Trabajo de Investigacion

1. Bryan Quinteros Ingeniería Mecánica
AXIOMA
Un axioma es una proposición que se considera «evidente» y se acepta sin requerir
demostración previa. En un sistema hipotético-deductivo es toda proposición no deducida
(de otras), sino que constituye una regla general de pensamiento lógico (por oposición a
los postulados).1
En lógica y matemáticas, un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se
acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas.
Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas «afirmaciones evidentes»,
porque permiten deducir las demás fórmulas.
En lógica un postulado es una proposición no necesariamente evidente: una fórmula bien
formada (planteada) de un lenguaje formal utilizada en una deducción para llegar a una
conclusión.
Etimología
La palabra axioma proviene del sustantivo griego αξιωμα, que significa «lo que parece
justo» o, que se le considera evidente, sin necesidad de demostración. El término viene
del verbo griego αξιοειν (axioein), que significa «valorar», que a su vez procede de αξιος
(axios): «valioso» o «digno». Entre los filósofos griegos antiguos, un axioma era lo que
parecía verdadero sin necesidad de prueba alguna.
Lógica
La lógica del axioma es partir de una premisa calificada de verdadera por sí misma (el
axioma), y de ésta inferir otrasproposiciones por medio del método deductivo, de lo cual
se obtienen conclusiones coherentes con el axioma. A partir de los axiomas, y de reglas
de inferencia, han de deducirse todas las demás proposiciones de una teoría dada.
Axioma lógico
Los axiomas son ciertas fórmulas en un lenguaje formal que son universalmente válidas,
esto es fórmulas satisfechas por cualquier estructura y por cualquier función variable. En
términos coloquiales son enunciados verdaderos en cualquier mundo posible, bajo
cualquier interpretación posible, con cualquier asignación de valores. Comúnmente se
toma como axioma un conjunto mínimo de tautologías suficientes para probar una teoría.

2. Para que todos los procedimientos matemáticos usados sean válidos se debe partir de
una base que respalde cada procedimiento, cada paso lógico usado, y debe, en
consecuencia, demostrarse cada afirmación no trivial. Son estas demostraciones los
pilares fundamentales de toda rama de las matemáticas, ya que sin ellos puede ponerse
en duda la veracidad de cualquier afirmación.
Las afirmaciones a las que se hace referencia se llaman axiomas. Serán, por lo tanto,
afirmaciones que se aceptan como verdaderas debido a su trivialidad, pudiendo en
ocasiones ser demostradas cuando no lo son.
El otro tipo de afirmaciones a las que se hace referencia diciendo: afirmación no trivial,
son los teoremas, que son ya, afirmaciones no tan triviales y muchas veces poco
intuitivas. Estas afirmaciones deben ser demostradas usando los axiomas u otros
teoremas ya demostrados. Una consecuencia inmediata de un teorema se
llamará corolario.
Muchas partes de la matemática están axiomatizadas, lo que significa que existe un
conjunto de axiomas de los cuales es posible deducir todas las verdades de esa parte de
la matemática. Por ejemplo, de los axiomas de Peano es posible deducir todas las
verdades de la aritmética (y por extensión, de otras partes de la matemática).
Geometríanoeuclidiana
Se denomina geometría no euclidiana o no euclídea, a cualquier forma
de geometría cuyos postulados y propiedades difieren en algún punto de los establecidos
por Euclides en su tratado Elementos. No existe un solo tipo de geometría no euclídea,
sino muchos, aunque si se restringe la discusión a espacios homogéneos, en los que la
curvatura del espacio es la misma en cada punto, en los que los puntos del espacio son
indistinguibles pueden distinguirse tres tipos de geometrías:
 La geometría euclidiana satisface los cinco postulados de Euclides y tiene curvatura
cero.
 La geometría hiperbólica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y
tiene curvatura negativa.
 La geometría elíptica satisface sólo los cuatro primeros postulados de Euclides y
tiene curvatura positiva.

3. Todos estos son casos particulares de geometrías riemannianas, en los que la curvatura
es constante, si se admite la posibilidad de que la curvatura intrínseca de la geometría
varíe de un punto a otro se tiene un caso de geometría riemanniana general, como sucede
en la teoría de la relatividad general donde la gravedad causa una curvatura no
homogénea en el espacio tiempo, siendo mayor la curvatura cerca de las concentraciones
de masa, lo cual es percibido como un campo gravitatorio atractivo.
Historia
El primer ejemplo de geometría no euclidiana fue la hiperbólica, teorizada inicialmente
por Immanuel Kant, formalizada posterior e independientemente por varios autores a
principios del siglo XIX tales como Carl Friedrich Gauss,Nikolái Lobachevski, János
Bolyai y Ferdinand Schweickard.
Los desarrollos de geometrías no euclídeas se gestaron en sus comienzos con el objetivo
de construir modelos explícitos en los que no se cumpliera el quinto postulado de
Euclides.
La geometría Euclideana había sido desarrollada por los griegos y expuesta por Euclides
en la obra Los elementos. En su primera obra publicada, "Pensamientos sobre la
verdadera estimación de las fuerzas vivas" (1746), Immanuel Kant considera espacios de
más de tres dimensiones y afirma:
Una ciencia de todas estas posibles clases de espacio sería sin duda la empresa más
elevada que un entendimiento finito podría acometer en el campo de la Geometría... Si es
posible que existan extensiones con otras dimensiones, también es muy probable que
Dios las haya traído a la existencia, porque sus obras tienen toda la magnitud y variedad
de que son capaces.
Esas posibles geometrías que Kant entrevé son las que hoy se llaman geometrías
euclidianas de dimensión mayor que 3.
Por otra parte, ya desde la antigüedad se consideró que el quinto postulado del libro de
Euclides no era tan evidente como los otros cuatro pues, al afirmar que ciertas rectas (las
paralelas) no se cortarán al prolongarlas indefinidamente, habla de una construcción
mental un tanto abstracta. Por eso durante muchos siglos se intentó sin éxito demostrarlo
a partir de los otros cuatro. A principios del siglo XIX, se intentó demostrarlo por reducción
al absurdo, suponiendo que es falso y tratando de obtener una contradicción. Sin
embargo, lejos de llegar a un absurdo se encontró que existían geometrías coherentes

4. diferentes de la euclídea. Se había descubierto así la primera geometría no euclídea (en
concreto el primer ejemplo que se logró era una geometría llamada hiperbólica).