Aporte a la Enseñanza de los complejos

1. ÁLGEBRA
2010
NÚMEROS COMPLEJOS
01. Unidad Imaginaria.
La unidad imaginaria se define como −1 y se
denota con la letra i; es decir; −1 = i . Además
04. Complejo Conjugado ( z ).
hay que notar que i = −1 . 2
Si z = a + bi; entonces: z = a − bi ≡ ( a; − b )
Potencias de la Unidad Imaginaria.
Se definen: i0 = 1 Propiedades:
1) z + z = 2 Re ( z ) 2) z − z = 2 Im ( z )
1 2 3 4
i =i i = -i i = -i i =i
3) z = z 4) z1 + z 2 = z1 + z 2
( )
o m
En general: i 4 + k = i k 5) z1.z 2 = z1.z 2 6) z = z m ; ∀m ∈ ¢ +
z  z
02. Forma Cartesiana. 7) n
z=nz 8)  1  = 1 ; z 2 ≠ 0
z = (a;b) / a ∧ b ∈ ¡  z2  z2
Donde:
Re(z) = a (parte real) 05. Complejos Opuestos ( z * ).
Im(z) = b (parte imaginaria) Sea z = a + bi; entonces: z* = -a – bi
Propiedades:
03. Forma Binómica.
1) z + z* = 0 2) z – z* = 2z
z = a + bi
Donde:
06. Módulo de un Número Complejo.
Re(z) = a (Parte Real)
Im(z) = b (Parte Imaginaria) Sea z = a + bi; entonces: z = a 2 + b 2
i = −1 (Unidad Imaginaria)
Im(z)
Im(z)
z = (a;b)
b
z = (a;b)
b z
q
0 a Re(z)
0 a Re(z)
Propiedades:
Equivalencias Importantes. 1) z ≥ 0; ∀z ∈ £ si z = 0 ⇔ z = 0
1) ( 1 + i ) = 2i 2) ( 1 − i ) = −2i
2 2
2) z = z = z * 3) z1.z 2 = z1 . z 2
1+ i 1
3) =i 4) = −i z1 z
1− i i 4)
2
= 1 ; z 2 ≠ 0 5) z = z.z
z2 z2
5) ( 1 + i ) = 2 ( i − 1) 6) ( 1 − i ) = −2 ( i + 1)
3 3
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2. ÁLGEBRA
2010
6) z = z
n n
7) z1 + z 2 ≤ z1 + z 2 Sea:
eiθ = cos θ + isenθ
8) Re ( z ) ≤ z ; Im ( z ) ≤ z ⇒ z = reiθ
Recuerda que:
r = z = a 2 + b2
07. Forma Polar o Trigonométrica
Sea: Propiedades:
z = a + bi......... ( *)
iθ
1) e = 1
Donde 2) eiθ .eiα = ei( θ+α )
z = a 2 + b2 eiθ
3) iα = ei( θ−α )
Graficando tenernos: e
4) ( eiθ ) = e ( )
n
Im(z) i nθ
b
z = (a;b) 5) eiθ = eiα ⇔ θ = α + 2kπ; ∀k ∈ ¢
z z sen θ
q PRACTICANDO
0 a Re(z)
z cos θ
1. Reducir:
Reemplazando en (*) tenemos: i 473 + 3i515 + 5i989
M=
z = z cos θ + i z senθ i9
z = z ( cos θ + isenθ ) A) 3i B) i C) - i
D) - 3i E) 3
Llamando: N = z
Tenemos que: i 343 + i55331 + i 2542 + i 412300
2. Simplificar: E =
z = r ( cos θ + isenθ ) = rcisθ i −55 + i −242 + i −328
b A) 2 B) -2 C) i
Donde: Arg ( z ) = θ (Argumento de z); tan θ = D) -i E) 2i
a
Además: −π < Arg ( z ) < π
1 + i + i 2 + i 3 + ...... + i1999
3. Calcule:
1 + i + i2
Propiedades:
A) 0 B) 1 C) i
1) w = cos θ + isenθ = 1 D) - i E) - 1
1
2) = cos θ − isenθ
cos θ + isenθ 4. Sea Z un número complejo, z = 4 - 3i
cos θ + isenθ Cuantas afirmaciones son verdaderas.
3) = cos ( θ − α ) + isen ( θ − α )
cos α + isenα I. La parte real de z, es 4
4) ( cos θ + isenθ ) = cos ( nθ ) + isen ( nθ ) ; ∀n ∈ ¢
n II. El módulo de z, es 5.
III. La parte imaginaria de z es 3.
IV. z es un complejo imaginario puro.
08. Forma Exponencial.
A) 2 B) 0 C) 1
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3. ÁLGEBRA
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D) 4 E) 3 D) 81/4 E) 81/i
5. Si Z1 = 7 + 2i ; Z2 = 3 − 2i 12. Calcular:
Efectué Z1 − Z2 1+ i 1− i
E= −
1− i 1+ i
A) 10 B) -4 C) 11
A) 1 B) 2 C) 1+i
D) 18 E) 4
D) 1-i E) i
6. Reducir:
5 9
13. La representación trigonométrica de:
 1+ i   1− i 
W=  +  z = −1 + 3i , es
 1− i   1+ i 
A) z = 2cis35° B) z = 2cis120°
A) 0 B) 1 C) 2 C) z = 4cis150° D) z = 4cis120°
D) - 1 E) i E) N.A.
7. Calcular: 14. Expresar en su forma trigonométrica
1 + 2i 3 + 4i 5 + 6i z = 1 + cos50° + isen50°
S= + + + …….“n” términos
2 − i 4 − 3i 6 − 5i
A) i B) - i C) ni A) 2sec25° cis25° B) 2sen25°cis25°
D) - ni E) 0 C) 2sen50° cis25° D) 2sen25° cis50°
E) 2cos25° cis25°
8. A partir de:
( 1+ i) + ( 1 + i ) + ( 1 + i ) + ( 1 + i ) = x + yi
2 4 6 8
15. Calcular el modulo del complejo:
x+y 1
Calcular: z=
x−y 1 + cos30º −isen30º
1
Donde: i = −1 A) csc15° B) 2csc15° C) csc15°
2
A) 1/2 B) 1/4 C) 1/5
1
D) 1/6 E) 1/3 D) sec15° E) sec15°
2
9. Hallar la raíz cuadrada del complejo: 3 + 4i 16. Sean: z1 = 1 − 2i ; z 2 = −i + 3 y z 3 = 7i − 1
A) ± ( 2 + i ) B) ± ( 1 + i ) C) ± ( 3 + i ) A = ( z1 + z 2 ) −
2 z1.z 2
z3
D) ±i E) N.A.
Halle el argumento principal de A .
A) arctg(1) B) arctg(3) C) tg(3)
( 1+ i)
n
10. Calcular: E= n − 2 , donde n ∈ Z
+
D) arctg(8) E) arctg(5)
( 1− i)
A) i B) 2in C) 2in-1 17. Hallar el módulo del número complejo “z”:
D) 2i E) in
11. Hallar el valor de:
( )(
Z = ( 3 + 4i ) ( 5 − 12i ) 2 2 + i 1 + 3i )
4 A) 170 B) 250 C) 390
( 2 + i) 2 + ( 2 − i) 2  D) 420 E) 510
E= 
( 1+ i)
3

 

18. Si la gráfica del número complejo:
A) 81 B) - 81 C) - 81/4
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4. ÁLGEBRA
2010
z=
1 + ai 24. Si i = ( 0;1) entonces el valor de la siguiente
; a ∈ R + en el que se muestra la
1 − ai suma
figura, el valor de “a” es: 1 + i 1 + 2i 1 + 3i 1 + 20i
M= + + + ....... + es
Im 1− i 2 − i 3 − i 20 − i
A) 4
A) 16i B) 18i C) 20i
B) -2
z D) 22i E) 24i
C) 1
D) -1
R e 25. Indicar el valor de verdad de las siguientes
E) 2
afirmaciones:
2 2
z
I. e = e , z ∈ £ si Re(z) = 0
z
19. Hallar la raíz cuadrada de: 5 - 12i
A) ± ( 3 + 2i ) B) ± ( 3 − 2i ) C) ± ( 3 + i )
(
II. z ∈ £ , z < 1 entonces Im 1 − z + z ≤ 2
2
)
D) ±i E) N.A. 2
III. ∀z ∈ £ , z = z
2
( ( Z − 4) )
2
20. Si Z = −3 + 4i . Calcular
2
i A) VFV B) VFF C) FVV
D) VVV E) VVF
A) i B) -i C) 1
D) -1 E) 0  2 2
26. Los números complejos Z =  −
 ; , U y
 2 2 

21. Dado el complejo:
a + 3i Z π
Z= el valor de “a” que permite a Z ser W, son tales que U = y arg ( U ) = ,
2 − 5i W 6
imaginario puro es: entonces el valor del sen(ArgW) es:
A) 6 B) 6,5 C) 7,5 A) - 0,558 B) - 0,458 C) - 0,358
D) 7 E) 8 D) - 0,258 E) - 0,158
22. Calcular el valor más simple de: 27. El número complejo Z de menor argumento
( 1 + i ) ( 1 + 3i ) i5 que cumple la condición Z − 25i ≤ 15 es:
2
N=
i −3 A) 12 + 16i B) 3 + 4i C) 10 + 12i
A) 1 B) 0 C) 2i D) 16 + 12i E) 5 + 3i
D) 3 E) - 1
23. Siendo Z, un número complejo tal que:
( 1+ i) + ( 1− i)
2 3
Z=
( 1− i) + ( 1+ i)
2 3
Im ( Z ) − 1
Calcular el valor de:
Re ( Z ) + 1
A) -1/2 B) -1/4 C) 1/2
D) 1 E) 14
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