Concepto de límite

2. L´IMITES
Cristian Camilo Penagos Torres
Departamento de Matem´aticas, f´ısica y Estad´ıstica
Universidad de La Sabana

3. L´IMITES PROPIEDADES DE LOS L´IMITES
El concepto de l´ımite sirve como fundamento a nociones matem´aticas como
la continuidad, la derivada y la integral. Por tanto, es pertinente comenzar su
estudio que dar´a lugar a la idea central del c´alculo diferencial, la derivada.

4. L´IMITES L´IMITE
¿QU ´E ES UN L´IMITE?
DEFINICI ´ON
Sea f(x) definida en un intervalo
abierto alrededor de x = a, excepto
posiblemente en a. Decimos que el
l´ımite de f(x) cuando x se aproxima
a x = a es el n´umero L y escribimos
l´ım
x→a
f(x) = L,
Si para todo > 0, existe un n´umero
δ > 0 tal que para toda x,
0 < |x−a| < δ ⇒ |f(x)−L| <

5. L´IMITES L´IMITE
DEFINICI ´ON “ INFORMAL” DE L´IMITE
Supongamos que f(x) est´a definida
cuando x est´a cerca del n´umero a.
(Esto significa que f est´a definida en
alg´un intervalo abierto que contiene a
a, excepto posiblemente en a misma.)
Entonces escribimos
l´ım
x→a
f(x) = L
y decimos que “el l´ımite de f(x),
cuando x tiende a a, es igual a L”.
si podemos hacer que los valores de
f(x) est´en arbitrariamente cercanos a
L (tan cercanos a L como queramos),
tomando valores de x suficientemente
cerca de a (por ambos lados de a),
pero no iguales a a.

6. L´IMITES L´IMITE
EJEMPLO
¿Cu´al es el comportamiento de la
funci´on
f(x) =
x2 − 4
x − 2
cerca de x = 2?
Para hacerse a una idea del
comportamiento de las im´agenes de
la funci´on se usar´an los valores de x
que esten “lo suficientente cerca a 2”,
sin importar que ocurre en x = 2.
x 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1
f(x) 3.9 3.99 3.998 4.001 4.01 4.1
La tabla anterior se observa que, a
medida que x es un n´umero cerca a 2,
f(x) se aproxima a 4.
x
−3 −2 −1 1 2 3
y
−2
−1
1
2
3
4 f(x)

7. L´IMITES L´IMITES LATERALES
L´IMITE LATERAL
Escribiremos
l´ım
x→a−
f(x) = L
Y diremos que el l´ımite lateral
izquierdo de f(x) cuando x se
aproxima a a es L.
De manera analoga, escribiremos
l´ım
x→a+
f(x) = L
Y diremos que el l´ımite lateral
derecho de f(x) cuando x se
aproxima a a es L.

8. L´IMITES L´IMITES LATERALES
TEOREMA
l´ım
x→a
f(x) = L si y solo si l´ım
x→a−
f(x) = L y l´ım
x→a+
f(x) = L
El teorema anterior implica:
l´ım
x→a−
f(x) = L1 = l´ım
x→a+
f(x) = L2 ⇒ l´ım
x→a
f(x) no existe

9. L´IMITES L´IMITES LATERALES
EJEMPLO
A partir de la gr´afica de f se pueden calcular los siguientes l´ımites
1. l´ım
x→0−
f(x) = no existe
2. l´ım
x→0+
f(x) = 1
3. l´ım
x→0−
f(x) = no existe
4. l´ım
x→1−
f(x) = 0
5. l´ım
x→1+
f(x) = 1
6. l´ım
x→1
f(x) = no existe

10. L´IMITES L´IMITES LATERALES
EJEMPLO
Considere la funci´on f(x) dada por
f(x) =



1 si x < 0
0 si x = 0
−1 si x > 0
Como l´ım
x→0−
f(x) = 1 = l´ım
x→0+
f(x) = −1 y en virtud del teorema anterior se
puede decir que l´ım
x→0
f(x) No existe.

11. L´IMITES L´IMITES LATERALES
EJEMPLO
En la gr´afica de la siguiente funci´on se observa que los valores de f(x)
tienden a 1 conforme x tiende a 0 por la izquierda, pero se acercan a -1 a
medida que x tiene a 0 por derecha. Por lo tanto,
l´ım
x→0−
f(x) = 1 y l´ım
x→0+
f(x) = −1
x
−3 −2 −1 1 2 3
y
−1
1
f(x)
t

12. L´IMITES L´IMITES INFINITOS
L´IMITES INFINITOS
Sea f una funci´on definida por ambos lados de a, excepto posiblemente en la
misma a. Entonces
l´ım
x→a
f(x) = ∞
significa que los valores de f(x) pueden ser arbitrariamente grandes (tan
grandes como queramos), tomando x suficientemente cerca de a, pero no
igual a a.
Analogamente, se pueden definir
l´ım
x→a
f(x) = −∞

13. L´IMITES L´IMITES INFINITOS
AS´INTOTA VERTICAL
La recta x = a es una as´ıntota vertical de la gr´afica de una funci´on y = f(x)
si
l´ım
x→a−
f(x) = ±∞ o l´ım
x→a+
f(x) = ±∞
EJEMPLO
Encuentre la(s) as´ıntota(s) vertical(es) de la funci´on f(x) = 3x
x−4
Las as´ıntotas verticales de una funci´on racional pueden estar donde el
denominador sea cero, en este caso, en x = 4.
Como l´ım
x→4−
3x
x − 4
= −∞, as´ı x = 4 es as´ıntota vertical de f