El documento trata sobre lógica matemática. Explica que la lógica matemática estudia los sistemas formales y su relación con conceptos matemáticos como conjuntos y números. Se divide en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. También define conceptos como proposiciones, conectivos lógicos, proposiciones condicionales y bicondicionales, y leyes como la doble negación y de Morgan.

1. LOGICA MATEMATICA
TRABAJO ENFASIS
PROFESOR: FRANCISCO GONGORA
ALUMNO: CAMILO RODRIGUEZ
INSTITUCION EDUCATIVO ALBERTO SANTOFIMIO
03/04/2017
IBAGUE

2. 1. Concepto de lógica matemática: La lógica matemática, también llamada lógica
simbólica, lógica teorética, lógica formal, o logística, es parte tanto de la lógica y
como de la matemática, y consiste en el estudio matemático de la lógica, y en la
aplicaciónde dicho estudio a otras áreas de lamatemática y de las ciencias.La lógica
matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la computación y con la
lógica filosófica.
La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el
que codifican o definen nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos,
números, demostraciones, y algoritmos, utilizando un lenguaje formal.
La lógicamatemática se sueledividir en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría
de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en
lógica matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los
fundamentos de las matemáticas.
La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de
la lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y
estudiadas matemáticamente.
La lógica matemática comprende dos áreas de investigación distintas: la primera es
la aplicación de las técnicas de la lógica formal a las matemáticas y el razonamiento
matemático y la segunda, en la otra dirección,la aplicación de técnicas matemáticas
a la representación y el análisis de la lógica formal.
Si la teoría de la demostración y la teoría de modelos han sido el fundamento de la
lógica matemática,no han sido más que dos delos cuatro pilares del sujeto. La teoría
de conjuntos se originó en el estudio del infinito por Georg Cantor y ha sido la fuente
de muchos de los temas más desafiantes e importantes de la lógica matemática, a
partir del teorema deCantor, a través delestatus delaxioma deeleccióny lacuestión
de la independencia de la hipótesis del continuo, al debate moderno sobre grandes
axiomas cardinales.
La teoría de la recursión captura la idea de la computación en términos lógicos y
aritméticos. Sus logros más clásicos son la indecidibilidad del Entscheidungsproblem
de Alan Turing y su presentación de la tesis de Church-Turing. Hoy en día, la teoría
de la recursión se ocupa principalmente del problema más refinado de las clases de
complejidad (¿cuándo es un problema eficientemente solucionable?) y de la
clasificación de los grados de insolubilidad.

3. 2. Definición y clases de proposiciones: Las proposiciones forman parte de la forma
más simple o elemental de la lógica, y se puede enfocar en la lógica matemática.
Esta lógica, no profundiza en los conceptos de las proposiciones, solo se guía en lo
ciertas o falsas que sean.
Se le ha denominado como “Lógica de las proposiciones sin analizar” y se puede
catalogar como una lógica superficial.
Tipos de proposición:
Las proposiciones se pueden dividir en dos tipos básicos:
1.- Proposición simple.
En la proposición simple, se da una afirmación con el resultado implícito
a) El gorro azul.
2.- Proposición compuesta.
En la proposición compuesta se da la proposición lleva las interjecciones o
conexiones (y- o) y de esta se pueden separar oraciones como:
a) El lápiz es rojo o amarillo.
b) Héctor es comerciante y Víctor es abogado.
Una proposición debe tener la cualidad de ser verdadera o falsa y una oración o
concepto que no tieneuno u otro sentido no puede ser considerado comoproposición
lógica; es así que la lógica proporcional en su concepto previo solo puede tener tres
elementos:
Proposición
Valor verdadero o
Valor falso.

4. 3. Conectivos lógicos en proposiciones compuestas: Existen conectores u operadores
lógicas que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias
proposiciones). Los operadores o conectores básicos son:
Operador and (y)
Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda
obtener un resultado verdadero. Si símbolo es: {Ù, un punto (.), un paréntesis}. Se
le conoce como la multiplicación lógica:
Ejemplo:
Sea el siguiente enunciado "El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y
tiene corriente la batería"
Sean
p: El coche enciende
q: Tiene gasolina el tanque
R: Tiene corriente la batería
De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología
lógica escomo sigue:
p = q Ù r
Su tabla de verdad es como sigue:
q r p = q Ù r
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Dónde: 1= Verdadero. 0: Falso
En la tabla anterior el valor de q=1 significa que el tanque tiene gasolina, r=1
significa que la batería tiene corriente y p = q Ù r=1 significa que el coche puede
encender.

5. 4. Proposición condicionales: Las Proposiciones Condicionales expresan la condición
necesaria para que tenga efecto lo que indica la oración principal; ésta indica la
causa o efecto de tal condición,
Ejemplo:
1. Me alegraría mucho, si me acompañaras.
2. Si quieres, paso por ti a las seis.
3. Te llevaré al baile; si me prometes ser puntual.
4. Si pones atención, aprenderás más pronto.
5. Podría llevar dos materias, si asisto por las tardes.
Observe cada caso y constata que la proposición indica una condición para que se
lleve a cabo lo aseverado en la oración principal:
CONDICION
1. si me acompañaras
2. si quieres
3. si me prometes ser puntual
4. si pones atención
5. si asisto por las tardes
ASEVERACION
1. me alegraría mucho
2. paso por ti a las seis
3. te llevaré al baile
4. aprenderás más pronto
5. podría llevar dos materias
Las proposiciones condicionales funcionan sintácticamente como modificadores
circunstanciales del núcleo del verbo de la oración principal.
La conjunción si, que funciona como subordinante es el encabezado que aceptan las
oraciones subordinadas condicionales, en la mayoría de los casos. Los
sintagmas conjuntivos; siempre que, con tal que, etc., también funcionan como
encabezado res de este tipo de proposiciones.

6. 5. Proposición bicondicional: Las proposiciones bicondicionales llevan la conjunción
compuesta ‘... sí y sólo si...’, o sus expresiones equivalentes como ‘cuando y sólo
cuando’, ‘si..., entonces y sólo entonces...’, etc.
Ejemplo:
a) Es fundamentalista si y sólo si es talibán.
b) Habrá cosecha cuando y sólo cuando llueva.
c) Si apruebo el examen de admisión, entonces y sólo entonces ingresaré a la
universidad.
Las proposiciones bicondicionales se caracterizan porque establecen dos
condicionales, pero de sentido inverso. Por ejemplo, la proposición bicondicional ‘el
triángulo es equilátero si y sólo si tiene tres lados iguales’ establece dos
condicionalesde sentido inverso: ‘sies triángulo equilátero, entonces tienetres lados
iguales’ y ‘si el triángulo tiene tres lados iguales, entonces es equilátero’.
En toda proposición bicondicional el antecedente es condición necesaria y suficiente
delconsecuente y elconsecuentees condición necesariay suficientedel antecedente.
6. Tautología: Es una expresión lógica que resulta verdadera para cualquier
interpretación; es decir, para cualquier asignación de valores de verdad.
La construcción de una tabla de verdad es un método efectivo para determinar si
una expresión cualquiera es una tautología o no.
Por ejemplo:

7. Contradicción: Una proposición es una contradicción, si es falsa para todos sus
valores de verdad.
Por ejemplo:
Contingencia: Una proposición es una contingencia si no es ni verdadera ni falsa
independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la
componen.
Por ejemplo:

8. 7. Leyes notables en lógica:
1.Ley de doble negación: Dentro de un sistema de lógica clásica, la doble negación,
esto es, la negación de la negación de una proposición p, es lógicamente
equivalente a p. Expresado simbólicamente, ¬(¬p) ⇔ p. En lógica intuicionista, una
proposición implica su doble negación, pero no al revés. Esto marca una
importante diferencia entre la negación clásica e intuicionista. Algebraicamente, la
negación clásica es llamada una involución de periodo dos.
Sin embargo, en lógica intuicionista, sí tenemos la equivalencia entre ¬¬¬p y ¬p. Es
más, en el caso proposicional, una oración es demostrable de forma clásica, si su
doble negación es demostrable de manera intuicionista. Este resultado es
conocido como el teorema de Glivenko.
2. Leyes de idempotencia: En matemática y lógica, la idempotencia es la propiedad
para realizar una acción determinada varias veces y aun así conseguir el mismo
resultado que se obtendría si se realizase una sola vez. Un elemento que cumple
esta propiedad es un elemento idempotente, o un idempotente. De esta manera,
si un elemento al multiplicarse por sí mismo sucesivas veces da él mismo, este
elemento es idempotente. Por ejemplo, los dos únicos números reales que son
idempotentes, para la operación producto (·), son 0 y 1. (0·0=0,1·1=1).
3. Leyes asociativas: Las "Leyes asociativas" quieren decir que no importa cómo
agrupes los números (o sea, qué calculas primero) cuando sumas o
cuando multiplicas.
(a + b) + c = a + (b + c)
(a × b) × c = a × (b × c)
4. Leyes conmutativas: Las "leyes conmutativas" sólo quieren decir que puedes
intercambiar los números cuando sumas o cuando multiplicas y la respuesta va a
ser la misma.
a + b = b + a
a × b = b × a
5. Leyes distributivas: La "ley distributiva" es la MEJOR de todas, pero hay que
usarla con mucho cuidado Quiere decir que la respuesta es la misma cuando:
 sumas varios números y el resultado lo multiplicas por algo, o
 haces cada multiplicación por separado y luego sumas los resultados
(a + b) × c = a × c + b × c

9. 6. Leyes de Morgan: En lógica proposicional y álgebra de Boole, las leyes de De
Morgan son un par de reglas de transformación que son ambas reglas de
inferencia válidas. Las normas permiten la expresión de
las conjunciones y disyunciones puramente en términos de sí vía negación.
Las reglas se pueden expresar en español como:
La negación de la conjunción es la disyunción de las negaciones.
La negación de la disyunción es la conjunción de las negaciones.
O informalmente como:
No (A y B)" es lo mismo que "(no A) o (no B)"
Y también,
"no (A o B)" es lo mismo que "(no A) y (no B)"
Las reglas pueden ser expresadas en un lenguaje formal con dos
proposiciones P y Q, de esta forma:
8.