´n:
o
ive
paso i) 
Un
∂M x

= 4xy + e 
∂y ∂M ∂N
de donde =
∂N  ∂y ∂x
= 4xy + ex 

∂x
paso ii)
f (x, y) = N (x, y) dy + h(x) = (2x2 y + ex − 1) dy + h(x)
17

24. CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
= x2 y 2 + yex − y + h(x)
paso iii)
∂f
= M = 2xy 2 + yex
∂x
∂f
= 2xy 2 + yex + h′ (x) ⇒ h′ (x) = 0
∂x
as
paso iv) h(x) = C
atic
paso v) sustituyo h(x) en el paso ii):
atem
x2 y 2 + yex − y + C1 = C
x2 y 2 + yex − y = C2 Soluci´n general
o
eM
Ejemplo 7. Hallar el valor de b para que sea exacta la E.D.:
o. d
(xy 2 + bx2 y) dx + (x + y)x2 dy = 0.
ept
Soluci´n:
o
,D
uia
∂M
= 2xy + bx2
tioq
∂y
∂N
= 3x2 + 2xy ⇒ b = 3
An
∂x
∂f
= xy 2 + 3x2 y (2.4)
de
∂x
∂f
ad
= x3 + x2 y (2.5)
∂y
rsid
integramos (2,4) : f (x, y) = (xy 2 + 3x2 y) dx + g(y)
ive
x2
f (x, y) = y 2 + x3 y + g(y)
Un
(2.6)
2
derivamos (2,6) con respecto a y
∂f
= yx2 + x3 + g ′ (y) (2.7)
∂y
igualamos (2,5) y (2,7)
x3 + x2 y = yx2 + x3 + g ′ (y)
K = g(y)
18

25. 2.4. ECUACIONES EXACTAS
reemplazamos g(y) en (2,6)
x2
f (x, y) = y 2 + x3 y + K = C1
2
y 2 x2
= + x3 y = C
2
que es la soluci´n general.
o
as
Ejercicio 1. Resolver la siguiente E.D. por el m´todo de las exactas :
e
atic
(tan x − sen x sen y) dx + cos x cos y dy = 0.
atem
(Rta.: f (x, y) = cos x sen y − ln |cos x| = C)
eM
Ejercicio 2. Resolver la siguiente E.D. por el m´todo de las exactas:
e
o. d
(y 2 cos x − 3x2 y − 2x) dx + (2y sen x − x3 + ln y) dy = 0, con y(0) = e.
ept
(Rta.: f (x, y) = y 2 sen x − x3 y − x2 + y(ln y − 1) = 0)
,D
Ejercicio 3. Determinar la funci´n M (x, y) de tal manera que la siguente
o
uia
E.D.O sea exacta:
tioq
1
M (x, y) dx + xex y + 2xy + dy = 0
An
x
de
y
(Rta.: M (x, y) = 1 y 2 ex (x + 1) + y 2 −
2 x2
+ g(x))
ad
Ejercicio 4. Determinar la funci´n N (x, y) para que la siguiente E.D.
o
rsid
sea exacta:
1 1 x
y 2 x− 2 + 2 dx + N (x, y) dy = 0
ive
x +y
Un
1 1 1
(Rta.: N (x, y) = x 2 y − 2 + 2 (x2 + y)−1 + g(y))
Ejercicio 5. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
(2xy 2 + yex ) dx + (2x2 y + ex − 1) dy = 0
(Rta.: f (x, y) = y(x2 y + ex − 1) = C)
19

26. CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
Ejercicio 6. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
(2x − y sen xy − 5y 4 ) dx − (20xy 3 + x sen xy) dy = 0
(Rta.: f (x, y) = x2 + cos(xy) − 5y 4 x = C)
Ejercicio 7. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
as
( sen xy + xy cos xy) dx + (x2 cos xy) dy = 0
atic
atem
(Rta.: f (x, y) = x sen (xy) = C)
Ejercicio 8. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
eM
(yexy + 4y 3 ) dx + (xexy + 12xy 2 − 2y) dy = 0, con y(0) = 2
o. d
(Rta.: f (x, y) = exy + 4xy 3 − y 2 = −3)
ept
,D
Ejercicio 9. Resolver por el m´todo de las exactas la siguiente E.D.:
e
uia
(1 − sen x tan y) dx + cos x sec2 y dy = 0
tioq
(Rta.: f (x, y) = cos x tan y + x = C)
An
de
2.5. ´
FACTORES DE INTEGRACION
ad
rsid
Definici´n 2.5 (Factor Integrante F.I.) . Sea la E.D.
o
ive
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0.
Un
Si µ(x, y) es tal que
µ(x, y) M (x, y) dx + µ(x, y) N (x, y) dy = 0
es una E.D. exacta, entonces decimos que µ(x, y) es un factor integrante
(F.I.).
20

27. ´
2.5. FACTORES DE INTEGRACION
Ejemplos de algunas formas diferenciales que son exactas.
Ejemplo: x dx + y dy es la diferencial de 2 (x2 + y 2 ) ya que d 1 (x2 + y 2 ) =
1
2
x dx + y dy.
Analogamente: para x dy + y dx = d(xy).
Pero py dx + qx dy no es exacta, la expresi´n µ(x, y) = xp−1 y q−1 es un
o
as
factor integrante.
atic
Para y dx − x dy, las expresiones:
atem
1 1 1 1 1
µ= ; µ= 2; µ= ; µ= 2 ; µ= 2
eM
y2 x xy x + y2 ax + bxy + cy 2
son factores integrantes.
o. d
Teorema 2.2 (Teorema del Factor Integrante) :
ept
Sea M (x, y) dx+N (x, y) dy = 0 una E.D. y µ(x, y) un factor integrante, con
M , N y µ continuas y con primeras derivadas parciales continuas , entonces
,D
uia
∂M ∂N dµ dµ
µ − =N = −M
∂y ∂x dx dy
tioq
An
Demostraci´n: Si µ es tal que µM dx + µN dy = 0 es exacta y µ, M, N
o
tienen primeras derivadas parciales continuas, entonces:
de
∂ ∂
ad
(µM ) = (µN )
∂y ∂x
rsid
o sea que
∂M ∂µ ∂N ∂µ
ive
µ +M =µ +N
∂y ∂y ∂x ∂x
Un
luego
∂M ∂N ∂µ ∂µ ∂µ M ∂µ
µ − =N −M =N −
∂y ∂x ∂x ∂y ∂x N ∂y
dy
como dx
= − M , entonces:
N
∂M ∂N ∂µ dy ∂µ dµ dµ
µ − =N + =N = −M
∂y ∂x ∂x dx ∂y dx dy
21

28. CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
ya que si µ = µ(x, y) y y = y(x) entonces:
∂µ ∂µ
dµ = dx + dy
∂x ∂y
y por tanto
dµ ∂µ ∂µ dy
= +
dx ∂x ∂y dx
as
Nota.
atic
∂M
− ∂N
1. Si ∂y N ∂x = f (x),
atem
entonces µf (x) = dµ y por tanto f (x)dx = dµ ,
dx µ
f (x)dx f (x)dx
luego µ = ke ; tomando k = 1 se tiene µ = e .
eM
∂M
− ∂N
o. d
∂y ∂x g(y)dy
2. Similarmente, si −M
= g(y), entonces µ = e .
ept
Ejemplo 8. (2xy 2 − 2y) dx + (3x2 y − 4x) dy = 0.
,D
Soluci´n:
o
uia
∂M
M (x, y) = 2xy 2 − 2y ⇒ = 4xy − 2
tioq
∂y
∂N
An
N (x, y) = 3x2 y − 4x ⇒ = 6xy − 4
∂x
de
luego
∂M ∂N
− = −2xy + 2
ad
∂y ∂x
rsid
por tanto
∂M ∂N
− −2xy + 2 2(−xy + 1)
ive
∂y ∂x
= 2 + 2y
=
−M −2xy 2y(−xy + 1)
Un
luego
1 1
dy
g(y) = ⇒ F.I. = µ(y) = e y = eln |y| = y
y
multiplico la E.D. original por y: (2xy 3 − 2y 2 ) dx + (3x2 y 2 − 4xy) dy = 0
el nuevo M (x, y) = 2xy 3 − 2y 2 y el nuevo N (x, y) = 3x2 y 2 − 4xy
22

29. ´
2.5. FACTORES DE INTEGRACION
Paso 1.
∂M
= 6xy 2 − 4y
∂y
y
∂N
= 6xy 2 − 4y
∂x
luego es exacta.
as
Paso 2.
atic
atem
f (x, y) = (2xy 3 − 2y 2 )dx + g(y) = x2 y 3 − 2xy 2 + g(y)
eM
Paso 3. Derivando con respecto a y:
∂f
o. d
N = 3x2 y 2 − 4xy = = 3x2 y 2 − 4xy + g ′ (y)
∂y
luego g ′ (y) = 0 ept
,D
Paso 4. g(y) = k
uia
tioq
Paso 5. Reemplazo en el paso 2.
f (x, y) = x2 y 3 − 2xy 2 + k = c
An
luego x2 y 3 − 2xy 2 = k1 que es la soluci´n general.
de
o
ad
Ejemplo 9. x dy − y dx = (6x2 − 5xy + y 2 ) dx
rsid
Soluci´n:
o
ive
y x dy − y dx
como d( ) =
x x2
Un
entonces dividimos a ambos lados de la E.D. por x2 , luego
x dy − y dx 6x2 − 5xy + y 2
= dx
x2 x2
luego
y y y
d( ) = 6 − 5( ) + ( )2 dx,
x x x
23

30. CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
y
hagamos u = x
⇒ du = (6 − 5u + u2 )dx
du du
luego 2
= dx ⇒ = dx
6 − 5u + u (u − 3)(u − 2)
1 A B
pero por fracciones parciales = +
(u − 3)(u − 2) u−3 u−2
o sea que A = 1 y B = −1, por tanto
as
atic
du du du
= dx ⇒ − = ln |u−3|−ln |u−2|+ln c = x
(u − 3)(u − 2) u−3 u−2
atem
luego
(u − 3) (y − 3x)
eM
c = ex , si x = 0 ⇒ c = ex
(u − 2) (y − 2x)
o. d
Observese que x = 0 es tambi´n soluci´n y es singular porque no se despren-
e o
de de la soluci´n general.
o
ept
En los siguientes ejercicios, hallar el factor integrante y resolver por el
,D
m´todo de las exactas:
e
uia
Ejercicio 1. (cos(2y) − sen x) dx − 2 tan x sen (2y) dy = 0.
tioq
1
(Rta.: sen x cos(2y) + 2 cos2 x = C)
An
Ejercicio 2. (3xy 3 + 4y) dx + (3x2 y 2 + 2x) dy = 0.
(Rta.: f (x, y) = x3 y 3 + 2x2 y = C)
de
ad
Ejercicio 3. 2xy ln y dx + (x2 + y 2 y 2 + 1) dy = 0.
rsid
1 3
(Rta.: f (x, y) = x2 ln y + 3 (y 2 + 1) 2 = C)
ive
Ejercicio 4. (2wz 2 − 2z) dw + (3w2 z − 4w) dz = 0.
Un
(Rta.: w2 z 3 − 2z 2 w = C)
Ejercicio 5. ex dx + (ex cot y + 2y csc y)dy = 0
(Rta.: f (x, y) = ex sen y + y 2 = C)
Ejercicio 6. x dy + y dx = (x3 + 3x2 y + 3xy 2 + y 3 )(dx + dy).
(Rta.: xy = 1 (x + y)4 + C)
4
24

31. ´
2.5. FACTORES DE INTEGRACION
Ejercicio 7. x dy − y dx = (2x2 + 3y 2 )3 (2xdx + 3ydy).
2 3 y
(Rta.: 3
tan−1 ( 2 x
) = 1 (2x2 + 3y 2 )3 + C)
3
Ejercicio 8. y dx + (2x − yey ) dy = 0.
(Rta.: y 2 x − y 2 ey + 2yey − 2ey = C)
Ejercicio 9. (xy − 1)dx + (x2 − xy)dy = 0.
as
2
(Rta.: f (x, y) = xy − ln |x| − y2 = C)
atic
Ejercicio 10. ydx + (x2 y − x)dy = 0.
atem
2
y
(Rta.: f (x, y) = − x + y2 = C)
eM
Ejercicio 11. (2xy − e−2x )dx + xdy = 0.
(Rta.: f (x, y) = ye2x − ln |x| = C)
o. d
Ejercicio 12. ydx + (2xy − e−2y )dy = 0. ept
(Rta.: f (x, y) = xe2y − ln |y| = C)
,D
Ejercicio 13. (x + y)dx + x ln xdy = 0.
uia
(Rta.: f (x, y) = x + y ln x = C)
tioq
Ejercicio 14. Hallar la soluci´n particular que pasa por el punto
o
An
y(1) = −2, de la E.D.
dy 3x2 y + y 2
de
=− 3
dx 2x + 3xy
ad
rsid
(Rta.: x3 y 2 + y 3 x = −4)
ive
Ejercicio 15. x dx + y dy = 3 x2 + y 2 y 2 dy.
(Rta.: x2 + y 2 = y 3 + C)
Un
Ejercicio 16. 4y dx + x dy = xy 2 dx.
1 1
(Rta.: yx4 − 3x3 = C)
Ejercicio 17. Si
My − N x
= R(xy),
yN − xM
25

32. CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
t
R(s) ds
entonces µ = F.I. = e , donde t = xy
Ejercicio 18. Bajo que condiciones M dx + N dy = 0 tendr´ un F.I.=
a
µ(x + y)
Ejercicio 19. Si M dx + N dy = 0 es homog´nea, entonces µ(x, y) =
e
1
xM +yN
as
atic
2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN
atem
Definici´n 2.6 . Una E.D. de la forma:
o
dy
eM
a1 (x) + a0 (x)y = h(x),
dx
o. d
donde a1 (x) = 0, en I y a1 (x), a0 (x), h(x) son continuas en I, se le llama
E.D. lineal en y de primer orden.
ept
,D
Dividiendo por a1 (x), se obtiene la llamada ecuaci´n en forma can´nica
o o
uia
´ forma estandar:
o
dy
tioq
+ p(x)y = Q(x),
dx
An
a0 (x) h(x)
donde p(x) = y Q(x) = .
a1 (x) a1 (x)
de
Teorema 2.3 (Teorema de la E.D. lineal de primer orden) :
ad
La soluci´n general de la E.D. lineal en y, de primer orden:
o
rsid
y ′ + p(x)y = Q(x)
ive
es :
Un
p(x) dx p(x) dx
ye = e Q(x) dx + C.
Demostraci´n:
o
dy
+ p(x)y = Q(x) (2.8)
dx
⇒ p(x)y dx + dy = Q(x) dx
26

33. 2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN
∂M ∂N
o sea que (p(x)y − Q(x)) dx + dy = 0, como ∂y
= p(x) y ∂x
= 0, entonces
∂M ∂N
∂y
− ∂x
= p(x)
N
p(x) dx
y por tanto µ = e = F.I.; multiplicando (2.8) por el F.I.:
p(x) dx dy p(x) dx p(x) dx
as
e + p(x)ye = Q(x)e
dx
atic
d
o sea dx
(ye p(x) dx ) = Q(x)e p(x) dx
e integrando con respecto a x se tiene:
atem
p(x) dx p(x) dx
ye = Q(x)e dx + C
eM
Observese que la expresi´n anterior es lo mismo que:
o
o. d
y F.I. = Q(x) F.I. dx + C
ept
,D
dν
Ejemplo 10. Hallar la soluci´n general de la E.D.:(6 − 2µν) dµ + ν 2 = 0
o
uia
Soluci´n:
o
tioq
dν ν2
=−
dµ 6 − 2µν
An
dµ 6 2µ
=− 2 +
de
dν ν ν
ad
dµ 2µ 6
− =− 2
rsid
dν ν ν
que es lineal en µ con
ive
2 6
Un
p(ν) = − , Q(ν) = − 2
ν ν
2
− ν dν −2 1
F.I. = e p(ν)dν
=e = e−2 ln |ν| = eln |ν| = ν −2 =
ν2
La soluci´n general es
o
1 1 6
µ= (− 2 )dν + C
ν2 ν2 ν
27

34. CAP´ ´ ´
ITULO 2. METODOS DE SOLUCION
1 ν −3
µ = −6 ν −4 dν + C = −6 +C
ν2 −3
µ 2 2
= 3 + C ⇒ µ = + Cν 2
ν2 ν ν
que es la soluci´n general.
o
as
dy
atic
Ejemplo 11. Hallar una soluci´n continua de la E.D.:
o dx
+ 2xy = f (x)
atem
x, 0≤x<1
donde f (x) =
0, x≥1
eM
y y(0) = 2
o. d
Soluci´n:
o
F.I. : e 2xdx 2
= ex ⇒ ex y =
2 ept
2
ex f (x)dx + C
,D
2 2
a). si 0 ≤ x < 1 : ex y = ex x dx + C
uia
tioq
2 1 2
ex y = 2
ex 2x dx + C
An
2 2
ex y = 1 ex + C, soluci´n general
o
de
2
ad
1 2 2
y(0) = 2 ⇒ e0 2 = 2 e0 + C
rsid
1 3
2= +C ⇒C =
ive
2 2
Un
1 2 1 2
y= 2
+ Ce−x ⇒ y = 2
+ 3 e−x , soluci´n particular
2
o
b). si x ≥ 1 : F.I.y = F.I. 0 dx + C
2 2
ex y = 0 + C ⇒ y = Ce−x
28

35. 2.6. E.D. LINEAL DE PRIMER ORDEN
1 3 2
2
+ 2 e−x 0≤x<1
Soluci´n: f (x) =
o 2
Ce−x x≥1
Busquemos C, de tal manera que la funci´n f (x) sea continua en x = 1.
o
Por tanto
1 3 2
l´ ( + e−x ) = f (1) = y(1)
ım
x→1 2 2
1 3 −1
as
+ e = Ce−1
2 2
atic
3 1
+ 2 e−1 21 3
atem
⇒C= −1
= e+
e 2 2
Ejemplo 12. Con un cambio de variable adecuado trasformar la E.D.:
eM
2
y ′ + x sen 2y = xe−x cos2 y
o. d
en una E.D. lineal de primer orden y luego resolverla.
Soluci´n. Lo trabajamos mediante cambios de variable.
o
Dividiendo por cos2 y:
ept
,D
1 dy x(2 sen y cos y) 2
+ = xe−x
uia
cos 2 y dx cos2y
tioq
dy 2
sec2 y+ 2x tan y = xe−x
dx
An
hagamos el siguiente cambio de variable: t = tan y, por lo tanto
de
dt dy
= sec2 y .
ad
dx dx
rsid
Sustituyendo
ive
dt 2
+ 2xt = xe−x , es lineal en t con
dx
Un
2
p(x) = 2x, Q(x) = xe−x
2x dx 2
F.I. = e = ex
Resolvi´ndola
e
t F.I. = F.I.Q(x) dx + C
29